Cómo recordar la fórmula para las tres raíces de un polinomio cúbico

Martes, 06 de julio de 2010

Cómo recordar la fórmula para las tres raíces de un polinomio cúbico

Todo el mundo conoce la fórmula para las dos raíces de un polinomio cuadrático. Casi todo el mundo ignora la fórmula para las tres raíces de un polinomio cúbico. Hace años, yo adjuntaba ciertos exámenes con dicha fórmula (y la del polinomio cuártico) para que los alumnos pudieran usarla, caso necesario, sin recordarla de memoria. Pocos alumnos se atrevían con el problema (si lo había) que requería su uso. Obviamente, ya dejé de hacerlo hace años. Hoy en día cualquiera puede recurrir a Mathematica, Maple, Matlab, etc. que la recuerda por nosotros.

Ahora bien, también hay frikis (o geeks) a los que les gustaría presumir de que recuerdan dicha fórmula. Hay varias reglas nemotécnicas, pero quizás la mejor que yo conozco ha sido obtenida por Andreas Caicedo. Una regla nemotécnica que desarrollada conduce a la fórmula usual que aparece en todos los libros de tablas matemáticas. La he visto en Alexandre Borovik, “Andreas Caicedo: the best way of remembering the cubic formula,” Mathematics under the Microscope, May 4, 2010.

Al grano que estarás impaciente (si no has abandonado el blog o has pasado a otra entrada).

Mediante una traslación el polinomio

,

se puede transformar en el polinomio

,

que podemos reescalar para que tome la forma

,

que será verdad cuando

si y sólo si

.

La fórmula de Euler permite obtener la solución ya que

, con ,

es raíz de la ecuación cuadrática

,

por lo que

es la raíz cúbica

,

y finalmente

.

That’s all folks!

Fuente:

Francies (e) Mule Science News

E=MC2 y el límite impuesto por la luz en la información del Universo

Jueves, 17 de junio de 2010

E=MC² y el límite impuesto por la luz en la información del Universo

La fórmula matemática mas famosa y conocida de la humanidad es sin duda alguna E=MC² (Energía es igual a Masa multiplicado por la velocidad de la luz al cuadrado), la formula de Einstein que básicamente dice que es posible transformar materia en energía y viceversa.

Sin embargo, una de sus implicaciones principales es también una de las menos entendida en la cultura popular, y es la creencia popular de que nada puede ser mas rápido que la velocidad de la luz, lo que es incorrecto.

En su esencia, lo que la fórmula en realidad implica es que información no puede viajar mas rápido que la luz.

Eso es posible que suene un poco extraño para muchos pues uno por lo general piensa de información como "datos en un archivo" o "anotaciones en una hoja de papel", o incluso el número de tu permiso de conducir un vehículo, o número de pasaporte, o la fecha de cumpleaños de tus familiares y/o amigos, pero por lo general nadie piensa de información como algo "real y tangible" del Universo.

Sin embargo, y esto es sorpresa para muchos, absolutamente todo en el Universo es información, desde seres humanos y piedras, hasta planetas, estrellas, galaxias, o átomos.

Esta es en realidad una interpretación relativamente reciente del universo (que se enseña en clases de Teoría de la Información en las universidades), y es un fenómeno que una y otra vez por medio de experimentos ha sido demostrado como cierto. La "realidad" que vemos ante nuestros ojos no es mas que una ilusión (aunque bastante convincente y consistente con nuestro entorno y patrones) en donde detrás de esa ilusión existe una sola cosa: Información. Sin duda muchos ya están pensando en la película The Matrix...

Sin embargo, dejaré la parte filosófica y didáctica sobre este concepto de realidad para otra ocasión, y hoy me quiero concentrar en el tema de por qué es que no podemos enviar información mas rápido que la luz, y para eso voy a hablar de un fenómeno que ocurre a escalas cuánticas (es decir, a escalas atómicas) de un fenómeno llamado en inglés entanglement (que en español sería algo como "entrelazamiento").

Entrelazamiento es un fenómeno tan sorprendente, que el mismo Einstein, uno de los responsables de su descubrimiento, se rehusó por años a creer que fuera real, y de ahí su famosa frase de "Dios no juega a los dados en el Universo". Sin embargo, este es uno de esos pocos casos en donde la evidencia empírica eventualmente demostró que Einstein estaba equivocado.

Lo que el efecto de entrelazamiento dice, en esencia, es que es posible poner a dos (o mas) partículas en un estado "entrelazado", de manera tal que en el momento que a una de ellas le suceda algo, a la otra le suceda algo también, y (he aquí lo extraordinario) de manera instantánea, sin importar si estas dos partículas están incluso a miles de millones de años luz de distancia la una de la otra, en plena y aparente violación de E=MC² y el límite de la velocidad de la luz.

Sin embargo, como verán en un instante, nada ha sido violado, pero mientras tanto sepan que existen fenómenos mas rápidos que la luz, como por ejemplo el ritmo de expansión del Universo, el cual sabemos llegará un tiempo en donde el Universo se expandirá mas rápido que la luz, y por tanto las luces de las estrellas lejanas empezarán a desaparecer del firmamento. Otro fenómeno que muchos alegarían viaja mas rápido que la luz son los chismes de los vecinos, pero eso es material para otra discusión...

Regresando a nuestro tema, a continuación les expongo un ejemplo (de mi invención) que explica el por qué aunque este fenómeno de entrelazamiento aparentan violar el límite de la luz, que en realidad esa no es la manera de ver la situación, y que existe una manera fuera de esta paradoja.

Para nuestro ejemplo, imaginémonos que a alguien se le ocurre una idea que superficialmente aparenta estupenda: Entrelazar dos partículas, dejar una en la Tierra, y llevarse una a Marte, de modo que en el mismo momento que alguien descubra vida en Marte, hacerle algo a la partícula en Marte para que la partícula en la Tierra la "sienta" instantáneamente y nosotros poder saber de manera instantánea que hemos descubierto vida en nuestro vecino planeta (en vez de por ejemplo esperar una transmisión de radio que tardaría unos 15 minutos en llegarnos a la velocidad de la luz).

Todo pinta muy bien, y de seguro que nadie nota un problema todavía ya que existen unas propiedades mas de las partículas cuánticas que debemos tomar en consideración antes de proseguir con el ejemplo...

Sucede que a diferencia del mundo "grande" en donde vivimos, las diminutas partículas a nivel cuántico se comportan diferente. Una partícula cuántica puede estar en mas de un estado a la misma vez (cosa que va en contra de toda intuición humana pero que ha sido verificado experimentalmente miles de veces).

Por ejemplo (y para mantener nuestro ejemplo sencillo), imaginemos que nuestra partícula puede estar en dos estados, azul y rojo (que interpretaremos como "Si, hay vida" y "No, no existe vida"). A nivel cuántico, mientras ambas partículas estén entrelazada, ambas estarán en un estado combinado de "Si y No", y el truco está en que en el momento que nosotros marquemos la partícula remota como "Si", que en ese preciso instante la partícula en la Tierra también marcará que "Si" (en la realidad ocurre que la otra partícula marcaría lo contrario, pero quiero obviar esa tecnicalidad y mantener el ejemplo sencillo).

Antes de proceder con el ejemplo, hay una mas (y crucial) propiedad de las partículas cuánticas que debemos mencionar, y es el hecho de que en el momento que uno trate de ver (o mas bien, "medir") el estado de una partícula entrelazada que se encuentra en un estado difuso de "Si y No", lo que sucede en ese momento es que la partícula instantáneamente "colapsa" a uno de sus dos estados, y lo hace de manera aleatoria.

Es decir, si su tratas de "observar" la partícula, esta te mostrará o un Si o un No, pero de manera aleatoria (es decir, no siempre te dirá Si, y no siempre te dirá No, y nunca verás con tus propios ojos el estado entrelazado de "Si y No").

Ahora, adaptemos todo esto a nuestro ejemplo...

Asumamos que la partícula está dentro de una caja cerrada, y que mientras esta esté encerrada esta estará en un estado entrelazado y difuso de "Si y No". Asumamos además que la persona en Marte tiene manera de cambiarle el estado a su partícula entrelazada a un "Si" o a un "No" con tan solo presionar un botón.

Asumamos también que en el momento que la otra persona en Marte le cambie el estado a su partícula, que en ese mismo instante se cambiará el estado de tu partícula en la Tierra (aunque recuerda, que esta está encerrada en una caja y no la puedes ver al menos que abras la caja). Y asumamos finalmente que si abres la caja antes de que esta partícula cambie en sincronización con la de Marte, que eso hará que tu partícula cambie a un estado aleatorio.

Veamos ahora lo que ocurre...

Digamos que finalmente, después de varios años, un astronauta en Marte descubre rastros de vida. En ese instante, el astronauta toma su caja con su partícula entrelazada, presiona un botón que dice "Si", y eso ocasiona que la partícula en su caja deje su estado de "Si y No" y pase a simplemente "Si".

En ese preciso instante, la otra partícula a millones de kilómetros, en tu caja en la Tierra, "siente" el cambio de su partícula hermana en Marte, e inmediatamente cambia su estado también a "Si".

Y he aquí ahora la parte interesante...

Recuerda que tu caja está cerrada, y que tu no puedes ver el estado de la partícula dentro de la caja, por lo que aun el estado de la partícula dentro de la caja en estos momentos ya no dice "Si y No", sino que dice "Si" (en sincronía con su hermana partícula en Marte), lo cierto es que tu no sabes que ese cambio ocurrió debido a que no puedes ver dentro de la caja. De paso entonces, no debes abrir nunca la caja sin saber que alguien presionó un botón en Marte.

Pero, ¿por qué, y qué pasaría si tu abres la caja antes o después de alguien presionar el botón en Marte?

Si abres la caja antes, recuerda que eso automáticamente hace que tu partícula cambie su estado a uno aleatorio, sea un "Si" o un "No", por lo que te quedas con la duda y no sabes nada.

Pero, si abres la caja después que alguien presione el botón, y vez que tu partícula dice "Si", ¿cómo sabes que ese "Si" es un valor aleatorio, o un valor real? Y la respuesta es que no sabes, ya que nadie te ha dicho que en Marte alguien presionó un botón, y que el valor que verías al abrir la caja es un valor real y no uno producto del azar; y la única manera de tu saber si alguien presionó el botón en Marte es si alguien en Marte te envía un mensaje a tal efecto que diga algo como "ya presioné el botón, ahora puedes abrir la caja", y ese mensaje solo te puede llegar en un mensaje de radio a la velocidad de la luz.

Como pueden ver, aparenta casi que el Universo conspira contra nosotros, pero en realidad esto no es mas que un resultado de la ecuación E=MC²...

Nota: Cada vez que lean artículos como este, recuerden que implícitamente asumimos que las actuales teorías del Universo son "suficientemente correctas", pero la realidad es que aun hay unas cuantas dudas por resolver, dudas que no resolveremos hasta que encontremos ecuaciones que compaginen la Teoría de la Relatividad General de Einstein, con la Mecánica Cuántica, por lo que aunque aparenta que estos ejemplos son correctos, por el momento debemos permitir un poco de duda de que quizás podamos violar estas restricciones de la famosa fórmula de Einstein, y llegar a hacer cosas como viajar mas rápido que la luz. Sin embargo, hoy día con los actuales marcos teóricos mas establecidos, aparenta no ser posible...

Fuente:

Eliax

La segunda Ley de Kepler y la Ecuaciones Diferenciales

Miércoles, 24 de febrero de 2010

La segunda Ley de Kepler y la Ecuaciones Diferenciales

¿Que no conoces las Leyes de Kepler? No me lo puedo creer. En fin, vamos a empezar por lo más simple. Las Leyes de Kepler son las que rigen los movimientos de los planetas y fueron descubiertas por el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler. Pero lo más curioso de todo esto es que el bueno de Kepler las obtuvo de la simple observación. En realidad, las dedujo tras estudiar minuciosamente las precisas anotaciones de su colega Tycho Brahe, quien lo hizo sin la ayuda del telescopio, inventado con posterioridad.

Pero volvamos a Kepler y sus Tres Leyes. Kepler (aunque no en el mismo orden en que hoy se conocen y se estudian), enunción sus famosas tres leyes para explicar el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol:

1. Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos.
2. El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
3. Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol.

En este pequeño artículo vamos a redescubrir la segunda ley de Kepler, basándonos en la Ley de Gravitación Universal de Newton:

La fuerza que ejerce un objeto dado con masa m₁ sobre otro con masa m₂ es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Para nuestro propósitos, vamos a fijar como origen de nuestro sistema de referencia al Sol, con masa M, y vamos a suponer que tenemos un planeta orbitando alrededor de él con masa m. Y, además, vamos a adoptar el sistema de coordenadas polares. Así, si fijamos la posición del planeta (que supondremos, al igual que el sol, que es un punto de coordenadas polares (r,θ)), vamos a llamar u_r al vector unitario en la dirección del radiovector que une el Sol con nuestro planeta y u_θ al vector unitario perpendicular al anterior y en la dirección en la que aumenta t.

Total, que tras todo este galimatías, vamos a calcular las fuerza F que el Sol ejerce sobre nuestro planeta. De la segunda ley de Newton, sabemos que F=ma, donde a es la aceleración del planeta. Pero si queremos escribir la aceleración en términos de las coordenadas polares, hay que hacer unas cuantas cuentas (venga, vale, las vamos a obviar, que no está el horno para bollors), tras las cuales obtendremos que a=(r·θ''(t)+2r'(t)·θ'(t))u_θ+(r''(t)-r·θ'(t)²)u_r en donde t representa, como casi siempre, el tiempo.

Así que, si descomponemos la fuerza F en su componente central F_r y tangencial F_θ, obtendremos que F_θ=m(r·θ''(t)+2r'(t)·θ'(t)) y F_r=m(r''(t)-r·θ'(t)²)
Pero claro, esto, en realidad, es válido para cualquier tipo de fuerza, es decir, que esto es las fórmulas anteriores no son más que la Segunda Ley de Newton expresadas en coordenadas polares. Ahora vamos a introducir el hecho de que la fuerza que tenemos es de tipo gravitatorio. En nuestro caso, sólo nos vamos a quedar con un aspecto de estas fuerzas, y es que son de tipo central, es decir, que no tienen componente tangencial (recordad la Ley de Gravitación Universal).

Bajo este nuevo prisma, resulta que la componente tangencial de nuestra fuerza debe ser, forzosamente, nula; lo cual nos permite obtener una Ecuación Diferencial r·θ''(t)+2r'(t)·θ'(t)=0 Si multiplicamos esta ecuación por r, se obtiene r²·θ''(t)+2r·r'(t)·θ'(t)=0 o lo que es lo mismo, (r(t)²·θ'(t))'=0, de modo que la función entre paréntesis sólo puede ser una constante, es decir, r(t)²·θ'(t)=h para alguna constante h.

Y ahora vámonos con la Segunda Ley de Kepler. Si A(t) es el área recorrida por r(t) a partir de una posición fija de referencia, es fácil comprobar (de nuevo son sólo cuentas con las que no os voy a agobiar) ΔA=(r²θ'(t))/2 ·Δt=h/2 ·Δt donde el símbolo Δ representa el incremento de la función. Así pues, entre dos instantes de tiempo t₁ y t₂, se tiene que A(t₂)-A(t₂)=h/2 ·(t₂-t₁) que dicho de palabra es, exactamente, lo que dice la Segunda Ley de Kepler:

El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

En otra ocasión, aprovecharemos todos éstos cálculos para comprobar que, como la fuerza gravitacional es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, las órbitas celestes sólo pueden ser cónicas.

Espero no haberos aburrido mucho. Gracias por llegar hasta aquí.

Fuente:

Tito Eliatron Dixit.

La paradoja de los mellizos

Domingo, 21 de febrero de 2010

La paradoja de los mellizos

Terminaba el post sobre la dilatación temporal de Lorentz indicando que comentaria la paradoja de los mellizos, pues vamos allá.

La transformación de Lorentz introduce una relación extraña entre el espacio y el tiempo, a estos efectos extraños se les denomina efectos relativistas. El primer efecto relativista es el comentado en la dilatación del tiempo, continuamos su discusión utilizando la paradoja de los mellizos, en qué consiste?.

Supongamos que tenemos dos mellizos a los que llamare Ivet y Jan. Viven en el siglo XXV y Jan decide probar su nave espacial que le han regalado sus padres por su 20 cumpleaños. Decide visitar la estrella más cercana al Sol, Alpha Centauri situada a 4 años luz de distancia, y lo hace a la velocidad de 0,8 c. Esto significa que viaja a 0,8 veces la velocidad de la luz, unos 240.000 km/s.

Recordemos que se suele representar a la velocidad de la luz con la letra c, entonces c = 300.000 km/s.

En el post anterior sobre relatividad veíamos que los intervalos de tiempo no sucedían al mismo ritmo en un sistema de referencia inercial estático (al que denominamos S) que en un sistema de referencia inercial en movimiento (al que denominamos S’). Para escribir las ecuaciones con mayor sencillez se escoge a t como el transcurso de los intervalos de tiempo en el sistema S y t’ al transcurso temporal en S’. A t se le denomina el tiempo propio del sistema de referencia y se acostumbra a denotar con la letra griega tau τ.

Antes de empezar el viaje Ivet y Jan sincronizan sus relojes, a partir de ahora, el tiempo t es el tiempo que miden los relojes en el sistema de Ivet y t’ el tiempo que miden los relojes en el sistema de Jan. Conociendo la transformación de Lorentz podemos establecer una relación entre el tiempo propio del sistema S respecto el tiempo propio del sistema S’ y viceversa.

Bien, hasta aquí todo correcto, si nos creemos que esto funciona, porque tiene una repercusión importante. Jan realiza un viaje de ida y vuelta a la estrella Centauri mientras Ivet se queda en la Tierra. ¿Cuánto tiempo dura el viaje?, recordemos que Centauri se encuentra a 4 años luz de distancia y el viaje se realiza a la velocidad de 0,8c.

Aquí aparece el primer efecto relativista a tener en cuenta y es que la velocidad es relativa. La velocidad de la nave de Jan es de 0,8c medida respecto el sistema de referencia de la Tierra. Es decir, Ivet observa como su hermano gemelo se aleja de la Tierra a una velocidad de 0,8c

¿Cuánto tiempo dura el viaje?, es una pregunta sencilla, pero hay que tener en cuenta el efecto relativista de que el tiempo es relativo también, depende del sistema de referencia en que realizamos la observación del reloj. Hacerse solamente la pregunta ¿Cuánto tiempo dura el viaje? No tiene sentido, tenemos que decir ¿Cuánto tiempo dura el viaje respecto del sistema Tierra? O decir ¿Cuánto tiempo dura el viaje de ida y vuelta para Ivet?. En este caso es sencillo de calcular

¿Cuánto tiempo dura el viaje de ida y vuelta para Jan?, recordemos que Jan realiza el viaje en el sistema de referencia móvil, por tanto se encuentra sometido a la dilatación temporal en un factor

Esto significa que el viaje para Jan ha durado

Recordemos que son hermanos mellizos y en el momento de iniciar el viaje los dos tenían 20 años. Ahora al finalizar el viaje, han pasado 10 años para Ivet y 6 años para Jan. En el momento del encuentro Ivet tiene 30 años y Jan 26 años. Jan es cuatro años más joven que Ivet. Cuidado esto no es ninguna paradoja, es el resultado de la dilatación temporal en sistemas inerciales móviles. Eso sí, puede resultar poco creíble, incluso difícil de aceptar este resultado. Puede pensar que la relatividad solo sucede en naves espaciales y en los confines del universo. Pues no, en la Tierra los efectos son medibles, eso sí, con instrumentos de mucha precisión.

En octubre de 1971 Hafele y Keating cogieron cuatro relojes atómicos de cesio y los colocaron a bordo de aviones comerciales dando la vuelta a la Tierra, unos volaron en dirección este y otros en dirección oeste y finalmente los compararon con un reloj de referencia que se quedo en el laboratorio.

Los resultados concuerdan con la dilatación temporal, los relojes que volaron en los aviones marcaban un tiempo distinto, concordando bastante bien con la teoría de la relatividad. Recordemos que la dilatación temporal predice que los relojes en movimiento marcan un ritmo más lento respecto a otro reloj idéntico situado en un sistema de referencia fijo.

El reloj del laboratorio se encuentra en el sistema de referencia de la superficie de la Tierra, el reloj en un avión moviéndose hacia el Este se mueve en la dirección del movimiento de rotación de la Tierra, se mueve más rápido que el situado en Tierra. Mientras que el reloj en un avión moviéndose hacia el Oeste se mueve en dirección contraria y su velocidad es menor que el reloj situado en el laboratorio de la superficie terrestre. Según esto el reloj que se mueve hacia el Este tiene que atrasar respecto el reloj de tierra y el reloj que se mueve hacia el Oeste tiene que adelantar respecto el reloj de tierra.

Existen otros efectos debidos a la relatividad general que ahora es demasiado liado tener en cuenta, pero lo cierto es que efectivamente los resultados indican que los relojes han sufrido una variación temporal. El reloj hacia el Este atrasaba 59 nanosegundos y el reloj hacia el Oeste adelantaba 273 nanosegundos.

Entonces donde está la paradoja. La paradoja surge cuando consideramos el viaje espacial desde el punto de vista de Jan y desde el punto de vista de Ivet. Para Ivet esta claro que Jan se aleja de ella a la velocidad de 0,8c. ¿Pero que observa Jan?, situado en su sistema de referencia de la nave observa como Ivet se aleja junto con toda la Tierra a 0,8c en dirección contraria. Según el punto de vista de Jan, cuando se encuentran es Ivet la que tendría que ser más joven. A esto se le llama la paradoja, ¿Cuál de los hermanos es más joven?, la única solución compatible es que los dos tengan la misma edad y la dilatación temporal no sea más que un juego de niños. Seria cierto si el movimiento de Ivet y el de Jan fueran simétricos, pero no lo son. Veamos porque.

Para que los dos hermanos se junten y puedan volver a comparar sus relojes, Jan ha tenido que acelerar y desacelerar. Durante el tiempo de aceleración Jan no se encuentra en un sistema de referencia inercial, ha notado el movimiento. A notado como los cohetes de la nave se han encendido y apagado, se ha tenido que atar a una silla especial para no ser golpeado por las paredes del cohete, etc. Mientras que Ivet no ha notado el movimiento, se ha mantenido siempre en un sistema de referencia inercial.

La respuesta a la paradoja es que aquel que ha sentido la aceleración es el que ha envejecido menos. Aunque hemos hablado de relojes, el efecto también implica efectos biológicos. La biología sigue las mismas leyes de la física y de la química sometidas al principio de relatividad. Y no solamente la biología, sino todos los sucesos, Jan caminara más lentamente, leerá más lentamente, comerá más lentamente, todo en la nave se ralentiza. Jan no nota nada especial, todo en él es más lento, pero mientras siga moviéndose tiene más tiempo. Es cuando compara su reloj que aparece la diferencia temporal.

Existe eso sí, un problema añadido que hay que tener muy en cuenta, ¿qué pasa con el tiempo durante la aceleración de la nave?. Durante los periodos de aceleración y desaceleración la velocidad de la nave cambia y el tiempo de viaje cambia, pero no altera el resultado de que existirá una dilatación temporal y cuando los hermanos se encuentren el que ha notado las aceleraciones será más joven.

Por supuesto, los viajes espaciales acelerados tienen que pensarse para no perjudicar a los astronautas. Las aceleraciones muy bruscas y potentes tienen graves efectos sobre los sistemas biológicos.

Fuente:

ABCiencia

La dilatación temporal de Lorentz

Domingo, 21 de febrero de 2010

La dilatación temporal de Lorentz

Intentar explicar el comportamiento del tiempo utilizando la geometría de Minkowski es bastante complicado. Es mejor utilizar directamente las ecuaciones.

El intervalo temporal entre dos sucesos es la medida del tiempo. Consideremos dos sucesos que transcurren en tiempos diferentes pero en el mismo espacio respecto un observador situado en el sistema móvil S’. Por ejemplo, la desintegración de una partícula.

Siguiendo con el ejemplo, supongamos que una partícula que se mueve a una velocidad v respecto un sistema S, se desintegra. Como observaremos el tiempo de desintegración en el sistema propio de la partícula (S’) y en el sistema en reposo (S).

En el sistema S’ el intervalo temporal será

Se acostumbra a denominar tiempo propio este intervalo. Es el resultado de la medida de un intervalo temporal en el sistema en que el reloj se encuentra en reposo. Fíjense que el observador de la desintegración se encuentra en reposo en el sistema S’, la partícula no se mueve respecto ella misma. Entonces la desintegración sucede en el mismo espacio para S’, es decir, en la misma coordenada x’, pero en tiempos diferentes,

En este pequeño detalle esta la dilatación temporal en la relatividad especial. Hay que comprender que nuestra desintegración sucede en el mismo espacio y tiempos distintos en el sistema S’ y sucede en espacios distintos y tiempos distintos en el sistema S. A esto se le denomina la relatividad de la simultaneidad.

Resumiendo, en el sistema S’ la desintegración sucede en la misma coordenada x’ pero en tiempos t’ diferentes. En el sistema S la desintegración sucede en diferentes x y en diferentes t. Podemos decir que el espacio-tiempo se deforma según el estado de movimiento del sistema de referencia. Pero no se alteren por las palabras, no es nada mágico ni raro, pensándolo un poco lo raro sería todo lo contrario, que distintos observadores moviéndose a velocidades distintas midiesen lo mismo. Lo único raro que hay que aceptar es que la velocidad de la luz es la misma para todos los sistemas de referencia.

Aplicamos la transformación de Lorentz para relacionar el espacio y el tiempo entre los sistemas S’ y S tal como se vio en el post sobre “La transformación de Lorentz“

Restando la ecuación de arriba con la de abajo obtenemos la relación entre los intervalos temporales

Puesto que el término de la raiz es menor que 1, ya que nada puede superar la velocidad de la luz, el cociente serà mayor que 1, obtenemos pues:

El intervalo de tiempo medido en el sistema que observamos el movimiento (S) es más largo que en el sistema de referencia donde medimos el tiempo propio (S’). Podemos decir que los relojes que miden la desintegración de la partícula en el sistema móvil S’ parecen avanzar más lentamente que los que se encuentran en reposo.

Interpretación de la dilatación del tiempo

Podemos comprender que la dilatación del tiempo surge de la simultaneidad de la relatividad con un experimento mental (gedanken experiment) que tanto le gustaban a Einstein y Galileo. Para ello supongamos que disponemos de dos relojes idénticos y peculiares, están formados por fotones y espejos, es un reloj de luz. En el siguiente video he hecho una animación de cómo sería el reloj visto dentro del sistema S’. El reloj se encuentra en el sistema S’, de manera que desde el sistema S’ el reloj permanece inmóvil. Un fotón surge del espejo inferior y se dirige a la velocidad de la luz hacia el espejo superior (por supuesto, en la animación va mucho más despacio), se refleja y vuelve hacia el espejo inferior donde se reflejara y volverá al superior. De esta manera el lapso de tiempo que transcurre entre el viaje del fotón entre los espejos nos marca el tiempo.

animación del reloj visto dentro de la nave (Sistema S’)

¿Cómo se verá el reloj de luz en el sistema S?, pues es fácil de realizar, simplemente hay desplazar el reloj (o la cámara) y el resultado es el siguiente.

Animación del reloj visto desde fuera de la nave (Sistema S)

Como pueden observar, el movimiento del fotón es distinto en S’ y en S. En S’ el fotón sube y baja verticalmente entre los espejos, pero en S el movimiento sigue una trayectoria inclinada. Hay que recordar que tanto en S’ como en S el fotón se mueve a la misma velocidad c de 300.000 km/s aproximadamente.

Vamos a demostrar la dilatación temporal tan solo con un procedimiento geométrico y cumpliendo el postulado de la relatividad especial de que la velocidad de luz es la misma en todos los sistemas de referencia.

Supongamos que tenemos un Astronauta A’ situado en una nave espacial, que será nuestro sistema de referencia S’. Este astronauta dispone del reloj luz, con los espejos separados una distancia D.

Imagen obtenida del libro de Física de Paul A. Tipler

El intervalo de tiempo transcurrido en recorrer el viaje entre los dos espejos será la distancia recorrida (2D) divido por la velocidad (c).

Podemos decir que este es el tic-tac del reloj de luz. Cuanto tiempo durara un tic-tac en el sistema S donde se ve a la nave moverse a la velocidad v.

Observamos que en S el suceso inicial y final ocurren en dos puntos espaciales diferentes, en x1 y x2. En cambio en S’ ocurren en el mismo punto espacial x’1. En consecuencia el trayecto recorrido por la luz en S es más largo que en S’. Pero el postulado de Einstein exige que la velocidad de la luz sea la misma en S y en S’. La consecuencia es que la luz tarda más tiempo en recorrer el espacio entre los espejos en S que en S’.

Aplicando el Teorema de Pitágoras al triangulo formado en S

Donde he sustituido 2D/c por su valor en incremento de tiempo prima.

Hemos obtenido la relación entre los intervalos temporales de S y S’. En el sistema S que observa el reloj en movimiento (y toda la nave) el tiempo aparente entre el tic-tac del reloj es mayor. Para este observador no solamente el reloj luz sino todos los sucesos en la nave transcurren más lentamente. El tiempo mismo parece más lento en la nave espacial. Todo transcurre más lentamente, el ritmo del pulso, los pensamientos, el envejecimiento, etc..

En el próximo post les comentare la paradoja de los gemelos y daremos un poco de luz a este comportamiento extraño del espacio-tiempo.

Fuente:

ABCiencia

¿Por qué el factorial de 0 es 1?

Miércoles, 20 de enero de 2010

¿Por qué el factorial de 0 es 1?

La respuesta tiene que ver con la función gamma

.

Por definición 0!=1, pero si lo quieres comprobar, hay una manera sencilla, considera lo siguiente:

(n+k)!=(n+k)(n+k-1)...(n+k-k)(n-1)(n-2)...(n-(n-1))

Y si te das cuenta,
(n+k)!=(n+k)(n+k-1)...(n+1)n!

Así que
(n+k)!/n!=(n+k)(n+k-1)...(n+1)

Si hacemos n=0, para ver que sucede, obtenemos:
k!/0!=(k)(k-1)...(2)(1)=k!

Y lo anterior pasa si y solo si 0!=1.

Por lo que queda mostrado lo que necesitamos saber.

Fuente:

Todo Expertos

Hace 100 años Einstein expuso la fórmula e = mc2

Martes, 22 de septiembre de 2009

Hace 100 años Einstein expuso la fórmula e = mc2

Hace cien años, el 21 de septiembre de 1909 en Salzburgo (norte de Austria), el joven Albert Einstein presentó en público por primera vez su Teoría de la Relatividad, publicada en 1905.

Dichos trabajos, que revolucionaron la física, fueron acogidos más bien fríamente por aquel entonces por sus colegas.

En el gimnasio de la escuela Andrae, donde se llevó a cabo la reunión de investigadores en ciencias naturales y médicos alemanes, la famosa fórmula e=mc2 (energía igual a la masa multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado) no causó sensación. Los presentes no captaron su alcance.

Una manera sencilla de entender la famosa fórmula de A. Eisntein es a través del garn Isaac Asimov. Tomamos de su libro "Cien Preguntas Básicas sobre la Ciencia" la pregunta número 59:

59.- En la bomba atómica se convierte materia en energía. ¿Es posible hacer lo contrario y convertir energía en materia?

Sí que es posible convertir energía en materia, pero hacerlo en grandes cantidades resulta poco práctico. Veamos por qué.

Según la teoría especial de la relatividad de Einstein, tenemos que

e = mc2

donde e representa la energía, medida en ergios, m representa la masa en gramos y c es la velocidad de la luz en centímetros por segundo.

La luz se propaga en el vacío a una velocidad muy próxima a los 30.000 millones (3 x 1010) de centímetros por segundo. La cantidad c2 representa el producto c x c, es decir, 3 x 1010 X 3 x 1010 ó 9 x 1020. Por tanto, c2 es igual a 900.000.000.000.000.000.000.

Así pues, una masa de un gramo puede convertirse, en teoría en 9 x 1020 ergios de energía.

El ergio es una unidad muy pequeña de energía. La kilocaloría, de nombre quizá mucho más conocido, es igual a unos 42.000 millones de ergios. Un gramo de materia, convertido a energía, daría 2,2 x 1010 (22.000 millones) de kilocalorías. Una persona puede sobrevivir cómodamente con 2.500 kilocalorías al día, obtenidas de los alimentos ingeridos. Con la energía que representa un solo gramo de materia tendríamos reservas para unos 24.110 años, que no es poco para la vida de un hombre.

O expresémoslo de otro modo: si fuese posible convertir en energía eléctrica la energía representada por un solo gramo de materia bastaría para tener luciendo continuamente una bombilla de 100 vatios durante unos 28.200 años.

O bien: la energía que representa un solo gramo de materia equivale a la que se obtendría de quemar unos 32 millones de litros de gasolina.

Nada tiene de extraño, por tanto, que las bombas nucleares, donde se convierten en energía cantidades apreciables de materia, desaten tanta destrucción.



La conversión opera en ambos sentidos. La materia se puede convertir en energía, y la energía en materia. Esto último puede hacerse en cualquier momento en el laboratorio. Una partícula muy energética, un fotón de rayos gamma, puede convertirse en un electrón y un positrón sin grandes dificultades. Con ello se invierte el proceso, convirtiéndose energía en materia.

Ahora bien la materia formada se reduce a dos partículas ligerísimas, de masa casi despreciable. ¿Podrá utilizarse el mismo principio para formar una cantidad mayor de materia, lo suficiente para que resulte visible?

¡Ah! Pero la aritmética es implacable. Si un gramo de materia puede convertirse en una cantidad de energía igual a la que produce la combustión de 32 millones de litros de gasolina, entonces hará falta toda esa energía para fabricar un solo gramo de materia.

Aun cuando alguien estuviese dispuesto a hacer el experimento y correr con el gasto de reunir toda esa energía (y quizás varias veces más, a fin de cubrir pérdidas inevitables) para formar un gramo de materia, no lo conseguiría. Sería imposible producir y concentrar toda esa energía en un volumen suficientemente pequeño para producir de golpe un gramo de materia.

Así pues, la conversión es posible en teoría, pero completamente inviable en la práctica. En cuanto a la materia del universo, se supone, desde luego, que se produjo a partir de energía, pero en unas condiciones que sería imposible reproducir hoy día en el laboratorio.

Ahora los dejo con la noticia vía El Clarín de Argentina:

Es en la Universidad de Salzburgo, en Austria. Allí, en 1909, un joven Albert Einstein expuso por primera vez en público su fórmula E=mc2. Aunque ese día pasó casi desapercibida, tiempo después revolucionaría la física moderna. La Universidad de Salzburgo –una de las más importantes de Europa- recordó hoy (21 de septiembre de 2009) el centenario de la primera presentación pública de la revolucionaria Teoría de la Relatividad por parte de un joven científico llamado Albert Einstein en esa ciudad austríaca, cerca de la frontera alemana.

Fue en la Turnsaal I (Gimnasio) del colegio Andräschule donde Einstein, en la tarde del 21 de setiembre de 1909 -con 30 años- expuso por primera vez en público la teoría que había publicado en 1905 ante más de mil participantes en el 81° Congreso de la Sociedad de investigadores y médicos alemanes.

Entre los presentes estaban los futuros premios Nobel Max Planck, Johannes Stark, Max Born, Wilhelm Wien y Max Laute. Pero ninguno de ellos, aparentemente, supo valorar la trascendencia de lo que exponía ese día el joven físico que debutaba como orador de un congreso.

Poco revelaba el título de su discurso: "Sobre el desarrollo de nuestras ideas de la esencia y la constitución de la radiación". La hoy famosa fórmula E=mc2 fue recibida más bien con escepticismo y frialdad. No obstante, sí dio lugar a una encendida discusión, dirigida por Planck, según consta en el registro del congreso.

E impresionó a una de las pocas mujeres presentes, la física austríaca Lise Meitner (1878-1968). "En su conferencia Einstein partió de su teoría y dedujo de ella la fórmula 'energía es igual a la masa multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado'. Muestra que cada radiación tiene que estar ligada a una masa inerte. Estos dos hechos eran tan deslumbrantemente nuevos y sorpresivos para mí que hasta hoy tengo un buen recuerdo del discurso", escribió en su biografía.

Hoy una placa en la escuela recuerda esa conferencia. Y en memoria del día en que se hizo pública la teoría, el científico austríaco Anton Zeilinger fue el encargado de tomar la palabra la noche de ayer (21 de septiembre) en la Gran Aula de la universidad de Salsburgo.

Anton Zellinger

Según Zeilinger, de alguna forma la teoría de la relatividad ya estaba en el aire, "pero sólo Einstein tuvo el valor de decir que había que cambiar de forma radical nuestra idea del espacio y del tiempo. Eso es el genio".

En declaraciones al diario austríaco Kurier, Zeilinger, que junto a su equipo vienés fue el primero en comprobar una interferencia cuántica entre macromoléculas y está a la cabeza de la investigación de los fotones entrelazados y su uso en la comunicación cuántica, reconoce que "Einstein es hasta hoy decisivo para todos nuestros experimentos".

No le entendieron

Doce años más tarde, en 1921, el científico obtuvo el Premio Nobel de Física por su explicación del efecto fotoeléctrico y sus numerosas contribuciones a la Física teórica, pero no por la Teoría de la Relatividad, pues el científico a quien se encomendó evaluarla simplemente no entendió la teoría.

Advertencias

Las investigaciones de Einstein comunicaron fuerte impulso al desarrollo de la energía atómica, pero él mismo siempre advertía contra los peligros de ese nuevo tipo de armamento. El genio de la Física fue un pacifista. En 1999 la revista 'Time' lo calificó como "El hombre más destacado del siglo XX". (Europa Press)

E = mc2, corroborada por vez primera

E=mc2, la fórmula de Albert Einstein fue corroborada por primera vez

La fórmula física más famosa del mundo (E = mc2) fue corroborada. Este resultado pudo obtenerse gracias al uso de algunas de las más potentes supercomputadoras del mundo.

Un estudio publicado en la revista estadounidense Science corrobora por primera vez la fórmula de Albert Einstein.En el experimento se anotó que la masa de potrón, una partícula cargada de electricidad positiva proviene en un 95% de la energía de los quarks y de los gluones, por lo que se llegó a la conclusión de que una masa proviene de una energía.

La masa de los gluones es nula y "contrariamente a lo que se podría pensar, la masa de los quarks que componen un protón sólo representa un 5% de la masa de este último". Según se comprobó, el 95% restante resulta de la energía originada por los movimientos de los quark y los gluones, así como sus interacciones.

"Hasta hoy una hipótesis, el resultado queda por primera vez corroborado", señalan los expertos. Esta investigación realizada por el Centro de Física de Marsella - CNRS (sur de Francia) pudo realizarse gracias al uso de algunas de las más potentes supercomputadoras del mundo, como Blue Gene.



De esta manera, el grupo de investigadores en cuestión llegó a la misma conclusión que Einstein expresa en 1905 en su célebre Teoría de la Relatividad: una masa proviene de energía. "Hasta hoy una hipótesis, el resultado queda por primera vez corroborado", continúa diciendo el CNRS. Al igual que los neutrones, los protones son partículas que se encuentran en los núcleos de los átomos, a su vez constituidas por pequeñas subestructuras fundamentales llamadas quarks y gluones. La masa de los gluones es nula y "contrariamente a lo que se podría pensar, la masa de los quarks que componen un protón sólo representa un 5% de la masa de este último", explica el CNRS. El 95% restante, según probó el equipo de físicos alemanes, franceses y húngaros, "resulta de la energía originada por los movimientos de los quarks y los gluones, así como de sus interacciones".

(Con información tomada de AFP)

Fuente:

Diario El Comercio

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