Voy a plantear en este post cinco problemas de combinatoria que son
equivalentes al problema de los conejos de Fibonacci, en el sentido de
que dan lugar a la misma sucesión (y a la misma recurrencia). La
solución de cada uno de ellos se detiene en el modelo, es decir, en el
razonamiento por recurrencia que conduce a plantearlo.
1. Subconjuntos sin consecutivos
¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de {1,2,…,n} de manera que no contenga números consecutivos?
Solución Sea un el número de subconjuntos de {1,2,….n} sin números consecutivos. Cada subconjunto aceptable según la restricción, ya sea que contiene el 1 o bien no lo contiene.
Si contiene el 1 entonces no puede contener el 2 y se ve que el número de subconjuntos que contienen el 1 es un−2 --pues es el número de subconjuntos de {3,4,…,n}.
Por otro lado, si el subconjunto no contiene el 1, entonces el número de subconjuntos de esta clase son un−1 --dado que es el número de subconjuntos de {2,3,…,n}.
En resumen, un=un−1+un−2. (Claramente, u1=1,u2=2 --se deja como ejercicio su justificación.)
2. n-Cadenas binarias con dos ceros consecutivos
¿De cuántas formas se puede construir una n-cadena de ceros y unos con dos ceros consecutivos?
Solución Sea un el número de cadenas binarias de longitud n con dos ceros consecutivos. Claramente, una cadena de longitud 1 no puede tener dos
ceros consecutivos, y solamente hay una de longitud dos con dos ceros
consecutivos. Es decir, u1=0,u2=1.
Consideremos ahora el caso general. Cada cadena de longitud n con dos ceros consecutivos es de una de tres clases: empieza con 00 o con 01 o con 1.
Si empieza con 00, el resto de la cadena es una cadena de longitud n−2 sin restricción.
Por otro lado, si empieza con 01, el resto de la cadena es una cadena de longitud n−2 con dos ceros consecutivos.
Finalmente, si empieza con 1, el resto de la cadena es una cadena de longitud n−1 con dos ceros consecutivos.
En resumen, el modelo recursivo para este problema es:
un=2n−2+un−2+un−1
con u1=0,u2=1
3. Sus dígitos son 1 y/o 2 y suman n
¿Cuántos números con 1 y 2 como dígitos son tales que éstos suman n? Ejemplo: 111, 12, 21 son los tres números que cumplen para n=3.
Solución Sea un el número de números que cumplen para n. Claramente, u1=1,u2=2. En el caso de n mayor que 2, se puede razonar recursivamente como sigue: Los números que cumplen se pueden clasificar en dos clases
excluyentes y exhaustivas. Los que empiezan con 1 y los que empiezan con
2. Si empiezan con 1, son un−1 --pues el problema se reduce a contar los números con 1 y 2 como dígitos y tales que éstos suman n−1. Si empiezan con 2, son Un−2 --siguiendo un razonamiento similar. Por tanto un=un−1+un−2. Otra forma: Considerando el último dígito, éste puede ser 1 o bien 2. Los números que terminan en 2 son un−2 y los que terminan en 1 son un−2
4. n-Cadenas binarias sin unos consecutivos
¿De cuantas formas se puede formar una cadena de ceros y unos de longitud n sin unos consecutivos?
Solución Los números ya sea que inician con cero o bien con uno. Los que empiezan con cero son un−1 y los que empiezan con uno son un−2 --porque en realidad deben empezar con 10. Por tanto, un=un−1+un−2.
5. Tiempo de espera hasta dos águilas consecutivas
En una secuencia de n volados ¿cuántos resultados no tienen dos águilas consecutivas, excepto al final?
Solución Sea un el número buscado. Los resultados, ya sea inician con águila (A) o bien con sello (S). Si inician con águila son un−2; si con sello, son un−1. Por tanto, un=un−1+un−2
Los seres humanos llevamos toda la vida intentando hallar la forma de
luchar contra el proceso imparable del envejecimiento. Ahora, un equipo
de investigadores de la Universidad de Duke (EEUU) ha encontrado un
organismo, de apenas un milímetro de longitud, que es capaz de hacerlo: detener su envejecimiento y duplicar así su esperanza de vida. El descubrimiento ha sido publicado en la revista Plos Genetics. El organismo en cuestión es Caenorhabditis Elegans, un nematodo como el conocido Anisakis y los científicos han descubierto que ante la falta de alimento, éste puede entrar en un estado que le permite detener su desarrollo.
El organismo puede seguir moviéndose aunque sus células estén
aparentemente congeladas, obstaculizando así el proceso del
envejecimiento. Este proceso se revierte cuando el organismo vuelve a disponer de alimento,
ya que entonces, retoma su desarrollo normal, aunque con el añadido de
haber aumentado su esperanza de vida. Este proceso puede llevarle a
duplicar su esperanza de vida estipulado en un principio. Los
investigadores esperan encontrar alguna forma, en el futuro, de
replicar esta técnica exitosa anti-envejecimiento, pero ante todo,
afirman que podría ser una buena herramienta para el tratamiento del cáncer ya que, “uno de los grandes misterios del cáncer
es cómo sus células pueden hibernar en el organismo durante años antes
de volver a la vida. Creo que los procesos de los nematodos que inducen
sus células a estados de hibernación y luego las despiertan podrían ser
los mismos que en las metástasis”, afirma David Sherwood, líder del
estudio. Fuente: Muy Interesante
El término «estigmergia» fue acuñado en 1959 por Pierre-Paul Grassé
(1895-1985), un zoólogo francés experto en termitas. Grassé se refería
con estigmergia al fenómeno de comunicación indirecta entre termitas,
mediante la modificación del ambiente, como es por ejemplo un rastro de
feromonas. Otros individuos de la especie pueden detectar este rastro,
de forma que colaboran por un bien común: la supervivencia de la
colonia. Ver a una hormiga o una termita deambulando sola es un
espectáculo lamentable, parece una criatura torpe y despistada. Sin
embargo, debemos observarlas en su conjunto, como un sistema de
auto-organización descentralizado con el que se obtienen objetivos
comunes. En un termitero miles de termitas cooperan en la construcción
de una estructura que supera con creces su capacidad de comprensión. Se
trata, en esencia, de una construcción destinada a la ventilación de la
cámara donde se encuentra la reina, los huevos y un hongo que cultivan
para su alimentación, para que la temperatura interior se mantenga
constante. Y lo consiguen.
Fuente WikicommonsEstas
estructuras físicas complejas son equivalentes a cualquier estructura
social en distintas especies, como abejas o estorninos. Y los
científicos no están muy alejados de las termitas, entre las cuales
parece que hay una ley no escrita: «si tu compañera ha dejado un grano
de arena, deja tú otro en el mismo sitio». A medida que han ido pasando
los siglos, el conocimiento sobre la naturaleza se ha ido mejorando
gracias a esos granos de arena que una cantidad incontable de estudiosos
han ido dejando por multitud de vías. La cooperación puede llevar a
buenos o malos resultados, tal es el caso observado por el biólogo T. C.
Schneirla en relación a un grupo de hormigas sumido en una actividad
extravagante: giraban describiendo circunferencias sin parar.
«Aquella
tarde había caído un buen aguacero y eso posiblemente había
interrumpido la incursión y eliminado el rastro químico que mantenía
conectado al grupo con la colonia principal de hormigas. Cuando dejó de
llover, los primeros individuos del grupo probablemente habían salido a
explorar el área sin apartarse de la periferia del grupo, donde se
sentían más seguros. Al hacerlo, dejaron un rastro circular de feromonas
que las demás hormigas no tardaron en seguir. Al cabo de un rato el
rastro era tan intenso que ninguna de ellas era capaz de escapar. […] Al
final del día, las hormigas habían dado vueltas durante más de quince
horas». A unique case of circular milling ants, considered in relation to trail following and the general problem of orientation, «American Museum Novitates», Schneirla.
En nuestra sociedad globalizada, en la que el espectáculo y la
diversión han sido puestos en el centro por los mass media, es muy
difícil ser profesor, de cualquier cosa, pero sobre todo de matemáticas.
¿Tiene que ser convertida el aula en un reality show para atraer la atención de nuestros estudiantes? Con demasiada frecuencia sigo escuchando el argumento de que las
matemáticas son difíciles porque el profesor no sabe enseñarlas. Y el
argumento se refuerza con anécdotas de la vida escolar adolescente.
Puedo leer entre líneas --es decir, puedo "maliciar" en ese argumento--
la hipótesis oculta de que el profesor no sabe armar un espectáculo con
su tema a enseñar. Mínimo, que hay una forma correcta (la cual puede
depender del opinante) de enseñar las matemáticas mientras todas las
demás están equivocadas. Permítaseme documentar la idea con un relato.
¿Por qué nadie me lo había explicado así?
Recientemente un profesor (de sociología) me comentaba muy
entusiasmado que "ahora sí había entendido el binomio al cuadrado".
Según le entendí, había asistido a una conferencia sobre educación
matemática y el expositor había planteado el binomio al cuadrado de
manera diagramática (o visual). Según su explicación, la visualidad que
tanto impactó a mi amigo habría sido ésta:
Yo le comenté que esa manera de ilustrar el binomio al cuadrado está
desde hace ya tiempo en los libros de secundaria y que no entendía qué
era lo extraordinario de ello. El sociólogo replicó que si así le
hubieran enseñado a él, posiblemente habría elegido estudiar la
licenciatura en matemáticas, bla, bla , bla. La conversación continuó un
poco más, pero ante el entusiasmo de mi sociólogo desistí de indagar el
motivo de su entusiasmo.
Pues es muy difícil bajar a un estusiasta de su nube. Lo que pude
inferir de su conversación es que, por alguna razón, se conectó al tema
de la conferencia como nunca antes lo había hecho y tuvo una
revelación... Aparte está el hecho de que el binomio al cuadrado
requiere un mínimo de conocimientos previos para su comprensión --en
contraste con otros productos notables como la factorización por las
fórmulas de Vieta.
Por otro lado, las pruebas visuales están orientadas a atraer la
atención del aprendiz --lo cual está cañón, pues una prueba visual es
incomparablemente menos atractiva que el espectáculo montado por un
videojuego. Además de que su utilidad didáctica de largo plazo es
cuestionable --pues, en el caso de los productos notables, lo que
verdaderamente estaría en juego ahí es la regla distributiva... Quiero
decir, la prueba visual es atractiva y cumple una función didáctica
pero...
Teorema de la altura y su contexto
Un poco como el profesor de sociología del relato --y a pesar de las
contraindicaciones de las pruebas visuales-- voy a compartir con los
lectores de MaTeTaM una prueba visual del teorema de la altura que logró
entusiasmarme (aunque quizá por razones diferentes a las de mi
sociólogo). Tiene la desventaja de que no es para todo público (como la
del binomio al cuadrado). Pues hay que saber dos o tres cosas de
semejanza de triángulos rectángulos.
La configuración geométrica para el teorema de la altura es un triángulo ABC, rectángulo en A, con h la altura relativa a la hipotenusa y p y q los segmentos en que aquélla divide a ésta. En otras palabras, si llamamos D al pie de la altura, entonces h=AD,p=BD,q=DC
Es fácil ver --por complementariedad-- que los triángulos CDA y ADB son semejantes. De aquí que sus lados sean proporcionales. Es decir
BDDA=ADDC
O bien, sustituyendo las longitudes de los segmentos,
ph=hq
Este teorema se acostumbra formular como
h2=pq
Y se enuncia así:
En un triángulo rectángulo, la altura asociada a la hipotenusa es
media geométrica de los segmentos en que la hipotenusa queda dividida
por la altura.
Importancia didáctica del teorema de la altura
A pesar de que es elemental y su demostración es consecuencia directa
de una evidente semejanza de triángulos, este teorema es importante
porque permite al aprendiz ejercitar su comprensión de la semejanza de
triángulos. Y aprovechando su cercanía con el teorema del cateto, se
puede armar una secuencia didáctica que culmine en la demostración
clásica más elemental del teorema de Pitágoras. Enseguida las
demostraciones del teorema del cateto y el de Pitágoras.
Según la notación usual, el cateto opuesto al vértice B se denota con b y el opuesto al vértice C con c. Entonces, con referencia a la figura anterior, el teorema del cateto diría: b2=qa,c2=pa. Sumando ambas ecuaciones se obtiene Pitágoras.
La prueba visual
Con referencia de nuevo a la figura anterior, imaginemos que recortamos el triángulo ABC sobre su altura AD y que separamos los triángulos CDA y ADB --los cuales son semejantes, como se dijo arriba. Entonces, si giramos el triángulo ADB 90 grados sobre A, obtenemos una configuración como la siguiente.
Y si intercambiamos las posiciones de los dos triángulos se obtiene la siguiente configuración:
Y si tomamos una copia del triángulo CDA, ambas configuraciones se combinan en la siguiente:
La prueba visual consiste en observar que los triángulos BCS y A′AT
son rectángulos y congruentes y, en consecuencia, tienen la misma área.
Así que si a cada uno de ellos le quitamos los dos triángulos cortados
del original, las áreas que quedan son iguales. Es decir, h2=pq.
Ideal para hacer clases recreativas de Qu{imica. Personalmente a mi fascinan los modelos Quebecium y Tarantola, son los m{as elegantes. Les dejo la colección.
Fue una casualidad. Pero una casualidad con 'retranca'. A
las 9 menos 13 minutos de la mañana, hora de Washington, Alpha Natural
Resources, la segunda minera de carbón más grande de Estados Unidos,
suspendía pagos. A las 2 y cuarto de la tarde, en la Casa Blanca, Barak Obama
anunciaba el primer plan del país para reducir -en lugar de limitar-
las emisiones de gases que provocan el calentamiento de la atmósfera y
el mar.
Obama lo hizo sobre un fondo de una imagen recientemente
divulgada por la NASA de la Tierra en el espacio. "Solo tenemos una
casa. No hay un 'Plan B'", dijo el presidente de EEUU. Su objetivo es
que las emisiones de las plantas de generación eléctrica de ese país sean en 2030 un 32% inferiores a lo que eran en 2005. Para ello, los estados deberán presentar planes en el otoño de 2016 con el objetivo de lograr ese objetivo, aunque las reducciones no deberán empezar hasta 2022.
Ese 32% suena a mucho. Y lo es. Pero también es cierto que
es menos de lo que parece. De ahí procedieron las críticas de las
organizaciones ecologistas, que acusaron al presidente de hacer muy poco
y muy tarde.
La clave es que la combinación de la recesión de 2007-2009,
la mejora tecnológica, las regulaciones que Obama lleva poniendo en
práctica desde que llegó a la Casa Blanca en 2009 y la explosión del gas
natural obtenido por medio del controvertido método del 'fracking', o
fracturación hidráulica, han reducido de forma drástica las emisiones de
CO2 de las térmicas.
Según los propios datos de la Agencia de Protección del
medio Ambiente (EPA, según sus siglas en inglés) de EEUU, la generación
eléctrica produjo en 2014 2.043 millones de toneladas métricas de CO2.
Eso es mucho. Pero hay que tener en cuenta que en el año 2005, que es
el que Obama ha usado como base, su producción de CO2 fue de 2.415 millones de toneladas métricas. O sea, que las térmicas estadounidenses producen un 17% menos que en 2005.
Si se miran las cosas así, el recorte es más modesto.
Porque lo que supone un 32% con relación a 2005, se queda en un 20% si
se compara con el año pasado. El otro 12% ya ha caído solo. O sea, que
en lugar de recortar las emisiones en 772.000 millones de toneladas
anuales, Obama solo quiere que éstas caigan en 400.000. Eso significa
que en 2030 las centrales eléctricas estadounidenses deberán
emitir la quinta parte menos de CO2 que están lanzando a la atmósfera
ahora. Claro que de cara a un titular, el 32% es siempre más impresionante.
