La caja de Arquímedes: un rompecabezas milenario ¡para trabajar con los niños!

El Ostomachion o caja de Arquímedes, es un rompecabezas similar al tangrama y consiste de 14 secciones de un cuadrado. Reacomodando las piezas se pueden formar distintas figuras de animales, plantas y otros objetos.

De hecho, de acuerdo a la Wikipedia, el Ostomachion es una obra perdida de Arquimedes, pero que sobrevivió gracias a los estudiosos antiguos haciendo referencia a ella en sus escritos. (Además de que es abordado como problema en el Palimsesto de Arquímedes. )
Según el paper de Raviel Netz et al., el Ostomachion es un tratado de geometría combinatoria. Es decir, Arquimedes no escribió esa obra con la finalidad de presentar su rompecabezas con el que se pueden formar diferentes figuras sino para investigar las formas de construir un cuadrado  a partir de las diferentes figuras mediante un reacomodo de sus piezas.

Es decir, las formas en que la misma figura puede obtenerse mediante diferentes reacomodos de las piezas. Con las mismas 14 piezas se puede reconstruir el cuadrado de 536 formas distintas (lo demostrò Bill Cutler en su tesis doctoral).
 
Con las piezas del Ostomachion revueltas se puede intentar reconstruir el cuadrado original o bien formar figuras fantásticas. En el primer caso, de acuerdo a los autores del paper citado, el Ostomachion es un rompecabezas propiamente dicho y, visto así, se trata de un juego de paciencia e intuición espacial. En el segundo caso, el de formar figuras, el Ostomachion es un juego de creatividad. En este último sentido, el Ostomachion se puede tomar como un símbolo de variedad.

Según los testimonios antiguos que los autores estudiaron, el juego del Ostomachion era un juego para los niños y se puede aventurar la hipótesis de que Arquimedes lo inventó en su juventud pensando en sus hijos pequeños.

Respecto a la forma en que se forman las piezas a partir de un cuadrado se puede decir que todas las partes se forman mediante bisecciones o trisecciones sucesivas de segmentos de recta en el cuadrado que sirven de base para paralelogramos o triángulos.

Una característica destacada de las piezas es que cada una es una fracción racional unitaria del cuadrado (por ejemplo 1/6,1/12,1/16) y su común denominador es 48.

Las partes son 1/16, 1/48,  1/6,  1/24,  1/24,  1/12, 1/12, 1/24,  1/48,  1/24

(1/2)(1/6)+(1/2)(1/8), 1/12, 1/12,  1/12. Respectivamente, los múltiplos de 48 son 3, 1, 8, 2, 2, 4, 4, 2, 1, 2, 7, 4, 4, 4.

PD: Les dejo la figura del seccionado del ostomachion con sus puntos etiquetados por si alguien deseara crear un problema a partir de ella. Atacho el paper mencionado al principio para los lectores interesados. Los más entusiastas podrían desear comprarlo en Amazon (32 dólares).

Adjunto		Descripción	Tamaño
	ostomachion.pdf	Un estudio académico sobre el Ostomachion	2.19 MB		Fuente: Mate Tam

El Teorema de Tales (para niños) - II

–Oye, Sal, ¿esto de Tales no te recuerda a lo que nos contó Mati en la playa?
–¿A qué te refieres, Ven?
–A cuando nos enseñó a calcular la altura de la silla del socorrista.
–Ummmm… -el gafotas se quedó pensando –puede ser, sí…
–Efectivamente, Ven –confirmó Mati que acababa de llegar –Es la misma idea.
–¡Hola, Mati! –dijeron los dos hermanos a la vez.
–¡Guau! –dijo Gauss, no estaba para muchas conversaciones.
–Hola, chicos –respondió ella –La idea que usamos aquel día en la playa es la misma que, según cuenta Herodoto, usó Tales para medir la pirámide de Keops.
–¿La pirámide de qué? –preguntó Ven con los ojos apretados.
–La gran pirámide de Guiza, una de las siete maravillas del mundo, que está en Egipto –les contó Mati.

–¡Toma! –se asombró el pequeño –¿Y cómo lo hizo , Mati?
–Pues usando su teorema –dijo la pelirroja y le guiñó un ojo –Tales pensó que cuando su sombra midiera lo mismo que él, los rayos de Sol estarían formando un ángulo de 45 grados con su cabeza y con la cima de la pirámide, y por lo tanto, la altura de la pirámide sería igual a la sombra de la misma en ese instante.

–En ese caso –continuó Mati — si llamamos h a la altura de Tales y s a la sombra del mismo, cuando s sea igual a h, los rayos de Sol forman un ángulo de 45 grados en la cabeza de Tales. Y como los rayos de Sol son paralelos unos con otros, el rayo de Sol en la cima de la pirámide también forma 45 grados y por lo tanto H es igual a S. Sólo hay que medir S  para conocer H, porque estamos mirando triángulos semejantes.
–¿Cómo sabes que son semejantes, Mati? –preguntó Sal.
–Pues porque la suma de todos los ángulos internos de un triángulo es 180 grados –empezó a decir la gafotas –Como H y S forman 90 grados, igual que h y s, y el Sol forma 45 grados en la cabeza y en la cima, el ángulo que forma el Sol con el suelo en los 2 casos, tiene que ser de 45 grados; con lo cual, los tres ángulos son iguales.
–¡Toma. toma. toma! ¡Cómo mola! –Ven estaba entusiasmado.
–¿Y cómo podía Tales medir su sombra? –preguntó Sal receloso –Si se agachaba a medirla, ya no podía medirla… ¿Tenía un ayudante?
–Hay varias versiones –dijo Mati –Algunas hablan de que en realidad usó un bastón, pero hay otras que dicen que Tales pintó un círculo de radio su altura y se puso en el centro; cuando su sombra tocara el círculo, ya sabía que era tan larga como su altura.
–¡Es verdad! –Sal respiró tranquilo.
–¡Me encanta Tales! –gritó el pequeño saltando provocando que nuestro Anubis particular ladrara del susto.
–Pues no se vayan todavía, aún hay más –anunció cómicamente Mati.
–¿Qué más, Mati? –preguntó Sal intrigado.
–Pues, por ejemplo –anunció Mati –gracias a este teorema de Tales podemos dividir un segmento en el número de partes iguales que queramos. usando sólo regla y compás.
–¿¿Sí?? –preguntó el pequeño –¿¿Cómo??
–Ya veréis –dijo la pelirroja –pintamos un segmento en nuestro cuaderno, ¿en cuántas partes iguales queréis dividirlo?
–¡En 5! –gritó Ven.

–Bien –siguió ella –ahora pintamos otro segmento formando un ángulo, el que queramos, con el segmento AB. 

–¿Y ahora? –preguntó el gafotas.
–Ahora abrimos el compás, con la medida que queráis, y marcamos 5 veces sobre el segmento AC

–Ahora sólo tenemos que unir la última marca –les dijo Mati –con el extremo B…

–…y trazar paralelas a ese segmento por las otras 4 marcas –terminó de decir Mati.

–¡Toma, toma, toma! –el pequeño Ven estaba emocionado.
–Sí que mola, Tales, sí –corroboró el gafotas.

Fuente:

Mati

El Teorema de Tales (para niños) - I

–Vaya, parece que Mati hoy viene más tarde, Sal.
–¿Tienes tu regla y tu compás, Ven?
–Sí, claro –respondió el pequeño y añadió ilusionado –A ver  qué nos enseña hoy…
–El teorema de Tales, creo  –dijo el gafotas –Pero no estoy muy seguro de si se dice así…
–Pues sí, Sal –Mati acababa de llegar –Lo has dicho perfectamente, un teorema de Tales.

–¡Hola, Mati! –dijeron al unísono Sal y Ven, mientras Gauss se acercaba a las piernas de la recién llegada.
–¿Nos lo cuentas? –pidió Sal apresurado.
–Claro –respondió ella –Os contaré uno de los 2 teoremas de Tales.
–¿Sólo uno? –protestó Ven.
–Hoy uno –dijo la pelirroja –y otro día otro, ¿vale?
–Vale –terminó aceptando Ven.
–El teorema de Tales sobre triángulos semejantes–comenzó diciendo Mati –nos asegura que si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
–¿Qué son triángulos semejantes, Mati? ¿Que se parecen mucho?
–Más o menos, Ven –respondió Mati —Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos iguales.
–¡Ajá! –exclamó Ven–Entonces son exactamente iguales.

–No, Ven –le corrgió Mati –Pueden tener los mismos ángulos y ser de diferentes tamaños, mira:

–Estos 2 triángulos –continuó Mati –Tienen los 3 ángulos iguales y uno es mayor que el otro, ¿no?

–Imposible que tengan los mismos ángulos… –dijo Ven desconfiado.

–Ya verás –respondió ella –Podemos poner el ángulo A’ sobre A, el B’ sobre B y C’ sobre C, y coinciden.

–¡Toma! Es verdad –terminó aceptando el pequeño.

–Pues bien, como os decía, el teorema de Tales nos asegura que si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Vamos a verlo con un dibujo: dibujamos estas 3 rectas rojas paralelas y dos rectas negras que la cortan.

–Por el teorema de Tales, lo que sabemos es que si dividimos la longitud del segmento AB entre la longitud del segmento A’B’, obtendremos el mismo valor que al dividir la de BC entre B’C’ y que al dividir la del segmento AC entre la del A’C’.

–Y eso, ¿qué tiene que ver con triángulos semejantes? –preguntó Sal arrugando su naricilla.

–Si aplicamos este teorema a triángulos semejantes como los 2 que hemos visto antes –dijo Mati — Lo que tenemos es que los lados son proporcionales.

–Ya veo… –murmuró el gafotas.

–Y yo… –dijo Ven, aunque no parecía muy convencido.

–Por eso –continuó ella –cuando el otro día teníamos esta construcción

–…teníamos dos triángulos semejantes, unidos en el punto A –les dijo –Y el  resultado de dividir el lado verde, de longitud 8, entre la de el lado azul, de longitud 4, en el mayor de los dos triángulos, es igual al resultado de dividir el segmento AB entre el lado de longitud 1  en el menor de los dos triángulos.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –dijo Ven.

–Ah, claro… –se asombró Sal.
–Además –les propuso la pelirroja –os propongo un pequeño truco  para que podáis explicar el Teorema de Tales a vuestros amiguitos…

–¡Venga! –interrumpió Ven.

–Necesitamos 4 hojas de colores –les dijo –Y las colocamos así

–Ahora –continuó –las cortamos según dos líneas, con la dirección que queramos…

–Si separamos las hojas –les dijo Mati –tendremos 4 triángulos diferentes, le ponemos nombre a sus ángulos.

–Sabemos que los ángulos marcado con las letra B₁, B₂, B₃ y B₄ son iguales porque estaban unidos por ahí, ¿no? –les preguntó.

Los niños asintieron con la cabeza.

–Pues bien, pedidle a vuestros amigos que pongan los triángulos uno encima de otro pegados por los ángulos A₁, A₂, A₃ y A₄ , ya veréis…

–¡Claro! ¡Son semejantes! –dijo Sal.

–Sí –corroboró la pelirroja –Y si los pegáis por los ángulos C₁, C₂, C₃ y C₄ , también.

–¡Cómo mola, Mati! –Sal estaba entusiasmado.

–Voy a buscar cartulina de colores –dijo Ven.

–Estupendo –añadió Mati –Otro día seguiremos hablando de Tales…

Tomado de: 

Mati

Variable dependiente e independiente (para niños)

Saludos

Una de los indicadores del área de Ciencia y Ambiente nos invita a enseñar a los alumnos (de quinto y seto grados de educación primaria) la diferencia y, al mismo tiempo, la relación entre variables dependientes e independientes en las hipótesis; hipótesis que os mismos niños deben de construir.

La capacidad es: Genera y registra datos e información.

El indicador es: Elabora tablas de doble entrada identificando la posición de las variables dependiente e independiente.

Antes de empezar la actividad

Antes de presentarles este documento tenemos que aclarar que se debe iniciar a los estudiantes en el manejo de variables como una relación de causalidad, es decir estableciendo diferencias entre las causas y efectos de fenómenos relacionados con la ciencia y la tecnología. Inclusive se pueden emplear os términos CAUSA y EFECTO como sinónimos de variable independiente y variable dependiente.

En este fragmento del documento se presenta la introducción a ese nuevo y fascinante tema; en el documento completo se incluyen siete preguntas investigativas, cada una de estas preguntas con sus respectivas variables, ¡y todo listo para aplicar en las aulas!

No dude en contactarme para cualquier clase de consulta:

leonardo.sanchez.coello@gmail.com

Hasta pronto

Educación Primaria - Variables Dependientes e Independientes by Leonardo Sanchez Coello

Química: Alternativas a la clásica Tabla Periódica de los Elementos

Ideal para hacer clases recreativas de Qu{imica. Personalmente a mi fascinan los modelos Quebecium y Tarantola, son los m{as elegantes. Les dejo la colección.

Benfey



Perley


Clark



Emerson



Janet


Quebecium


Romanoff



Scheele



Stowe



Tarantola



Torre


Smaczynski
 
Fuente:

La Ciencia del Siglo XXI

Cómo armar (y amar) las tablas de multiplicación

Muchos recordaréis las tablas de multiplicar de la escuela y los trucos para aprenderlas. En algunas había tendencias que se repetían (como simplemente duplicar la tabla de multiplicar del 2) pero otras terminábamos aprendiéndolas de memoria. Y no estaba muy claro por qué había que memorizar el resultado de 7 x 9.

No temas, aquí no te encontrarás trucos para memorizar las tablas. En lugar de ello, te quiero mostrar una forma de entender los números que les da cierta estructura, y cómo la multiplicación utiliza esa estructura.

Comprendiendo la multiplicación

Multiplicar simplemente te da el área de un rectángulo, si sabes la longitud de sus lados. Escoge cualquier cuadrado de la tabla debajo (por ejemplo, escojamos el cuadrado en la columna número 7 y la fila 5) y colorea un rectángulo desde ese punta a la esquina de la izquierda (debajo en verde).

Un rectángulo de tamaño 5 x 7 en la tabla de multiplicar

Este rectángulo tiene una longitud de 7 y una altura de 5, y el área (el número de cuadrados verdes) la puedes encontrar en el círculo azul de la esquina inferior derecha. Esto se cumple independientemente del par de números que escojas en la tabla.

Cojamos ahora este rectángulo y girémoslo sobre la diagonal principal de la tabla (la línea discontinua roja debajo).

El mismo rectángulo, girado

La longitud y altura del rectángulo también se ha cambiado, pero el área sigue siendo la misma. Por tanto, podemos ver que 5 x 7 es lo mismo que 7 x 5. Esto se cumple para cualquier par de números. En matemáticas es lo que conocemos como propiedad conmutativa.

Este hecho implica que hay una simetría en la tabla de multiplicar. Los números sobre la diagonal son como una especie de espejo de los números debajo. Así que, si tu objetivo es memorizar la tabla, solo necesitas memorizar la mitad.

La base que construye los números

Para adentrarnos más allá en las multiplicaciones necesitamos primero hacer algunas divisiones. Recuerda que dividir un número simplemente significa separarlo en partes más pequeñas de igual tamaño.

12 ÷ 3 = 4

Esto significa que 12 puede ser separado en 3 partes, cada una de tamaño 4.

Dado que 3 y 4 son ambos números enteros, se les llama factores de 12, y 12 se dice que es divisible por 3 y por 4. Si un número es solo divisible por sí mismo y 1, se le llama número primo.

Pero hay más de una forma de representar 12 como un producto de dos números:

12 × 1

6 × 2

4 × 3

3 × 4

2 × 6

1 × 12

De hecho, podemos ver esto si miramos a la tabla de multiplicar debajo:

Las apariciones del 12 en la tabla de multiplicar

El número de cuadrados coloreados de azul en esta tabla te dice que hay seis formas en las que puedes hacer un rectángulo de área 12 cuyos lados tengan una longitud de números enteros. Representan también las diferentes maneras en las que puedes escribir 12 como producto de dos números.

Además, tal vez te hayas dado cuenta de que los cuadrados coloreados parece que forman una especie de curva. ¡Lo hacen!. La curva que uniría los cuadrados se llama hipérbola, definida por la ecuación a × b = 12, en la que “a” y “b” no son necesariamente números enteros.

Echemos un vistazo de nuevo a la lista de números cuyo producto es igual a 12. Todos esos números son factores de 12. ¿Y si miramos a factores de factores? Cualquier factor que no sea un factor primo (excepto el 1) puede separarse en factores adicionales, por ejemplo:

12 = 6 × 2 = (2 × 3) × 2

12 = 4 × 3 = (2 × 2) × 3

No importa cómo lo hagamos, cuando dividimos los factores hasta que nos quedamos solo con los factores primos, siempre acabaremos con dos 2 y un 3.

Esta multiplicación:

2 × 2 × 3

Se llama “descomposición factorial” de 12 y es única a ese número. Solo hay una forma de escribir un número como un producto de sus factores primos, y cada multiplicación de factores primos da un resultado diferente. En matemáticas esto es lo que se conoce como teorema fundamental de la aritmética.

La descomposición en factores primos nos cuenta cosas importantes sobre un número de una forma muy condensada.

Por ejemplo, en la descomposición factorial 12 = 2 × 2 × 3 podemos ver inmediatamente que 12 es divisible por 2 y 3, y no por ningún otro número primo (como el 5 o el 7). También podemos ver que es divisible por el producto de cualquier combinación de dos 2 y un 3 que escojas.

Más aún, cualquier múltiplo de 12 será también divisible por los mismos números. Toma 11 x 12 = 132. Este resultado es divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12, exactamente igual que 12. Al multiplicar cada uno de estos por el factor de 11, obtenemos que 132 es también divisible por 11, 22, 33, 44, 66 y 132.

Es también fácil ver si un número es el cuadrado de otro número: en ese caso debe haber un mismo número de cada factor primo. Por ejemplo, 36 = 2 × 2 × 3 × 3, es decir, es el cuadrado de 2 × 3 = 6.

La descomposición factorial puede hacer también las multiplicaciones más sencillas. Si no sabes el resultado de 11 x 12, conocer la descomposición de 12 implica que puedes calcular la multiplicación paso por paso.

11 x 12

= 11 x 2 × 2 × 3

= ((11 x 2) × 2) × 3

= (22 × 2) × 3

= 44 × 3

= 132

Si los factores primos de la descomposición son lo suficientemente pequeños (digamos 2, 3 o 5), multiplicar es sencillo, tal vez solo tengas que escribir un poco. Por tanto, multiplicar por 4 (= 2 x 2), 6 (= 2 x 3), 8 (= 2 x 2 x 2), o 9 (= 3 x 3) no tiene por qué ser tan complicado.

Por ejemplo, si no puedes recordar la tabla de multiplicar del 9, no importa siempre que puedas multiplicar dos veces por 3 (este método no vale sin embargo si tienes que multiplicar por factores primos mayores, aquí hay que utilizar otros trucos - si no has visto el de la tabla del 11, echa un ojo a este vídeo).

La habilidad de separar los números en sus factores primos puede hacer sencillas multiplicaciones muy complicadas, y es aún más útil para números mayores.

Por ejemplo, la descomposición factorial de 756 es 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 7, es decir, multiplicar por 756 simplemente significa multiplicar por cada uno de estos factores primos más pequeños (por supuesto, dar con la descomposición factorial de primos de un número muy grande es generalmente muy complejo, así que solo es útil si ya sabes antes cuál es esa descomposición).

Pero, ante todo, la descomposición factorial ofrece información fundamental sobre los números. Esta información es muy útil en matemáticas y otros campos como la criptografía y seguridad online. También lleva a algunos hallazgos sorprendentes: intenta colorear todos los múltiplos de 12 en las tablas de multiplicar anteriores y mira qué ocurre. Eso lo dejaré de tarea.

Fuente:

Gizmodo

Charlie: ¿por qué se mueve el lápiz?

Se lo conoce como "el reto Charlie", se parece al juego de la ouija, y desde hace días se ha convertido en un furor en las redes sociales, aquí, en el Perú, hace furor en las escuelas donde lo juegan niños y jóvenes; puede algunos que son fácilmente impresionables sientan temor, entonces ¿qué hacer en estos casos? Primero lea este artículo, segundo explíquele lo que leyó a sus alumnos en un lenguaje sencillo. 

El juego es muy simple: hay que colocar en equilibrio dos lápices en forma de cruz sobre un papel con las palabras "sí" y "no" y hacerle preguntas a un supuesto demonio de origen mexicano llamado Charlie que contesta moviendo el lápiz hacia una de las palabras.

Lea también: #CharlieCharlieChallenge: el misterioso juego de los lápices que agita las redes

Quienes creen en los fenómenos paranormales no tienen dudas: el movimiento -y la respuesta- está dictado por Charlie.

Los que no, si es que no lo saben, se preguntan por qué.

Entonces, ¿por qué se mueve el lápiz?

En principio, por la fuerza de gravedad y la posición delicada e inestable en la que se encuentran los lápices.

Si pruebas ponerlos en la posición que indica el juego te darás cuenta de que, aunque no le hagas pregunta alguna, los lápices se mueven -o pueden hacerlo- de todas maneras.

La posición de los lápices es tan inestable que la menor variación en el ambiente que los rodea puede afectar su equilibrio.

Es decir, un pequeño temblor en la superficie donde están apoyados o un ínfimo movimiento de la corriente de aire provocado por la respiración, pueden hacer girar el lápiz hacia un lado u otro.

Lea también: ¿Por qué tanta gente sigue creyendo en lo paranormal?

El problema es que a diferencia de la ouija, donde los jugadores deben apoyar su mano en un plato o una copa (y por ende están en contacto con el objeto que se mueve), en este juego, los lápices parecen moverse solos -o de acuerdo a los "designios" de Charlie-.

¿Y si no se mueven?

Si motivado por la reacción en las redes lo pusiste a prueba, puede que te haya pasado lo mismo que nos pasó a muchos: los lápices no se inmutaron.

Eso ocurre cuando no están alineados perfectamente o cuando la superficie de contacto (por ejemplo si el lápiz tiene una superficie facetada) es demasiado grande.

En ese caso, se produce demasiada fricción y no se genera movimiento.

Fuente:

BBC Ciencia

Geometría: Un reto tricolor

No te mates, que no hay manera le decían los otros dos alumnos a su compañero. Habían venido a resolver unas dudas y, cuando ya se iban, uno preguntó cuándo aparecería otro reto en el blog. Es que tengo un amigo al que siempre se los cuento, dijo. No me pude resistir. Y ahí seguía, un buen rato después, intentando evitar triángulos tricolores.

Dibuja un triángulo con unos cuantos puntos dentro. ¿Como quiera? Como te dé la gana.

Luego une los puntos, dibujando todos los segmentos que puedas sin que éstos se crucen. ¿Pero como quiera? Como más rabia te dé. Cuando termines, comprueba que dentro solo tienes triángulos más pequeños.

Ahora pinta los vértices del triángulo exterior con tres colores distintos; por ejemplo rojo, verde y azul.¿También como yo quiera? También.

Aquí va el reto:

¿A que no consigues colorear el resto de puntos de manera que ninguno de los triángulos pequeños sea tricolor (con vértices rojo-verde-azul)?

Al final tuvimos que irnos, pero sé que se picó y esa tarde volvió a pasar un buen rato intentándolo...

Cortesía de:

Cifras y Teclas