¿Se puede construir una caja con todas sus caras distintas?

Vamos a realizar un pequeño “experimento”. Echa un vistazo por tu casa, ahora mismo si quieres, y busca una caja que tenga todas sus caras distintas. No, no te vale una caja de zapatos, ya que sus caras son (habitualmente) iguales por parejas. ¿Encuentras alguna?

Posiblemente no, ya que normalmente las cajas que tenemos a mano suelen tener todas forma de cuboide (la de zapatos). Aunque bueno, puede que alguno de vosotros tenga por ahí alguna con una forma extraña que nos pueda servir como ejemplo de caja con todas sus caras distintas, ya que en realidad sí pueden encontrarse cajas con esta característica. Por ejemplo, podemos tomar un cuboide y cortarle un trocito de la siguiente forma:

Evidentemente, cuando hablamos de “caja” en este contexto queremos decir poliedro (es decir, una figura geométrica en tres dimensiones cuyas caras son planas (polígonos) y el volumen interior es finito) convexo (es decir, que cumple que todo segmento que une dos puntos del poliedro está contenido en el interior del propio poliedro). Pero en lo relativo a que sus caras sean todas distintas vamos a afinar un poco más.

Hemos visto que hay poliedros que tienen todas sus caras distintas, pero ¿habrá poliedros cuyas caras sean todas polígonos con un número distinto de lados? Es decir, buscamos un poliedro donde no se repita ningún polígono en lo que a número de lados se refiere: que no haya dos o más triángulos, ni dos o más pentágonos, etc. ¿Podremos encontrar ahora algún poliedro con esta característica?

Antes de responder intentad que no os influya la idea de regularidad poliédrica que solemos tener en la cabeza (lo que comenté antes de que habitualmente las cajas que tenemos cerca son esencialmente iguales) y pensad en la tremenda variedad que podemos encontrar en el mundo de los poliedros, y también en la barbaridad de polígonos que pueden hacer de cara de un poliedro…

…¿lo habéis pensado ya? Bien, pues ahí va la respuesta: no se puede encontrar ningún poliedro cuyas caras sean todas polígonos con números distintos de lados. ¿Os lo creéis? ¿Así, sin más? ¿Tan fácil ha sido? Hombre, quizás sería necesaria una demostración, ¿verdad? Bien, pues vamos a ver una que aparece en el libro Mapas del metro y redes neuronales, de Claudi Alsina.

Supongamos que tenemos un poliedro convexo que tiene un número de caras igual a Vamos a llamar a la cantidad de números naturales para los cuales el poliedro tiene al menos una cara con aristas. Por ejemplo, un cubo tiene , ya que solamente hay un número natural para el cual el cubo tiene caras con esa cantidad de aristas: el 4. Y llamemos ahora al número de aristas que tiene la cara de con más aristas. En el cubo tendremos que , ya que ésa es la mayor cantidad de aristas que tiene una cara de un cubo.

Veamos otro ejemplo para aclarar un poco más el asunto. Si es el prisma de base hexagonal que podemos ver a la derecha, se tiene que , ya que hay dos números naturales para los cuales este prisma tiene al menos una cara con esas cantidades de aristas: el 4 y el 6. Por otro lado, en este prisma, que es el mayor número de aristas que tiene una cara del mismo.

Bien, aclarado esto vamos a jugar un poco con estos números. Evidentemente tiene al menos una cara con aristas (ya que era el número máximo de aristas que tenía una cara de ). Pero cada arista de dicha cara es también arista de otra cara de , lo que nos da caras más. Por tanto, el número de caras de es, al menos, (la que tiene aristas más las caras correspondientes a dichas aristas). Con esto llegamos a la primera expresión interesante:

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Gaussianos

Personajes - Paul Krugman: "Antes de recibir el Nobel de Economía ya era arrogante"

Perfil 

A sus 59 años, dice que él, según parámetros europeos, sería socialdemócrata, “lo más a la izquierda que se puede ser en Estados Unidos sin salirse del mapa”. No se pasa el día elaborando teorías económicas, avisa. Descansa mucho, ve la tele y lee novelas “que no tienen que ver con la actualidad”. Todos los años hace con su mujer un viaje en bicicleta por Italia, Francia, Inglaterra. Les encanta, afirma, descubrir los pueblos pequeños. 

Krugman, sin monedas para que Caronte le traslade al más allá, con dos tarjetas del Banco de Santander para pagar al barquero. / BERNARDO PÉREZ

Pregunta. ¿No es pesadísimo ser gurú?
Respuesta. Sí. Mi mujer y yo acabamos de pasar diez días en Inglaterra sin que nadie supiéramos dónde estábamos, y para que a nadie se e ocurriera pedirme un comentario sobre nada.

P. ¿Es el enfant térrible de la economía?
R. Tengo 59 años. Estoy ya en una edad mediana, incluso madurita. O sea que espero que ya nadie piense que soy un enfant térrible.

P. Dedicó su último libro a los parados. ¿No le agradecerían más una pequeña aportación económica, un detallito?
R. Bueno, hago lo mío, pago mis impuestos, doy para obras de caridad, y la dedicatoria es para gente que yo conozco que no tiene trabajo.

P. ¿Se le ha subido el Nobel a la cabeza?
R. Antes del premio ya era arrogante. Espero no serlo aún más.

P. “Gente como yo, que tal vez no hayamos acertado siempre, hemos acumulado un espléndido historial durante los últimos cinco años”. Pues veo cero problemas de autoestima.
R. Pero yo estaba hablando de una escuela de pensamiento, no de mí. De todo un grupo, unos veinte, y lo que digo es que mi teoría es certera, el pensamiento es el correcto, no que yo sea el más listo de la clase.

P. La introducción de su libro dice: “Y ahora, ¿qué hacemos?” ¿Me aconseja leerlo o ir a una echadora de cartas para que me lo aclare?
R. Quiero pensar que yo sé más que ella, aunque depende de la señora a la que vaya.. Pero en el libro argumento mi tesis. Y quiero añadir que odio el argumento de autoridad, que la gente se crea superior por haber obtenido un premio.

P. Creo que destaca por su capacidad de predicción. No me voy de aquí sin que me dé una fecha para salir de esto.
R. En Europa, desde luego, la toma de decisiones es cuestión de meses, no más. Ahora, por dónde irán los tiros no se lo sé decir.

P. Pues creo que debería cambiar de bola de cristal.
R. Bien [ríe]. Si quiere una predicción detallada, entonces sí es mejor que vaya a la señora que le echa las cartas.

P. Fue consejero económico de Reagan. Algo le tocará de su culpa.
R. Sí, aquello fue bastante divertido. Yo, funcionario de alto nivel, con tarea más bien burocrática, era ya conocido como demócrata, y me encargaba de la asesoría económica internacional. Trabajaba conmigo Larry Summers, también demócrata identificado, que llevaba la economía nacional. Era gracioso. Demócratas ambos.

P. Pues yo creía que sus críticas al neoliberalismo eran para hacerse perdonar esa etapa.
R. Bueno, no he cambiado mucho desde entonces. Lo que sí demuestra esto es que el mundo económico en Estados Unidos es un pañuelo, porque Larry Summers y yo nos conocemos desde 1982 y tenemos desde siempre una rivalidad amistosa.

P. ¿Merkel es la bruja del cuento?
R. Yo creo que ella no importa para nada. Hace lo que haría cualquier canciller alemán. El problema no es Merkel, sino Alemania.

P. ¿Y tiene más peligro ella o el BCE?
R. Bueno, yo tengo más esperanzas en el Banco Central Europeo, en que llegue a ser más flexible y de más ayuda. Conozco a Draghi desde que era estudiante en el MIT.

P. Ha dicho que España necesita menos austeridad y más crecimiento. ¿Por qué no invita a un café a Rajoy y se lo cuenta?
R. Él no puede hacer mucho, Puede relajar un poco la política de recortes. Pero la respuesta la tiene Merkel.

P. ¿Defiende que la inflación es la última playa?
R. No es que sea la última playa. Europa necesita inflación. España, no. Lo que necesita es que la tenga Alemania.

P. ¿Tiene en su casa un altarcillo dedicado a Keynes?
R. La gente sigue diciendo esto de mí, pero no dedico culto a Keynes. Era una mente brillante que dijo cosas muy acertadas, y escribía muy bien. Pero también pienso que se equivocó en otras cosas.

P. ¿Hay algún planeta del sistema solar especialmente nocivo para la economía?
R. Algunas personas piensan que la astrología es mejor ciencia que la economía, pero yo no lo sé, porque ni siquiera conozco mi signo astral.

P. Si yo ahora le confiara 3.000 euros, ¿qué haría con ellos?
R. No veo ninguna inversión demasiado segura. Mi mujer y yo somos muy precavidos a la hora de las inversiones. No soy buen consejero.

P. Si se pone así, igual me voy de compras.
R. Tal vez, si le gusta y lo disfruta...

P. ¿Tiene preparadas ya dos monedas para que, cuando muera, Caronte le pase en barca al otro lado, como a los clásicos?
R. No conozco esa costumbre. [A falta de monedas, saca dos tarjetas de crédito, sin que Caronte le pida el pin].

Fuente:

El País Ciencia

París se transforma en un 'Parque Jurásico'

Fémur de saurópodo. | Museo de Historia Natural de París Vea más fotos aquí)

Hace 140 millones de años los saurópodos eran los reyes de la selva. Su tamaño hace insignificante al más grande de los elefantes: podían llegar a medir hasta 40 metros y pesar hasta 90 toneladas. En los yacimientos de Agneac, en Charente (Francia), se hallaron en 2010 fósiles de algunos de los saurópodos más grandes del mundo.

Estos hallazgos se exponen ahora en el Museo de Historia Natural de París. Un fémur, varias vértebras, dientes y otros restos que permanecían ocultos y que han sido recuperados gracias a estas excavaciones. En total se han encontrado cerca de 2.000 piezas en esta zona, pero en la exposición parisina se exponen solo algunos ejemplares.

Bajo el título 'Dinosaures, la vie en grand', la exhibición trata de explicar cómo vivían estos gigantes herbívoros: se explora su biología y se recrea su hábitat a través de dispositivos interactivos y didácticos que permiten, por ejemplo, tocar los dientes de uno de estos colosos.

Un grupo de paleontólogos, botánicos, nutricionistas y biólogos se han encargado de recrear este parque Jurásico, que permite conocer, por ejemplo, qué comían y donde encontraban su alimento estos animales. No era una labor fácil pues necesitaban 100.000 calorías diarias para mantenerse en pie y no podían correr más allá de los 40 kilómetros por hora debido a su peso.

600 litros de sangre

Además, por sus venas circulaban hasta 600 litros de sangre y cada vez que respiraban a sus pulmones llegaban 75 litros de aire. Sus huevos tenían el tamaño de un balón de fútbol y al nacer, las crías pesaban alrededor de 5 kilos, aunque multiplicaban su peso por 10.000 en la edad adulta.

En la exposición se muestra, por ejemplo, la reproducción de un dinosaurio de 18 años, que mide más de tres metros de altura y 18 de largo y cuya cola es tan larga como la mitad de su cuerpo. También se ha incluido una maqueta a tamaño real de una pierna de uno de estos ejemplares, de 5 metros de altura.

Además, un fresco de siete metros de largo recrea con detalle el entorno del citado yacimiento de Angeac hace 130 millones de años. Este es el único terreno en Francia en el que se sabe que vivieron estos colosos de la naturaleza.

Fuente:

El Mundo Ciencia

¿Giran las estrellas en su propio eje, como los planetas?

Las estrellas pulsar (o de neutrones) tienen una rotación extremadamente veloz.

En general, la rotación estelar es el resultado de una rotación de la nube de gas que se condensa para formar una estrella.

Sin embargo, a diferencia de los planetas, las estrellas no son cuerpos sólidos, por lo que su rotación no es siempre simple.

Primero, tal como muchos planetas, las estrellas tienen bultos ecuatoriales.

Regulus, por ejemplo, rota a unos 320 km/s y su radio ecuatorial es unas tres veces más grande que su radio polar.

Muchas estrellas muestran además rotaciones diferenciadas, con su punto más alto en el Ecuador, la cual va descendiendo a medida que la latitud aumenta.

Por ejemplo, el ecuador del sol rota una vez cada 25 días, pero en sus polos cada rotación toma más de 34 días.

Este efecto es el que genera los campos magnéticos de las estrellas.

Las pulsars (o estrellas de neutrones) que son remanentes magnéticos de estrellas que ya explotaron, tienen una rotación extremadamente veloz: la más rápida que ha sido encontrada gira 716 veces por segundo.

Tomado de:

BBC Ciencia

El incremento en el nivel del mar en las generaciones venideras

Un artículo publicado en la revista Geology ha vuelto a desatar el alborotado planteamiento del calentamiento global y el nivel del mar. Según este estudio, incluso si conseguimos limitar el calentamiento global a 2 grados centígrado (3.6 F), tal y como el Intergovernmental Panel on Climate Change recomienda, las futuras generaciones se enfrentarán a un incremento del nivel del mar de entre 12 y 22 metros.

Esta invetigación se ha llevado a cabo de la mano de Kenneth G. Miller, profesor de Ciencias de la Tierra y Planetarias en la School of Arts and Sciences en la Universidad Rutgers. Y se basa en el estudio de una serie de rocas situadas en las islas Marshal (entre el Oceáno Pacífico y Nueva Zelanda).

Estas rocas tenían un aspecto similar al del Plioceno —época geológica que comienza hace unos 5000 millones y termina hace 2000 millones de años—, la última vez que el nivel de dióxido de carbono en la atmósfera estaba al nivel actual, y la temperatura era dos grados superior.

“La diferencia en volumen de agua liberado es equivalente a derretir la capa de hielo de Groenlandia, así como algunas capas de la zona este antártica”, afirma H. Richard Lane, director del National Science Foundation’s Division of Earth Sciences y financiador de esta investigación. “Tal incremento en los actuales océanos podría anegar las costas mundiales y afectar al 70% e la población mundial”.

Desde luego, no es la primera vez que aparecen estudios como éste y que aseguran consecuencias apocalípticas. Ante la pregunta de cuándo se producirán estos efectos, Lane afirmó: “El derretimiento de estos grandes bloques de hielo llevará desde cientos hasta miles de años. El actual ritmo de crecimiento en el nivel del mar debido al calentamiento, es entre 0.8 y 1 metro”.

¿Qué opinan ustedes? ¿Acabaremos como en las películas “El Día de Mañana” o “2012”, o sólo son simples elucubraciones?

Vía | Rutgers: http://news.rutgers.edu/medrel/news-releases/2012/03/global-sea-level-lik-20120316

Imagen | Película “The Day After Tomorrow”

Tomado de:

Xakata Ciencia

Bolivia: Glaciar Tuni Condoriri se derrite

El glaciar boliviano del Tuni Condoriri, cuyo nevado principal semeja un cóndor con las alas abiertas, desaparece poco a poco debido al cambio climático, que no solo amenaza la belleza de ese recóndito lugar sino también la provisión de agua de las ciudades de La Paz y El Alto.

Tomado de:

Xakata Ciencia