La paradoja de los mellizos

Domingo, 21 de febrero de 2010

La paradoja de los mellizos

Terminaba el post sobre la dilatación temporal de Lorentz indicando que comentaria la paradoja de los mellizos, pues vamos allá.

La transformación de Lorentz introduce una relación extraña entre el espacio y el tiempo, a estos efectos extraños se les denomina efectos relativistas. El primer efecto relativista es el comentado en la dilatación del tiempo, continuamos su discusión utilizando la paradoja de los mellizos, en qué consiste?.

Supongamos que tenemos dos mellizos a los que llamare Ivet y Jan. Viven en el siglo XXV y Jan decide probar su nave espacial que le han regalado sus padres por su 20 cumpleaños. Decide visitar la estrella más cercana al Sol, Alpha Centauri situada a 4 años luz de distancia, y lo hace a la velocidad de 0,8 c. Esto significa que viaja a 0,8 veces la velocidad de la luz, unos 240.000 km/s.

Recordemos que se suele representar a la velocidad de la luz con la letra c, entonces c = 300.000 km/s.

En el post anterior sobre relatividad veíamos que los intervalos de tiempo no sucedían al mismo ritmo en un sistema de referencia inercial estático (al que denominamos S) que en un sistema de referencia inercial en movimiento (al que denominamos S’). Para escribir las ecuaciones con mayor sencillez se escoge a t como el transcurso de los intervalos de tiempo en el sistema S y t’ al transcurso temporal en S’. A t se le denomina el tiempo propio del sistema de referencia y se acostumbra a denotar con la letra griega tau τ.

Antes de empezar el viaje Ivet y Jan sincronizan sus relojes, a partir de ahora, el tiempo t es el tiempo que miden los relojes en el sistema de Ivet y t’ el tiempo que miden los relojes en el sistema de Jan. Conociendo la transformación de Lorentz podemos establecer una relación entre el tiempo propio del sistema S respecto el tiempo propio del sistema S’ y viceversa.

Bien, hasta aquí todo correcto, si nos creemos que esto funciona, porque tiene una repercusión importante. Jan realiza un viaje de ida y vuelta a la estrella Centauri mientras Ivet se queda en la Tierra. ¿Cuánto tiempo dura el viaje?, recordemos que Centauri se encuentra a 4 años luz de distancia y el viaje se realiza a la velocidad de 0,8c.

Aquí aparece el primer efecto relativista a tener en cuenta y es que la velocidad es relativa. La velocidad de la nave de Jan es de 0,8c medida respecto el sistema de referencia de la Tierra. Es decir, Ivet observa como su hermano gemelo se aleja de la Tierra a una velocidad de 0,8c

¿Cuánto tiempo dura el viaje?, es una pregunta sencilla, pero hay que tener en cuenta el efecto relativista de que el tiempo es relativo también, depende del sistema de referencia en que realizamos la observación del reloj. Hacerse solamente la pregunta ¿Cuánto tiempo dura el viaje? No tiene sentido, tenemos que decir ¿Cuánto tiempo dura el viaje respecto del sistema Tierra? O decir ¿Cuánto tiempo dura el viaje de ida y vuelta para Ivet?. En este caso es sencillo de calcular

¿Cuánto tiempo dura el viaje de ida y vuelta para Jan?, recordemos que Jan realiza el viaje en el sistema de referencia móvil, por tanto se encuentra sometido a la dilatación temporal en un factor

Esto significa que el viaje para Jan ha durado

Recordemos que son hermanos mellizos y en el momento de iniciar el viaje los dos tenían 20 años. Ahora al finalizar el viaje, han pasado 10 años para Ivet y 6 años para Jan. En el momento del encuentro Ivet tiene 30 años y Jan 26 años. Jan es cuatro años más joven que Ivet. Cuidado esto no es ninguna paradoja, es el resultado de la dilatación temporal en sistemas inerciales móviles. Eso sí, puede resultar poco creíble, incluso difícil de aceptar este resultado. Puede pensar que la relatividad solo sucede en naves espaciales y en los confines del universo. Pues no, en la Tierra los efectos son medibles, eso sí, con instrumentos de mucha precisión.

En octubre de 1971 Hafele y Keating cogieron cuatro relojes atómicos de cesio y los colocaron a bordo de aviones comerciales dando la vuelta a la Tierra, unos volaron en dirección este y otros en dirección oeste y finalmente los compararon con un reloj de referencia que se quedo en el laboratorio.

Los resultados concuerdan con la dilatación temporal, los relojes que volaron en los aviones marcaban un tiempo distinto, concordando bastante bien con la teoría de la relatividad. Recordemos que la dilatación temporal predice que los relojes en movimiento marcan un ritmo más lento respecto a otro reloj idéntico situado en un sistema de referencia fijo.

El reloj del laboratorio se encuentra en el sistema de referencia de la superficie de la Tierra, el reloj en un avión moviéndose hacia el Este se mueve en la dirección del movimiento de rotación de la Tierra, se mueve más rápido que el situado en Tierra. Mientras que el reloj en un avión moviéndose hacia el Oeste se mueve en dirección contraria y su velocidad es menor que el reloj situado en el laboratorio de la superficie terrestre. Según esto el reloj que se mueve hacia el Este tiene que atrasar respecto el reloj de tierra y el reloj que se mueve hacia el Oeste tiene que adelantar respecto el reloj de tierra.

Existen otros efectos debidos a la relatividad general que ahora es demasiado liado tener en cuenta, pero lo cierto es que efectivamente los resultados indican que los relojes han sufrido una variación temporal. El reloj hacia el Este atrasaba 59 nanosegundos y el reloj hacia el Oeste adelantaba 273 nanosegundos.

Entonces donde está la paradoja. La paradoja surge cuando consideramos el viaje espacial desde el punto de vista de Jan y desde el punto de vista de Ivet. Para Ivet esta claro que Jan se aleja de ella a la velocidad de 0,8c. ¿Pero que observa Jan?, situado en su sistema de referencia de la nave observa como Ivet se aleja junto con toda la Tierra a 0,8c en dirección contraria. Según el punto de vista de Jan, cuando se encuentran es Ivet la que tendría que ser más joven. A esto se le llama la paradoja, ¿Cuál de los hermanos es más joven?, la única solución compatible es que los dos tengan la misma edad y la dilatación temporal no sea más que un juego de niños. Seria cierto si el movimiento de Ivet y el de Jan fueran simétricos, pero no lo son. Veamos porque.

Para que los dos hermanos se junten y puedan volver a comparar sus relojes, Jan ha tenido que acelerar y desacelerar. Durante el tiempo de aceleración Jan no se encuentra en un sistema de referencia inercial, ha notado el movimiento. A notado como los cohetes de la nave se han encendido y apagado, se ha tenido que atar a una silla especial para no ser golpeado por las paredes del cohete, etc. Mientras que Ivet no ha notado el movimiento, se ha mantenido siempre en un sistema de referencia inercial.

La respuesta a la paradoja es que aquel que ha sentido la aceleración es el que ha envejecido menos. Aunque hemos hablado de relojes, el efecto también implica efectos biológicos. La biología sigue las mismas leyes de la física y de la química sometidas al principio de relatividad. Y no solamente la biología, sino todos los sucesos, Jan caminara más lentamente, leerá más lentamente, comerá más lentamente, todo en la nave se ralentiza. Jan no nota nada especial, todo en él es más lento, pero mientras siga moviéndose tiene más tiempo. Es cuando compara su reloj que aparece la diferencia temporal.

Existe eso sí, un problema añadido que hay que tener muy en cuenta, ¿qué pasa con el tiempo durante la aceleración de la nave?. Durante los periodos de aceleración y desaceleración la velocidad de la nave cambia y el tiempo de viaje cambia, pero no altera el resultado de que existirá una dilatación temporal y cuando los hermanos se encuentren el que ha notado las aceleraciones será más joven.

Por supuesto, los viajes espaciales acelerados tienen que pensarse para no perjudicar a los astronautas. Las aceleraciones muy bruscas y potentes tienen graves efectos sobre los sistemas biológicos.

Fuente:

ABCiencia