Matemáticas agresivas: el rifle de Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (que por cierto cumplió años hace nada). El príncipe de los matemáticos, y no por nada: contribuyó en teoría de números, análisis matemático, geometría diferencial, estadística, álgebra, geodesia, magnetismo, óptica… hasta tiene un premio con su nombre.

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Y en esa entrada me centraré en una de las aplicaciones que tuvo su trabajo en uno de los campos mencionados: el magnetismo. A muchos de los que hayan hecho física en 2º de bachiller les debe sonar el tema de inducción (yo le tenía pánico, sinceramente) pero para los que no hayan dado el tema, haga mucho que lo han dado o simplemente les falta refrescar conceptos, conviene dar unas pinceladas antes de proseguir (lo expondré a grosso modo, perdonadme físicos del mundo):

Coge un solenoide (un alambre en espiral, por ejemplo). Coge un imán. Haz pasar el imán por dentro del solenoide… ¡y voilà! corriente eléctrica, más concretamente corriente eléctrica inducida. Obviamente, con un imán de los de andar por casa el efecto será muy depreciable (habría que pasarlo a gran velocidad y que fuera potente). El efecto recíproco también ocurre, esto es, haz pasar electricidad por un solenoide e inducirás un campo magnético.

La inducción electromagnética (no confundir con la inducción matemática, de la que hablamos aquí) la descubrió y experimentó con ella el gran físico Michael Faraday, mientras que la ley que relaciona el campo magnético con el eléctrico es la que se conoce como ley de Ampère y la mayoría de demostraciones matemáticas del efecto de campos electromagnéticos corrieron de la mano de Gauss. Esto ha tenido muchísimas aplicaciones (además de las cocinas de inducción, de aquí el nombre) incluidas algunas más claramente… peligrosas:

Sí, todo eso es una pistola

Llamada coilgun, pistola de Gauss, rifle de Gauss o cañón de Gauss, este arma se basa en lo que hemos comentado arriba, en las demostraciones que realizó Gauss en su día. La patente de este arma es de Kristian Birkeland en 1900, un hombre conocido también por sus estudios sobre la Aurora boreal. En principio, el funcionamiento no es complicado: una serie de bobinas puestas una detrás de otra, por las que van pasando corriente sucesivamente. Pongamos un proyectil ferromagnético al principio de esta cadena. Al pasar la corriente por la primera bobina, esta creará un campo magnético inducido que atraerá al proyectil. Se apaga, y se enciende la segunda, haciendo que el proyectil siga y se acelere hacia la segunda, y así sucesivamente hasta que no quedan bobinas y el proyectil sale disparado. No es tan difícil… en principio.

Los electroimanes deben encenderse y apagarse en un momento muy preciso, debido al fenómeno físico de la histéresis. Básicamente es que al desconectar la corriente eléctrica, unos momentos después todavía podría atraer el proyectil desacelerándolo, lo contrario de lo que se pretende. Por eso hay cañones de Gauss que incluso llevan cronometraje electrónico para optimizar estos inconvenientes.

 

Este trabuco (de más de 4 kg de peso), en modo automático, dispara una media de 7,5 balas por segundo. La velocidad que alcanzan estas balas es de 39 metros por segundo. Puede parece bastante a simple vista, pero tened en cuenta que una bala típica del calibre 22 alcanza los 335 metros por segundo… sin contar que por esto en ocasiones las balas tienden a desviarse. Quizás por eso Birkeland no consiguió que su arma alcanzara fines militares como metralleta (quitando de videojuegos como el Fallout o el Halo).

Como ventajas respecto a otras armas tiene que, al no contar con pólvora, el único ruido perceptible es el de las balas cuando alcanzan grandes velocidades, además de que puede ser alargado indefinidamente añadiéndole más solenoides y consiguiendo así que los proyectiles salgan a más velocidad. Hay incluso estudios, donde se comprueba cuales son las mejores condiciones para estos dispositivos. Si de momento no tiene fines militares… ¿para qué se usa? En la actualidad, principalmente se suele utilizar para hacer prototipos caseros (menos agresivos) con materiales casi de andar por casa. Una de las propuestas de utilización sería para lanzar objetos al espacio (tales como satélites) pero sigue teniendo muchos inconvenientes técnicos de coste e inestabilidad en el laboratorio.

Así que ahora ya lo sabéis… cuidadín con Gauss.

Fermat una vez contrarió a Gauss. El resultado: El último teorema de Fermat.

Pd: aquí os dejo un vídeo para que observéis los efectos del cañón de Gauss sobre unos cuantos objetos…

Fuente:

Scire Science

La magia del Teorema de Gauss

Especial: Matemáticas

La primera parte de este articulo es una colaboración que me envió Sergio hace bastante tiempo.

Cuando estaba en el instituto, una de las cosas que más me sorprendía (y me tocaba las narices, todo hay que decirlo) era el Teorema de Gauss. Y no porque fuera difícil o porque fuera algo grandioso que destacara sobre el resto del temario, sino porque aparecía cuando menos te lo esperabas. Empezamos con el teorema de Gauss aplicado al campo gravitatorio, y cuando ya te lo sabías de memoria y habías trabajado con él hasta la saciedad (y muchos rezaban por no volver a verlo), de repente aparecía para el campo eléctrico. Además, lo mismo daba aplicarlo sobre distribuciones de carga lineales, planas o de volumen, valía para todo. La primera conclusión es que este Gauss era un genio (que lo era, no lo vamos a negar), tenía soluciones para todos los problemas tanto de gravitación como de electricidad. Uno tenía la sensación de que si le hubieran dejado, habría hecho toda la ciencia de la humanidad él solo.

Para recordar un poco aquellas clases de bachillerato, vamos a hacer un poco de memoria. El teorema de Gauss nos hablaba del flujo del campo eléctrico (o gravitatorio) a través de una superficie cerrada:

Haciendo unas cuentas vemos que podemos siempre separar el campo en dos componentes perpendiculares, la normal a la superficie y la tangente, y al tener un producto escalar, solo nos interesa la normal, .

Llegados a este punto, en cualquier ejercicio teníamos que elegir una superficie cerrada que contuviera a todo lo que generara el campo: partículas puntuales, hilos cargados, esferas… El profesor siempre decía:

Podéis elegir cualquier superficie que contenga todo esto, pero luego tendréis que hallar la integral, así que mejor elegís una sencillita.

Dicho y hecho. Para partículas puntuales elegíamos esferas, para hilos cilindros y para planos cajas, todas superficies de las que podemos calcular su volumen sin necesidad de integrar. Además, se elegía esta superficie para que el valor del campo en ella fuera constante, es decir, para que la superficie estuviera siempre a la misma distancia de las partículas. ¿Por qué? Porque si el valor del campo permanece constante a lo largo de toda la superficie, lo podemos sacar de la integral, y nos quedará

Y ahora sí, sabiendo qué superficie tenemos sólo hay que calcularla.

Para continuar, si suponemos que tenemos una superficie esférica, y que el campo lo crea una carga en el centro de la esfera, obtenemos por un lado

y por otro

de donde tenemos que

Con esto teníamos al fin dos igualdades, una que nos daba el flujo como una integral del campo a través de la superficie y otra como la carga total encerrada por la superficie partido de . Ahora sólo necesitábamos datos, sustituir y despejar lo que nos faltaba en el problema. Esto que es tan sencillo es realmente útil. Se usa hasta en cursos de electromagnetismo de la carrera de Física, y puede llegar a complicarse una barbaridad.

Y después de toda esta perorata, ¿acaso pensó Gauss en esto alguna vez? ¿Fue su intención al formular el teorema simplificar los cálculos en electromagnetismo? ¿Lo ideo acaso para el campo gravitatorio y luego lo aplicó al resto? A la primera pregunta no puedo contestar, a saber en lo que pensó Gauss y en lo que no, pero la respuesta de las otras dos es casi seguro no. Sólo hace falta pasarse por la Wikipedia para ver la formulación real del teorema de Gauss:

Teorema: (de la divergencia)

Sean y dos subconjuntos abiertos de , con y el borde de , tal que es simplemente conexo y es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.

Sea un campo vectorial de clase , es decir, cuenta con derivadas parciales de primero orden continuas. Entonces:

donde el vector , normal a la superficie, apunta hacia el exterior del volumen .

o echarle un vistazo al enunciado que aparece en el libro Cálculo II, de Alfonsa García, Antonio López, Gerardo Rodríguez, Sixto Romero y Agustín de la Villa:

Teorema: (de la divergencia)

Sea un dominio simplemente conexo y acotado de . Sea

un campo vectorial con derivadas primeras continuas en . Sea un sólido conexo cuya frontera es la superficie cerrada , estando y contenidos en . Entonces se verifica la siguiente igualdad:

Como se puede ver, Gauss formuló el teorema para cualquier campo, pero luego se aplica a campos bien conocidos. La auténtica magia de este teorema es que nos relaciona lo que pasa en una superficie cerrada con lo que hay dentro de ella. Si la superficie fuera una cortina opaca que no nos dejara ver que hay dentro, aún podríamos obtener información sobre ese sistema estudiando lo que pasa en la superficie a la que si tenemos acceso.

En relación con el ejemplo anterior, hay que ver que si el campo presenta las simetrías que se le piden, al calcular la integral de la divergencia todo se simplifica enormemente, puesto que cada componente del campo solo depende de una coordenada, y es por eso por lo que obtendremos la carga interior a la superficie.

Señores y señoras, otro ejemplo más de que las matemáticas más abstractas (la integral triple de la divergencia de un campo vectorial en un volumen dado es igual al flujo de dicho campo a través de la superficie que encierra dicho volumen), tienen su aplicación práctica en el mundo real (calcular la fuerza con la que un hilo cargado atrae a una carga, por ejemplo).

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La historia del teorema de Gauss, o teorema de la divergencia, tiene se interés en el sentido de que ni mucho menos es Gauss el único implicado en el enunciado y demostración del mismo. De hecho parece ser que en principio Gauss consideró tres casos particulares (que se preocupó de demostrar) de un teorema más general que enunció y demostró el matemático ruso Mikhail Ostrogradski en un trabajo que presentó a la Academia de Ciencias de París en 1826 (aunque, si nos ponemos estrictos, podemos considerar a Lagrange y Laplace como los verdaderos precursores, gracias a la utilización del Teorema Fundamental del Cálculo). Los matemáticos franceses Simeon Denis Poisson y Frederic Sarrus también presentaron, en 1828 y de forma independiente, demostraciones de este resultado. El matemático inglés George Green también tuvo cierta relación con este interesante y útil teorema.

Por otra parte, parece que todos los matemáticos que enunciaron y probaron versiones de este teorema estaban interesados en él por razones físicas (aunque en algunos casos demostraran resultados generales): Gauss en teoría de atracción magnética, Ostrogradski en teoría del calor, Green en electricidad y magnetismo, Poisson en cuerpos elásticos y Sarrus en cuerpos flotantes. En casi todos los casos el teorema estaba incluido como herramienta en un trabajo más extenso que tenía una finalidad física.

Fuente: The History of Stokes’ Theorem, de Victor J. Katz (gracias Francis, ya sabes el porqué).

Fuente:

Gaussianos

Especial - Matemática:
Geometría con regla y compás (II)

A partir de esta sugerencia de Domingo he decidido ampliar la serie sobre Construcciones con regla y compás con un artículo más donde voy a explicar paso a paso la construcción del Heptadecágono, el polígono regular de 17 lados.

Como ya sabemos fue Gauss el primero que demostró que es posible construir este polígono regular con regla y compás con 19 años de edad. Tiempo después escribía lo siguiente:

“Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica.”

El problema de su demostración es que no fue constructiva, es decir, no nos mostró los pasos que hay que seguir para construirlo. Fue Johannes Erchinger el encargado de mostrarnos por primera vez un método para construir el heptadecágono consistente en 64 pasos.

La explicación se va a realizar de la siguiente forma: en cada una de las partes en las que he dividido el método habrá varias cosas hechas en el paso anterior. En cada uno de ellos se podrá ver una imagen de la construcción hasta ese momento:

Parte 1

Partimos, como en muchas de las construcciones que hemos visto en la serie, de un eje de coordenadas con centro y otro punto en el eje al que llamamos . Trazamos circunferencia de centro y radio . Llamamos al punto de corte de esa circunferencia con la parte positiva del eje y trazamos circunferencia de centro y radio . Esta circunferencia corta a en dos puntos a los que llamamamos y . Trazamos el segmento que corta al eje en un punto al que llamamos . Las figuras construidas en este paso están en color negro.

Parte 2

Trazamos las circunferencias de radio que tienen sus centros en y en . Llamamos a los dos puntos de corte entre ellas y . Trazamos el segmento que corta al eje en un punto al que llamamos . Trazamos ahora la bisectriz del ángulo y después la bisectriz de ella con el eje . Llamamos a la intersección de esta última bisectriz con el eje . Las figuras construidas en este paso están en color azul.

Parte 3

Trazamos la perpendicular al segmento que pasa por el punto y después la bisectriz de esta recta con la recta que pasa por y por . Llamamos al punto de corte con el eje . Construimos el punto medio del segmento y lo llamamos . Trazamos la circunferencia de centro y radio . Llamamos al punto de corte de esta circunferencia con la parte superior del eje . Las figuras construidas en este paso están en color verde.

Parte 4

Trazamos la circunferencia de centro y radio y llamamos y a los puntos de corte de la misma con el eje (nótese que queda muy cerca de , pero no son el mismo punto). Trazamos las perpendiculares al eje que pasan por y por . Estas perpendiculares cortan a la circunferencia inicial en y , que son dos de los vértices del heptadecágono. Trazamos la bisetriz del ángulo que corta a la circunferencia inicial en el punto , que es también uno de los vértices del heptadecágono. De hecho la longitud de cada uno de los lados es tanto la distancia como la distancia . Trasladando esta distancia por la circunferencia inicial las veces necesarias obtenemos los vértices que nos faltan. Las figuras construidas en este paso están en color rojo.

Uniendo todos los vértices obtenidos llegamos a la construcción del heptadecágono. Para que se vea mejor he eliminado la circunferencia inicial.

Como habéis podido ver la construcción no es fácil a priori, pero al final el esfuerzo merece la pena. Ahora, como con todos los artículos de la serie, lo suyo sería que lo intentarais por vuestra cuenta para ver si conseguís construir un heptadecágono con esta explicación.

Fuentes:

• Construcción del Heptadecágono en la web del MEC.
• Construcción animada del Heptadecágono en la Wikipedia (en inglés).
• Y, evidentemente, Regla y Compás: Zirkel.jar, programa del que ya hablé en el post anterior de la serie que es realmente maravilloso para este tipo de construcciones. Gracias otra vez Concepción, impresionante descubrimiento este software.

Fuente:

Gaussianos