El principio del palomar, una potente herramienta matemática (parte 2)

Esta es la segunda parte de una mini serie de dos entradas en la sección Matemoción, del Cuaderno de Cultura Científica, dedicadas al principio del palomar, o de Dirichlet. Como ya comentamos en la entrada anterior, este principio matemático es muy sencillo de formular, no necesita demostrarse, pero al mismo tiempo es una potente herramienta dentro de las matemáticas. Dice lo siguiente: si hay más palomas que palomares, alguno de los palomares deberá contener por lo menos dos palomas. En general, podemos hablar de objetos y cajas donde guardar estos objetos.

En la primera parte vimos algunos ejemplos de su aplicación en problemas relacionados con la vida cotidiana (personas en un teatro con la mismas letras inicial y final en su nombre, número de amigos en una fiesta o sumas de las edades de las personas de una reunión), en teoría de números (algunos resultados sobre divisibilidad) o en geometría (distribución de puntos en un triángulo equilátero), e incluso vimos una generalización del mismo (lo que nos permitió mostrar un ejemplo de coincidencia de cumpleaños).

Si hay más cartas que buzones, eso quiere decir que alguno de los vecinos recibirá por lo menos dos cartas

El ejemplo que se utiliza con más frecuencia en la divulgación científica para explicar la aplicación del principio del palomar a cuestiones más o menos cotidianas, o también como una práctica herramienta para resolver problemas de ingenio, tiene que ver con el número de pelos que tenemos en la cabeza. Aunque me resistía a incluirlo en estas dos entradas por ser un resultado muy conocido, veremos que desde una perspectiva histórica tiene sentido volverlo a recordar.

Ejemplo 1: En Bilbao hay al menos dos personas con el mismo número de pelos en la cabeza.

Para resolver esta cuestión lo primero que tenemos que conocer es cuántos pelos podemos tener como máximo en nuestras cabezas. ¿Lo sabéis? ¿No? No importa, tampoco es una información vital para nuestra existencia. Sin embargo, vamos a realizar una estimación por lo alto de dicha cantidad con el objetivo de utilizarla para resolver este problema.

Supongamos que tenemos cabezas completamente redondas que miden 12 cm. de radio, es decir, unos 75 cm. de perímetro, lo que está al nivel del concurso de cabezones de Kortezubi, en Bizkaia. En tal caso, la superficie de nuestras cabezas, , es de unos 1.800 cm2. Para realizar una estimación por lo alto, supongamos que tenemos pelos por toda nuestra cabeza, por toda la superficie de esa esfera de 12 cm de radio, y que la densidad del pelo es de 100 pelos por cm2, entonces el número de pelos de la cabeza de cualquier persona no va a llegar nunca a los 180.000 pelos. Esta es una estimación por lo alto.

Supongamos que no existe nadie que sea completamente calvo, sin un solo pelo (en caso contrario, además estaría resuelto el problema), por lo tanto, el número de pelos que puede tener una persona va entre 1 y 180.000 (estas cantidades van a ser los palomares para aplicar el principio matemático). Las palomas serán los habitantes de Bilbao, que son unos 350.000. Como hay más bilbaínos que posibles números de pelos, el principio del palomar nos dice que existen al menos dos bilbaínos con el mismo número de pelos en la cabeza.

Hermosa imagen de Bilbao por la noche, sacada de la página “conoce Bilbao conmigo”

Pero si tenemos en cuenta la generalización del principio del palomar que vimos en la primera entrega dedicada a esta herramienta matemática, podemos obtener un resultado más impactante aún. La generalización dice lo siguiente: si hay n palomas y k palomares (n > k), existe al menos un palomar con al menos (no solo dos, sino) n/k palomas, es decir, el valor máximo es al menos mayor que el valor medio.

Si tenemos en cuenta que el número de habitantes de la Península Ibérica es de al menos 57 millones de habitantes, entonces aplicando el principio del palomar generalizado se obtiene lo siguiente.

Ejemplo 2: En la Península Ibérica hay al menos 317 personas con el mismo número de pelos en la cabeza.

En la entrada anterior habíamos comentado que se atribuye al matemático prusianoGustav L. Dirichlet (1805-1859), el haber sido la primera persona en aplicar explícitamente este principio matemático, allá por el año 1834, para demostrar un resultado de aproximación de números irracionales mediante racionales. Dirichlet lo llamó Schubfachprinzip (principio de los cajones), y nosotros lo conocemos desde entonces como el principio de Dirichlet.

Sin embargo, en el artículo “The pigeonhole principle, two centuries before Dirichlet” (que me envió Samuel Dalva, a quien le agradezco la información), se explica que la primera referencia al principio del palomar es de dos siglos antes de Dirichlet y tiene que ver con el ejemplo de los pelos de la cabeza.

En el libro, escrito en latín en 1622, Selectae Propositiones del jesuita francés Jean Leurechon, que enseñó matemáticas en la Universidad jesuita de Lorraine en Pont-à-Mousson, se menciona de forma indirecta este principio: “Es necesario que dos hombres tengan el mismo número de pelos, oro y otros”. Además, en el libro Récréation mathematique composee de plusieurs problemes plaisants et facetieux (1624), atribuido al propio Jean Leurechon, se explica por qué “es absolutamente necesario que dos personas tengan el mismo número de pelos”, utilizando el argumento que conocemos como el principio del palomar, si hay más personas que cantidades distintas de pelos que puedan tener, entonces habrá dos con el mismo número de pelos.

Pero volvamos a los ejemplos de aplicaciones de este principio. El primero tiene que ver, de nuevo, con una fiesta, pero esta vez relacionado con el lugar en el que se sientan los comensales en una mesa.

Ejemplo 3: En una fiesta, 8 de los invitados están sentados en una mesa octogonal, con cada uno de los comensales sentado en uno de los lados de la mesa. Cada sitio ha sido asignado a un invitado concreto (marcado con su nombre), sin embargo, los invitados no se han dado cuenta de esta circunstancia y se han sentado al azar. Curiosamente, ninguno de los 8 invitados de esa mesa se ha sentado en el lugar que le correspondía. Vamos a demostrar que hay una forma de rotar la mesa de forma que haya dos personas que quedan sentadas en el sitio correcto.

En la siguiente imagen vemos una posible distribución de las ocho personas sentadas en la mesa octagonal, en la que ninguna de ellos se ha sentado en el sitio que había sido designado para ella.

Para probar la afirmación de que se puede realizar un giro de la mesa en el que al menos dos de los comensales estén sentados en su sitio, vamos a considerar la distancia (en el sentido de las agujas del reloj) de cada una de las personas al sitio que le había sido asignado. Como cada persona está sentada en un lugar incorrecto, entonces las posibles distancias de cada persona a su lugar correcto son {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Pero hay 8 personas que se sientan a la mesa, y 7 posibles distancias de ellas a su sitio correcto (en el sentido de las agujas del reloj), luego por el principio de los cajones, habrá dos personas que estén a la misma distancia (en el sentido de las agujas del reloj) del lugar que tiene escrito su nombre. Por lo tanto, rotando la mesa (en el sentido contrario a las agujas del reloj) tantas posiciones como la distancia que comparten esas dos personas, situará la mesa de tal forma que esas dos personas estén colocadas en el lugar correcto.

Distribución de las ocho personas sentadas en la mesa octagonal, en la que ninguna de ellos se ha sentado en el sitio que había sido designado para ella. Si se giran cuatro posiciones los comensales C y E quedarán sentados en su sitio

El siguiente es un ejemplo interesante, con un argumento sencillo, pero curioso.

Ejemplo 4: Una joven que quiere participar en la Olimpiada Matemática decide entrenarse en la resolución de problemas matemáticos. Durante un periodo de 61 días (dos meses) va a estar haciendo problemas, por lo menos un problema al día, pero no más de 92 problemas (que es la cantidad total que tiene el libro que utiliza). Independientemente de la cantidad de problemas que decida hacer cada día, va a existir una cantidad de días consecutivos durante los cuales realiza exactamente 29 problemas.

Si denotamos por  la cantidad de problemas realizados hasta el día , es decir, la cantidad de problemas acumulados desde el primer día, entonces tenemos que

Los 61 números  son distintos, y están ordenados en orden creciente, puesto que todos los días hace por lo menos un problema.

Con esta notación, lo que tenemos que demostrar es que existen dos días  y  tales que (es decir, hay un periodo de  días consecutivos en los que ha realizado 29 ejercicios). Por lo tanto, vamos a sumar 29 a todas las sumas acumuladas anteriores, esto es,

Por la misma razón de antes, estos 61 números  son distintos y están ordenados en orden creciente. Las dos desigualdades nos están diciendo que hay 122 números ( y ) que toman valores entre los números 1 y 121. Como tenemos más números (122) que posibles valores (121), eso quiere decir que al menos dos números tienen el mismo valor, es decir, son iguales. Pero, resulta que los 61 primeros números, , son diferentes entre sí, al igual que los otros 61, , de manera que los dos números que son iguales deberán pertenecer uno al primer grupo y el otro al segundo, es decir, existirá un , lo que significa un elemento del primer grupo de números , y un , lo que significa un elemento del segundo grupo de números , tales que , como deseábamos.

Logotipo de la Olimpiada Internacional de Matemáticas

Como ya comentamos en la entrada anterior del Cuaderno de Cultura Científica dedicada a este tema, el principio de Dirichlet tiene muchas aplicaciones a la teoría de números. Empecemos con algunos resultados sencillos.

Muchísimos más ejemplos en:

Cultura Científica

El principio del palomar, una potente herramienta matemática (parte 1)

La semana pasada mi colega y amiga Marta Macho (por cierto, una excelente matemática, profesora y divulgadora) nos ofrecía con mucho humor y una pizca de ironía, en esta categoría, Matemoción, del Cuaderno de Cultura Científica, una lista de cuarenta técnicas de demostración. Era su entrada “Técnicas de demostración para casos desesperados”.

Muchas de ellas nos sonaban cercanas a todas aquellas personas que nos dedicamos a la enseñanza de las matemáticas. A mi me gustaría destacar tres de ellas, la prueba por intimidación “Es trivial!”, la prueba por finalización de tiempo “Vista la hora que es, dejo la prueba de este teorema como ejercicio” o la prueba por consenso “¿Estáis todos de acuerdo?”

Green-Tao Theorem with Endre Szemeredi de Oliver Sin, 2012

En esta entrada de la sección Matemoción vamos a analizar una nueva técnica de demostración matemática, aunque algo más seria que las anteriores, ¿o no?. Es elprincipio del palomar, o de Dirichlet.

Este es un principio muy sencillo de formular y que no necesita demostrarse de lo obvio que es (y no estoy echando mano aquí de la prueba por intimidación), de hecho, cuando explicamos esta técnica matemática a las personas ajenas a esta ciencia, suelen pensar que estamos bromeando, que les estamos tomando el pelo o simplemente es otra excentricidad de estos locos matemáticos. A pesar de su sencillez, el principio del palomar es al mismo tiempo una herramienta muy potente dentro de la combinatoria, con aplicaciones en campos tan diversos como la teoría de grafos, la geometría, el análisis matemático, la teoría de números, las ciencias de la computación o la resolución de problemas, por citar algunos.

El principio del palomar dice lo siguiente: si hay más palomas que palomares, alguno de los palomares deberá contener por lo menos dos palomas. En general, podemos hablar de objetos y cajas donde guardar estos objetos. La verdad es que es un principio tan simple que no necesita demostración.

Podemos reformular el principio del palomar diciendo que si tenemos más pares de zapatos que huecos en nuestro zapatero, como en la imagen, entonces por lo menos dos pares de zapatos deberán compartir hueco en el mismo

Mostremos algunos ejemplos sencillos de aplicación de este principio a cuestiones más o menos cotidianas.

Ejemplo 1: En cualquier espectáculo del Teatro Campos Elíseos de Bilbao, que esté lleno, existen dos personas del público tales que su primera y su última letra son iguales (como por ejemplo, Aitor y Amador, o Sorkunde y Salomé).

El aforo del Teatro Campos Elíseos es de 800 personas, que van a ser nuestras palomas, mientras que los pares formados por la primera y última letra de un nombre (en los ejemplos anteriores (a,r), de Aitor y Amador, y (s,e), de Sorkunde y Salomé), nuestros palomares. Puesto que hay 27 letras en el alfabeto, entonces hay 27 x 27 = 729 pares de letras posibles, desde la (a,a) hasta la (z,z). Como hay más palomas (personas) que palomares (pares de letras), entonces al menos dos personas deberán compartir la primera y la última letra de su nombre.

Ejemplo 2: En una fiesta cualquiera hay por lo menos dos personas con el mismo número de amigos.

Supongamos que a una fiesta, o reunión de cualquier tipo, han asistido n personas, bueno para que no parezca tan abstracto, pensemos que han sido 32 personas. Podríamos distinguir dos casos:

A. Si todas las personas de la reunión tienen al menos un amigo, cada una de esas 32 personas (que van a ser ahora nuestras palomas) pueden tener entre 1, ya que todas tienen al menos un amigo, y 31 amigos, ya que suponemos que “cada persona no es amiga de sí misma” (las cantidades de amigos son ahora los palomares), entonces aplicando el principio del palomar existen dos personas con el mismo número de amigos.

B. Pero si hubiese algunas personas en la fiesta que no tienen ningún amigo, razonaremos como antes, aunque sin tener en cuenta a las personas “solitarias”. Por ejemplo, si de las 32 que están en la fiesta, 7 no tienen amigos, se hace el razonamiento anterior con las 25 personas restantes, que ahora pueden tener entre 1 y 24 amigos.

Momento de la escena del camarote de la divertida película Una noche en la opera, de los Hermanos Marx, en el que hay ya nueve personas en el camarote

Ejemplo 3: Siempre que haya 9 personas en una reunión, de edades comprendidas entre 18 y 58 años, es posible elegir dos grupos de personas tal que las sumas de las edades de las personas de cada grupo sean iguales.

Como estamos buscando grupos de personas dentro del grupo total de 9 personas, es decir, subconjuntos del conjunto de nueve elementos, es útil recordar que hay un total de 29 subconjuntos del conjunto de 9 elementos (esta es una cuestión que no vamos a explicar aquí hoy, pero que tiene que ver con los números combinatorios y el binomio de Newton), incluido el vacío, luego 511 subconjuntos no vacíos. Estos van a ser las palomas en esta ocasión.

Ahora, como las edades de las personas de la reunión están comprendidas entre los 18 y los 58 años, las sumas de las edades de cualquier subconjunto de personas están comprendidas entre 18 = 1 x 18 (una única persona, y que tenga la menor de las edades posibles) 522 = 9 x 58 (las nueve personas, y que todas tuviesen la mayor edad posible). Por lo tanto, tenemos 504 valores posibles para las sumas de las edades de las personas de cualquier subconjunto de las personas que están en esta reunión. Estos van a ser los palomares.

En consecuencia, el principio del palomar nos dice que existen dos subconjuntos distintos, del grupo de 9 personas que hay en la reunión, con la misma suma de las edades de las personas de cada uno de ellos.

Pero podría ocurrir que en esta conclusión, consecuencia del principio de Dirichlet, hubiese alguna persona que estuviese siendo considerada a la vez en esos dos subconjuntos que existen. Si esto ocurriese, no tenemos más que eliminar a esa persona de cada uno de los dos subconjuntos, y los dos nuevos subconjuntos que obtenemos siguen cumpliendo la propiedad de que la suma de las edades de sus miembros es la misma, ya que al eliminar a la misma persona de ambos, se quita el mismo número a las sumas de las edades, y se sigue manteniendo la igualdad.

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)

Aunque estamos poniendo ejemplos más bien cotidianos para entender la fuerza del principio, lo interesante es que se puede aplicar a todo tipo de situaciones, de hecho, como decíamos al principio, es una potente herramienta en matemáticas.

El primer matemático en utilizarlo explícitamente dentro de su investigación fue el matemático prusiano Gustav L. Dirichlet (1805-1859), para demostrar un resultado de aproximación de números irracionales mediante racionales (recordemos que los números racionales son aquellos que se pueden expresar como división de dos números enteros, por ejemplo, 5/2, y que si los expresamos con decimales o tienen un número finito de decimales, o un número finito que se repite periódicamente), por este motivo se conoce también como el principio de Dirichlet.

En particular, se pueden demostrar muchos resultados de teoría de números haciendo uso del principio del palomar. A continuación, mostramos algunos sencillos ejemplos.

Ejemplo 4: Consideremos un conjunto arbitrario de 47 números, entonces existen al menos dos cuya diferencia es divisible por 46.

Antes de explicar la aplicación del principio de Dirichlet para probar esta afirmación, aclaremos una vez más, que esos 47 números son arbitrarios, el resultado va a ser válido cualesquiera que sean los 47 números que se consideren.

¿Cómo utilizar el principio para demostrar este resultado? Cuando dividimos un número cualquiera entre otro, en este caso nos interesa dividir por 46, entonces obtenemos el divisor y el resto. Así, si dividimos el número 357 entre 46 nos da 7 (el dividendo), pero nos sobran 35 (que es el resto).

Por lo tanto, 357 = 46 x 7 + 35. En matemáticas, se dice que 357 es congruente con 35, módulo 46, y se expresa .

Para aplicar el principio del palomar, vamos a distribuir nuestras palomas (que serán los 47 números arbitrarios que se han tomado) en los siguientes 46 palomares…

P1 = conjunto de números tales que al dividir por 46 queda de resto 0 (es decir, los números congruentes con 0, módulo 46),

P2 = conjunto de números tales que al dividir por 46 queda de resto 1 (es decir, los números congruentes con 1, módulo 46),

P46 = conjunto de números tales que al dividir por 46 queda de resto 45 es decir, los números congruentes con 45, módulo 46).

En consecuencia, habrá por lo menos dos palomas, es decir, dos números del conjunto de 47 que habíamos elegido arbitrariamente, compartiendo palomar, es decir, que tienen el mismo resto al dividir por 46.

Esos dos números se podrán escribir, como antes hemos hecho con el número 357, de la forma, 357 = 46 x 7 + 35, con distintos divisores, pero el mismo resto. Al restar ambos números, como los dos tienen el mismo resto, el resultado quedará múltiplo de 46, y se concluye el resultado.

Pero hay mucho, mucho más en:

Cultura Científica

Increíble pero cierto: Tus heces te pueden ayudar a ganar dinero

Ir al baño con regularidad podría generarle mucho dinero. La organización sin fines de lucro OpenBiome, está pagando 40 dólares a cada voluntario que done sus heces fecales. 

El objetivo principal es realizar la investigación de la cura contra la superbacteria C -Clostridium Difficile, causante de enfermedades tales como la colitis o complicaciones más complejas como la inflamación severa del intestino, según informa BBC Mundo. 

Estas infecciones reaparecen en ocasiones luego de un tratamiento con antibióticos, pero pueden curarse en el 90% de los casos con un transplante fecal, que ofrece una forma de repoblar los intestinos de una persona enferma con la flora intestinal de una persona saludable.

"Enviamos nuestras primeras muestras a hospitales en 2013 y ahora suministramos materias fecales a más de 200 hospitales y cínicas en 39 estados de Estados Unidos", señaló Carolyn Edelstein, vocera de OpenBiome, en declaraciones a BBC Mundo.

Según informa el citado medio, la compañía paga 40 dólares por muestra. También ofrece un bono de 10 dólares si la persona dona por cinco días seguidos. De esta forma se puede obtener hasta US$250 a la semana. 

Sin embargo, sólo se aceptan contribuciones de individuos sanos, de hábitos impecables, que pasen una larga serie de pruebas estrictas. Sólo un 4% de los miles de candidatos han sido aceptados en los últimos dos años.

Los requisitos para ser voluntario son tener entre 18 y 50 años, un índice de masa corporal por debajo de 30 y poder hacer donaciones frecuentes, durante 60 días, en sus instalaciones. Previamente, los interesados habrán tenido que responder un cuestionario de  más de 100 preguntas para descartar problemas de metabolismo o enfermedades autoinmunes, luego serán sometidos  a 27 pruebas de sangre y materias fecales.

Fuentes:

RPP Noticias

BBC Mundo

Colombia: Conozca al hombre que se casó con un árbol

El hombre colombiano se casó con un árbol y pidió respeto a la naturaleza. (Foto: AP)

En un acto simbólico realizado en medio del Parque Nacional, en el centro de la capital colombiana, el joven declaró que con esta iniciativa se “está creando un precedente para que el ser humano se comprometa y no lapide la naturaleza".

Un jóven medioambientalista selló su amor con un árbol este domingo en Bogotá (capital colombiana) para exigir el cuidado de la naturaleza.

En un acto simbólico realizado en medio del Parque Nacional, en el centro de la capital colombiana, el hombre identificado como Richard Torres, vestido con un traje blanco y corbata roja, el joven declaró que con esta iniciativa se “está creando un precedente para que el ser humano se comprometa y no lapide la naturaleza".

"Los declaro compañeros de vida y amor puro para siempre, en nombre de los elementos de la naturaleza y de Dios", fue el discurso de ceremonia dictado por la actriz colombiana Kristina Lilley.

Unas veinte personas asistieron al acto y con instrumentos musicales en mano celebraron la unión. De esta manera, reiteraron "el llamado a conservar el medio ambiente, a dejar de talar árboles, a cuidar los animales y a vivir en paz y tolerancia".

Boda similar

En octubre de este año, en el departamento de Arequipa, Perú, (sur del país) se realizó una ceremonia matrimonial simbólica entre quien aspira a ser gobernador por el partido Vamos Perú, y el agua.

En este acto simbólico, se reflejó su intención de proteger los recursos hídricos de la región, considerada la segunda ciudad más poblada del país y un importante centro industrial y comercial.

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Candidato peruano se casó con el agua

¿Pesan todas las hormigas juntas más que toda la humanidad?

"Si fuéramos a pesar todas las hormigas del mundo, pesarían tanto como todos los seres humanos", dijo el presentador Chris Packham en un reciente documental de la BBC. ¿Puede ser cierto?

Hay hormigas de hasta 60 mg, pero la media es mucho menor.

Esta afirmación la hicieron por primera vez el profesor Edward O. Wilson, de la Universidad de Harvard (Estados Unidos), y el biólogo alemán Bert Hoelldobler en su libro de 1994 "Viaje a las hormigas".

La estimación se basa en un cálculo anterior del entomólogo británico C.B. Williams, quien calculó que el número de insectos vivos en la tierra en un determinado momento es de un millón de billones.
"Si, para tomar una cifra conservadora, el uno por ciento de eso son hormigas, la población total sería de 10.000 billones", escribieron Wilson y Hoelldobler.

Cómo se pesa una hormiga

"Es muy fácil pesar una hormiga. En una pequeña pesa electrónica, se pone una hormiga", explica Ratnieks.

Pero advierte, lo mejor es refrigerar la pesa antes: "Esa es la manera de que no salgan corriendo".

"Una hormiga trabajadora puede pesar una media de entre uno y cinco miligramos, dependiendo de la especie. Combinadas, todas las hormigas juntas pesan juntas tanto como todos los seres humanos".
La idea de Wilson y Hoelldobler se basa en la idea de que un humano medio pesa un millón de veces más que una hormiga media.

¿Y cuánto aguanta este argumento un examen detenido?

Un humano medio pesa 62 kilos, así que eso supondría que las hormigas pesan unos 60 miligramos.
"Hay hormigas que pesan 60 miligramos, pero son de las muy grandes", dice Francis Ratnieks, profesor de apicultura de la Universidad de Sussex, Reino Unido.

"La hormiga común debe rondar un miligramo o dos".

Con unas 13.000 especies en el mundo, la diferencia de tamaño va de las que miden un milímetro a las de 30.

Así que es probable que el peso también varíe notablemente: aunque numerosos expertos parecen estar de acuerdo en que la media pesa 10 mg.

Eso sí, nadie sabe cuántas hormigas hay en el mundo. El documental de la BBC dice que no son diez millones de billones sino cien billones...

El artículo completo en:

BBC Ciencia

¿Por qué los patos tienen las patas naranja?

De hecho, muchas especies de patos tienen las patas de color verde azulado o gris. Pero por lo que respecta a los patos que se pavonean con las patas naranjas es simplemente para atraer a las hembras. 

Un color naranja vivo sugiere a las "chicas" que el pato macho tiene todas las vitaminas necesarias. Según Kevin Omland, biólogo evolucionista de la Universidad de Maryland, "esto indica que sus genes y su comportamiento son lo bastante buenos para reconocer y comer los alimentos adecuados, o que su sistema inmunitario es lo bastante fuerte para producir patas color naranja y vivo. La hembra considera que este es un rasgo muy atractivo para transmitirlo a su descendencia".

Fuente:

QUO

“La radioactividad te hará sentir más sano”

“La radioactividad te hará sentir más sano”. Con estas palabras se anunciaban algunos productos durante la década de 1920 y 1930 en países como EEUU o Alemania. El descubrimiento del radio, a manos del matrimonio Curie unos años antes, había abierto un abanico de posibilidades a la industria, que lo convirtió en una especie de remedio milagroso para todo.

De la noche a la mañana, el mercado se llenó de bebedizos y cremas que contenían radio y que prometían aumentar la virilidad o impedir la caída del pelo. Durante años, se utilizó el producto de manera inconsciente hasta que empezaron a morir los primeros afectados: trabajadores que morían en apenas unos meses o víctimas de sus propias invenciones a las que el cáncer devoraba los huesos. Para algunos, el descubrimiento de los letales efectos del radio llegó demasiado tarde. (Seguir leyendo) (English)  

Conoce algunos de los productos más disparatados que llegaron a venderse en FOGONAZOS

La mujer alemana que canta dos notas distintas... ¡al mismo tiempo!

La cantante alemana Anna-María Hefele tiene una habilidad musical de la que muy pocos vocalistas en el mundo pueden jactarse: es capaz de interpretar dos notas musicales al mismo tiempo.

Esta técnica es conocida como ‘canto armónico’ y tiene sus raíces en Mongolia, donde se conoce como Xöömej.

En el video Hefele muestra un control perfecto de su voz, manteniendo una nota baja constante a la par que emite otra en un tono alto. Esta habilidad le ha valido gran popularidad en YouTube donde su video ha sido visto más de un millón 400 mil veces.

Con información de Perú21

¿Por qué no se enredan los pulpos?

A todos nos gustaría contar con un par de manos extra, pero sería complicado mantener el control sobre tanto brazo y no acabar enredándonos como un ovillo de espaguetis. Con todo, hay animales que se apañan muy bien no ya con cuatro sino con ocho o incluso más: los cefalópodos (pulpos, calamares…). ¿Cómo son capaces? ¿Su cerebro controla los movimientos de cada una de las patas? ¿Es consciente de cuales son propias y cuales ajenas? ¿Por qué no se enredan? A estas y otras preguntas han intentado responder Binyamin Hochner y colegas desde sus laboratorios en Israel, en un estudio recién publicado en Current Biology. ¡Los hallazgos son más que interesantes!

Los pulpos tienen 8 brazos recubiertos de ventosas que emergen radialmente de su cuerpo. Fuente: rjime31 en Flickr (CC).

Si se le amputa un brazo a un pulpo (algo que, por brutal que suene, les ocurre también en la naturaleza sin resultarles traumático), éste, cual rabo de lagartija forrado de ventosas, se mantiene activo durante 1 hora moviéndose del mismo modo que lo hacía cuando estaba en el animal intacto. Es más, las ventosas siguen aferrándose a todo. A todo, salvo al propio pulpo. Pero no nos adelantemos.

El brazo, en efecto, nunca se adhería a ningún otro, ni del pulpo al que pertenecía ni a otro animal. Incluso evitaba el contacto con placas cubiertas con piel de pulpo. ¿Por qué esa aparente inhibición de volver a contactar con lo propio? ¿Hay alguna sustancia química de por medio?

Hay otro protagonista en esta historia, que hasta ahora no hemos tenido en cuenta. ¿Cómo reacciona el pulpo ante ese brazo amputado rondando por ahí? Se sabe que el Octopus vulgaris (el pulpo común) es caníbal, y sin embargo sólo a veces tratan al brazo como una presa: lo más curioso es que parecen ser capaces de distinguir si el brazo es suyo o de otro pulpo.

Mientras que el pulpo siempre agarra con la boca los brazos ajenos (izquierda), sólo lo hace 6 de cada 10 veces cuando es su propio brazo (derecha). Fuente: Hochner et al. en Current Biology (2014).

Agarran el brazo ajeno, sí, pero de una manera peculiar que no les obliga a tocarlo con los brazos: ¡exactamente del mismo modo que llevan la comida a la boca!

Es momento de volver a la pregunta inicial: ¿por qué no se enredan los pulpos? Puede que ese aparente “reconocimiento de lo propio” ayude a explicarlo. Hay algo que no os hemos contado, y que cambia completamente la situación: cuando se retira la piel del brazo amputado, el pulpo lo agarra igual que a cualquier otra cosa. Está claro que esa sustancia química debemos buscarla en la piel, que no es moco de pulpo, permitidnos la expresión, cuando hablamos de un órgano tan complejo en sí mismo. Estos investigadores prepararon distintos extractos de piel de pulpo y vieron cual atraía más a nuestro amigo. Y sí, había diferencias, probando que efectivamente intervienen moléculas específicas (que aparecen en unos extractos pero no otros), aunque están aún por identificar.

Es decir, ahora sabemos que los pulpos no se enredan, no por ciencia infusa, sino porque algo en su piel impide que los brazos se peguen entre sí. Y es más: aunque su cerebro no controla cada movimiento de sus brazos como hace el nuestro (porque son muchos y se mueven demasiado alocadamente), sí sabe distinguir los suyos propios de los de otro pulpo.

Naturalmente, la cosa no acaba aquí, quedan incógnitas por despejar. El intrincado sistema de movimiento de los pulpos ha servido de inspiración para la robótica, y quién sabe qué otras aplicaciones puede tener este sistema.

Pulpo. Fuente: Santi Villamarín en Flickr (CC).

Referencia:

• Nesher, N., Levy, G., Grasso, F. W. & Hochner, “Self-Recognition Mechanism between Skin and Suckers Prevents Octopus Arms from Interfering with Each Other”, B. Curr. Biol. http://dx.doi.org/10.1016/j.cub.2014.04.024 (2014).

Fuente:

Alfa Hélice

BBC: 10 grandes errores de cálculo de la ciencia y la ingeniería

¿Conoces la diferencia entre el sistema métrico decimal y el sistema de unidades anglosajón?

El descubrimiento de la compañía ferroviaria estatal francesa SNCF de que sus trenes nuevos eran demasiado anchos para la mayoría de las estaciones es embarazoso.

Pero no es la primera vez que un pequeño error de cálculo ha tenido serias repercusiones.

Francia compró trenes que no caben en la mayoría de sus estaciones.

• Francia compra 2.000 trenes demasiado anchos para sus estaciones

En este caso se gastaron US$20.500 millones en la compra de 2.000 trenes que no entran en muchas de las estaciones francesas.

Según SNCF, el fiasco de los trenes franceses ha sido culpa del operador nacional de las vías RFF.

El ministro de Transporte, Frederic Cuvillier, culpó a lo que calificó de un sistema ferroviario absurdo en el que el operador de las vías es distinto de la compañía de trenes.

Pero a veces no hay nadie más con quien compartir la responsabilidad.

He aquí otros 9 ejemplos en los que un pequeño error ha resultado ser muy caro, o incluso fatal.

El Orbitador del Clima de Marte

Se cree que el orbitador se destruyó al contacto con la atmósfera de Marte.

Diseñado para orbitar Marte como el primer satélite meteorológico interplanetario, el Orbitador de Marte se perdió en 1999 porque el equipo de la NASA utilizó el sistema imperial o anglosajón de unidades (que utiliza medidas como las pulgadas, millas o galones) mientras que uno de los contratistas utilizó el sistema métrico decimal (que se basa en medidas como el metro, el kilo o el litro).

La sonda de U$125 millones se acercó demasiado a Marte cuando intentaba maniobrar hacia su órbita, y se cree que se destruyó al entrar en contacto con la atmósfera del planeta.

Una investigación dijo que la causa original de la pérdida fue "el error de conversión de las unidades inglesas a unidades métricas" en una pieza del programa informático que operaba la nave desde la Tierra.

La nave Vasa

La nave Vesa fue recuperada del mar en 1961.

En 1628, una multitud presenció con horror en Suecia el hundimiento de Vesa, un nuevo buque de guerra, a menos de dos kilómetros de la costa y en su viaje inaugural. En el suceso murieron 30 tripulantes.

Armado con 64 cañones de bronce, había sido considerada como el barco de guerra más poderoso del mundo.

Los expertos que lo estudiaron desde que fue izado desde el mar en 1961 dicen que la nave es asimétrica: más gruesa a babor que a estribor.

Una razón para esto podría ser que los obreros que la construyeron utilizaron diferentes sistemas de medidas. Los arqueólogos han encontrado cuatro reglas usadas por los constructores: dos estaban calibradas en pies suecos, que tenían 12 pulgadas, mientras que otras dos medían pies de Ámsterdam, con 11 pulgadas.

El planeador de Gimli

Los aviones modernos de Air Canadá usan el sistema métrico decimal.

En 1983, un vuelo de la compañía Air Canada se quedó sin combustible cuando volaba sobre el pueblo de Gimli, en la provincia de Manitoba. Canadá había cambiado al sistema métrico decimal en 1970, y el avión había sido el primero de Air Canada en usar medidas métricas.

El calibrador de combustible a bordo del avión no estaba funcionando, por lo que la tripulación utilizó un tubo para medir cuánto combustible había cargado al repostar.

Pero las cosas se complicaron cuando convirtieron estas mediciones de volumen en medidas de peso: tenían el número correcto pero mal la unidad al confundir libras de combustible por kilogramos.

Como resultado, el avión llevaba alrededor de la mitad del combustible que creían.

Por suerte, el piloto fue capaz de aterrizar la aeronave en la carretera de Gimli.

El Telescopio Espacial Hubble

Imagen del Hubble de la nebulosa Cabeza de Mono.

El Hubble es famoso por sus hermosas imágenes del espacio y se considera un gran éxito de la NASA. Sin embargo, despegó tras un comienzo difícil.

Las primeras imágenes que envió eran borrosas porque el espejo principal del telescopio era demasiado plano. No por mucho –sólo 2,2 micrones, o el equivalente de algo unas 50 veces más delgado de un cabello humano– pero lo suficiente como para poner en peligro el proyecto.
 
Una teoría es que una diminuta mancha de pintura en un dispositivo usado para probar el espejo provocó las mediciones distorsionadas.

Afortunadamente, los científicos lograron solucionar el problema en 1993, usando un instrumento llamado Reemplazo Axial Correctivo Óptico de Telescopio Espacial (Costar, por sus siglas en inglés).

Big Ben

La campana del Big Ben está quebrada desde el siglo XIX.

La campana del Big Ben en el Parlamento de Londres se rompió en una prueba en 1857 y fue fundida para ser moldeada de nuevo. Pero la nueva campana, cuya colocación llevó tres días en 1859, se rompió también rápidamente.

Se encendieron las disputas sobre quién era responsable: se inició incluso un caso de difamación.

Una teoría es que el enorme percutor, que pesaba 6,5 centenas (alrededor de 330 kilos), era demasiado pesado, al menos para la aleación particular de la que estaba hecha la campana (siete partes de estaño y 22 de cobre).

Los fundidores que moldearon las campanas siempre argumentaron que este material era demasiado frágil.

La segunda campana no fue reemplazada (aún está rota), sólo se giró su posición. El percutor, en cambio, fue reemplazado por uno más ligero

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BBC Ciencia