Para entender de qué va este aparente sinsentido, te propongo un reto: ve al mercado más próximo e intenta encontrar una manzana que pese, exactamente, 200 gramos. Ya que las manzanas suelen pesar entre 150 y 230 gramos, no parece tarea imposible.
Tras una ardua búsqueda, es muy posible que des con alguna que se acerque mucho… pero casi seguramente nunca encontrarás una que pese exactamente 200g. Piensa que el peso es una magnitud que puede tener decimales, lo que en matemáticas llamamos un número real: una manzana puede pesar 200,01 gramos o 199,999999978 gramos y, aún así, seguirían existiendo infinitos valores posibles entre esos pesos y el buscado.
Por lo tanto, sólo existe una posibilidad entre infinitas de encontrar nuestro objetivo.
Martes, 20 de julio de 2010
John von Neumann, la calculadora humana
John von Neumann (1903-1957) [matemático y científico húngaro, nacionalizado estadounidense] era bien conocido por su asombrosa y casi instantánea capacidad de cálculo. Para que el lector se haga una idea de esta increíble capacidad de von Neumann, expongo una anécdota relacionada con un problema matemático que tiene dos formas de resolverse, una sencilla y otra compleja. Veamos el enunciado:
Dos trenes separados por 200 kilómetros se mueven el uno hacia el otro por la misma vía. La velocidad de ambos trenes es de 50 kmh. En el momento inicial, una mosca situada en el morro de uno de los trenes comienza a volar hacia el otro, en viajes de ida y vuelta, a una velocidad de 75 kmh. Lo hace repetidamente hasta que ambos trenes chocan entre si matando a la mosca. ¿Qué distancia ha recorrido volando el insecto?
En realidad la mosca toca cada tren un número infinito de veces antes de morir aplastada, y uno podría resolver el problema a la manera difícil, usando lápiz y papel para sumar la serie infinita de distancias. Sin embargo el método simple funciona así:
Como los trenes están separados 200 km entre si, y cada uno viaja a 50 kmh, en dos horas cada uno habrá recorrido 100 km chocando en el punto intermedio. Por tanto, la mosca voló durante dos horas. Como sabemos que la mosca volaba a 75 kmh, es sencillo inferir que debió haber volado 150 km. Eso es todo lo que hay que hacer.
Cuando alguien le presentó este problema a John von Neumann, este respondió inmediatamente: “150 kilómetros“.
La persona que le hizo la pregunta, asombrada, respondió: “Es muy extraño, pero casi todo el mundo intenta resolverlo sumando la serie infinita“.
“¿Qué quiere decir con extraño?” respondió Von Neumann. “¡Así es como yo lo he hecho!”
Fuente:
Jueves, 13 de mayo de 2010
Infinitos primos
De vez en cuando es bueno releer a los clásicos, porque, parafraseando a Newton, si vemos más lejos es debido a estar sentados sobre los hombros de gigantes. Al grano, he releido una demostración de Euler sobre la infinitud del conjunto de los números primos, y, aunque es bien conocida, nos resultará provechoso refrescar nuestra memoria.
La demostración partió de sus estudios sobre la serie armónica, más bien de las consideraciones sobre su divergencia. Había probado que
no estaba acotada. Entonces, supuso que el número de primos era finito, pongamos p1,p2,p3,…,pk. Si esto era así cualquier numero n>1 se podía escribir como producto de potencias estos primos
Por tanto, si a es el mayor de todos los exponentes, resulta
Pero cada suma entre paréntesis es una suma parcial de una serie geométrica de razón menor que uno, luego
Así que podemos acotar aún más la suma parcial del principio
Euler acababa de encontrar una conclusión extraña, la suposición de que el número de primos fuese finito implicaba que la serie armónica estaba acotada. Contradición. Al igual que Euclides había demostrado que suponer un numero finito de primos no llevaba a nada bueno.
Esta demostración conduce al problema en la actualidad más famoso de las matemáticas, pero eso es otra historia.
Fuente:
Miércoles, 14 de abril de 2010
Curiosidades de un universo infinito
Si el universo fuera infinito y hubiera infinita materia en él, repartida más o menos como la conocemos en nuestra región, se producirían curiosas y en cierto modo muy extrañas situaciones. Aunque algunas regiones estarían muy lejos de nosotros y nunca llegaríamos a verlas –porque no es posible viajar más rápido que la luz– existirían con certeza matemática «dobles» o «copias» de nosotros mismos en alguna parte.
Nuestros telescopios, si fueran perfectos, podrían ver digamos hasta una distancia de unos 1027 metros. Y más o menos habría que irse a una distancia de unos 10n metros, siendo n = 1027, para encontrarse a uno de esos clones con casi total certeza. Esa distancia serían 10 elevado a 10 elevado a 27 metros, que aunque es fácil de decir es casi imposible de imaginar.
Más curioso resulta aún que, en esa vasta infinitud, bastaría irse a «tan solo» 10n metros de distancia, siendo n = 10119, para encontrar una región del tamaño de nuestro universo completo, que además sería en todo idéntica al universo visible en que nos encontramos.
Este es uno de las peculiares análisis de The Infinite Book, un interesante libro del cosmólogo y divulgador John D. Barrow.
Fuente:
Lunes, 10 de marzo de 2010
El apocalipsis que llegará del espacio
Aterradores escenarios que demuestran que la Tierra se encuentra en un medio hostil
Recreación artística de un meteorito como el que cayó sobre nuestro planeta. | Science Photo Library
Si miran al cielo nocturno, verán el espacio infinito salpicado de pequeños puntos luminosos. Un remanso de paz en las alturas. Pero esa serena imagen es una gran mentira. La Tierra está inmersa en un entorno hostil, a merced de las grandes fuerzas cósmicas. A su alrededor explotan estrellas, colisionan galaxias enteras y agujeros negros devoran cuanto encuentran a su paso.
El libro La Muerte llega desde el cielo. 'Así terminará el mundo' (editorial Robinbook) explica que la destrucción de la Tierra es cuestión de tiempo. El volumen presenta una decena de aterradores escenarios y relata con lenguaje riguroso y divulgativo qué probabilidad hay de que se hagan realidad, cómo afectarían a la vida en la Tierra y si podemos hacer algo por evitarlos.
El autor es el astrónomo Philip Plait, que ha trabajado siete años en la NASA, y otros tantos como profesor. Es el creador del reconocido blog Bad Astronomy, cuyo propósito principal es refutar cuestiones como la astrología, el creacionismo o la conspiración lunar.
Meteoritos
El impacto de un meteorito de grandes dimensiones sobre la Tierra hace 65 millones de años acabó con los que eran los reyes y señores del planeta, los dinosaurios. La historia puede repetirse. Y en esta ocasión se extinguiría la raza humana.
Tal y como sentencia el libro, "la Tierra se halla situada en una galería de tiro cósmica y el Universo nos tiene en su punto de mira". El golpe de uno de estos proyectiles no sólo afectaría a la zona donde cayera. En ese punto nacería una gigantesca onda sonora que daría varias vueltas al planeta, llevándose por delante todo aquello que encontrara.
El asteroide Apofis, de 250 metros de diámetro, es una de las rocas extraterrestres que más posibilidades tiene de golpear la Tierra. La fecha de impacto: 13 de abril de 2029. La catástrofe podría evitarse lanzando una bomba a unos cientos de metros de distancia del asteroide. Esto desviaría su trayectoria.
Agujeros negros
Nacen de la muerte de una estrella, concentran muchísima masa en un volumen muy pequeño y su fuerza de atracción gravitatoria es gigantesca. Son, en definitiva, pozos sin fondo que devoran todo aquello que encuentran a su paso. En la Vía Láctea se estima que hay diez millones de agujeros negros. Si uno se aproximara la Tierra lo suficiente como para hacer daño, lo primero que notaríamos los ciudadanos de a pie serían alteraciones en las mareas por el efecto gravitatorio.
Al principio serían sutiles, pero terminarían siendo tan brutales que causarían inundaciones y tsunamis. En un momento dado, la gravedad del agujero y la de la Tierra se habrían igualado y empezaríamos a flotar. Es un respiro dentro de tanto caos, pero quizá el miedo no nos dejaría disfrutar de la extraña experiencia. Una hora más tarde, la gravedad del agujero negro superaría la de nuestro planeta con creces y lo engulliría. Este sería el fin de la humanidad. El fin del planeta Tierra.
Supernovas
El nacimiento de una supernova suele ser motivo de emoción y alegría entre los astrónomos. En cuanto notan su brillo especialmente intenso en el cielo nocturno, sacan presurosos los telescopios para observar a la recién llegada. Pero si este evento cósmico sucede demasiado cerca de la Tierra (a menos de 25 años luz), la alegría debe convertirse en seria preocupación.
La explosión estelar despide un chorro de rayos gamma. Si alcanzaran la atmósfera terrestre, destruirían los niveles de ozono hasta la mitad. Antes de llegar, atravesarían la Estación Espacial Internacional y matarían a los astronautas a bordo. Con la llegada del día, comenzaría la peor parte: los rayos ultravioleta atravesarían la atmósfera sin que nada les frenase. La luz nos quemaría. Nuestra piel no está preparada para soportar estos rayos.
Pero este sería el menor de los problemas en un planeta donde la base de la cadena alimentaria, el fitoplancton, está muerta. Comienza así, una extinción masiva. La estrella más cercana a la Tierra con posibilidades de convertirse en una supernova es Betelgeuse, una supergigante roja en Orión, a unos 430 años luz. No se sabe exactamente cuando explotará, pero lo hará.
La extinción del sol
El Sol morirá, pero no lo hará solo. Se llevará por delante la Tierra. La estrella aumenta poco a poco de tamaño. Un día será tan grande que su brillo será insoportable, el calor en la Tierra sofocante y tan extremo que la atmósfera se escapará hacia el cosmos. Así, hasta que el planeta esté tan caliente que, literalmente, se derrita. Pero falta mucho tiempo para que esto suceda, 6.000 millones de años. Hasta entonces y mientras tanto, el astro rey puede dar guerra lanzando llamaradas solares. Éstas liberan millones de partículas subatómicas. Suceden con frecuencia y suelen causar daños en los satélites artificiales que orbitan nuestro planeta.
Estas llamaradas pueden ser mucho más violentas, tanto que tengan consecuencias catastróficas. Podrían provocar el caos electromagnético y destrozar los satélites por completo por una sobredosis de calor. En tierra, los cables de transmisión sufrirían una sobrecarga repentina de corriente eléctrica, se romperían y caerían como látigos. Los transformadores explotarían. Cientos de millones de personas se quedarían sin luz y, en una sociedad donde el bienestar depende en gran medida de esta energía, muchos morirían de frío.
Ataque alienígena
La probabilidad de que esto suceda es desconocida porque aún no se conoce el número de civilizaciones avanzadas que pueden existir en una galaxia ni las probabilidades de que sean hostiles. Tampoco se sabe si siendo hostiles se desplazarían hasta la Tierra para aniquilarnos.
A pesar de ello, la posibilidad existe. Plait imagina a los alienígenas de este tipo con forma de araña y con una destreza envidiable en el manejo y construcción de ingenios tecnológicos y también para replicarse a sí mismos. "Un montón de arañas partieron en busca de materias primas. La Tierra sucumbió en cuestión de días. Las primeras aterrizaron en Australia y devoraron cuanto hallaron a su paso. Piedra, metal o gas, todo podía ser convertido en caso de necesidad. Agua, plantas, carne, todo se aprovechaba (...) Barrieron todo el planeta y en un par de semanas no quedaba prácticamente nada con vida en el planeta".
Otro posible tipo de ataque alienígena es el de bacterias o virus, pero hay que esperar a que los avances en el ámbito de la astrobiología arrojen luz sobre el asunto porque aún no está claro si son capaces de sobrevivir a un viaje espacial o traspasar nuestra atmósfera.
Tomado de:
Miércoles, 03 de marzo de 2010
Natalicio de George Cantor
Sentó las bases de las matemáticas modernas pero terminó sus días en un psiquiátrico. Georg Cantor (1845-1918), matemático alemán, inventó, junto con Dedekind y Frege, la teoría de los conjuntos y fue el primero en formalizar la noción de infinito. Su teoría sobre los conjuntos infinitos se adelantó a su tiempo y le ganó la desconfianza de muchos colegas, que le acusaban de blasfemo. Cantor sufrió depresiones y al final de su vida, un trastorno maniaco-depresivo le llevó a ser internado en un hospital psiquiátrico.En homenaje a este grande les entreganos el siguiente artículo:
Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real.
Imaginemos un hotel infinito, con sus infinitos huéspedes alojados en él... Imaginemos ahora un nuevo turista que llega a la recepción del hotel pidiendo habitación, si el infinito hotel tiene infinitos turistas, ¿qué hace el recepcionista del hotel para alojarlo? Pues muy sencillo, pide al huésped alojado en la primera habitación que se mueva a la habitación número 2, al de la segunda habitación que se mueva a la número 3, ... en definitiva, que el huésped alojado en la habitación n tenga la amabilidad de ocupar la habitación n+1... De este modo, nuestro querido turista pudo alojarse cómodamente en la habitación número 1 de este hotel infinito. Pero, ¿qué pasó entonces con el huésped que se encontraba en la última habitación? Sencillamente no hay última habitación.
