Especial - Matemática:
Geometría con regla y compás (II)

A partir de esta sugerencia de Domingo he decidido ampliar la serie sobre Construcciones con regla y compás con un artículo más donde voy a explicar paso a paso la construcción del Heptadecágono, el polígono regular de 17 lados.

Como ya sabemos fue Gauss el primero que demostró que es posible construir este polígono regular con regla y compás con 19 años de edad. Tiempo después escribía lo siguiente:

“Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica.”

El problema de su demostración es que no fue constructiva, es decir, no nos mostró los pasos que hay que seguir para construirlo. Fue Johannes Erchinger el encargado de mostrarnos por primera vez un método para construir el heptadecágono consistente en 64 pasos.

La explicación se va a realizar de la siguiente forma: en cada una de las partes en las que he dividido el método habrá varias cosas hechas en el paso anterior. En cada uno de ellos se podrá ver una imagen de la construcción hasta ese momento:

Parte 1

Partimos, como en muchas de las construcciones que hemos visto en la serie, de un eje de coordenadas con centro y otro punto en el eje al que llamamos . Trazamos circunferencia de centro y radio . Llamamos al punto de corte de esa circunferencia con la parte positiva del eje y trazamos circunferencia de centro y radio . Esta circunferencia corta a en dos puntos a los que llamamamos y . Trazamos el segmento que corta al eje en un punto al que llamamos . Las figuras construidas en este paso están en color negro.

Parte 2

Trazamos las circunferencias de radio que tienen sus centros en y en . Llamamos a los dos puntos de corte entre ellas y . Trazamos el segmento que corta al eje en un punto al que llamamos . Trazamos ahora la bisectriz del ángulo y después la bisectriz de ella con el eje . Llamamos a la intersección de esta última bisectriz con el eje . Las figuras construidas en este paso están en color azul.

Parte 3

Trazamos la perpendicular al segmento que pasa por el punto y después la bisectriz de esta recta con la recta que pasa por y por . Llamamos al punto de corte con el eje . Construimos el punto medio del segmento y lo llamamos . Trazamos la circunferencia de centro y radio . Llamamos al punto de corte de esta circunferencia con la parte superior del eje . Las figuras construidas en este paso están en color verde.

Parte 4

Trazamos la circunferencia de centro y radio y llamamos y a los puntos de corte de la misma con el eje (nótese que queda muy cerca de , pero no son el mismo punto). Trazamos las perpendiculares al eje que pasan por y por . Estas perpendiculares cortan a la circunferencia inicial en y , que son dos de los vértices del heptadecágono. Trazamos la bisetriz del ángulo que corta a la circunferencia inicial en el punto , que es también uno de los vértices del heptadecágono. De hecho la longitud de cada uno de los lados es tanto la distancia como la distancia . Trasladando esta distancia por la circunferencia inicial las veces necesarias obtenemos los vértices que nos faltan. Las figuras construidas en este paso están en color rojo.

Uniendo todos los vértices obtenidos llegamos a la construcción del heptadecágono. Para que se vea mejor he eliminado la circunferencia inicial.

Como habéis podido ver la construcción no es fácil a priori, pero al final el esfuerzo merece la pena. Ahora, como con todos los artículos de la serie, lo suyo sería que lo intentarais por vuestra cuenta para ver si conseguís construir un heptadecágono con esta explicación.

Fuentes:

• Construcción del Heptadecágono en la web del MEC.
• Construcción animada del Heptadecágono en la Wikipedia (en inglés).
• Y, evidentemente, Regla y Compás: Zirkel.jar, programa del que ya hablé en el post anterior de la serie que es realmente maravilloso para este tipo de construcciones. Gracias otra vez Concepción, impresionante descubrimiento este software.

Fuente:

Gaussianos