Mecánica de Fluidos: Líquidos, gases y plasmas

Mecánica de Fluidos - Segunda Parte

En la introducción a la mecánica de fluidos hablamos sobre la diferencia fundamental entre sólidos y fluidos: la capacidad de cambiar de forma, es decir, de fluir. Sin embargo, aunque todos los fluidos tengan esta característica en común, existen otras diferencias en su comportamiento que merecen un capítulo aparte. Aprovecharemos, además, para adquirir una idea general sobre cómo y por qué fluyen este tipo de medios, y para definir un concepto que nos será utilísimo más adelante: la densidad.

• ¿Preparado?

La mejor manera de entender las diferencias entre los distintos estados de agregación es empezar con uno y luego ir modificando las propiedades poco a poco. En mi opinión, una de las formas más intuitivas de hacerlo es empezar con los sólidos para luego caer por la “escalera del caos” hacia estados menos ordenados.

Sí, este bloque no está dedicado a los sólidos, pero como verás más adelante los usaremos como referencia varias veces, de modo que permite que nos detengamos un momento en ellos antes de zambullirnos –qué chispa tengo, ¿eh?– en líquidos y otros fluidos aún más interesantes.

Sólidos

Es imposible comprender las causas del distinto comportamiento de sólidos, líquidos, gases y plasmas sin entender cuál es su estructura microscópica, ya que ésa es la razón de que se comporten de diferente manera. Desde luego, aquí no vamos a dar un tratado sobre fuerzas intermoleculares y vamos a simplificar bastante las cosas, pero es necesario conocer el modelo básico de cada estado.

Como seguro que sabes, toda la materia a nuestro alrededor está formada por partículas microscópicas: pueden ser moléculas, átomos o incluso protones, neutrones y electrones sueltos, pero ahora mismo eso nos da igual. Lo esencial es la naturaleza discreta de la materia, a pesar de que nos sea imposible discernir esa naturaleza discreta y podamos considerar, en nuestras ecuaciones, que muchos objetos son continuos, como ya vimos en la introducción al bloque.

Lo que distingue unos medios de otros es, fundamentalmente, cómo están asociadas esas partículas. Puedes imaginar cada una de ellas como una minúscula canica de un metal enormemente denso, y cada objeto como un conjunto de billones de esas minúsculas canicas.

Para imaginar un sólido y su comportamiento, intenta visualizar la siguiente escena: la miríada de pequeñas canicas están unidas unas a otras mediante pequeñas barras metálicas, finísimas pero increíblemente resistentes. Cada canica está soldada a las barras que la rodean, que a su vez están soldadas a más canicas. El resultado es una gran red formada por infinidad de canicas unidas unas a otras mediante esas barras metálicas.



Modelo microscópico de un sólido ideal (fdecomite / CC 2.0 Attribution License).

Desde luego, en la realidad no hay “barras”: lo que mantiene las partículas que forman el sólido en esas posiciones son fuerzas eléctricas entre ellas, pero es más sencillo imaginarlos así para nuestro propósito en este bloque, que es estudiar cómo se mueven unas partes del objeto respecto a otras. En el caso de un sólido nada se mueve por su lado: es posible mover el objeto como un todo, pero las posiciones y distancias relativas de las partículas que lo constituyen no cambian jamás.

 

 ¿Y la temperatura?

Si sabes algo de termodinámica tal vez estés arqueando la ceja ante ese jamás tan categórico… y sí, tienes razón.

Dado que la temperatura de un cuerpo está relacionada con la velocidad con la que se mueven sus partículas, estrictamente hablando el único cuerpo en el que las distancias entre “canicas” no cambian nunca sería uno a la temperatura más baja posible, el cero absoluto. En un sólido real las partículas vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio tanto más rápido cuanto más caliente está el cuerpo.

Sin embargo, dado que en este bloque nos preocuparemos por el movimiento macroscópico de las cosas, esos movimientos microscópicos tan nimios no son importantes. Si quieres profundizar un poco más en esa parte del comportamiento de los cuerpos es mejor que leas el bloque dedicado a ese asunto, Termodinámica I.

En lo que a nosotros respecta al estudiar la mecánica de los cuerpos, lo esencial de un sólido ideal es que se mueve como un todo. Permíteme que ponga un ejemplo un poco tonto para luego modificarlo al hablar de los otros estados. Imagina un cubo sólido de 1000 kg de masa y un metro de lado; imagina ahora, paciente y estimado lector, que pongo ese cubo de 1 m³ sobre tu cabeza. El desenlace sería bastante desagradable para ti, y creo que no hace falta que entre en más detalles –lo haré cuando modifiquemos el ejemplo al hablar de líquidos y gases–.

En nuestro modelo de “canicas y barras”, lo que distingue a unos sólidos de otros en su interacción con los fluidos es básicamente la masa de las canicas y la longitud de las barras: es posible, por ejemplo, que las distancias intermoleculares –si las partículas que forman el objeto son moléculas– sean muy grandes, de modo que las canicas estén muy separadas unas de otras, o que por el contrario estén muy cerca; es posible que cada canica tenga una gran masa, si se trata de un elemento muy pesado, o que cada canica sea muy ligera si es un elemento ligero.

Pero, independientemente de la causa, es posible cuantificar esta propiedad de un modo bastante sencillo, definiendo una magnitud que nos diga cuánta masa hay en un volumen determinado del sólido, ya sea por la distancia entre partículas, por la masa de cada partícula o una combinación de ambos factores. Y esta magnitud, que utilizaremos mucho a lo largo del bloque, no es otra que la densidad.

Densidad

El origen de la densidad como concepto es muy antiguo, y la base del concepto es la necesidad de comparar lo pesados que son los distintos materiales.

La clave de la cuestión es precisamente ésa: comparar materiales, no cuerpos concretos. No vale tomar un trozo de acero de 1 kg y un trozo de madera de 500 kg y deducir, por tanto, que la madera en general es más pesada que el acero en general: eso no tendría ningún sentido. Tampoco lo tiene comparar 1 kg de plomo con 1 kg de paja y concluir que la paja pesa, como material, lo mismo que el plomo. Por un lado no queremos comparar objetos concretos sino los materiales en sí, independientemente del objeto; pero por otro lado no podemos pesar “plomo en general” y “madera en general”, sólo podemos pesar objetos concretos.

La solución es simplemente tomar objetos del mismo volumen. Así, si comparamos dos objetos de 5 m³, uno de acero y otro de corcho, el de acero pesará muchísimo más que el de corcho. Pero si tomamos objetos de los mismos materiales y de 10 m³ sucederá lo mismo, e igual si comparamos cualquier par de objetos del mismo volumen, uno de acero y otro de corcho. De hecho, la relación numérica entre las masas de ambos objetos –siempre que los dos tengan el mismo volumen, claro– se mantendrá constante para cualquier volumen: si un trozo de corcho pesa 1 kg y el trozo de acero del mismo tamaño pesa 20 kg, entonces si tomamos un trozo de corcho de 1 tonelada el trozo de acero del mismo tamaño que él pesará 20 toneladas.

Puesto que da igual qué volumen se tome siempre que sea el mismo para todos los objetos, tiene todo el sentido del mundo emplear como “volumen de referencia” la unidad de volumen, es decir, el metro cúbico. Así, la densidad de un material se define del siguiente modo:

La densidad es la masa por unidad de volumen.

Por lo tanto, para conocer la densidad de un material basta con obtener un objeto de 1 m³ de ese material, pesarlo y listo. Naturalmente, también es posible obtener un objeto de 10 m³, pesarlo y luego dividir la masa por diez para conocer la masa por cada metro cúbico, o pesar un objeto de tan sólo 0,1 m³ y luego multiplicar su masa por diez. Lo esencial es siempre utilizar como referencia final el metro cúbico, de modo que el tamaño del objeto que estemos estudiando no influya en el resultado.

Unidad de la densidad – El kilogramo por metro cúbico

Puesto que la densidad es la masa por unidad de volumen, sus unidades son precisamente ésas: las de masa entre las de volumen. A pesar de que es una magnitud muy utilizada, no ha recibido un “nombre propio”, como sucede con otras unidades que veremos en este mismo bloque. Esto hace que su definición sea un tanto perogrullesca:

Un kg/m³ es la densidad de un objeto de masa 1 kg que ocupa un volumen de 1 m³.

Sin embargo, ¿cuánto es eso? ¿mucho, poco o regular? Si vas a aprovechar este bloque debes tener, al menos, una idea aproximada de qué significa una densidad concreta, ya que como veremos es una magnitud esencial para conocer lo que le sucede a las cosas inmersas en un fluido.



Un metro cúbico de hormigón (Rama/Creative Commons Atribution Sharealike 2.0 France).

En este caso es posible estimarlo sin demasiados problemas: 1 kg es la masa de un paquete de arroz típico, y 1 m³ es un cubo de un metro de ancho, un metro de largo y otro de alto. Si repartes el arroz en todo ese volumen, la densidad resultante es 1 kg/m³. En resumen, la unidad de densidad es muy pequeña, y la mayor parte de los objetos a nuestro alrededor tienen densidades bastante mayores.

Como siempre, la mejor manera de visualizar unidades es precisamente con ejemplos de la vida real. La densidad del hierro es de unos 7 000 kg/m³, la del hormigón de unos 2 400 kg/m³ y la del cartón unos 700 kg/m³. Más importante aún es conocer la densidad aproximada de los dos fluidos más importantes en nuestra vida –tan importante es que son las únicas dos densidades que exijo memorizar a mis alumnos–: el agua y el aire. Pero hablaremos de ellas al hacerlo de cada uno de esos dos tipos de fluido.

 

¡Ojo! Los sólidos no son más densos que los fluidos

Es muy común caer en el error de pensar que un sólido, por el hecho de serlo, es más denso que un líquido, y que los líquidos son a su vez más densos que los gases. Esto es, sin embargo, una mentira como un piano de cola.

La razón de que tengamos esta idea en la cabeza es que, efectivamente, en los objetos a nuestro alrededor sucede muy a menudo: un clavo es más denso que el agua, y el agua es más densa que el aire. Sin embargo, la densidad del mercurio líquido a temperatura ambiente es de unos 13 500 kg/m³, de modo que es unas cinco veces más denso que el hormigón.

No: lo que distingue a unos de otros no es lo densos que son o dejan de ser, sino la movilidad de sus partículas unas respecto a otras. Es posible tener partículas en posiciones fijas pero bastante alejadas o viceversa.

Líquidos

Ya hemos visto qué tienen en común los estados fluidos de la materia: la carencia de forma propia. En todos ellos, las partículas que forman el medio no se encuentran en posiciones fijas, como sucedería en un sólido, sino que pueden deslizarse y moverse unas respecto a otras. En términos de nuestras canicas y barras, aquí no hay barras, sino canicas que no tienen posiciones fijas.

Ahora bien, ¿en qué se diferencian los tres estados fluidos? Tener clara esta diferencia hará mucho más fácil atacar problemas teóricos más adelante; por eso, aunque sea algo razonablemente sencillo, quiero dejarlo bien asentado antes de seguir con el bloque. No hace falta que diga que un fluido real no se adecúa perfectamente a las características de ninguno de los tres estados ideales que son, precisamente, “moldes teóricos” de comportamiento.

De los tres estados, el líquido es el más parecido a un sólido. Puede fluir, desde luego, pero la distancia entre moléculas apenas cambia. Es algo parecido a harina extremadamente fina: los granos siempre están tocándose, pero pueden deslizarse unos sobre otros de modo que la harina tome una forma u otra.

En términos de las canicas, es algo así como un montón de pequeñas bolas imantadas: pueden moverse y adaptarse a la forma del recipiente que las contenga, pero no se alejarán unas de otras, sino que permanecerán en contacto –orientándose además según los polos magnéticos de cada una, pero eso nos da igual ahora mismo–. Como puedes ver, es un paso hacia el caos y la flexibilidad respecto a los sólidos: en aquéllos no cambia ni forma ni volumen, pero aquí puede cambiar la forma (por eso es un fluido), aunque todavía no el volumen (por eso es un líquido y no otro fluido).

Dicho de otra manera, un líquido ideal tiene siempre el mismo volumen, es decir, es incompresible (no incomprensible, por cierto, salvo que sea un fluido que se explica muy mal). Por mucho que intentes expandirlo o comprimirlo no podrás, ya que hacer eso significaría alterar la distancia entre moléculas: apretar unas contra otras o alejar unas de otras. Y eso no puede suceder por la propia definición del líquido. La razón de que los líquidos se comporten así, por cierto, es que las fuerzas intermoleculares son lo suficientemente intensas como para mantener ese statu quo de distancia.

Puedes pensar en ello así, aunque sea una simplificación: en un líquido, las moléculas están lo más cerca que pueden estar, “tocándose”. Por tanto, no pueden acercarse más. Además, esas moléculas sienten la suficiente atracción unas por otras como para no alejarse, con lo que la consecuencia conjunta de ambas cosas es que la distancia siempre permanezca igual.



Gota de agua (Fir0002/Flagstaffotos/Gnu Free Documentation License 1.2).

Si volvemos al ejemplo del objeto de 1 000 kg de masa y 1 m³ de volumen que yo ponía sobre tu cabeza, imaginemos ahora que no es un sólido, sino un líquido. De hecho imaginemos que es el líquido más importante para nosotros, el agua, ya que ésa es precisamente la densidad del agua: 1 000 kg/m³. Ya sé que puede parecer un número muy grande, pero recuerda que la unidad de densidad es muy pequeña, y que un metro cúbico de agua –es decir, mil litros– es mucha agua.

¿Qué te sucedería si pusiera ese cubo de agua sobre tu cabeza –sin paredes ni recipiente, claro–? Pues muy poco. El agua se deslizaría sobre ti, caería al suelo y te mojaría, pero poco más: algo muy diferente del caso anterior en el que poníamos un bloque sólido sobre tu testa. Sé que esto puede parecer una obviedad, pero para afrontar el siguiente bloque, piensa en ello así: tu cabeza no ha interaccionado con toda el agua ni ha recibido el peso de todo el bloque de agua, sino sólo parte de él.

En el caso del sólido, aunque sólo algunas moléculas tocaban tu cabeza, la fuerza que hacía el bloque sobre ella era mucho mayor, porque unas moléculas “tiraban” de otras, al tener posiciones fijas, obligando al bloque a comportarse como un todo empujando, cayendo y moviéndose. Pero ahora la cosa no es igual: unas moléculas del agua pueden empujar tu cabeza, otras pueden caer deslizándose… la libertad de movimiento de las moléculas en el líquido cambia completamente su comportamiento, y de eso hablaremos en el siguiente capítulo del bloque.

Gases

Un gas supone un paso más hacia el caos: ahora ni siquiera la distancia entre partículas es constante. En términos de nuestras canicas es algo así como tener las bolas moviéndose a gran velocidad, al azar, rebotando en las paredes de una habitación. Por lo tanto, un gas es un fluido compresible: es posible forzar las partículas a acercarse unas a otras o alejarse unas de otras.

La primera consecuencia de esto es que la densidad de un gas puede variar con gran facilidad, a diferencia de sólidos y líquidos. Un ejemplo muy fácil es un globo: si aprietas las paredes, el gas dentro se comprime. Por eso es más difícil hablar de la densidad de un gas en general — siempre hace falta especificar a qué presión y a qué temperatura. Para ahorrar palabras, es común hablar de la densidad de un gas en condiciones normales, con lo que nos referimos a la presión atmosférica normal y una temperatura de 0 °C.

El gas más importante para nosotros, sin duda, es el aire. Químicamente es, desde luego, una mezcla de cosas, fundamentalmente nitrógeno molecular y oxígeno molecular, pero ahora mismo eso nos da igual, ya que lo que nos interesa es su comportamiento mecánico. La densidad del aire que te rodea ahora mismo, salvo que estés en un sitio un poco raro, seguramente es de unos 1,2 kg/m³, es decir, tan sólo un poco superior a la unidad de densidad, y unas ochocientas veces menos denso que el agua. Pero, como he dicho antes, no es difícil variar esta densidad si cambia la temperatura o la presión.

Pero… ¡si el aire no pesa!

Ésta es una idea que muchos tenemos en la cabeza: que el aire no pesa. En algunas ocasiones la idea se refiere a otros gases distintos del aire, como el helio: el helio sube, luego no pesa. Esto es, desde luego, más falso que Barrabás.

Cualquier cosa con masa sufre la acción de la gravedad y, por tanto, tiene peso. A consecuencia de ello, es atraído hacia el centro de la Tierra con una fuerza que depende de su masa –una fuerza que se llama, no por casualidad, peso–. Por lo tanto, todo lo que tiene masa tiene peso.

Si el aire, por ejemplo, no pesara, no habría nada que lo retuviese sobre la superficie de la Tierra, escaparía al espacio a lo largo del tiempo y todos estaríamos muertos. Puesto que tanto tú como yo estamos vivos y respirando, el aire pesa y por eso sigue aquí, apretado contra la superficie de la Tierra y proporcionándonos oxígeno.

Respecto al helio y otros gases más ligeros, puesto que tienen masa, también pesan: de la razón de que parezca que no pesan hablaremos al hacerlo de la flotabilidad. Por si tienes curiosidad, la densidad del helio es de unos 0,18 kg/m³, casi siete veces más ligero que el aire.

Si soltásemos un objeto gaseoso de 1 000 kg de masa y 1 m³ de volumen sobre tu cabeza –y para conseguir algo así tendríamos que comprimirlo mucho– la situación no sería muy distinta de la del líquido anterior: puesto que el gas fluye, no interaccionarías con todo el cubo de gas, sino sólo con la parte que toca tu cabeza. Además, la libertad absoluta de movimiento de las partículas del gas seguramente haría que muchas salieran disparadas en todas direcciones, de modo que ni siquiera se acercarían demasiado a ti.
Las partículas que forman los gases suelen moverse a tal velocidad y con tal libertad que tienden a ocupar todo el espacio disponible para ellas –salvo que pasen ciertas cosas, pero de eso hablaremos más adelante–. Los gases son, por lo tanto, bastante más difíciles de retener y mantener bajo control que los líquidos: enseguida se escapan de los recipientes que los contienen. Es posible, por ejemplo, tener un líquido en un recipiente y verterlo sobre otro, pero hacer lo mismo con un gas es mucho más complicado, salvo que sea un gas más denso que el aire. Hace bastante tiempo hicimos aquí mismo un experimento en el que se ponía de manifiesto precisamente eso en el caso del dióxido de carbono.

Plasmas

Aunque en este bloque nos dedicaremos principalmente a los fluidos más comunes a nuestro alrededor –líquidos y gases–, no está de más tener una idea del comportamiento del tercer tipo de fluidos, los plasmas. En muchas cosas se parecen a los gases, pero en otras son completamente distintos de cualquier otro estado de la materia.

Las cosas que nos rodean están formadas por moléculas o átomos sueltos. Tanto unas como otros, a su vez, están compuestos de partículas más pequeñas –electrones, protones y neutrones–, algunas de las cuales tienen carga eléctrica. Pero, en cualquier sólido, líquido o gas normal, las cargas eléctricas están compensadas en cada molécula o átomo. Por poner un ejemplo concreto: el átomo de hidrógeno más simple que existe está formado por un protón (con carga positiva) y un electrón (con carga negativa). Por lo tanto, cada átomo de hidrógeno no tiene carga neta, ya que ambas se compensan.

Si tienes un montón de hidrógeno formado por billones de átomos, la cosa no cambia: sigue habiendo billones de protones unidos a billones de electrones, con lo que la carga neta de cada átomo es nula. Pero ¿qué pasaría si consiguieras separar los protones de los electrones? Haría falta calentar mucho el gas, o bien someterlo a campos electromagnéticos muy intensos, pero es posible hacerlo (de hecho, lo hacemos todo el tiempo en varios de nuestros aparatos tecnológicos). ¿Qué tendríamos entonces?

Lo que tendríamos sería el mismo número de protones y electrones de antes pero, en vez de unidos en parejas protón-electrón sin carga eléctrica, estarían todos sueltos, protones y electrones libres moviéndose cada uno a su albedrío. En palabras más técnicas, tendrías un gas ionizado –puesto que las partículas con carga eléctrica no nula se llaman iones–, es decir, un plasma.



En otras palabras, un plasma es algo así como una sopa de cargas eléctricas. Es un paso más hacia el caos; puede parecer que es básicamente lo mismo que antes, pero no es así. Hay multitud de cosas que pueden sucederle a las cargas eléctricas “sueltas” cuando se las somete a campos eléctricos y magnéticos que las cargas “compensadas” no notan. Si se somete un plasma a un campo electromagnético más o menos intenso, en él pueden formarse corrientes eléctricas, remolinos y muchos otros fenómenos bastante complicados.

Por esa razón es bastante más complicado estudiar los plasmas que los gases, aunque se parezcan en otras cosas. De hecho, es muy difícil estudiar plasmas empleando únicamente la mecánica, ya que el electromagnetismo es fundamental para entender su comportamiento, al ser tan sensibles a él. Ésa es la segunda razón de que en este bloque no hablemos mucho de los plasmas: hace falta combinar mecánica con otras partes de la Física para entenderlos, pero éste es un bloque introductorio. ¡Algún día!

Al principio he dicho que los fluidos más comunes a nuestro alrededor son líquidos y gases, y esto es cierto. Sin embargo, si abrimos la mirada al Universo entero, la cosa cambia mucho: casi todo lo que existe es un plasma. De hecho, podríamos decir que el Universo es un plasma de hidrógeno con impurezas. Y nosotros, claro, somos una de esas impurezas. La razón es que las estrellas son básicamente hidrógeno en forma de plasma, y gran parte de la materia interestelar e intergaláctica está también ionizada.



El Sol, alias “inmensa bola de plasma” (NASA).

Ideas clave

Para afrontar el resto del bloque deben haberte quedado meridianamente claras las siguientes ideas:

• En un sólido no cambian nunca ni las posiciones ni las distancias entre las partículas que forman el cuerpo.
• Un líquido es un fluido incompresible, por lo que cambian las posiciones pero no las distancias de las partículas.
• Un gas es un fluido compresible en el que pueden cambiar tanto posiciones como distancias de partículas que componen el cuerpo.
• Un plasma es un gas ionizado en el que las cargas están sueltas, con lo que su comportamiento viene determinado en gran parte por el electromagnetismo.
• La densidad de un medio es su masa por unidad de volumen.
• La unidad de densidad es el kilogramo por cada metro cúbico (kg/m³).

Hasta la próxima…

En la próxima entrega haremos énfasis en algo que hemos mencionado hoy: el hecho de que no interaccionas con un fluido en su totalidad, sino sólo con parte de él. Nos dedicaremos, por tanto, a hablar de la presión. Mientras tanto, ya que volveremos a ello en un par de capítulos, practicaremos un poco con la densidad.

Desafío 1 – Densidad

Aunque en este tipo de bloques no hagamos demasiados cálculos, es importante asimilar el concepto de densidad con números, sobre todo al comparar densidades con las del agua (recuerda, 1 000 kg/m³) y el aire (1,2 kg/m³). De manera que hagamos exactamente eso…

El objetivo de este pequeño desafío es que ordenes los siguientes objetos del menos denso al más denso:
1. Una bola de goma cuya densidad es el 80% de la del agua.
2. Un anillo de oro (búscate la vida).
3. Un tornillo de 10 gramos y 10^-6 m³.
4. Un trozo de madera de 0,5 kg y un volumen de 0,8 m³.

Fuente:

El Tamiz

Infografía HD: ¡Desde los átomos hasta las galaxias!

Esta animación es realmente impresionante. Demora algo en cargar pero no tiene pierde ¡Disfruta al máximo con la opción de pantalla completa! (Tomado de "Ese punto azul pálido").


The Universe made possible by Number Sleuth

Las funciones que esperamos ver en un reloj inteligente

El reloj inteligente es otra de las promesas de las ciencia ficción que no se han cumplido. Acceder a toda clase de funciones desde la muñeca es algo que se ha visto en películas, pero nadie ha logrado concretarlo en la vida real. Porque a pesar de existir las tecnologías, lo más importante para que un formato de producto se masifique es que el mercado y los consumidores estén listos para aquello.

Y puede que ahora sea el momento, siendo quizás 2013 el año del smartwatch. La feria tecnológica móvil MWC 2013 podría ser el escenario perfecto para lanzar una que otra oferta, evento a realizarse entre el 25 y 28 de febrero en Barcelona, España. Pero muchos no saben qué esperar y seguramente cada empresa fabricante puede llegar a tener su propia noción sobre lo que debe o no hacer uno de estos relojes, existiendo una muy pobre oferta en la actualidad, lo que abre las puertas a que un grande en la industria dé el primer paso hacia la adopción definitiva de la tecnología en la vida cotidiana.

¿Cuál sería su objetivo?

Durante las últimas semanas, se ha escuchado fuerte el rumor de que Apple estaría trabajando en un reloj inteligente, destinando un equipo de hasta cien personas para aquello en Cupertino. Esto ha levantado toda clase de expectativas sobre el comienzo de una suerte de “moda” por esta clase de dispositivos, siendo quizás el momento adecuado para su masificación definitiva. Y si Apple marca el punto de partida en esta carrera, podríamos examinar cuál es su visión al respecto para predecir cómo serán los smartwatch del futuro.

Un ex-ejecutivo de Apple llamado Jean-Louis Gassée declaró hace poco tiempo que la motivación de la compañía para diseñar el Mac, iPad e incluso el iPhone, es entregar una “computadora muy personal”, siendo “todo lo demás un ingrediente adicional” que dista del objetivo principal, que al parecer es dar una experiencia informática óptima. ¿Qué tiene que ver un reloj inteligente acá? Sería la experiencia computacional más íntima jamás creada, porque el dispositivo se plantearía como el acompañante íntimo y personal del ser humano.

Integración óptima con el smartphone…

Pebble.

Pero aparte de lo que pueda hacer Apple, tenemos las ofertas actuales que están marcando pauta sobre lo que podría hacer o no uno de estos aparatos en el futuro. Quizás la más importante sea el Pebble, proyecto llevado a cabo por un pequeño grupo de jóvenes que ha reunido fondos a través de Kickstarter, lanzando ya su producto al mercado. Su función principal es servir como extensión para un teléfono móvil iPhone u otro con sistema operativo Android, ahorrando el acceso a éste en algunas ocasiones.

Lo más destacado es la posibilidad de ver quién te está llamando desde el reloj, así como también leer mensajes de texto directamente sin hacer ningún movimiento. Para avisar de esto, el Pebble tiene un motor vibrador que alerta sobre notificaciones entrantes, del mismo modo que un teléfono móvil y entregando soporte para Facebook, Twitter, el calendario y hasta la app del clima. Además, ofrece controles a distancia para el reproductor de música en el teléfono. Todo esto sirve para establecer una base de lo que podríamos esperar en un reloj inteligente más adelante.

… Pero también un poco de independencia.

Sony SmartWatch.

Lo mismo que el Pebble logran los Sony LiveView y SmartWatch, ofertas que utilizan Android como sistema operativo y además de sincronizarse con el smartphone, pueden instalar aplicaciones autónomas y entregar servicios sin necesidad de recurrir al teléfono móvil. En este caso, el reloj contaría con conectividad a Internet vía WiFi y algunos ya hablan de 3G o compartir redes con el teléfono. Sea cual sea el caso, la idea acá es poder acceder a aplicaciones como Twitter o Facebook desde la muñeca de manera autónoma.

Acá se define entonces una segunda categoría de smartwatches: los autónomos. Porque con un sistema operativo móvil completo y acceso a Internet, se podrían instalar aplicaciones en el mismo reloj, cortando la dependencia al smartphone en muchas ocasiones, siendo la sincronización con él una más de sus tantas funciones.

Acompañante para los deportes

Nike+ Fuelband.

Otro caso de éxito es el Nike+ Fuelband, dispositivo que intercambia la información recogidacon un teléfono móvil, esta vez enfocándose sólo en datos resultantes de jornadas deportivas, como cantidad de pasos, distancia recorrida, etc. Acá estamos frente a un producto de nicho que de todas formas podría enseñarle mucho al formato de relojes inteligentes, los que podrían heredar esta clase de funciones para tenerlas en sus entrañas. No como protagonista principal del producto, pero sí como una buena y bien recibida adición.

Lo que se puede hacer es incluir un GPS que permita leer el recorrido que estamos haciendo, sea durante el trote o bicicleta, calculando además la velocidad que alcanzamos. Un podómetro también ayudaría a contar los pasos que hacemos, mezclando todo esto con una interfaz de usuario en un smartphone que podría entregarnos datos variados, como la cantidad de calorías quemadas según nuestro peso, entre otras cosas.

Sobre los elementos de hardware

Chip ARM junto a un centavo.

La principal preocupación que viene a raíz de esta clase de dispositivos son los elementos de hardware o físicos que traerá consigo, existiendo muy poco tamaño para empaquetar bastante tecnología.

Por el lado de la pantalla, el Pebble posee un pequeño panel de 1,26 pulgadas hecho de tinta digital (ePaper), que reduce el consumo energético muy por debajo de soluciones como el LCD con retroiluminación LED o incluso el OLED. Algo así podría utilizar un dispositivo del futuro si desea optimizar la autonomía energética, en caso que ofrezca funciones básicas de sincronización con el smartphone. Pero si alguna empresa desea fabricar un reloj autónomo y que sea un dispositivo computacional por sí solo, se debe recurrir a una pantalla LCD con retroiluminación y a color, lo que acortará la vida de la batería y nos obligará a recargarla cada uno o dos días, a diferencia del Pebble que puede funcionar durante una semana o más sin enchufarse a la corriente.

Respecto a la conectividad, lo más evidente es la utilización de Bluetooth 4.0 (Low Energy) para conectar el reloj al teléfono, siendo esta tecnología casi la única solución disponible para sincronizar dos dispositivos son gastar demasiada energía, como lo haría el WiFi u otro protocolo. Aparte de aquello, un reloj de todas formas podría tener acceso a Internet de manera autónoma vía WiFi y/o 3G, dependiendo su objetivo.

Otro requisito casi esencial es la resistencia física del aparato, ya que al ser un accesorio de uso diario colocado cerca de las manos, como mínimo el reloj debiera ser capaz de soportar salpicaduras, polvo y algunos golpes suaves. En este sentido los fabricantes de smartphones ya han avanzado bastante para ofrecer móviles muy resistentes, gracias a la implementación de tecnologías como el vidrio Gorilla Glass 2 que protege el panel frontal, algo que podría heredar un futuro smartwatch.

Finalmente, por el lado más técnico es de esperarse una plataforma interna de chips basados en ARM, solución de bajo consumo energético que hoy en día usan los smartphones y han avanzado bastante durante el último par de años, ofreciendo excelente capacidad de cómputo a un bajo costo energético. Un chip ARM bien implementado podría perfectamente mover un sistema operativo móvil en un espacio reducido. A esto debemos acompañar los siempre presentes sensores, sea un podómetro para deportes, acelerómetro, sensor de luz y como ya se dijo, un motor vibrador para alertar notificaciones.

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FayerWayer

El protón es más pequeño de lo establecido

No es fácil medir el radio del protón, porque los quarks que lo componen no dejan de interaccionar. Aun así, la comunidad científica ha fijado unos valores con los datos de complicados métodos de medición, pero los resultados difieren si se usan otras técnicas. Un equipo europeo ya apuntó hace unos años que el protón es más pequeño de lo establecido y ahora lo vuelve a confirmar con un nuevo estudio que publica Science.

“El electrón es una partícula como un punto, cuyo tamaño se ha medido en menos de 10^-20 m, pero el protón, por el contrario, es una partícula compuesta de otras más pequeñas y fundamentales: los quarks”, recuerda Aldo Antognini, del Instituto Max Planck de Óptica Cuántica (Garching, Alemania).

Protón Crédito: Patrick Spiers

“Los quarks –dos up y un down por cada protón– se mueven e interactúan de forma muy dinámica entre ellos y el torbellino que forman es el que da lugar al tamaño del protón”, explica a SINC el investigador.

Antognini y otros colegas europeos y de EE UU presentan esta semana en Science un estudio que señala que el protón es más pequeño de lo que se cree. Los resultados confirman lo que el mismo equipo ya publicó en Nature en 2010: “El protón parece ser 0,00000000000003 milímetros menor de lo que pensaban los investigadores”.

En concreto, el denominado Committee on Data for Science and Technology (CODATA) establece un radio de carga para el protón de entre 0,87 y 0,88 femtómetros (1 femtómetro son 10-15 m), mientras que los nuevos resultados lo reducen a 0,84 femtómetros. El radio de carga eléctrica es la extensión media de la ‘nube’ que generan los quarks –que están cargados– al moverse.

Las diferencias parecen insignificantes, pero pueden tener repercusiones físicas “serias”, según los expertos, ya que sugieren que quizá haya un vacío en las teorías actuales de la mecánica cuántica. Además, los protones, junto a los neutrones, forman el núcleo atómico de cada átomo que existe en el universo.

El estudio también determina por primera vez el radio magnético del protón –0,87 femtómetros–. Este otro radio es la media de la distribución magnética dentro del protón, que viene dada por los momentos magnéticos de los quarks y las corrientes que producen al moverse.

Para llevar a cabo esta investigación, el equipo ha empleado la espectroscopia láser del hidrógeno muónico. El hidrógeno es el elemento más simple que existe, con un protón y un electrón, aunque en el experimento se sustituye este último por un muón –con carga negativa como el electrón pero con una masa 200 veces superior–.

De esta forma se puede medir mejor el protón, analizando determinadas transiciones que se producen en los estados de este hidrógeno ‘exótico’. Antognini ha adelantado a SINC que su grupo tiene previsto investigar también con átomos de helio muónico.

Por su parte, los valores establecidos por CODATA se basan en otras técnicas: espectroscópica del átomo de hidrogeno –el normal, no muónico– y cálculos de electrodinámica cuántica (QED, por sus siglas en inglés) para analizar la dispersión de carga entre el protón y el electrón.

Algunos investigadores consideran que la interpretación de los resultados de cada método de medición puede estar detrás de las discrepancias. En cualquier caso, los científicos siguen debatiendo cuál de todas estas técnicas es la mejor para encajar las piezas del denominado ‘puzle del radio del protón”. El objetivo final, descubrir el tamaño exacto de esta partícula esencial en el funcionamiento del cosmos.

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Referencia bibliográfica: A. Antognini, M. Diepold, T.W. Hänsch, T. Nebel, J. Vogelsang, R. Pohl et al. “Proton Structure from the Measurement of 2S−2P Transition Frequencies of Muonic Hydrogen”. Helen S. Margolis. “How big is the proton?” Science, 24 de enero de 2013.
Fecha Original: 24 de enero de 2013 Enlace Original

Fuente:

Ciencia Kanija

La escala de Richter y un error habitual

En los últimos tiempos muchos han sido los terremotos que han sacudido de forma más o menos violenta ciertas zonas de nuestro planeta. Seísmos como el de Lorca, Haití, Japón o el de Jaén y Granada de hace unos días (y muchos otros que se producen diariamente) han provocado múltiples destrozos y, lo que es peor, multitud de víctimas en muchos casos.

Los medios de comunicación se han encargado de darnos información sobre estos sucesos, pero prácticamente todos ellos (al menos todos los que he podido consultar) han cometido el mismo error: meter la palabra grados cuando hablan de la escala de Richter. Y no solamente son ellos quienes se confunden, sino que prácticamente todos lo hacemos con relativa frecuencia. Vamos a ver qué tipo de escala es esta escala de Richter, y también la llamada escala sismológica de magnitud de momento, y por qué esto de los grados es un error, y ya aprovecharemos para dar una idea de la gravedad de un terremoto en función del valor que tenga asociado en dichas escalas.

(Único edificio que colapso durante el terremoto de Lorca de 2011.
Fuente: Materia Ciencia.)

Comencemos por el principio: cuando hablamos de la magnitud de un terremoto es incorrecto hablar de “grados”. Es decir, no es correcto decir “un terremoto de magnitud 5,2 grados en la escala de Richter”, lo correcto sería “un terremoto de magnitud 5,2 en la escala de Richter”.

La razón es muy sencilla: la escala de Richter no es una escala graduada, por lo que es incorrecto asignarle la palabra “grados” a sus valores. Una escala graduada es una escala en la que se toman dos valores, elegidos de manera arbitraria, y se divide en 100 una cierta cantidad de partes la distancia entre ellos, tomando cada una de esas partes como “un grado”.

Ése es el caso, por ejemplo, de los grados Celsius. Un grado Celsius es la centésima parte de la distancia entre la temperatura del punto de fusión del agua a 1 atmósfera y la temperatura del punto de ebullición del agua a 1 atmósfera. Es decir, se toman esos dos valores (totalmente arbitrarios, se podrían haber tomado otras temperaturas relacionadas con el agua, o con cualquier otra sustancia), se divide entre 100 la distancia entre ellos y se tomo el resultado como “1 grado”. Por contra, no es el caso de los Kelvin, que tampoco deben llevar con ellos la palabra “grado”, al ser una escala de temperatura absoluta, no relativa a dos valores arbitrarios como la Celsius.

Bien, ¿y por qué la de Richter no es una escala graduada? Pues porque mide la magnitud de la energía liberada en un terremoto, por lo que sus valores no están asociados a dos puntos elegidos arbitrariamente, sino que son, por decirlo de alguna manera, absolutos.

Por todo ello es erróneo incluir la palabra “grados” junto a la magnitud de un terremoto en la escala de Richter…pero es que también debería considerarse erróneo decir “…en la escala de Richter” en la gran mayoría de los casos. La escala de Richter se creó para medir la magnitud de los terremotos que ocurrían exclusivamente en la falla de San Andrés, en California. La escala que se usa para el resto de zonas del planeta se llama escala sismológica de magnitud de momento, que es una escala de estilo a la de Richter pero mucho mejor para valores altos (la de Richter, en muchas ocasiones, daba resultados erróneos por encima de 6,9; la de magnitud de momento arregla ese problema). Por cierto, hasta esos valores, sobre 6,8-6,9, las dos escalas coinciden.

¿Y qué tipo de escalas son ésta de Richter y de magnitud de momento? Pues son escalas logarítmicas. Eso significa que en esas escala un valor 6 no es el doble que 3, sino 1000 veces más. Sería algo así (no exactamente, pero nos sirve para hacernos una idea):

• Un terremoto de magnitud 1 libera una cantidad de energía igual a de energía.
• Un terremoto de magnitud 2 libera una cantidad de energía igual a de energía.
• Un terremoto de magnitud 3 libera una cantidad de energía igual a de energía.
• …
• Un terremoto de magnitud 6 libera una cantidad de energía igual a de energía.

y así sucesivamente.

Por tanto, la próxima vez que veáis una noticia relacionada con un terremoto debéis saber que si hablan de grados estarán cometiendo un error, si nombran la escala de Richter posiblemente también y, lo más importante, que en este caso 4 no es el doble de 2, sino mucho más grande.

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Fuentes y enlaces para saber más:

• Los inexistentes grados Kelvin y grados Richter en el blog de MiGUi.
• Porque 8 no es siempre el doble de cuatro en Mati y sus Mateaventuras.
• Escala sismológica de Richter en la Wikipedia en español.
• Escala sismológica de magnitud de momento en la Wikipedia en español.
• Sobre la intensidad y la magnitud de los terremotos en Microsiervos.
• Terremotos en grado 361.

Fuente:

Gaussianos

El kilogramo oficial tiene "sobrepeso"

El kilogramo original, que rige la masa de un kilo, está guardado en las afueras de París.

Los excesos de las fiestas provocan que no sean pocos los que deciden, como propósito para el nuevo año, perder esos kilos de más acumulados tras incontables comidas y familiares.

Pero, ¿qué pasaría si no hubiese que hacer ninguna dieta y que, aún con los kilos de más, conservásemos -en los números- el mismo peso?

Pues eso es precisamente lo que, según los científicos, ocurrió con el cilindro que determina lo que es oficialmente un kilogramo: podría haber "engordado" y pesar más de 1.000 gramos.

Científicos británicos comprobaron que una de las réplicas de este cilindro pesa más de un kilo, de lo que se deduce que el que se encuentra en París podría también tener sobrepeso.

El kilogramo es la única de las siete unidades comprendidas en el Sistema Internacional de Unidades que se define en función de un objeto: el patrón de platino iridio fabricado en Londres y conservado en Francia en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (BIPM, según sus siglas en francés).

Este estándar fue establecido por la BIPM en 1889, durante la Conferencia General de Pesos y Medidas. Del original se reprodujeron 40 réplicas, que fueron distribuidas por todo el mundo y que son comparados con el original cada 50 años.

Pequeñas diferencias

Según afirma en un comunicado la Universidad de Newcastle, en Reino Unido, los profesores Peter Cumson y Naoko Sano usaron una avanzada técnica para analizar la superficie de uno de los cilindros "hermanos" del de París y encontraron que el kilogramo original podría haber aumentado de masa en poco menos de 100 microgramos.

"La masa es una unidad tan fundamental que incluso un pequeño cambio es significativo y el impacto de tal variación a escala global es enorme"

Peter Cumson, de la Universidad de Newcastle

Los estudios se realizaron sobre la copia 18 del kilogramo original, que fue la enviada desde París a Reino Unido.

"Realmente no importa lo que pese siempre y cuando todos nos refiramos al mismo estándar; el problema son las pequeñas diferencias. El kilogramo original y sus 40 réplicas distribuidas por el mundo están creciendo a distintos ritmos, diferenciándose unas de otras", asegura Cumson en el comunicado.

"Pero estamos hablando tan solo de unos gramos –menos de 100 microgramos-, así que lamentablemente no podemos quitarnos un par de kilos y fingir que los excesos de Navidad nunca ocurrieron", añade.

Bronceado para adelgazar

Pero las diferencias, aunque mínimas, son significativas.

"La masa es una unidad tan fundamental que incluso un pequeño cambio es importante y el impacto de tal variación a escala global es enorme", dice Cumson.

"Lo que hemos hecho en la universidad es darle a esta superficie una especie de bronceado. Exponiendo la superficie de los cilindros a una mezcla de rayos ultravioleta de onda larga (UVA) y ozono hemos podido quitar la contaminación y potencialmente devolverle al prototipo su peso original".

Varios institutos de medición del mundo entero trabajan para encontrar una alternativa a este ejemplar que no esté basada en una pieza de metal.

Otras opciones

El kilogramo se define en función de un objeto y los expertos piensan ahora en definirlo tomando como base la mecánica cuántica.

Muchos científicos apuestan por una opción: la constante de Planck, una constante física -que recibe su nombre de Max Planck, su descubridor- y que juega un papel fundamental en la teoría de la mecánica cuántica. clic Haga clic aquí para ver la definición.

Diversas investigaciones en marcha han establecido una conexión entre la masa y la constante de Planck.

La idea es que cuando exista una conclusión unánime acerca de esta cuestión se pueda poner en marcha una nueva definición de la unidad métrica de peso.

"Se ha logrado un consenso internacional que apunta a que en el futuro cercano el kilogramo debe de ser redefinido en base a un valor fijo que parte de la constante de Planck. Aunque nuestros experimentos están progresando, es demasiado pronto para poner en marcha una nueva definición de kilogramo", explica Michael Stock, físico del BIPM.

"Los expertos en metrología de masas recomiendan que hasta que no haya un consenso entre los experimentos realizados en laboratorios de todo el mundo no se dé este paso", continúa el investigador.

Mientras tanto, habrá que seguir confiando en el kilogramo de París y en sus pequeñas inexactitudes.

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BBC Ciencia

Por qué las cajas rápidas suelen ser en realidad una pérdida de tiempo

Todos odiamos hacer colas en las cajas a la hora de ir a pagar, especialmente en esta época del año en la que andamos con prisas, y muchas veces optamos por las cajas rápidas intentando abreviar nuestro sufrimiento.

Pero según unos cálculos del profesor de matemáticas Dan Meyer en realidad estas cajas rápidas son a menudo una trampa.


Sus cifras apuntan a que cada uno de los ítems que se pasa por cualquier caja supone unos 2,8 segundos adicionales, mientras que cada persona presente en una cola son otros 48 segundos, así que en realidad nos compensa más que alguien lleve 17 productos más que una persona más en la cola.

Y no hay que olvidar además que esto sería en condiciones ideales, que al final siempre van apareciendo problemillas que van acumulando retrasos en las colas.

Se trata de la tarjeta de crédito o de débito que da un error, del producto al que le falta la etiqueta del precio o que la tiene tan estropeada que el lector de código de barras no la lee, del cliente que descubre que uno de los productos que se lleva está estropeado, etc…

Y también está el asunto de que al procesar más clientes es más probable que se acabe el papel en la impresora de la caja rápida o que haya que llamar a un supervisor para solucionar algún problema.

Así que en realidad sólo si todas las cajas tienen más o menos el mismo número de personas en la cola o si la caja rápida tiene claramente menos personas sí es probable que ganes tiempo escogiéndola.

Pero si ves una cola con pocas personas que lleven muchas cosas, esa es probablemente la cola a escoger, aunque en un principio pueda parecer contraintuitivo.

Foto | Checkout por Nate Grigg


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Sin vuelta de hoja

Matemáticas: ¿Cuál fue el error que cometió Cristobal Colón?

Quien más quien menos sabe que cuando Cristóbal Colón llegó a América en realidad pensaba que estaba llegando a Las Indias, y que este pensamiento del navegante genovés-español-portugués se debió a un error de cálculo. Pero, ¿sabemos exactamente cuál fue dicho error? ¿Fue un error suyo, o tal vez fue víctima de un error de otro(s)? Pues parece que la realidad se acerca más a la segunda opción, y no sólo por un error, sino por una cadena de errores.

Comencemos por el principio. Eratóstenes de Cirene (sí, el de la criba de Eratóstenes) realizó la medición más conocida de la longitud de la circunferencia terrestre, pero no fue el único. El, entre otras cosas, filósofo y geógrafo griego Posidonio de Apamea (en la imagen de la derecha) también realizó una estimación de la longitud de nuestra circunferencia.

La cuestión es más o menos sencilla. Posidonio observó que cuando desde Rodas se veía sobre el horizonte una cierta estrella (concretamente Canopus), desde Alejandría se veía elevada un ángulo igual a . Dividiendo esta cifra entre obtuvo que esa diferencia de elevación correspondía con del total de la circunferencia terrestre. Por otro lado, el propio Posidonio (según Cleomedes) consideró que el arco entre Rodas y Alejandría medía 5000 estadios. Con estos dos datos calcular la longitud de la circunferencia terrestre, , era bien sencillo:

El estadio era una unidad de longitud griega que inicialmente tomaba como patrón la longitud del estadio de Olimpia, que equivalía a 174,125 metros. Pero esta equivalencia no era fija, dependía de la zona y de la época, y su equivalencia en metros variaba entre 157 y más de 200. Se cree que el estadio que usó Posidonio equivalía a unos 160 metros aproximadamente.

Con esta equivalencia la longitud de la circunferencia terrestre que calculó Posidonio es de unos 38400 kilómetros, mientras que en realidad es de unos 40000 kilómetros. Teniendo en cuenta la época de la que hablamos, la aproximación no está nada mal.

Pero la cosa no quedó ahí. Posidonio realizó posteriormente una nueva estimación de la longitud del arco entre Rodas y Alejandría, obteniendo ahora 3750 estadios. Con este dato, la longitud de la circunferencia terrestre sería

o, lo que es lo mismo, unos 28800 kilómetros. Este dato es el que recoge el historiador griego Strabo y el siguiente protagonista de nuestra historia, Ptolomeo, quien incluyó esta estimación de Posidonio en su obra Geographia. Esto hizo que este dato se extendiera entre todos los estudiosos del tema, geógrafos y cartógrafos en particular. Y esta creencia llegó hasta el siglo XV, donde el propio Cristóbal Colón tomó como cierto este dato, pensando por tanto que el viaje hasta Las Indias era mucho más corto de lo que en realidad hubiese sido de no encontrarse con el continente americano en el camino. Por todo ello, señor Colón, creo que no estuvo muy acertado con esta frase.

Queda una incógnita por resolver: ¿por qué la primera estimación de Posidonio era tan buena y la segunda tan mala? Muy sencillo: Posidonio cometió dos errores que más o menos se compensaban en su primera estimación, pero solamente arregló uno en la segunda. Midió mal el arco entre Rodas y Alejandría, y lo arregló, pero también midió mal el ángulo de elevación de Canopus en Alejandría, y este error no se subsanó. En realidad este ángulo mide , dato con el que sí obtendríamos (usando los 3750 estadios) una aproximación magnífica de la longitud de la circunferencia terrestre.

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No quiero dejar pasar la oportunidad que me brinda este post para comentar que actualmente se considera a Posidonio como uno de los grandes sabios de su época, como alguien que fue capaz de dominar todo el conocimiento de su tiempo. Escribió prácticamente de todo lo que se puede escribir: física, astronomía, geología, matemáticas, lógica, historia…

Por desgracia de sus obras solamente conservamos fragmentos. La mayoría de la información que tenemos sobre él se ha obtenido de lo que se escribió sobre él o bajo su influencia. Una verdadera lástima.

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Fuentes y enlaces relacionados:

• El sueño de un mapa perfecto, de Raúl Ibáñez, de donde he tomado gran parte de la información.
• Cristóbal Colón, el huevo, la pera y la forma de la Tierra, de Francis.
• Posidonio en la Wikipedia en español, de donde también he tomado su imagen.

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Gaussianos

¿Cuántas personas caben en unos 4 m² ?

Seguramente si preguntásemos a una delegada del gobierno, a un periodista sabelotodo en debate televisivo o a un matemático, cada uno diría un número diferente como respuesta. Otros tal vez dirán que son demasiados y deberían emigrar.

Pero sin duda la respuesta mas original la dieron alrededor de 1905 unos estudiantes de ingeniería que posaron en 36 pies cuadrados (~3,35m²), para la revista Harvard Magazine.

Por cierto son 40 personas.

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Meridianos

Fibonacci, la representación de Zeckendorf y la conversión entre kilómetros y millas

La sucesión de Fibonacci, llamada así por el matemático italiano Leonardo de Pisa, Fibonacci (que la presentó en su obra Liber Abaci), es posiblemente una de las sucesiones numéricas más conocidas por los matemáticos y los no matemáticos. Y no es para menos, dada la gran cantidad de propiedades interesantes que posee y la manía que tiene de aparecer en los lugares más insospechados, además de por su relación con , el número áureo. Pero es posible que un objeto matemático como éste nunca sea totalmente conocido, siempre esconda algo. Hoy vamos a hablar de una interesante propiedad de esta sucesión que es poco conocida y que está relacionada con representaciones de números enteros positivos.

Sabemos que todo entero positivo puede representarse de forma única como suma de potencias de 2. De hecho es en esta propiedad en la que se basa el sistema de numeración binario, en el que cada número entero positivo se representa de una única forma con una sucesión de ceros y unos, correspondiendo un 1 a cada potencia de 2 que aparece en la representación y un 0 a cada potencia de 2 que no aparece. Por ejemplo, el 46 se representa de forma única como suma de potencias de 2 de la forma

por lo que 46 en binario es:

 
¿Qué tiene que ver esto de las representaciones de números enteros con los números de Fibonacci? Para responder a esta pregunta primero tenemos que introducir en esta historia al médico y matemático belga Edouard Zeckendorf, que además fue miembro del ejército belga y prisionero de guerra de 1940 a 1945. Él fue quien demostró el siguiente resultado, conocido como teorema de Zeckendorf:

Teorema de Zeckendorf:
Todo número entero positivo puede representarse de forma única como suma de números de Fibonacci (esto es, elementos de la sucesión de Fibonacci) distintos, de tal forma que dicha representación no contiene dos números de Fibonacci consecutivos.

Esta representación se denomina representación de Zeckendorf del número entero positivo en cuestión.

Vamos, que podríamos representar cada número entero positivo de una forma parecida a como lo hacemos con las potencias de 2 pero con números de la sucesión de Fibonacci, que, por cierto, no está de más recordar

asignando un 1 a una posición si el número de Fibonacci correspondiente aparece en la representación (como , para evitar problemas nos quedamos uno de ellos nada más, , para las representaciones) y un 0 a una posición si el número de Fibonacci correspondiente no está en ella. En el ejemplo que aparece un poco más adelante se verá más claro todo eso.

Zeckendorf publicó su resultado en The Fibonacci Quarterly en 1972, aunque al parecer lo conocía desde 1939. Puede accederse gratuitamente a su artículo en A generalized fibonacci numeration (aquí podéis ver las correcciones de algunas erratas que contenía dicho artículo).

¿Cómo encontramos la representación de Zeckendorf de un número entero positivo ? Pues, a priori es muy sencillo:

Tomamos el número de Fibonacci más grande de entre los que son menores que y se lo restamos a . Si queda cero es que el propio era un número de Fibonacci, y si no es así repetimos el proceso las veces que sea necesario hasta que una de las restas dé cero.

Vamos a hacerlo también con el 46, del que hace un rato calculamos la expresión en binario:

• Como 46 no está en la sucesión de Fibonacci, su representación de Zeckendorf no es él mismo. Tomamos el número de Fibonacci más grande que sea menor que 46, que es el 34, que por tanto estará en la representación.
• Restamos: 46-34=12. Como 12 no es un número de Fibonacci buscamos el mayor elemento de la sucesión que sea menor que él, que es el 8. Entonces este 8 también estará en la representación.
• Restamos: 12-8=4. Como 4 no está en la sucesión, buscamos el mayor número de Fibonacci que sea menor que él, que es el 3, que por tanto también estará en la representación.
• Restamos: 4-3=1, que sí es un número de Fibonacci, por lo que también hay que tomarlo.
• La representación queda como sigue:
• 
  
  

Cuanto menos curioso.
 
Esta representación de Zeckendorf también puede servir para definir una operación poco conocida: la denominada multiplicación de Fibonacci. Se define de la siguiente forma:

Dados dos números enteros positivos cuyas representaciones de Zeckendorf son las siguientes:

con , definimos la multiplicación de Fibonacci de y , que denotaremos , así:

Veamos un ejemplo. Vamos a hacer la multiplicación de Fibonacci de 7 y 14, esto es, . Para ello, calculamos las representaciones de Zeckendorf de cada uno de ellos:

y

Entonces:

Es fácil comprobar que esta operación es conmutativa (reordenando las sumas). Lo que es sorprendente es que también sea asociativa, hecho que probó Donald Knuth (parece que este señor tiene que estar siempre relacionado con cosas raras, como la notación de Knuth).

Y también podemos extender la sucesión de Fibonacci a índices negativos, consiguiendo así una forma de representar todo número entero (sea positivo y negativo) de forma única. Echadle un ojo a los trabajos de Zeckendorf y a los enlaces y podréis encontrar más información.

Para terminar, vamos a ver una manera de pasar de kilómetros a millas, y viceversa, usando esta representación. La clave está en el hecho de que la sucesión de los cocientes de cada número de Fibonacci entre el justo anterior converge al número áureo y que una milla son aproximadamente kilómetros.

¿Cómo podemos usar esto para nuestro objetivo? Muy sencillo. Supongamos que queremos expresar 72 millas en kilómetros. Lo que tenemos que hacer es encontrar la representación de Zeckendorf de 72 y después sustituir cada número de Fibonacci que aparezca en ella por el inmediatamente superior. La representación de Zeckendorf de 72 es

Según lo anterior, esto nos dice que 72 millas serán, aproximadamente

   kilómetros.

Si queremos pasar de kilómetros a millas hacemos lo mismo, pero en este caso sustituimos cada número de Fibonacci por el anterior.

Tomado de:

Gaussianos