Una muestra itinerante en busca del próximo Pitágoras

Con la ayuda de un software de código abierto y gratuito, la muestra de instalaciones interactivas Imaginary Exhibition recorre el mundo con sus ecuaciones algebraicas transformadas en bellas imágenes 3D. El alemán Andreas Matt, doctor en matemáticas y divulgador, presentó el proyecto en el país.

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KURT BALLAY. Con transparencias y colores, el artista se convirtió en uno de los destacados en la galería virtual de Imaginary Exhibition.

Todo nació con un limón llamado Zitrus que en realidad es una superficie matemática flotando en un espacio 3D definida por esta fórmula: x² + z² = y³ (1 - y)³. “Esto no es un limón porque no puede exprimirse, pero estamos acostumbrados: en matemática partimos de una idea abstracta y a través de la visualización, con una computadora, se puede poner en imágenes”, resumió Andreas Matt, doctor en matemática dedicado a la divulgación, señalando una imagen del famoso limón, convertido en emblema de Imaginary Exhibition, una muestra itinerante que comenzó en Alemania en 2008, a propósito del Año Mundial de la Matemática, desde entonces recorre el mundo y acaba de desembarcar en la Argentina.

La idea, que comenzó con la pipa de Magritte y su correlato cítrico, se expandió en forma de visualizaciones, instalaciones interactivas, realidades virtuales y objetos 3D de la geometría algebraica presentados de una manera atractiva y pedagógica, como “un punto de encuentro de la realidad imaginada y la visualización concreta de los objetos matemáticos”, explicó Matt, que lleva 10 años en la ardua tarea de construir reputación para una disciplina esquiva, durante la conferencia Matemática interactiva que se realizó en el Pabellón I de Ciudad Universitaria, como parte del coloquio del departamento de Matemática de Exactas.

Ahora, ¿pueden las matemáticas crear imágenes estéticas? ¿Qué tiene que ver el limón? La respuesta viene de la geometría: cada punto en el espacio puede estar definido por las coordenadas x, y y z; y una ingeniosa formulación de ecuaciones define las superficies que, iluminadas y coloreadas, se convierten en arte. Ecuación e imagen se pueden ver en simultáneo y en tiempo real a través de la interface sencilla del Surfer, el software de código abierto que permite crear una infinidad de imágenes con fórmulas matemáticas.

Desarrollado por el Instituto matemático Oberwolfach (Alemania), el Surfer es gratuito y ya fue descargado más de 50 mil veces por artistas, diseñadores y entusiastas diversos en sus computadoras personales. Pero para los no iniciados las exhibiciones itinerantes en estaciones de trenes, bancos o supermercados de más de 40 ciudades alemanas primero, y el resto del mundo después, funcionan a la perfección. Un stand dotado de pantallas táctiles con el Surfer ejecutándose invita a los transeúntes a acercarse, donde un grupo de tutores les explica de acuerdo a su edad y conocimientos cómo modificar los valores de la ecuación o jugar con los colores y las formas para crear una imagen única. En algunos casos, una impresora permite dejar la imagen colgada en el stand o llevársela a casa.

Así, a medida que la exposición se difundió en las ciudades que recorría, se crearon extensas galerías online con las imágenes de los usuarios y se lanzó un concurso al que llegaron 4000 diferentes en dos meses. Y así como el Surfer es solo uno de los programas que un visitante puede encontrar en un stand de la Imaginary Exhibition, tampoco solo el software es de código abierto sino la muestra toda: cada escuela, institución, museo o medio de comunicación interesado puede tomar el formato de la muestra y recrearlo en su espacio, sumarle ideas, organizar sus certámenes y así ayudar a la difusión de la matemática.

Aunque Matt admite que “es difícil saber cuáles son artísticamente más interesantes”, una galería de grandes creadores se destaca en la corta pero intensa vida del proyecto. Por caso, la estudiante de 17 años Valentina Galata redibujó en forma algebraica objetos reales (“algo muy difícil”, según Matt); Bianca Violet realizó animaciones sorprendentes; y Stephen Klaus, unos nodos con la banda de Moebius como ecuación algebraica. Esta manera simple de divulgar matemática –entre otras razones porque no requiere mucho dinero– tuvo también su cuota de popularidad: se multiplicaron las imágenes como estampas de remeras, avatares y hasta pósters juveniles.

Para 2013, Año de las Matemáticas del Planeta Tierra (Mathematics of Planet Earth), el proyecto busca además de expansión geográfica, innovaciones: “como la pantalla táctil ya está en casa, vamos por el kinect, el sistema que controla los gestos que es ideal para eventos públicos, por las aplicaciones para celulares y tabletas”, enumeró Matt, con estudios en Filosofía y Computación, y profesor del Instituto Tecnológico de Buenos Aires (ITBA).

Sin embargo, la experiencia no se reduce a la contemplación ni a la creación de imágenes estéticamente atractivas: propone utilizar el arte como vehículo para el desarrollo de la ciencia. “Ningún matemático quiere escuchar más del teorema de Pitágoras”, reconoció Andreas Matt durante la conferencia, en la que insistió en la doble función del programa: crear imágenes 3D con ecuaciones algebraicas y descubrir ecuaciones a través de imágenes, una tarea que está quemando las pestañas de los geómetras: la teoría de la singularidad está buscando ahora mismo una imagen 3D que tenga 100 singularidades. “Si alguno la encuentra, se va a volver bastante famoso”, le explicó a su auditorio de estudiantes y graduados, todos entusiastas de las matemáticas y el arte, ámbitos intrínsecamente vinculados desde que muchos artistas usan la inestabilidad de los métodos de cálculo numérico como herramientas creativas y encuentran que el arte, en definitiva, está en lo incalculable.

Tomado de:

El Clarín (Argentina)

Revolucionaria ecuación permitirá crear nuevos materiales

Miérocles, 03 de marzo de 2010

Revolucionaria ecuación permitirá crear nuevos materiales

Ingenieros de la Universidad de Princeton han desarrollado una innovadora ecuación, que sentaría las bases desde el campo teórico para la creación de nuevos materiales más eficientes con aplicación industrial. Dispositivos electrónicos más pequeños, o automóviles con mayor eficiencia energética serían algunos de los beneficios ligados con estos nuevos materiales, de los cuales se conocerían sus principales condiciones antes de su creación. Para arribar a este hallazgo, los especialistas avanzaron sobre una antigua teoría de la física cuántica, formulada originalmente en 1920.

La formulación de una revolucionaria ecuación por parte de ingenieros de la Universidad de Princeton podría desembocar en la creación de nuevos materiales con amplias aplicaciones, que contarían con importantes ventajas en el terreno de la electrónica y la industria automotriz, por ejemplo. El gran avance de esta ecuación está relacionado con la posibilidad de predecir las características más importantes de un nuevo material antes de ser creado.

Para llegar a esta innovación, los ingenieros realizaron en un gran avance en física cuántica, una teoría con más de 80 años de antigüedad, desarrollada en la década de 1920. Esto podría allanar el camino para el desarrollo de nuevos materiales, capaces de conformar dispositivos electrónicos más pequeños y vehículos más eficientes energéticamente.

De esta manera, los investigadores descubrieron una nueva manera de predecir las características más importantes de un nuevo material antes de su creación. La flamante fórmula permite a los ordenadores modelar las propiedades de un material hasta 100.000 veces más rápido que en la actualidad, ampliando enormemente la gama de propiedades que los científicos puedan estudiar en los materiales.

La profesora de ingeniería Emily Carter, de la Universidad de Princeton, fue la directora del proyecto. La innovación fue difundida mediante una nota de prensa del mismo centro de estudios, y también mereció un artículo en la revista científica Physical Review B, de la American Physical Societ.

Lea el artículo compelto en:

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La ecuación más importante de la Física ¿Un absurdo lógico sin sentido?

Viernes, 26 de febrero de 2010

La ecuación más importante de la Física ¿Un absurdo lógico sin sentido?

La serie documental el Universo Mecánico (que supongo todos conocéis), producida en 1985, es, en mi opinión, de lo mejorcito que se ha hecho en la divulgación de la física. Por dos motivos fundamentales: conjuga perfectamente el análisis matemático usado en física con el entendimiento profundo de la naturaleza, que nos conduce a una reflexión sobre cómo se comporta el universo y el mundo en que vivimos.

En este fragmento que os dejo al final, trata sobre las leyes de newton y la caída de los cuerpos. David Goodstein, el profesor, empieza explicando cómo hay que disparar (con una pistola de juguete) a un mono (de peluche), en caída libre, y termina reflexionando sobre la fórmula del segundo principio de la dinámica F=ma formulada por Newton, poniendo atención en la paradoja que dicha fórmula nos presenta:

Hay algo misterioso en esa ecuación. Fuerza, masa y aceleración. Hemos entendido lo que significa aceleración pero, ¿qué es fuerza? ¿qué queremos decir con la palabra masa?

Una forma de saberlo es utilizar la ecuación para que nos lo diga. Si conocemos la masa de un cuerpo y sabemos su aceleración podemos hallar la fuerza que actúa sobre él. Pero sin esta ecuación no conocemos la masa de un cuerpo. Y si no conocemos la masa de un cuerpo, la ecuación no significa nada en absoluto.

¿Es posible que la ecuación más importante de toda la física sea un absurdo lógico sin sentido? Antes de que Newton escribiera esta ecuación, el mundo era un mundo lleno de confusión. Después de escribirla, el mundo se hizo ordenadamente comprensible y previsible. Luego, sea lo que sea esta ecuación, no es algo sin sentido. La única forma de entender de que trata esta ecuación es utilizándola.

Con esta ecuación, Newton hizo más que describir cómo y porqué ocurrian las cosas. Nos dejó una pista para comprender el Universo: Hay que estudiar las fuerzas que rigen el universo y los componentes últimos de la materia.

Por cierto, ¿resolvió Einstein esta contradicción?

Fuente:

Ciencia On Line

La segunda Ley de Kepler y la Ecuaciones Diferenciales

Miércoles, 24 de febrero de 2010

La segunda Ley de Kepler y la Ecuaciones Diferenciales

¿Que no conoces las Leyes de Kepler? No me lo puedo creer. En fin, vamos a empezar por lo más simple. Las Leyes de Kepler son las que rigen los movimientos de los planetas y fueron descubiertas por el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler. Pero lo más curioso de todo esto es que el bueno de Kepler las obtuvo de la simple observación. En realidad, las dedujo tras estudiar minuciosamente las precisas anotaciones de su colega Tycho Brahe, quien lo hizo sin la ayuda del telescopio, inventado con posterioridad.

Pero volvamos a Kepler y sus Tres Leyes. Kepler (aunque no en el mismo orden en que hoy se conocen y se estudian), enunción sus famosas tres leyes para explicar el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol:

1. Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos.
2. El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
3. Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol.

En este pequeño artículo vamos a redescubrir la segunda ley de Kepler, basándonos en la Ley de Gravitación Universal de Newton:

La fuerza que ejerce un objeto dado con masa m₁ sobre otro con masa m₂ es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Para nuestro propósitos, vamos a fijar como origen de nuestro sistema de referencia al Sol, con masa M, y vamos a suponer que tenemos un planeta orbitando alrededor de él con masa m. Y, además, vamos a adoptar el sistema de coordenadas polares. Así, si fijamos la posición del planeta (que supondremos, al igual que el sol, que es un punto de coordenadas polares (r,θ)), vamos a llamar u_r al vector unitario en la dirección del radiovector que une el Sol con nuestro planeta y u_θ al vector unitario perpendicular al anterior y en la dirección en la que aumenta t.

Total, que tras todo este galimatías, vamos a calcular las fuerza F que el Sol ejerce sobre nuestro planeta. De la segunda ley de Newton, sabemos que F=ma, donde a es la aceleración del planeta. Pero si queremos escribir la aceleración en términos de las coordenadas polares, hay que hacer unas cuantas cuentas (venga, vale, las vamos a obviar, que no está el horno para bollors), tras las cuales obtendremos que a=(r·θ''(t)+2r'(t)·θ'(t))u_θ+(r''(t)-r·θ'(t)²)u_r en donde t representa, como casi siempre, el tiempo.

Así que, si descomponemos la fuerza F en su componente central F_r y tangencial F_θ, obtendremos que F_θ=m(r·θ''(t)+2r'(t)·θ'(t)) y F_r=m(r''(t)-r·θ'(t)²)
Pero claro, esto, en realidad, es válido para cualquier tipo de fuerza, es decir, que esto es las fórmulas anteriores no son más que la Segunda Ley de Newton expresadas en coordenadas polares. Ahora vamos a introducir el hecho de que la fuerza que tenemos es de tipo gravitatorio. En nuestro caso, sólo nos vamos a quedar con un aspecto de estas fuerzas, y es que son de tipo central, es decir, que no tienen componente tangencial (recordad la Ley de Gravitación Universal).

Bajo este nuevo prisma, resulta que la componente tangencial de nuestra fuerza debe ser, forzosamente, nula; lo cual nos permite obtener una Ecuación Diferencial r·θ''(t)+2r'(t)·θ'(t)=0 Si multiplicamos esta ecuación por r, se obtiene r²·θ''(t)+2r·r'(t)·θ'(t)=0 o lo que es lo mismo, (r(t)²·θ'(t))'=0, de modo que la función entre paréntesis sólo puede ser una constante, es decir, r(t)²·θ'(t)=h para alguna constante h.

Y ahora vámonos con la Segunda Ley de Kepler. Si A(t) es el área recorrida por r(t) a partir de una posición fija de referencia, es fácil comprobar (de nuevo son sólo cuentas con las que no os voy a agobiar) ΔA=(r²θ'(t))/2 ·Δt=h/2 ·Δt donde el símbolo Δ representa el incremento de la función. Así pues, entre dos instantes de tiempo t₁ y t₂, se tiene que A(t₂)-A(t₂)=h/2 ·(t₂-t₁) que dicho de palabra es, exactamente, lo que dice la Segunda Ley de Kepler:

El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

En otra ocasión, aprovecharemos todos éstos cálculos para comprobar que, como la fuerza gravitacional es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, las órbitas celestes sólo pueden ser cónicas.

Espero no haberos aburrido mucho. Gracias por llegar hasta aquí.

Fuente:

Tito Eliatron Dixit.

La paradoja de los mellizos

Domingo, 21 de febrero de 2010

La paradoja de los mellizos

Terminaba el post sobre la dilatación temporal de Lorentz indicando que comentaria la paradoja de los mellizos, pues vamos allá.

La transformación de Lorentz introduce una relación extraña entre el espacio y el tiempo, a estos efectos extraños se les denomina efectos relativistas. El primer efecto relativista es el comentado en la dilatación del tiempo, continuamos su discusión utilizando la paradoja de los mellizos, en qué consiste?.

Supongamos que tenemos dos mellizos a los que llamare Ivet y Jan. Viven en el siglo XXV y Jan decide probar su nave espacial que le han regalado sus padres por su 20 cumpleaños. Decide visitar la estrella más cercana al Sol, Alpha Centauri situada a 4 años luz de distancia, y lo hace a la velocidad de 0,8 c. Esto significa que viaja a 0,8 veces la velocidad de la luz, unos 240.000 km/s.

Recordemos que se suele representar a la velocidad de la luz con la letra c, entonces c = 300.000 km/s.

En el post anterior sobre relatividad veíamos que los intervalos de tiempo no sucedían al mismo ritmo en un sistema de referencia inercial estático (al que denominamos S) que en un sistema de referencia inercial en movimiento (al que denominamos S’). Para escribir las ecuaciones con mayor sencillez se escoge a t como el transcurso de los intervalos de tiempo en el sistema S y t’ al transcurso temporal en S’. A t se le denomina el tiempo propio del sistema de referencia y se acostumbra a denotar con la letra griega tau τ.

Antes de empezar el viaje Ivet y Jan sincronizan sus relojes, a partir de ahora, el tiempo t es el tiempo que miden los relojes en el sistema de Ivet y t’ el tiempo que miden los relojes en el sistema de Jan. Conociendo la transformación de Lorentz podemos establecer una relación entre el tiempo propio del sistema S respecto el tiempo propio del sistema S’ y viceversa.

Bien, hasta aquí todo correcto, si nos creemos que esto funciona, porque tiene una repercusión importante. Jan realiza un viaje de ida y vuelta a la estrella Centauri mientras Ivet se queda en la Tierra. ¿Cuánto tiempo dura el viaje?, recordemos que Centauri se encuentra a 4 años luz de distancia y el viaje se realiza a la velocidad de 0,8c.

Aquí aparece el primer efecto relativista a tener en cuenta y es que la velocidad es relativa. La velocidad de la nave de Jan es de 0,8c medida respecto el sistema de referencia de la Tierra. Es decir, Ivet observa como su hermano gemelo se aleja de la Tierra a una velocidad de 0,8c

¿Cuánto tiempo dura el viaje?, es una pregunta sencilla, pero hay que tener en cuenta el efecto relativista de que el tiempo es relativo también, depende del sistema de referencia en que realizamos la observación del reloj. Hacerse solamente la pregunta ¿Cuánto tiempo dura el viaje? No tiene sentido, tenemos que decir ¿Cuánto tiempo dura el viaje respecto del sistema Tierra? O decir ¿Cuánto tiempo dura el viaje de ida y vuelta para Ivet?. En este caso es sencillo de calcular

¿Cuánto tiempo dura el viaje de ida y vuelta para Jan?, recordemos que Jan realiza el viaje en el sistema de referencia móvil, por tanto se encuentra sometido a la dilatación temporal en un factor

Esto significa que el viaje para Jan ha durado

Recordemos que son hermanos mellizos y en el momento de iniciar el viaje los dos tenían 20 años. Ahora al finalizar el viaje, han pasado 10 años para Ivet y 6 años para Jan. En el momento del encuentro Ivet tiene 30 años y Jan 26 años. Jan es cuatro años más joven que Ivet. Cuidado esto no es ninguna paradoja, es el resultado de la dilatación temporal en sistemas inerciales móviles. Eso sí, puede resultar poco creíble, incluso difícil de aceptar este resultado. Puede pensar que la relatividad solo sucede en naves espaciales y en los confines del universo. Pues no, en la Tierra los efectos son medibles, eso sí, con instrumentos de mucha precisión.

En octubre de 1971 Hafele y Keating cogieron cuatro relojes atómicos de cesio y los colocaron a bordo de aviones comerciales dando la vuelta a la Tierra, unos volaron en dirección este y otros en dirección oeste y finalmente los compararon con un reloj de referencia que se quedo en el laboratorio.

Los resultados concuerdan con la dilatación temporal, los relojes que volaron en los aviones marcaban un tiempo distinto, concordando bastante bien con la teoría de la relatividad. Recordemos que la dilatación temporal predice que los relojes en movimiento marcan un ritmo más lento respecto a otro reloj idéntico situado en un sistema de referencia fijo.

El reloj del laboratorio se encuentra en el sistema de referencia de la superficie de la Tierra, el reloj en un avión moviéndose hacia el Este se mueve en la dirección del movimiento de rotación de la Tierra, se mueve más rápido que el situado en Tierra. Mientras que el reloj en un avión moviéndose hacia el Oeste se mueve en dirección contraria y su velocidad es menor que el reloj situado en el laboratorio de la superficie terrestre. Según esto el reloj que se mueve hacia el Este tiene que atrasar respecto el reloj de tierra y el reloj que se mueve hacia el Oeste tiene que adelantar respecto el reloj de tierra.

Existen otros efectos debidos a la relatividad general que ahora es demasiado liado tener en cuenta, pero lo cierto es que efectivamente los resultados indican que los relojes han sufrido una variación temporal. El reloj hacia el Este atrasaba 59 nanosegundos y el reloj hacia el Oeste adelantaba 273 nanosegundos.

Entonces donde está la paradoja. La paradoja surge cuando consideramos el viaje espacial desde el punto de vista de Jan y desde el punto de vista de Ivet. Para Ivet esta claro que Jan se aleja de ella a la velocidad de 0,8c. ¿Pero que observa Jan?, situado en su sistema de referencia de la nave observa como Ivet se aleja junto con toda la Tierra a 0,8c en dirección contraria. Según el punto de vista de Jan, cuando se encuentran es Ivet la que tendría que ser más joven. A esto se le llama la paradoja, ¿Cuál de los hermanos es más joven?, la única solución compatible es que los dos tengan la misma edad y la dilatación temporal no sea más que un juego de niños. Seria cierto si el movimiento de Ivet y el de Jan fueran simétricos, pero no lo son. Veamos porque.

Para que los dos hermanos se junten y puedan volver a comparar sus relojes, Jan ha tenido que acelerar y desacelerar. Durante el tiempo de aceleración Jan no se encuentra en un sistema de referencia inercial, ha notado el movimiento. A notado como los cohetes de la nave se han encendido y apagado, se ha tenido que atar a una silla especial para no ser golpeado por las paredes del cohete, etc. Mientras que Ivet no ha notado el movimiento, se ha mantenido siempre en un sistema de referencia inercial.

La respuesta a la paradoja es que aquel que ha sentido la aceleración es el que ha envejecido menos. Aunque hemos hablado de relojes, el efecto también implica efectos biológicos. La biología sigue las mismas leyes de la física y de la química sometidas al principio de relatividad. Y no solamente la biología, sino todos los sucesos, Jan caminara más lentamente, leerá más lentamente, comerá más lentamente, todo en la nave se ralentiza. Jan no nota nada especial, todo en él es más lento, pero mientras siga moviéndose tiene más tiempo. Es cuando compara su reloj que aparece la diferencia temporal.

Existe eso sí, un problema añadido que hay que tener muy en cuenta, ¿qué pasa con el tiempo durante la aceleración de la nave?. Durante los periodos de aceleración y desaceleración la velocidad de la nave cambia y el tiempo de viaje cambia, pero no altera el resultado de que existirá una dilatación temporal y cuando los hermanos se encuentren el que ha notado las aceleraciones será más joven.

Por supuesto, los viajes espaciales acelerados tienen que pensarse para no perjudicar a los astronautas. Las aceleraciones muy bruscas y potentes tienen graves efectos sobre los sistemas biológicos.

Fuente:

ABCiencia