Geometría: Algunas curiosidades sobre los polígonos

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por un número finito de líneas rectas conectadas que forman una figura cerrada. A continuación vamos a ver algunas de las curiosas propiedades que los caracterizan:


 1. En todos los polígonos regulares, la fórmula genérica para el cálculo de su área es:

El polígono regular con mayor número de lados és la circunferencia, ya que en ella, N = ∞.

En este caso, el área comprendida dentro de la circunferencia (el círculo) naturalmente también cumple la fórmula:

En el caso de cualquier polígono, sea regular o irregular, se cumple que:

2. Siendo un polígono de N lados, el número de diagonales (D) es:

Por ejemplo, el heptágono regular tiene 14 diagonales:

3. La suma de ángulos interiores, en grados sexagesimales, es:

4. La suma de los ángulos exteriores es siempre 360º, también sexagesimales.

Fuente:

Universo Fórmulas

¿Todas las tapas de alcantarilla son redondas?

Miércoles, 27 de enero de 2010

¿Todas las tapas de alcantarilla son redondas?

Es un hecho demostrado, que los alcantarilleros del mundo deben la salud de sus cabezas a la feliz idea de hacer las pesadas tapas de alcantarilla redondas. De no ser así (imaginemos una tapa cuadrada) las temidas diagonales habrían provocado más de un accidente mortal, puesto que las tapas podrían caer al interior de la boca de alcantarilla. El hecho de que la anchura de un círculo (es decir, el diámetro) sea siempre el mismo, es pues la razón de que esta sea la forma más empleada, ya que por precaución las tapas se fabrican un poco más anchas que los conductos que cubren.

Pero lo que me ha llamado la atención de verdad es saber que existe otra figura geométrica que también serviría como cubierta de boca de alcantarilla segura. Se trata del tríangulo de Reuleaux, una figura que se crea – partiendo de un triángulo equilátero – apoyando el compás en cada uno de sus vértices y trazando una circunferencia, cuyo radio es el lado del tríangulo, que una a los dos vértices opuestos. La operación debe repetirse con cada uno de los vértices.

La particularidad de este triángulo curvo es que tiene una anchura constante (todos los diámetros miden lo mismo) por lo que, al igual que nuestras conocidas tapas redondas, es imposible que una cubierta con esta forma pudiera caer al interior de la alcantarilla. En realidad, esta condición se cumple no solo en el triángulo de Reuleaux, sino en cualquier otro polígono equilátero curvo impar (triángulo, pentágono, heptágono, etc.), ya que la anchura es constante en todos ellos.

Fuente:

Mailkenais Blog

Especial - Matemática:
Geometría con regla y compás (II)

A partir de esta sugerencia de Domingo he decidido ampliar la serie sobre Construcciones con regla y compás con un artículo más donde voy a explicar paso a paso la construcción del Heptadecágono, el polígono regular de 17 lados.

Como ya sabemos fue Gauss el primero que demostró que es posible construir este polígono regular con regla y compás con 19 años de edad. Tiempo después escribía lo siguiente:

“Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica.”

El problema de su demostración es que no fue constructiva, es decir, no nos mostró los pasos que hay que seguir para construirlo. Fue Johannes Erchinger el encargado de mostrarnos por primera vez un método para construir el heptadecágono consistente en 64 pasos.

La explicación se va a realizar de la siguiente forma: en cada una de las partes en las que he dividido el método habrá varias cosas hechas en el paso anterior. En cada uno de ellos se podrá ver una imagen de la construcción hasta ese momento:

Parte 1

Partimos, como en muchas de las construcciones que hemos visto en la serie, de un eje de coordenadas con centro y otro punto en el eje al que llamamos . Trazamos circunferencia de centro y radio . Llamamos al punto de corte de esa circunferencia con la parte positiva del eje y trazamos circunferencia de centro y radio . Esta circunferencia corta a en dos puntos a los que llamamamos y . Trazamos el segmento que corta al eje en un punto al que llamamos . Las figuras construidas en este paso están en color negro.

Parte 2

Trazamos las circunferencias de radio que tienen sus centros en y en . Llamamos a los dos puntos de corte entre ellas y . Trazamos el segmento que corta al eje en un punto al que llamamos . Trazamos ahora la bisectriz del ángulo y después la bisectriz de ella con el eje . Llamamos a la intersección de esta última bisectriz con el eje . Las figuras construidas en este paso están en color azul.

Parte 3

Trazamos la perpendicular al segmento que pasa por el punto y después la bisectriz de esta recta con la recta que pasa por y por . Llamamos al punto de corte con el eje . Construimos el punto medio del segmento y lo llamamos . Trazamos la circunferencia de centro y radio . Llamamos al punto de corte de esta circunferencia con la parte superior del eje . Las figuras construidas en este paso están en color verde.

Parte 4

Trazamos la circunferencia de centro y radio y llamamos y a los puntos de corte de la misma con el eje (nótese que queda muy cerca de , pero no son el mismo punto). Trazamos las perpendiculares al eje que pasan por y por . Estas perpendiculares cortan a la circunferencia inicial en y , que son dos de los vértices del heptadecágono. Trazamos la bisetriz del ángulo que corta a la circunferencia inicial en el punto , que es también uno de los vértices del heptadecágono. De hecho la longitud de cada uno de los lados es tanto la distancia como la distancia . Trasladando esta distancia por la circunferencia inicial las veces necesarias obtenemos los vértices que nos faltan. Las figuras construidas en este paso están en color rojo.

Uniendo todos los vértices obtenidos llegamos a la construcción del heptadecágono. Para que se vea mejor he eliminado la circunferencia inicial.

Como habéis podido ver la construcción no es fácil a priori, pero al final el esfuerzo merece la pena. Ahora, como con todos los artículos de la serie, lo suyo sería que lo intentarais por vuestra cuenta para ver si conseguís construir un heptadecágono con esta explicación.

Fuentes:

• Construcción del Heptadecágono en la web del MEC.
• Construcción animada del Heptadecágono en la Wikipedia (en inglés).
• Y, evidentemente, Regla y Compás: Zirkel.jar, programa del que ya hablé en el post anterior de la serie que es realmente maravilloso para este tipo de construcciones. Gracias otra vez Concepción, impresionante descubrimiento este software.

Fuente:

Gaussianos