La magia del Teorema de Gauss

Especial: Matemáticas

La primera parte de este articulo es una colaboración que me envió Sergio hace bastante tiempo.

Cuando estaba en el instituto, una de las cosas que más me sorprendía (y me tocaba las narices, todo hay que decirlo) era el Teorema de Gauss. Y no porque fuera difícil o porque fuera algo grandioso que destacara sobre el resto del temario, sino porque aparecía cuando menos te lo esperabas. Empezamos con el teorema de Gauss aplicado al campo gravitatorio, y cuando ya te lo sabías de memoria y habías trabajado con él hasta la saciedad (y muchos rezaban por no volver a verlo), de repente aparecía para el campo eléctrico. Además, lo mismo daba aplicarlo sobre distribuciones de carga lineales, planas o de volumen, valía para todo. La primera conclusión es que este Gauss era un genio (que lo era, no lo vamos a negar), tenía soluciones para todos los problemas tanto de gravitación como de electricidad. Uno tenía la sensación de que si le hubieran dejado, habría hecho toda la ciencia de la humanidad él solo.

Para recordar un poco aquellas clases de bachillerato, vamos a hacer un poco de memoria. El teorema de Gauss nos hablaba del flujo del campo eléctrico (o gravitatorio) a través de una superficie cerrada:

$\Phi = \displaystyle{\int_S \vec{E} \cdot \mathbf{d} \vec{s}}$

Carl Friedrich Gauss
Haciendo unas cuentas vemos que podemos siempre separar el campo en dos componentes perpendiculares, la normal a la superficie $S$ y la tangente, y al tener un producto escalar, solo nos interesa la normal, $E_n$ .

Llegados a este punto, en cualquier ejercicio teníamos que elegir una superficie cerrada que contuviera a todo lo que generara el campo: partículas puntuales, hilos cargados, esferas… El profesor siempre decía:

Podéis elegir cualquier superficie que contenga todo esto, pero luego tendréis que hallar la integral, así que mejor elegís una sencillita.

Dicho y hecho. Para partículas puntuales elegíamos esferas, para hilos cilindros y para planos cajas, todas superficies de las que podemos calcular su volumen sin necesidad de integrar. Además, se elegía esta superficie para que el valor del campo en ella fuera constante, es decir, para que la superficie estuviera siempre a la misma distancia de las partículas. ¿Por qué? Porque si el valor del campo permanece constante a lo largo de toda la superficie, lo podemos sacar de la integral, y nos quedará

$\Phi = \displaystyle{\int_S E_n \cdot \mathbf{d} s= E_n \cdot \int_S \mathbf{d} s}$

Y ahora sí, sabiendo qué superficie tenemos sólo hay que calcularla.

Para continuar, si suponemos que tenemos una superficie esférica, y que el campo lo crea una carga $Q$ en el centro de la esfera, obtenemos por un lado

$E=k \; \cfrac{Q}{r^2}$

y por otro

$\displaystyle{\int_S \mathbf{d} s=4 \pi r^2}$

de donde tenemos que

$\Phi=k \cfrac{Q}{r^2} \cdot 4 \pi r^2=\cfrac{Q}{\epsilon_0}$

Con esto teníamos al fin dos igualdades, una que nos daba el flujo como una integral del campo a través de la superficie y otra como la carga total encerrada por la superficie partido de $\epsilon_0$ . Ahora sólo necesitábamos datos, sustituir y despejar lo que nos faltaba en el problema. Esto que es tan sencillo es realmente útil. Se usa hasta en cursos de electromagnetismo de la carrera de Física, y puede llegar a complicarse una barbaridad.

Y después de toda esta perorata, ¿acaso pensó Gauss en esto alguna vez? ¿Fue su intención al formular el teorema simplificar los cálculos en electromagnetismo? ¿Lo ideo acaso para el campo gravitatorio y luego lo aplicó al resto? A la primera pregunta no puedo contestar, a saber en lo que pensó Gauss y en lo que no, pero la respuesta de las otras dos es casi seguro no. Sólo hace falta pasarse por la Wikipedia para ver la formulación real del teorema de Gauss:

Teorema: (de la divergencia)

Sean $H$ y $U$ dos subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^3$ , con $U \subset H$ y $S$ el borde de $U$ , tal que $U$ es simplemente conexo y $S$ es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.

Sea $F: H \rightarrow \mathbb{R}^3$ un campo vectorial de clase $C^1$ , es decir, $F$ cuenta con derivadas parciales de primero orden continuas. Entonces:

$\displaystyle{\iint_S F \cdot \hat{n} \; dS= \iiint_U \nabla \cdot F \; dV}$

donde el vector $\hat{n}$ , normal a la superficie, apunta hacia el exterior del volumen $V$ .

o echarle un vistazo al enunciado que aparece en el libro Cálculo II, de Alfonsa García, Antonio López, Gerardo Rodríguez, Sixto Romero y Agustín de la Villa:

Teorema: (de la divergencia)

Sea $D$ un dominio simplemente conexo y acotado de $\mathbb{R}^3$ . Sea

$\overline{F}: D \subset \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$

un campo vectorial con derivadas primeras continuas en $D$ . Sea $V$ un sólido conexo cuya frontera es la superficie cerrada $\sigma$ , estando $V$ y $\sigma$ contenidos en $D$ . Entonces se verifica la siguiente igualdad:

$\displaystyle{\iint_{\sigma} \overline{F} \cdot \overline{d \sigma}= \iiint_V div(\overline{F}) \; dV}$

Como se puede ver, Gauss formuló el teorema para cualquier campo, pero luego se aplica a campos bien conocidos. La auténtica magia de este teorema es que nos relaciona lo que pasa en una superficie cerrada con lo que hay dentro de ella. Si la superficie fuera una cortina opaca que no nos dejara ver que hay dentro, aún podríamos obtener información sobre ese sistema estudiando lo que pasa en la superficie a la que si tenemos acceso.

En relación con el ejemplo anterior, hay que ver que si el campo presenta las simetrías que se le piden, al calcular la integral de la divergencia todo se simplifica enormemente, puesto que cada componente del campo solo depende de una coordenada, y es por eso por lo que obtendremos la carga interior a la superficie.

Señores y señoras, otro ejemplo más de que las matemáticas más abstractas (la integral triple de la divergencia de un campo vectorial en un volumen dado es igual al flujo de dicho campo a través de la superficie que encierra dicho volumen), tienen su aplicación práctica en el mundo real (calcular la fuerza con la que un hilo cargado atrae a una carga, por ejemplo).

Mikhail Ostrogradski
La historia del teorema de Gauss, o teorema de la divergencia, tiene se interés en el sentido de que ni mucho menos es Gauss el único implicado en el enunciado y demostración del mismo. De hecho parece ser que en principio Gauss consideró tres casos particulares (que se preocupó de demostrar) de un teorema más general que enunció y demostró el matemático ruso Mikhail Ostrogradski en un trabajo que presentó a la Academia de Ciencias de París en 1826 (aunque, si nos ponemos estrictos, podemos considerar a Lagrange y Laplace como los verdaderos precursores, gracias a la utilización del Teorema Fundamental del Cálculo). Los matemáticos franceses Simeon Denis Poisson y Frederic Sarrus también presentaron, en 1828 y de forma independiente, demostraciones de este resultado. El matemático inglés George Green también tuvo cierta relación con este interesante y útil teorema.

Por otra parte, parece que todos los matemáticos que enunciaron y probaron versiones de este teorema estaban interesados en él por razones físicas (aunque en algunos casos demostraran resultados generales): Gauss en teoría de atracción magnética, Ostrogradski en teoría del calor, Green en electricidad y magnetismo, Poisson en cuerpos elásticos y Sarrus en cuerpos flotantes. En casi todos los casos el teorema estaba incluido como herramienta en un trabajo más extenso que tenía una finalidad física.

Fuente: The History of Stokes’ Theorem, de Victor J. Katz (gracias Francis, ya sabes el porqué).

Fuente:

Gaussianos

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31 de julio de 2011

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