Conocer Ciencia

10 de marzo de 2010

Números amigos

Miércoles, 10 de marzo de 2010

Números amigos

Los Pitagóricos cosideraban a los números naturales como las llaves que abrían las puertas del Universo, lo cual los llevó a desarrollar toda una mística alrededor de los mismos, adjudicándoles diversas cualidades. Asi, los números impares representaban al sexo masculino y los números pares al femenino; el número uno era símbolo de la razón; el número dos era la opinión; el tres representaba la armonía; el cuatro la justicia; el cinco significaba el matrimonio; el seis la creación; y así sucesivamente.
Todo este misticismo extravagante alrededor de los números llevó a los Pitagóricos a dar los primeros pasos en el desarrollo de la Teoría de los Números. Fueron los primeros en reconocer y estudiar a los números pares y a los impares, a los números primos y a los compuestos. Llamaron abundante, deficiente o perfecto según la suma de los divisores propios del número bajo estudio fuera mayor, menor o igual al propio número.

Sin dudas un punto alto en el estudio de los números por parte de los Pitagóricos fue el descubrimiento de un par de números distintos: $\displaystyle 220$ y $\displaystyle 284$ cada uno de los cuales es el resultado de la suma de los divisores propios del otro:

$\displaystyle 220$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1+2+4+71+142$

$\displaystyle 284$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110$

A este par de números se los llama números amigos o amigables. El número más pequeño $\displaystyle 220$ es abundante y el más grande $\displaystyle 284$ es dificiente, lo que constituye un resultado verdadero para cualquier par de números amigos. Para el misticismo numérico, $\displaystyle 220$ y $\displaystyle 284$ , cada uno compuesto por una parte del otro, simbolizan la amistad perfecta.

Si bien el par de números amigos $\displaystyle (220 : 284)$ era conocido por griegos, un nuevo par de números con esta característica recién aparace hacia el siglo IX. La primera contribución seria al estudio de los números amigos la hace un matemático árabe llamado Thabit ibn Qurra (826-901), quién propone la siguiente regla:

Regla de Thabit: Si $\displaystyle n$ es un número natural tal que los siguientes números

$\displaystyle p=3 (2)^n-1$ ; $\displaystyle q=3 (2)^{n+1}-1$ ; $\displaystyle r=9 (2)^{2n+1}-1$

son números primos, entonces $\displaystyle 2^{n+1}pq$ y $\displaystyle 2^{n+1}r$ forman un par de números amigos.

Para $\displaystyle n=1,3,6$ la Regla de Thabit genera el primer, segundo y tercer par conocido de números amigos, estos son:

$\displaystyle 2^5.5.11=220$ ; $\displaystyle 284=2^2.71$

$\displaystyle 2^4.23.47=17 296$ ; $\displaystyle 18416=2^4.1151$

$\displaystyle 2^7.191.383=9 363 584$ ; $\displaystyle 94 37056=2^7.73 727$

pero no genera ningún otro par de números amigos para $\displaystyle n\le 191 600$ .

El conocimiento del primer par de números amigos $\displaystyle (220 : 284)$ y su rol en el misticismo numérico llega a Europa via los árabes y hacia el año 1550 dicho par de números ya habían aparecido en trabajos de Chuquet, Stifel, Cardano y Tartaglia. Sin embargo la Regla de Thabit y sus resultados eran totalmente desconocidos. Entonces es cuando tanto Fermat como Descartes comienzan la búsqueda de pares de números amigos, y ambos redescubren la Regla de Thabit, y en cartas a Mersenne cada uno declara el descubrimiento de un nuevo par: Fermat $\displaystyle (17 296 : 18 416)$ en 1636 y Descartes $\displaystyle (9 363 584 : 9 437 056)$ en 1638.

Euler, como siempre, hace su aparación y revoluciona la búsqueda de pares de números amigos. Al momento de su interés en el tema, año 1737, solo tres pares se habían encontrado en el lapso de dos mil años. Luego, él solo, llevó la cuenta a 62!!!, descontados unos cuantos números que más tarde se domostró no eran amigables. Euler investigó cuando un par de números, con una estructura particular $\displaystyle (apq, ars)$ , donde $\displaystyle p, q, r, s$ son números primos distintos entre sí y no son divisores de $\displaystyle a$ , son amigables. Este análisis le llevó a encontrar su par más pequeño: $\displaystyle (2620 : 2924)=(2^2.5.131 : 2^2.17.43)$ .

Regla de Euler: Si un número natural $\displaystyle k$ y $\displaystyle n$ con $\displaystyle k\le n$ son tales que los tres números

$\displaystyle p=(2^k+1)2^{n+1-k}-1$ ;

$\displaystyle q=(2^k+1)2^{n+1}-1$ ;

$\displaystyle r=(2^k +1)^22^{2n+2-k}-1$

son números primos, entonces $\displaystyle 2^{n+1}pq$ y $\displaystyle 2^{n+1}r$ forman un par de números amigos.

Cuando $\displaystyle k=1$ se obtiene la Regla de Thabit. Solo se conocen dos pares $\displaystyle (k,n)$ que satisface las condiciones de la Regla de Euler, ellos son $\displaystyle (7,7)$ y $\displaystyle (11,39)$ . El primero caso genera un par de números amigos en donde cada miembro tiene 20 dígitos, el segundo cada miembro del par generado tiene 40 dígitos.

El éxito de Euler en desarrollar un método sistemático para encontrar pares de números amigos, entusiasmó a muchos a iniciar nuevas búsquedas. Sin embargo el éxito de Euler fue tal que sólo cuatro nuevos pares se encontraron un siglo y medio después, contribuyendo a un total de 66 pares de números amigos hacia finales del Siglo XIX.

La aparición de las computadoras transformó la busqueda de pares de números amigos. Durante miles de años se encontraron poco más de un par de estos números, hoy en día se cuentan por millones, concretamente a la fecha hay 11 994 387 pares de números amigos. Desde 1985 Jan Munch Pedersen mantiene una página web llamada Known Amicable Pairs la que lista en orden creciente todos los pares de números amigos conocidos, junto con sus descubridores, año del descubrimiento y su factorización prima. La lista de números amigos comienza así:

1- Pythagoras (Año 500 AC) – $\displaystyle (220=2^2.5.11 : 284=2^2.71)$

2- Paganini (Año 1866) – $\displaystyle (1184=2^5.37 : 1210=2.5.11^2)$

3- Euler (Año 1747) – $\displaystyle (2620=2^2.5.131 : 2924=2^2.17.43)$

No hay mucha sorpresa en los casos 1 y 3, pero ¿el segundo?. Durante miles de años, primeros los griegos, luego los árabes y matemáticos del calibre de Fermat, Descartes, Euler y muchos otros escudriñaron los cielos con sus sofisticados métodos matemáticos buscando números amigos, pero fracasaron en encontrar lo que yacía a sus pies, el segundo par más pequeño de estos números $\displaystyle (1184 : 1210)$ . ¿Quién encontró este par de números, asegurándose un lugar en el salón de la fama de la teoría de los números? Nicolo Paganini, un estudiante de secundaria italiano de 16 años.

El par de números amigos más grande fue encontrado en 2005 y es $\displaystyle (17 60 ... : 1826 ...)$ donde “…” representa en ambos miembros 24069 dígitos.

Existen varias conjeturas sobre la estructura de los pares de números amigos que están pendientes de demostrar, para todos aquellos con hambre de inmortalidad matemática listamos tres de ellas:

1- Los pares de números amigos son infinitos.

2- Los miembros de un par de números amigos son ambos pares o ambos impares.

3- Los miembros de un par de números amigos impares son divisibles por tres.

(Este post es un resumen y traducción del artículo Friends in High Places de Roger Webster and Gareth Williams aparecido en el último número de Mathematical Spectrum, se puede bajar de internet desde aquí).

Fuente:

Apuntes matemáticos

Resultados del concurso eVolo Skyscraper 2010

Miércoles, 10 de marzo de 2010

Resultados del concurso eVolo Skyscraper 2010

Establecido en el 2006, la competencia anual, reconoce las ideas innovadoras que redefinen el diseño del rascacielos a traves del uso de nuevas tecnologias, materials, programas y organización espacial. El premio busca descubrir jóvenes talentos cuyas ideas cambiarán la forma como entendemos la arquitectura y su relacion con la naturaleza y el medio ambiente. En esta edición participaron 430 proyectos de 42 paises diferentes.

El jurado para la edición del 2010 estuvo formado por líderes de la arquitectura y el diseño incluyendo entre otros a :Mario Cipresso, Kyu Ho Chun, Kenta Fukunishi, Elie Gamburg, Mitchell Joachim, JaeYoung Lee, Adelaïde Marchi, Nicola Marchi y Eric Vergne. The Jury selected 3 winners and 27 special mentions among 430 entries from 42 countries.

Anteriormente se habia anunciado la competencia de eVolo con la idea de incentivar a algunos colegas a participar en estos tipos de concursos que promueven la creatividad, ya que se da mucho en nuestro medio que el costo beneficio elimina parcialmente la creatividad de cualquier tipo de proyecto, y pues acá están los resultados de este concurso.

Primer Lugar: Prisión vertical por Chow Khoon Toong, Ong Tien Yee, Beh ssi CZE, Malasia[ + informacion]

Segundo Lugar: Purificación de Agua Rascacielos en Yakarta por Rezza Rahdian, Erwin Setiawan, Ayu Diah Shanti, Leonardus Chrisnantyo, Indonesia[ + informacion ]

Tercer Lugar: anidados rascacielos en Tokio por Ryohei Koike, Jarod Poenisch, Estados Unidos[ + Informacion ]

Fuentes:

Arte +

Arquinauta

Elefantes 'desempleados' se convierten en artistas

Miércoles, 10 de marzo de 2010

Elefantes 'desempleados' se convierten en artistas

Un elefante pinta un lienzo con ayuda de su cuidador. | Efe

En 1989 el Gobierno de Tailandia prohibió la tala de árboles
Miles de paquidermos que trabajaban en plantaciones se quedaron en paro
Ahora pintan lienzos, cuadernos y libretas en espectáculos para turistas
Son elaborados a partir de heces de elefante recicladas
Algunos han sido subastados en Christie's y han alcanzado los 14.000 euros
En Lampang también tocan instrumentos musicales en una orquesta

Cientos de elefantes, antes imprescindibles en las plantaciones, han tenido que ser reconvertidos y ahora pintan lienzos en espectáculos para turistas en Tailandia, alguno de los cuales ha llegado a ser subastado por la prestigiosa casa Christie's.

En 1989, miles de paquidermos se quedaron en el paro tras prohibirse la tala de árboles en Tailandia, por lo que las autoridades se vieron obligados a buscarles una ocupación alternativa, y pensaron en el mundo del espectáculo y el arte.

Las representaciones varían según los organizadores, pero suelen incluir composiciones coreográficas, pintura, música y partidos de fútbol.

Los elefantes carecen de la creatividad y la capacidad de abstracción de los primates, otros renombrados artistas en el mundo animal, por lo que precisan la ayuda del 'mahout' (cuidador). "No se trata de que los elefantes sean capaces de pintar, si no que los mahout dirigen sus trompas", explicó Efe Vicky, relaciones públicas del Instituto Nacional de Elefantes de Lampang, en el norte de Tailandia.

Los turistas se quedan boquiabiertos cuando los ven blandir pinceles con sus largas trompas y dibujar plantas y autorretratos.

"Estoy seguro de que los elefantes pintaban los cuadros sin ayuda, yo he comprado el cuadro de uno que salió en la CNN", exclamó un turista sudafricano.

El Centro de Conservación de Elefantes de Lampang creó su excepcional academia de arte para paquidermos en 1998, cuando comprobó el éxito de los originales artistas.

Lea el artículo completo en:

El Mundo Ciencia

Llega el algodón eléctrico

Miércoles, 10 de marzo de 2010

Llega el algodón eléctrico
Es el tejido que te ilumina…. es el iPod … es tu reproductor de MP3 … es tu teléfono celular

Considera esta camiseta: Puede controlar tu ritmo cardíaco y respiración, analizar tu sudor y hasta enfriarte en un día caluroso de verano. ¿Qué tal una almohada que monitoree las ondas cerebrales, o un vestido alimentado por energía solar que puede cargar su iPod o reproductor de MP4? Esto no es ciencia ficción: es el algodón en el 2010

Ahora, el laboratorio de Juan Hinestroza, profesor auxiliar de la Ciencia de Fibras y Diseño Textil, ha desarrollado hilos de algodón que pueden conducir corriente eléctrica, tal como lo hace un alambre de metal. Sin embargo, siguen siendo livianos y suficientemente cómodos como para dar un nuevo significado a las prendas de vestir multi-uso. Esta tecnología funciona tan bien que dos simples nudos en un hilo con un tratamiento especial pueden completar un circuito, y la ropa se puede alimentar con energía solar. Esta tecnología tejida —literalmente— en la trama de hilos, se presentará en la Asamblea Anual de Cornell Design League Fashion Show el sábado 13 de marzo en la Universidad de Cornell Barton Hall.

Utilizando nanotecnología multidisciplinaria desarrollada en Cornell, en colaboración con las universidades de Bolonia y Cagliari, Italia, Hinestroza y sus colegas desarrollaron una técnica para cubrir de forma permanente las fibras de algodón con una capa de nanopartículas eléctricamente conductoras. “Definitivamente, podemos convertir en conductoras secciones de un tejido de algodón tradicional, por lo tanto, se pueden lograr una multitud de aplicaciones”, dijo Hinestroza.

“La tecnología desarrollada por nosotros y nuestros colaboradores perimte que el algodón siga siendo flexible, ligero y cómodo, al mismo teimpo que se convierte en un conductor electríco”, dijo Hinestroza. “Las tecnologías anteriores han logrado la conductividad, pero la fibra resultante se convertía en rígida y pesada. Nuestras nuevas técnicas hacen que nuestros hilos acepten tratamientos posteriores, como tejerlos y coserlos.”

Lea el artículo completo en:

Axxon

También en:

Technology Review

Descubren un cráter gigante en África

Miércoles, 10 de marzo de 2010

Descubren un cráter gigante en África

Imagen del cráter. | TerraMetrics | BBC

Podría ser la prueba del impacto de un asteroide posterior al Jurásico
Presenta una forma similar a la de otros encontrados en zonas húmedas
La forma del anillo puede percibirse claramente desde el espacio

La deforestación en África central ha dejado al descubierto lo que podría ser un cráter gigante de cerca de 45 kilómetros en la República Democrática del Congo (RDC). El enorme agujero podría ser la señal del impacto de un asteroide, según científicos de la Universidad de Padua.

Asimismo, estos expertos italianos no descartan otras hipótesis sobre el origen de este anillo, aunque las consideran poco probables, según explica la BBC. Los resultados de las investigaciones se hicieron públicos en la reciente Conferencia de Ciencias Lunares y Planetarias, en Tejas (EEUU).

La forma del anillo puede percibirse claramente desde el espacio, tal y como demuestran las imágenes de satélite capturadas por la empresa TerraMetrics. Tan sólo 25 cráteres en la Tierra surgidos a raiz de un impacto son comparables con el recién encontrado en la RDC.

El cráter no presenta la clásica elevación del terreno en el borde exterior, o cresta, que se produce por el desplazamiento de materiales tras el impacto. Los científicos alegan que la explicación más probable es el desgaste del terreno y la erosión causados por el clima tropical. Añaden que la forma de este anillo recuerda a la de otras simas localizadas en entornos húmedos.

Lea el artículo completo en:

El Mundo Ciencia

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