Conocer Ciencia

31 de julio de 2011

Confusión entre necesario y suficiente: el caso de la diferenciabilidad

Especial: Matemáticas

La distinción entre condición necesaria y condición suficiente es un tema muy costoso de entender para mucha gente, tengan los estudios que tengan. En principio, partiendo de la denominación de cada una de estas condiciones es sencillo distinguirlas, pero en la práctica hay muchas ocasiones en las que la gente se lía bastante con ello. Ante una condición necesaria mucha gente piensa que lo que está viendo es una condición suficiente, y viceversa. Y hasta hay ocasiones en las que teniendo una condición solamente necesaria (o solamente suficiente) se cree que en realidad es de los dos tipos, necesaria y suficiente.

En general esto ocurre con las implicaciones:

Si es cierto A, entonces es cierto B

Que esto ocurra no significa ni Si es cierto B, entonces es cierto A ni Si no es cierto A, entonces no es cierto B, pero en muchos casos se piensa que sí. Voy a poner un sencillo ejemplo, que es el más frecuentemente uso con mis alumnos:

Esta claro que Si llueve, entonces mi patio se moja (Si es cierto A, entonces es cierto B), ¿verdad? ¿Es cierto entonces que Si mi patio se ha mojado, entonces es que ha llovido (Si es cierto B, entonces es cierto A)? Claramente no, ya que mi patio puede estar mojado porque lo he hecho yo con una manguera y no por haber llovido. ¿Y es cierto que Si no llueve, entonces mi patio no se moja (Si no es cierto A, entonces no es cierto B)? Pues tampoco, por lo mismo que en el caso anterior: he podido mojarlo yo sin que haya llovido.

La primera parte de la primera frase, Si llueve,…, es una condición suficiente para que mi patio se moje, pero no una condición necesaria. Es decir, es suficiente que llueva para que se moje mi patio, pero no es necesario que llueva para que ello ocurra.

Como he comentado antes, la confusión entre estos dos tipos de sentencias se produce con mucha frecuencia. Y no solamente entre gente sin estudios, sino también entre estudiantes de instituto, de universidad, y hasta entre profesores. De hecho el ejemplo que voy a poner ahora surgió a partir de una confusión de una persona que da clase en una universidad (doy fe de ello, ya que se puede decir que he asistido en primera persona a dicho error). Vamos a dar alguna idea sobre el concepto de diferenciabilidad y a partir de ahí introduciremos el resultado que puede causar confusión, que después explicaremos.

El caso de la diferenciabilidad

El concepto de diferenciabilidad de funciones de varias variables es uno de los conceptos que más errores provocan entre los estudiantes de cálculo en varias variables. En esencia es análogo al de derivabilidad en funciones de una variable, pero el paso de una variable a más de una variable hace que la cosa se complique.

Aunque el concepto es más general, vamos a hablar solamente de funciones escalares de dos variables, es decir, funciones $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ . En este caso, la definición de diferenciabilidad en un punto es la siguiente:

Definición: (diferenciabilidad en un punto)

Dada $f: A \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ y un punto $(a,b) \in int(A)$ , la función $f(x,y)$ es diferenciable en el punto $(a,b)$ si el límite

$\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (a,b)} \cfrac{f(x,y)-f(a,b)-f_x(a,b) \cdot (x-a)-f_y(a,b) \cdot (y-b)}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}}}$

vale cero.

Nota: $f_x$ y $f_y$ denotan las derivadas parciales respecto de $x$ y de $y$ respectivamente.

Por comentarlo, esto es equivalente a que la función admita plano tangente único en el punto $(a,b)$ .

Hay varias condiciones necesarias relacionadas con la diferenciabilidad de una función escalar en un punto, como por ejemplo:

Es necesario que $f$ sea continua en $(a,b)$ para que sea diferenciable en ese punto.
Es necesario que existan las derivadas parciales de $f$ en $(a,b)$ para que sea diferenciable en ese punto.
Es necesario que existan las derivadas parciales de $f$ en $(a,b)$ en la dirección de cualquier vector unitario para que sea diferenciable en ese punto.

Que estas sean condiciones necesarias significa que si alguna de ellas no se cumple, entonces la función no es diferenciable en $(a,b)$ . Ahora, ninguna de ellas es condición suficiente, ya que ninguna de ellas implica que la función sea diferenciable en $(a,b)$ .

El resultado estrella de este artículo se conoce como condición suficiente de diferenciabilidad, y su enunciado es el siguiente:

Teorema: (condición suficiente de diferenciabilidad)

Si $f: A \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ es continua en un punto $(a,b) \in int(A)$ y las derivadas parciales de $f$ , $f_x, \; f_y$ , existen y son continuas en $(a,b)$ , entonces $f$ es diferenciable en $(a,b)$ .

No nos vamos a detener en demostrar este teorema. Dicha demostración aparece, por ejemplo, en este post del blog The Unapologetic Mathematician o en la página 168 del libro de Análisis Matemático de Carlos Ivorra (Teorema 4.11)^|1|.

Como se aprecia en la denominación de este resultado, ésta es una condición suficiente para que la función sea diferenciable en ese punto. Es decir, basta que se cumplan estas condiciones para asegurar que la función es diferenciable en el punto. Pero, como ya podréis saber, no es una condición necesaria, es decir, no es necesario que se cumplan todas las condiciones que plantea el enunciado para que una función sea diferenciable en un punto.

Esto significa que hay funciones que son diferenciables en un punto, pero que no cumplen todas las hipótesis de ese enunciado. Concretamente no cumplen que las derivadas parciales sean funciones continuas en el punto en cuestión (ya que la continuidad de la función y la existencia de las derivadas parciales en ese punto sí son condiciones necesarias para la diferenciabilidad).

Y además no es demasiado complicado encontrar ejemplos de funciones de este estilo. Una de ellas es:

$f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2) \sin{ \left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )} & \mbox{, si } (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \mbox{, si } (x,y)=(0,0) \end{cases}$

Vamos a analizar qué ocurre con esta función en el punto $(0,0)$ en relación a lo comentado anteriormente:

$f(x,y)$ es claramente continua en $(0,0)$ , ya que
$\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)=0 \cdot \mbox{acotada}=0}$

y $f(0,0)=0$ .
Sus dos derivadas parciales existen en $(0,0)$ . Calculemos una de ellas:
$\cfrac{\partial f}{\partial x} (0,0)=\displaystyle{\lim_{h \to 0} \cfrac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0} \cfrac{h^2 \cdot \sin{(\frac{1}{h})}-0}{h}=} \displaystyle{\lim_{h \to 0} h \cdot \sin{\left ( \frac{1}{h} \right )}=0 \cdot \mbox{acotada}=0}$

Por tanto la derivada parcial de $f$ respecto de $x$ en el punto $(0,0)$ existe y vale cero. Si calculamos la derivada de $f$ respecto de $y$ en $(0,0)$ vemos que también existe y, en este caso, también vale cero.
Estudiemos ahora la continuidad de las derivadas parciales. Bueno, en realidad solamente lo haremos con la de $x$ . Si calculamos esta derivada parcial para $(x,y) \ne (0,0)$ obtenemos lo siguiente:
$\cfrac{\partial f}{\partial x} (x,y)= \ldots =2x \; \sin{\left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )}-\cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \; \cos{\left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} } \right )}$

Si unimos esta información con el valor de dicha derivada parcial en $(0,0)$ obtenemos la función derivada parcial de $f$ respecto de $x$ como función a trozos:

$\cfrac{\partial f}{\partial x} (x,y)=\begin{cases} 2x \; \sin{\left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )}-\cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \; \cos{\left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} } \right )} & \mbox{, si } (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \mbox{, si } (x,y)=(0,0) \end{cases}$

Para que esta función sea continua en $(0,0)$ debe existir

$\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (0,0)} \cfrac{\partial f}{\partial x} (x,y)}$

y además debe valer cero. Calculando ese límite pasando a coordenadas polares obtenemos:

$\displaystyle{\lim_{r \to 0} \left ( 2r \; \cos{(\theta)} \; \sin{\left (\frac{1}{r} \right )}- \cos{(\theta)} \; \cos{\left ( \frac{1}{r} \right )} \right )}$

donde podemos ver que el valor del segundo término depende de $\theta$ , por lo que el límite no existe. En consecuencia:

$\cfrac{\partial f}{\partial x} (x,y)$ no es continua en $(0,0)$ .

De forma análoga puede verse que la otra función derivada parcial tampoco es continua en $(0,0)$ .
Interpretando mal la condición suficiente de diferenciabilidad podríamos pensar que esto asegura que la propia función $f(x,y)$ no es diferenciable en $(0,0)$ , pero en realidad sí lo es. Lo vemos con la definición que dimos unos párrafos antes:
$\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (0,0)} \cfrac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0) \cdot x-f_y(0,0) \cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \cfrac{(x^2+y^2) \; \sin{ \left (\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )}}{\sqrt{x^2+y^2}}=}$

de donde, operando, llegamos a:

$\displaystyle{=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{x^2+y^2} \; \sin{ \left (\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )}=0 \cdot \mbox{acotada}=0}$

Como el límite de la definición es cero, la función $f(x,y)$ es diferenciable en el punto $(0,0)$ , aunque las derivadas parciales no son continuas en ese punto.

En consecuencia, si tenemos una función continua en un punto, cuyas derivadas parciales existen en dicho punto, pero las funciones derivada parcial no son continuas en él, no podremos afirmar con total seguridad que la función no es diferenciable en ese punto, ya que hay funciones para las que esto es cierto, las funciones polinómicas por poner un ejemplo, y funciones para las que no, como la que hemos estudiado anteriormente o esta otra que me proporcionó Tito Eliatron:

$f(x,y)=\begin{cases} x^2 \sin{ \left ( \frac{1}{x} \right )}+y^2 \sin{ \left ( \frac{1}{y} \right )} & \mbox{, si } x \ne 0,y \ne 0 \\ 0 & \mbox{, si } x=0 \mbox{ o } y=0 \end{cases}$

Y sí, una persona que da clase de cálculo en varias variables (entre otras cosas) cometió este error: interpretar como condición necesaria este teorema, que en realidad solamente es condición suficiente. Comentó a sus alumnos que si alguna de las funciones derivada parcial no era continua en un punto, entonces la función no era diferenciable en ese punto (hecho que hemos visto que es falso), provocando en ellos una gran confusión al chocar frontalmente esto con los conocimientos que se les había proporcionado en las clases de apoyo. Menos mal que al final conseguimos encauzar esta situación. Y hasta aquí puedo leer…

|1|: Un comentario sobre la condición suficiente de diferenciabilidad en el libro de Ivorra y en muchos otros textos. En el enunciado que yo he propuesto se dice que $f$ debe ser continua en $(a,b)$ , pero en el libro de Ivorra (y, como digo, en muchos otros) no se pide explícitamente esta hipótesis. Pero, por otra parte, hemos comentado que la continuidad de $f$ en el punto en cuestión es necesaria (ya que si no es continua en un punto, entonces no es diferenciable en ese punto). ¿Quién nos explica todo esto?

¿Conocéis más casos de este tipo que merezca la pena reseñar?

Fuente:

Gaussianos

16 horas 14 minutos 18 segundos en 34 años

Especial: Matemáticas

Lanzada hace casi 34 años, la sonda Voyager 1, que aún no ha salido del sistema solar, ha recorrido en todo este tiempo sólo 16 horas 14 minutos 18 segundos luz, unos 17.350 millones de kilómetros. La estrella más próxima, Próxima Centauri, está a unos 4,22 años luz de la Tierra. Realmente, las estrellas quedan muy, muy lejos [Fuente: @Voyager2]

Tomado de:

Microsiervos

La magia del Teorema de Gauss

Especial: Matemáticas

La primera parte de este articulo es una colaboración que me envió Sergio hace bastante tiempo.

Cuando estaba en el instituto, una de las cosas que más me sorprendía (y me tocaba las narices, todo hay que decirlo) era el Teorema de Gauss. Y no porque fuera difícil o porque fuera algo grandioso que destacara sobre el resto del temario, sino porque aparecía cuando menos te lo esperabas. Empezamos con el teorema de Gauss aplicado al campo gravitatorio, y cuando ya te lo sabías de memoria y habías trabajado con él hasta la saciedad (y muchos rezaban por no volver a verlo), de repente aparecía para el campo eléctrico. Además, lo mismo daba aplicarlo sobre distribuciones de carga lineales, planas o de volumen, valía para todo. La primera conclusión es que este Gauss era un genio (que lo era, no lo vamos a negar), tenía soluciones para todos los problemas tanto de gravitación como de electricidad. Uno tenía la sensación de que si le hubieran dejado, habría hecho toda la ciencia de la humanidad él solo.

Para recordar un poco aquellas clases de bachillerato, vamos a hacer un poco de memoria. El teorema de Gauss nos hablaba del flujo del campo eléctrico (o gravitatorio) a través de una superficie cerrada:

$\Phi = \displaystyle{\int_S \vec{E} \cdot \mathbf{d} \vec{s}}$

Carl Friedrich Gauss
Haciendo unas cuentas vemos que podemos siempre separar el campo en dos componentes perpendiculares, la normal a la superficie $S$ y la tangente, y al tener un producto escalar, solo nos interesa la normal, $E_n$ .

Llegados a este punto, en cualquier ejercicio teníamos que elegir una superficie cerrada que contuviera a todo lo que generara el campo: partículas puntuales, hilos cargados, esferas… El profesor siempre decía:

Podéis elegir cualquier superficie que contenga todo esto, pero luego tendréis que hallar la integral, así que mejor elegís una sencillita.

Dicho y hecho. Para partículas puntuales elegíamos esferas, para hilos cilindros y para planos cajas, todas superficies de las que podemos calcular su volumen sin necesidad de integrar. Además, se elegía esta superficie para que el valor del campo en ella fuera constante, es decir, para que la superficie estuviera siempre a la misma distancia de las partículas. ¿Por qué? Porque si el valor del campo permanece constante a lo largo de toda la superficie, lo podemos sacar de la integral, y nos quedará

$\Phi = \displaystyle{\int_S E_n \cdot \mathbf{d} s= E_n \cdot \int_S \mathbf{d} s}$

Y ahora sí, sabiendo qué superficie tenemos sólo hay que calcularla.

Para continuar, si suponemos que tenemos una superficie esférica, y que el campo lo crea una carga $Q$ en el centro de la esfera, obtenemos por un lado

$E=k \; \cfrac{Q}{r^2}$

y por otro

$\displaystyle{\int_S \mathbf{d} s=4 \pi r^2}$

de donde tenemos que

$\Phi=k \cfrac{Q}{r^2} \cdot 4 \pi r^2=\cfrac{Q}{\epsilon_0}$

Con esto teníamos al fin dos igualdades, una que nos daba el flujo como una integral del campo a través de la superficie y otra como la carga total encerrada por la superficie partido de $\epsilon_0$ . Ahora sólo necesitábamos datos, sustituir y despejar lo que nos faltaba en el problema. Esto que es tan sencillo es realmente útil. Se usa hasta en cursos de electromagnetismo de la carrera de Física, y puede llegar a complicarse una barbaridad.

Y después de toda esta perorata, ¿acaso pensó Gauss en esto alguna vez? ¿Fue su intención al formular el teorema simplificar los cálculos en electromagnetismo? ¿Lo ideo acaso para el campo gravitatorio y luego lo aplicó al resto? A la primera pregunta no puedo contestar, a saber en lo que pensó Gauss y en lo que no, pero la respuesta de las otras dos es casi seguro no. Sólo hace falta pasarse por la Wikipedia para ver la formulación real del teorema de Gauss:

Teorema: (de la divergencia)

Sean $H$ y $U$ dos subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^3$ , con $U \subset H$ y $S$ el borde de $U$ , tal que $U$ es simplemente conexo y $S$ es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.

Sea $F: H \rightarrow \mathbb{R}^3$ un campo vectorial de clase $C^1$ , es decir, $F$ cuenta con derivadas parciales de primero orden continuas. Entonces:

$\displaystyle{\iint_S F \cdot \hat{n} \; dS= \iiint_U \nabla \cdot F \; dV}$

donde el vector $\hat{n}$ , normal a la superficie, apunta hacia el exterior del volumen $V$ .

o echarle un vistazo al enunciado que aparece en el libro Cálculo II, de Alfonsa García, Antonio López, Gerardo Rodríguez, Sixto Romero y Agustín de la Villa:

Teorema: (de la divergencia)

Sea $D$ un dominio simplemente conexo y acotado de $\mathbb{R}^3$ . Sea

$\overline{F}: D \subset \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$

un campo vectorial con derivadas primeras continuas en $D$ . Sea $V$ un sólido conexo cuya frontera es la superficie cerrada $\sigma$ , estando $V$ y $\sigma$ contenidos en $D$ . Entonces se verifica la siguiente igualdad:

$\displaystyle{\iint_{\sigma} \overline{F} \cdot \overline{d \sigma}= \iiint_V div(\overline{F}) \; dV}$

Como se puede ver, Gauss formuló el teorema para cualquier campo, pero luego se aplica a campos bien conocidos. La auténtica magia de este teorema es que nos relaciona lo que pasa en una superficie cerrada con lo que hay dentro de ella. Si la superficie fuera una cortina opaca que no nos dejara ver que hay dentro, aún podríamos obtener información sobre ese sistema estudiando lo que pasa en la superficie a la que si tenemos acceso.

En relación con el ejemplo anterior, hay que ver que si el campo presenta las simetrías que se le piden, al calcular la integral de la divergencia todo se simplifica enormemente, puesto que cada componente del campo solo depende de una coordenada, y es por eso por lo que obtendremos la carga interior a la superficie.

Señores y señoras, otro ejemplo más de que las matemáticas más abstractas (la integral triple de la divergencia de un campo vectorial en un volumen dado es igual al flujo de dicho campo a través de la superficie que encierra dicho volumen), tienen su aplicación práctica en el mundo real (calcular la fuerza con la que un hilo cargado atrae a una carga, por ejemplo).

Mikhail Ostrogradski
La historia del teorema de Gauss, o teorema de la divergencia, tiene se interés en el sentido de que ni mucho menos es Gauss el único implicado en el enunciado y demostración del mismo. De hecho parece ser que en principio Gauss consideró tres casos particulares (que se preocupó de demostrar) de un teorema más general que enunció y demostró el matemático ruso Mikhail Ostrogradski en un trabajo que presentó a la Academia de Ciencias de París en 1826 (aunque, si nos ponemos estrictos, podemos considerar a Lagrange y Laplace como los verdaderos precursores, gracias a la utilización del Teorema Fundamental del Cálculo). Los matemáticos franceses Simeon Denis Poisson y Frederic Sarrus también presentaron, en 1828 y de forma independiente, demostraciones de este resultado. El matemático inglés George Green también tuvo cierta relación con este interesante y útil teorema.

Por otra parte, parece que todos los matemáticos que enunciaron y probaron versiones de este teorema estaban interesados en él por razones físicas (aunque en algunos casos demostraran resultados generales): Gauss en teoría de atracción magnética, Ostrogradski en teoría del calor, Green en electricidad y magnetismo, Poisson en cuerpos elásticos y Sarrus en cuerpos flotantes. En casi todos los casos el teorema estaba incluido como herramienta en un trabajo más extenso que tenía una finalidad física.

Fuente: The History of Stokes’ Theorem, de Victor J. Katz (gracias Francis, ya sabes el porqué).

Fuente:

Gaussianos

Números Primos: El código oculto de la naturaleza

Especial: Matemáticas

Nadie ha sido capaz de encontrar dos números primos que dividan el siguiente número de 617 dígitos:

25.195.908.475.657.893.494.027.183.240.048.398.
571.429.282.126.204.032.027.777.137.836.043.662.
020.707.595.556.264.018.525.880.784.406.918.290.
641.249.515.082.189.298.559.149.176.184.502.808.
489.120.072.844.992.687.392.807.287.776.735.971.
418.347.270.261.896.375.014.971.824.691.165.077.
613.379.859.095.700.097.330.459.748.808.428.401.
797.429.100.642.458.691.817.195.118.746.121.515.
172.654.632.282.216.869.987.549.182.422.433.637.
259.085.141.865.462.043.576.798.423.387.184.774.
447.920.739.934.236.584.823.824.281.198.163.815.
010.674.810.451.660.377.306.056.201.619.676.256.
133.844.143.603.833.904.414.952.634.432.190.114.
657.544.454.178.424.020.924.616.515.723.350.778.
707.749.817.125.772.467.962.926.386.356.373.289.
912.154.831.438.167.899.885.040.445.364.023.527.
381.951.378.636.564.391.212.010.397.122.822.120.

720.357

Los números primos están escondidos en la naturaleza, pero los humanos los han usado de una manera espectacular, le dice a la BBC el matemático Marcus du Sautoy.

Desde que los humanos evolucionamos en este planeta, hemos estado tratando de comprender el mundo que nos rodea.

Hemos intentado explicar la razón de que el mundo se vea y se comporte de la manera en que lo hace, para predecir que nos espera en el futuro. Y, al buscar las respuestas, hemos descubierto un código que le da sentido a la enorme complejidad que nos confronta: las matemáticas.

Al traducir la naturaleza a un código de números, hemos revelado estructuras y patrones subyacentes que controlan nuestro medio ambiente.

Pero no sólo eso. Al aplicar el código de la naturaleza, hemos podido cambiar nuestro entorno, hemos construido ciudades extraordinarias y desarrollado una tecnología asombrosa que ha dado como resultado el mundo moderno.

Zumbando discretamente en el planeta que habitamos hay un mundo invisible de números, patrones y geometría. Las matemáticas son el código que le da sentido a nuestro universo.

Entre los árboles

Desde siempre, la humanidad ha tratado de decifrar el código de la naturaleza.

En los bosques de Tennessee este verano, parte de este código literalmente brota de la tierra. El sonido de Nashville es usualmente la música country.

Pero cada 13 años, un coro de unos insectos que me han fascinado desde que me convertí en matemático ahoga las melodías de los banyos y los bajos por seis semanas.

La supervivencia de las cigarras o chicharras (cicadidae o cícadas-en su etapa ninfal) depende de explotar las extrañas propiedades de unos de los números más fundamentales de las matemáticas: los primos, números que son sólo divisibles por sí mismos y por 1.

Las cigarras, que en América del Norte sólo se encuentran en el este, aparecen periódicamente pero sólo emergen después de un número primo de años: 13, en el caso de la nidada de este año en Nashville.

Los bosques han estado en silencio durante 12 años desde la última invasión de estos bichos matemáticos en 1998, y los vecinos no serán molestados de nuevo hasta 2024.

Entre más primo...

La elección de un ciclo de 13 años no parece muy arbitraria. Hay otras dos nidadas en América del norte que tienen el mismo ciclo de vida, apareciendo en diferentes regiones en años distintos.

Además, hay otras 12 nidadas que aparecen cada 17 años.

Escoger el número correcto en el ciclo de vida es ventajoso.

Uno podría sencillamente descartar estas cifras calificándolas de aleatorias. No
obstante, es muy curioso que no haya cigarras con ciclos de vida de 12, 14, 15, 16 o 18 años.

Si uno las mira con ojos de matemático, emerge un patrón.

13 y 17 son indivisibles y eso le da a las cigarras una ventaja evolutiva, pues los números primos ayudan a evitar a otros animales con conductas periódicas.

Suponga, por ejemplo, que un depredador aparece cada seis años en el bosque. Una cigarra con un ciclo de ocho o nueve años coincidiría con el depredador mucho más a menudo que una con un ciclo de siete años.

La ventaja del primo

Estos insectos están aprovechando el código matemático para sobrevivir.
Las cigarras, sin darse cuenta, descubrieron los números primos usando tácticas evolucionistas, pero los humanos han llegado a entender que estos números no sólo son la clave de la supervivencia sino que son nada menos que las piedras angulares del código de las matemáticas.

Cada número se hace multiplicando números primos y de los números salen las matemáticas y de las matemáticas sale toda la ciencia.

Pero los humanos no se han limitado simplemente a observar la importancia de esos números para la naturaleza. Al entender su carácter fundamental y explorar sus propiedades, los humanos los han puesto literalmente en el corazón de los códigos que protegen en la actualidad los cibersecretos del mundo.

De compras

La criptografía que asegura nuestras tarjetas de crédito cuando compramos cosas en línea explota los mismos números que protegen a las cigarras de América del Norte: los primos.

Cada vez que usted envía su número de tarjeta de crédito a un sitio de internet, depende de los números primos para mantener sus detalles en secreto. Para codificar su número de tarjeta, su computadora recibe un número público N de la página web, el cual usa para hacer un cálculo con el número de su tarjeta de crédito.

Eso torna a sus datos en un mensaje cifrado que pueda viajar por el mundo virtual. Para decodificar el mensaje, el sitio web usa los números primos que dividen a N. A pesar de que N es público, los números primos que dividen a N son las claves desconocidas que revelan el secreto.

La razón de que sea tan seguro es que, a pesar de que es fácil multiplicar dos números primos, es casi imposible separarlos.

Enigma

Los números primos son los átomos de la aritmética. El hidrógeno y oxígeno del mundo de los números.

Al mismo tiempo, a pesar de su carácter fundamental, también son una de las mayores incognitas de las matemáticas.

Eso debido a que, aunque sabemos que los números primos siguen hasta el infinito, en el universo de los números, es casi imposible encontrar patrones que ayuden a predecir dónde encontrar el próximo número primo.

Hay una oferta de una recompensa de un millón de dólares para la persona que pueda revelar el secreto de estos números.

Aunque han sido la llave para descifrar tanto del código de la naturaleza, los números primos son un enigma tan grande en la actualidad como lo eran el día en que las cigarras de los bosques de Tennessee empezaron a aprovecharlos para poder sobrevivir.

Fuente:

El Mundo Ciencia

El problema del agujero en el triángulo

Especial: Matemáticas

SOLUCIÓN:

Estudian si los disléxicos tienen problemas para identificar las voces

Se cree que la dislexia también puede estar relacionada con dificultades para identificar voces.

Las personas con dislexia tienen problemas para reconocer ciertas voces, según sugiere un estudio científico.

El hallazgo es la primera evidencia de que pequeños sonidos de la voz humana, que son variables entre las personas, son difíciles de oír para los disléxicos.

En una publicación en la revista Science los científicos dicen que mucha gente podría tener un cierto grado de "ceguera auditiva".

Mediante su estudio los científicos esperan entender mejor cómo ha evolucionado el cerebro humano para reconocer el lenguaje.

Los humanos dependemos de sonidos cortos llamados fonemas para distinguir a la voz de una persona de otra.

Cuando tratamos de pronunciar por primera vez algunas palabras, usamos esos fonemas, sonidos que nuestros padres nos enseñan a emitir.

Pero a medida que vamos desarrollando la capacidad de lectura, nos hacemos menos dependientes del reconocimiento de esos sonidos para leer y eventualmente no los notamos más.

Pero aunque los ignoremos, los fonemas siguen siendo importantes para el reconocimiento de la voz.

Las inflexiones mínimas en la manera como las personas pronuncian los fonemas le permiten al que escucha diferenciar una voz de otra.

Como se sabe que la gente que sufre de dislexia tiene problemas con los fonemas al leer, un equipo científico de EE.UU. se cuestionó si tendrían también que esforzarse para escucharlos en las voces de otras personas.

Escucha bien

Los fonemas permiten al que oye identificar voces familiares en ambientes ruidosos

Para la investigación el equipo agrupó 30 individuos de edades, educación y coeficiente intelectual similares y los puso en dos campos: los que tenían y los que no tenían historia de dislexia.

Los sujetos de la investigación pasaron un periodo de entrenamiento para aprender a asociar 10 voces distintas –la mitad hablando en inglés, la mitad hablando en chino- con 10 avatares generados por computadora.

Luego se les preguntó cuántas de esas voces podían vincular a los avatares.

Los no disléxicos superaron a los que tenían historia de dislexia por un 40% cuando escuchaban las voces en inglés, aunque la ventaja desaparecía cuando escuchaban a los que hablaban en chino.

Dorothy Bishop, especialista en neuropsicología del desarrollo de la Universidad de Oxford piensa que ese se debe a que "cuando están escuchando chino, la disputa es más pareja porque ninguno ha aprendido a oír los fonemas chinos".

Los investigadores creen que los disléxicos no tiene una librería de sonidos de fonemas tan exhaustiva en sus cabezas, y por eso tienen dificultades cuando escuchan fonemas hablados por voces que no les son familiares porque sus "referencias" no están tan bien definidas.

Jabberwocky

Los investigadores sospechan que la "ceguera auditiva" podría ser más común de lo que se cree.

"Es un resultado muy interesante, la única cosa que quisiera realmente ver para convencerme es si repitieran el experimento usando Jabberwocky, dijo Bishop, haciendo referencia al poema "sin sentido" escrito por el inglés Lewis Carroll, autor de Las Aventuras de Alicia en el País de las Maravillas.

Jabberwocky está lleno de palabras nuevas o sin real significado combinadas de manera rítmica con intención humorística, por lo que la académica piensa que permitiría a los investigadores determinar si las personas escuchando identifican quién es quién por el significado de lo que dicen o si dependen puramente de los fonemas.

La Dra. Bishop especula que los no disléxicos podrían ser menos efectivos en extraer el significado de las palabras, por lo que tendrían un desempeño más bajo en esta prueba.

El jefe del equipo de investigadores, Tyler Perrachione, del Instituto Tecnológico de Massachusetts en Cambride, EE.UU, considera que entender el mecanismo del reconocimiento de voz es importante porque permite al que escucha identificar una voz familiar por encima del bullicio de una habitación llena de gente.

Perrachione explica que se sabe muy poco de la "ceguera auditiva", que formalmente se conoce con el nombre de fonagnosia.

"En realidad la fonagnosia es probablemente mucho mas común, pero las personas que no reconocen que las voces suenan distinto tal vez ni se percaten de que carecen de la habilidad de identificar las voces".

Fuente:

El Mundo Ciencia

Contenido relacionado

Latest Posts:

31 de julio de 2011

Confusión entre necesario y suficiente: el caso de la diferenciabilidad

16 horas 14 minutos 18 segundos en 34 años

La magia del Teorema de Gauss

Números Primos: El código oculto de la naturaleza

El problema del agujero en el triángulo

Estudian si los disléxicos tienen problemas para identificar las voces