Razonamiento diagramático en problemas verbales

El diagrama se debe considerar como una memoria externa y como una ayuda al razonamiento. El diagrama más conocido en matemáticas es tan "natural" que ya es invisible. Estoy hablando de la recta numérica para representar los números reales. La recta numérica es ya "muy natural" porque se usa desde la escuela primaria para razonar sobre los números y, por ejemplo, para enseñar las sumas y las restas con saltos de ranita. Y no es que los números reales sean la recta numérica sino que uno debe imaginar los números en la recta numérica para tener algo concreto sobre lo que se pueda razonar. (Por supuesto, a los niños no hay que darles tanta filosofía, sino que hay que enseñarles la recta numérica como si fuese la cosa más natural del mundo...)
Consideremos la suma 1+3+5+...+2n−1 de los primeros n  naturales impares. Una prueba visual de que esta suma es n2 se presenta a continuación (aunque el diagrama muestra la suma de impares hasta el 11). Sin embargo, es prueba visual para quien ya está entrenado para verla como prueba visual. Es decir, al diagrama hay que saberlo interpretar, aprender a verlo como algo otro a lo cual representa.


 
Este post es continuación de la noticia Selecciones Reynosa y Victoria donde comenté la solución diagramática del problema de Razón de Velocidades del concurso ciudades. Para ello voy a comentar sobre el método diagramático de solución de problemas verbales (word problems) usado en Singapur.

El método diagramático no es nuevo, y se podría decir que es casi natural. Los aprendices lo usan intuitivamente para resolver problemas, para razonar sobre los problemas --si bien, quizá, de manera bastante burda, dado que todavía no es un método para ellos, sino un modo de intentar resolver el problema "como Dios les da a entender".

Sin embargo, este método ha alcanzado en los últimos años cierta popularidad en la literatura sobre la enseñanza de las matemáticas escolares debido a que está incluido en el curriculum de un país  tercermundista que les ganó a los de primer mundo en varias evaluaciones internacionales. En particular, en la evaluación denominada TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study), Singapur obtuvo el mayor puntaje en los años 1995, 1999 y 2003. Esto hizo que los Estados Unidos de América voltearan a ver el curriculum escolar de Singapur.

Y uno de los rasgos de la educación de ese país que los americanos descubrieron es su sistematicidad en enseñar y usar el modo diagramático de razonar en matemáticas. (Ver http://www.moe.gov.sg/media/press/2004/pr20041214.htm)
Consideremos el siguiente ejemplo de un problema verbal y la manera en que se enseña a resolverlo en Singapur (eliminé el contexto para que el problema quedara en estado puro):
(El Problema) La suma de tres números D,E,F es 51. Si E es el doble que F y D es 15 unidades mayor que F ¿cuáles son esos números?
(La solución) El primer paso es darse cuenta que las condiciones segunda y tercera apuntan a F. Para que los niños logren ver esa dependencia, el método Singapur (llamémoslo así como un reconocimiento a su excelente iniciativa) enseña a los niños un diagrama muy elemental pero que tiene la ventaja de organizar la información del enunciado:



 
El segundo paso es concluir que F puede tomarse como "unidad" (o bien asignarle un valor x, si se trata de niños de secundaria). Si se quiere aplicar álgebra (o casi álgebra) el diagrama de flechas se completa así:



 
Y la ecuación correspondiente a la primera condición se resuelve de la manera usual: 4x+15=51, es decir, 4x=36 o x=9, etc. (Notemos que la forma usual de plantear el problema resulta en un sistema de 3x3, aunque muy fácil de resolver. En el método Singapur, el álgebra es apoyada por el diagrama.)
Para niños de primaria, el diagrama de flechas mostrado arriba da lugar a otro diagrama (que es ya casi álgebra):

Con este diagrama es muy fácil para los niños ver la solución: cuatro barras más 15 unidades es 51, etc. (Bueno, posiblemente no sea tan fácil para los niños aprender a construir y después a interpretar estos diagrama. Posiblemente un tercer paso sea usar el diagrama para llegar al valor de un bloque y un cuarto podría consistir en regresar sobre los pasos para obtener la solución completa.
No conozco los detalles del método didáctico, pero me imagino que hay sesiones completas para cada paso, con ejercicios para hacer el diagrama de dependencia y después ejercicios para crear el diagrama de bloques, etc. Lo que sí es claro es que no se necesita ninguna tesis doctoral para pronosticar que si los niños aprenden (como lo hacen) el método de los bloques en la primaria, y en la secundaria apoyan con diagramas sus primeros pasos en el álgebra, a los 14 años ya dominarían muy bien la simbolización y la resolución de ecuaciones. (Porque los diagramas son andamios, es decir, construcciones provisionales; no se trata de que los diagramas sustituyan al álgebra sino de que les ayuden a aprender álgebra.)
Notemos finalmente que el problema verbal que hemos tomado de ejemplo es una clase muy específica: da lugar a una ecuación lineal de la forma ax+bx+cx=d. Pero presumiblemente, para otra clase de problemas verbales, el método diagramático de Singapur sólo requiera modificaciones menores.
Para finalizar les presento una solución diagramática del problema clásico Conejos y Gallinas:
(El problema) En el corral hay conejos y gallinas. Son 15 cabezas y 44 patas. Determinar el número de conejos y gallinas en el corral.
(La solución diagramática) Representemos el número de patas de los conejos como el área de un rectángulo de 4 unidades de altura (las patas) y de base desconocida; de la misma manera el número de patas de las gallinas es el área de un rectángulo de altura 2 y base desconocida. Si yuxtaponemos los dos rectángulos queda una figura como la siguiente:

Razonando sobre el diagrama se podría generar un argumento como el siguiente: "mhh, bueno, es claro que el área del rectángulo de la base es 15(2)=30 patas; pero son 44... ah, pues ya está: el área del rectángulo superior es 14 patas; es decir, son 7 conejos... y bueno... ahora se puede calcular el número de gallinas... mhh... son 15-7=8 gallinas." (Nota: con el diagrama se puede generar el argumento mucho más elaborado --y muy conocido y asombroso también-- que consiste en decir: paramos de manos a todos los conejos; tenemos entonces 30 patas pisando el suelo; las manos de los conejos --las que están levantadas-- son entonces 14; es decir, son 7 conejos; y bueno, las gallinas son... hagan ustedes las cuentas...")

Notemos que lo que está por detrás de la interpretación del diagrama es saber ver el área de un rectángulo como el producto de dos números: una correspondencia que ya usaban los griegos de la antigüedad. Pero para que esta correspondencia tenga alguna utilidad en la transición de la aritmética al álgebra (para que no se quede en una mera curiosidad lúdica) hay que destacarla y ponerla a  funcionar en problemas como éste y con muchos ejercicios.

Si denotamos con c el número de conejos y con g el de gallinas, entonces el número de patas de conejo es 4c y el de gallinas es 2g; cada uno de estos términos es un rectángulo. Y si ahora los yuxtaponemos, se tendría 4c+2g=44, con c+g=15. Es decir, viendo el diagrama de los dos rectángulos yuxtapuestos también hay que ver que es un sistema de ecuaciones: "ves el diagrama y ves áreas; lo traduces en tu mente (lo interpretas) y ves ecuaciones..."
No sé qué efecto de aprendizaje pueda tener usar el método diagramático de manera aislada y fuera del curriculum. No se descartaría la posibilidad de que si un profe entre 1000 lo utilizara, podría ganarse de sus alumnos el mote de "el loquito". Es el efecto del medio ambiente. Pero como en Singapur todos los profes están obligados a ser loquitos, pues ya no son loquitos sino que son buenos profesores de matemáticas --en el estándar de calidad profesional de su país...
Y al decir esto, esta delegación hace conciencia de que, al trabajar en los márgenes del curriculum de las matemáticas escolares, posiblemente ya se haya ganado el mote de "loquita"... Nos salva un poco el hecho de que trabajamos con la Sociedad Matemática Mexicana...
Los saluda
jmd
PD: Como se habrán dado cuenta, he puesto varios problemas verbales (chicas barbie, bellezas maduras, el cuerudo, chico fresa, etc.) en atención a los adolescentes de secundaria y para dar cierto contexto para el Concurso Ciudades. Son problemas clásicos en contexto actualizado según el talante del que esto escribe. El lector puede comparar el problema "chicas barbie" con el "método sui generis" --el cual apareció en ciudades-- y constatar que tienen exactamente la misma estructura (de hecho es el mismo problema). Pero ya pasó ciudades, y sigue el regional. Y éste requiere subirle un poquito el nivel... es decir, en los problemas verbales ya no insistiré por este año... a menos que se me ocurra un contexto interesante para un problema verbal clásico, a tal grado que me sea imposible no ponerlo en este sitio...
 

Ver también: 

 

Conocer la cultura matemática –el tránsito de novicio a experto. (Entrada de blog)

Diagrama (Definición)

 

Tomado de:

 

Mate Tam 

¿Qué es un diagrama de Carroll? (¿y cuáles son sus aplicaciones didácticas?)

Los diagrama de Venn tienen problemas para representar más de tres conjuntos... por lo tanto estos diagramas tuvieron que evolucionar, y es aquí donde aparece Lewis Carroll, conocido mundialmente por ser el creador de Alicia en el País de las Maravillas, pero Carroll fue también un gran matemático y, a la vez, el creador de los diagramas que llevan su nombre. Veamos:

Un diagrama de Lewis Carroll es un diagrama usado para agrupar cosas de una manera sí/no. Números y objetos son categorizados como x (teniendo una cualidad x) o no x (no teniendo este atributo). Son llamados así en alusión a Lewis Carroll, el seudónimo de Charles Lutwidge Dodgson, el famoso autor de Alicia en el País de las Maravillas quien también era matemático.

Aunque los diagramas de Carroll pueden ser simples como el mostrado arriba, los más conocidos son como el mostrado abajo, donde dos atributos son mostrados. El universo de un diagrama de Carroll se contiene dentro de las cajas en el diagrama, como cualquier número u objeto tiene que, o tener una cualidad, o no tenerla.

Los diagramas de Carroll son frecuentemente aprendidos por escolares, pero pueden ser usados también fuera de este campo. Por ejemplo, representan una manera muy ordenada y útil de categorizar y exhibir ciertos tipos de información.

Estos diagramas usados muy frecuentemente en la teoría de conjuntos aplicada a estructuras computacionales, son de gran ayuda en el manejo de las estructuras booleanas donde se manejan los estados de los circuitos electrónicos como 1 y 0 en el sistema binario (encendido y apagado), además de que es una evolución del diagrama de Venn el cual tiene problemas para representar todas las regiones existentes cuando el número de conjuntos es mayor a tres... Fuente: Wikipedia  

Aplicaciones didácticas de los diagramas de Carroll (educación primaria)

Por su sencillez tanto los diagramas de Venn como los diagramas de Carroll se emplean en la enseñanza de las matemáticas a niños de educación primaria; las aplicaciones didácticas, de estos diagramas, son muchas:

1) Una manera sumamente sencilla de comprender la funcionalidad de un diagrama de Carrlll la podemos ver en el siguiente GIF. En este caso se trata el tema de los ANIMALES. En las filas están las variables AVES y NO AVES, y en las columnas están las variables VUELAN y  NO VUELAN.

via GIPHY

Otra aplicación de los diagramas de Carroll. En las columnas tenemos los atributos VEGETAL y NO VEGETAL. En las filas tenemos los atributos ES ROJO y NO ES ROJO.

En la siguiente imagen vemos las variables: PAR e IMPAR en las filas y MÚLTIPLOS DE 3 y MÚLTIPLOS DE 5 en las columnas.

Otros ejemplos: RAPARIGA (niña), RAPAZ (niño)...


El número de criterios de clasificación puede ser mayor de dos (info tomada de AQUÍ):

Más ejemplos. Con osos de juguete, de plastilina... ¡o de gominola!

Más problemas, con diagramas de Carroll en este documento (PDF).

Crear juegos y crear problemas

Gracias los programas de DESCARTES puedes jugar con los diagras de Carroll en tu computadora o tablet. Ingresa AQUÍ. Es un juego sencillo, te animo a tú crees tus propios juegos con Diagrams de Carroll.

Ahora nosotros te damos una imagen, yt a partir de ella tú debes de crear un problema:

Videos y presentaciones con diagrams de Carroll

En el siguiente video podemos ver la resolución del siguiente problema:

Problema 01

Para los votantes de una cierta comunidad de 300 personas se tiene que:
 - 110 son mayores de 20 años
 - 120 son mujeres y 50 mujeres son mayores de 20 años

Determine el número de votantes que:

a) Son hombres.
b) Son hombres mayores de 20 años
c) Son mujeres con 20 o menos años.
d) Son hombres con 20 o menos años
e) Tienen 20 o menos años.

Más videos en el blog del Profe Alex

Resolución de problemas matemáticos empleando diagramas de Lewis Carroll en esta presentación:

Diagramas de carroll from Hespinoza

Más problemas resueltos en el blog MATEMÁTICA1


Lectura recomendada

Lea "Las diversiones matemáticas de un matemático aburrido: Lewis Carroll" en este PDF.

Finalmente: De los diagramas de Venn a los diagramas de Carroll y a los diagramas árbol hay un solo paso. Pero esto lo veremos en la siguiente entrega.

¡Hasta pronto!

Mag. Leonardo Sánchez Coello

Educación y Didáctica

conocerciencia.com

@conocerciencia

Diagramas de Venn y diagramas de Edwards

La dificultad de representar más de tres conjuntos mediante diagramas de Venn es evidente. Venn sentía afición por los diagramas de más de tres conjuntos, a los que definía como "figuras simétricas, elegantes en sí mismas". A lo largo de su vida, diseñó varias representaciones usando elipses, y dejó indicaciones para la construcción de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de tres círculos.

Diagramas de Edwards

Y es entonces que aparece Anthony William Fairbank Edwards que propuso diagramas para más de tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. 

Tres conjuntos pueden ser representados fácilmente tomando tres hemisferios en ángulos rectos (x = 0, y = 0 y z = 0). 

Un cuarto conjunto puede ser representado tomando una curva similar a la juntura de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden ser proyectados de nuevo sobre el plano para mostrar diagramas de tipo engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes. 

Edwards ideó estos diagramas mientras diseñaba la ventana acristalada en memoria de Venn que hoy adorna el comedor del Caius College.

3 conjuntos	4 conjuntos
5 conjuntos	6 conjuntos

El mapa de Karnaugh

Un mapa de Karnaugh (también conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como Mapa-K o Mapa-KV) es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicas Booleanas. El mapa de Karnaugh fue inventado en 1950 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell.

Los mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer cálculos extensos para la simplificación de expresiones booleanas, aprovechando la capacidad del cerebro humano para el reconocimiento de patrones y otras formas de expresión analítica, permitiendo así identificar y eliminar condiciones muy inmensas.

El mapa de Karnaugh consiste en una representación bidimensional de la tabla de verdad de la función a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2^N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2^N cuadrados. Las variables de la expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código Gray, de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. La transferencia de los términos de la tabla de verdad al mapa de Karnaugh se realiza de forma directa, albergando un 0 ó un 1, dependiendo del valor que toma la función en cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables. Más información AQUÍ.

Fuente:

Wikipedia

¿Cúal es la diferencia entre los diagramas de Venn y los diagramas de Euler?

Por lo general, entre los estudiantes de matemáticas, se observa confusión entre los diagramas de Venn y los diagramas de John Euler, pero, como probablemente ya dedució usted amable lector, se trata de diagramas diferentes... parecidos sí, pero diferentes... Son tan parecidos que inclusive en muchos textos de matemática y páginas web se les llma diagramas de Venn-Euler... En fin, en esta ocasión les vamos a describir las diferencias entre los diagramas de John Venn y los de Leonhard Euler (y todo gracias a la Wikipedia):

Un diagrama de Euler o esquema de Euler es una manera diagramática de representar a los conjuntos y sus relaciones. Son una representación moderna de los círculos de Euler, los cuales deben su nombre a su creador, Leonhard Euler.

Los diagramas de Euler normalmente consisten de simples curvas cerradas en el plano que son usadas para describir conjuntos. Las relaciones espaciales entre las curvas (superposición, contención o ninguno) corresponden, respectivamente, a relaciones de intersección, subconjunto y disjuntes, de la teoría de conjuntos.

Estos diagramas son una generalización del bien conocido diagrama de Venn, el cual representa todas las posibles intersecciones entre los conjuntos presentes dados.

A la intersección del interior de una colección de curvas con el exterior del resto de curvas se le llama zona. Así, dado un conjunto de curvas, en los diagramas de Venn todas las zonas deben estar presentes, pero no así en un diagrama de Euler, donde algunas zonas podrían no estar.

En el sentido de la lógica, uno puede usar la semántica de un modelo teórico para interpretar los diagramas de Euler dentro de un dominio de discurso. En el ejemplo de la figura, el diagrama de Euler representa que los conjuntos Animal y Mineral son disjuntos, porque las curvas correspondientes son disjuntas, y también que el conjunto Four Legs es un subconjunto del conjunto Animal. 

El diagrama de Venn que usa las mismas categorías Animal, Mineral y Four Legs no encapsula esta información. Tradicionalmente, este vacío de un conjunto en los diagramas de Venn es descrito por un sombreado o achurado de la región. Los diagramas de Euler, en cambio, representan vacío ya sea por el sombreado o por la omisión de una de las zonas.

A menudo se impone un conjunto de condiciones bien formadas, que corresponden a restricciones topológicas o geométricas impuestas a la estructura del diagrama. Por ejemplo, se puede forzar la conectitud de las zonas, o prohibir la concurrencia de curvas o puntos múltiples como forma de representar intersecciones tangenciales de curvas. 

En el diagrama de abajo, se observa la transformación secuencial de pequeños diagramas de Venn en diagramas de Euler; algunos de los diagramas intermedios tienen concurrencia de curvas. Sin embargo, esta secuencia de transformaciones desde un diagrama de Venn con sombreado hasta un diagrama de Euler sin sombreado, no es siempre posible. En efecto, existen ejemplos de diagramas de Euler con 9 conjuntos que no son diagramables usando curvas cerradas simples y sin la creación de zonas no deseadas, puesto que ellos tendrían que tener grafos duales no planares.

Texto e imágenes de;

Wikipedia

John Venn y los diagramas de Venn

John Venn (1835) fue criado en el seno de una familia que jugó un papel destacado en el movimiento evangélico. De él se esperaba que siguiese la tradición familiar y que, al igual que su padre, se convirtiese en ministro cristiano. Aunque en 1859 llegó a ordenarse como sacerdote, la vida de John Venn siempre estuvo ligada a las ciencias, tanto en el seno de la moral como del empirismo, al considerar incompatible el anglicanismo con sus creencias filosóficas.

El área de mayor interés para John Venn fue sin duda la de la lógica. De ahí que todas sus obras versasen sobre esa materia. Su primera publicación salió a la luz en 1866 bajo el nombre de La lógica del azar y con ella introdujo la teoría de frecuencia de la probabilidad.

Las siguientes publicaciones de John Venn se centraron en el estudio de una lógica matemática mucho más pura. En 1881 publicó Lógica simbólica con la que dio a conocer sus diagramas y ocho años después presentó Los principios de la lógica empírica.

A pesar de su dedicación hacia este campo de estudio, John Venn pasó sus últimos días a estudiar la historia del colegio en el que se formó, la de la Universidad de Cambridge y la de su propia familia. En una de las vidrieras del Colegio de Gonville y Gaius puede verse un diagrama de Venn en conmemoración a su creador. John Venn falleció en 1923, a la edad de 88 años.

Fuente:

La Voz de Galicia

Ideal