El día en que pudo cambiar el valor de pi

¿Te imaginas por un momento que alguien se atreviera a cambiar el valor de pi, la relación matemática entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, bien conocida desde los antiguos griegos? No solo eso, ¿qué pensarías si además se quisiera sacar tajada de ello y legislarlo mediante una ley? Pues todo eso y mucho más ocurrió a finales del siglo XIX, cuando el estadounidense Edwin J. Goodwin (1825-1902) afirmó haber encontrado un método para realizar la famosa cuadratura del círculo.

El problema de la cuadratura del círculo era bien conocido desde la antigua Grecia. Se cree que fue Anaxágoras, aproximadamente en el año 600 A.C. quien planteó el problema de construir, con regla y compás, un cuadrado que tuviese el mismo área que un círculo dado. Pasaron más de dos mil años sin que nadie encontrara una solución, hasta que el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que, tal y como la habían planteado los antiguos griegos, la cuadratura del círculo era imposible. 

Ferdinand Lindemann

Sin entrar en detalles, podemos entender lo que ocurre. El área de un círculo es π·r², donde r es el radio de dicho círculo. La del cuadrado es a², siendo a el lado del cuadrado. Si queremos que ambas áreas sean iguales, entonces:

π·r² = a²

Y despejando a, resulta que

a = r·√π

Resolver el problema algebraico es bastante sencillo. Pero si queremos resolverlo como lo plantearon los griegos tendríamos que poder dibujar π con regla y compás. ¿Y realmente podemos? Si π fuese racional (de la forma m/n, donde m y n son números enteros con b distinto de cero), no habría mayor inconveniente. Incluso si π fuese irracional (que no se pudiese escribir de la forma m/n) todavía habría esperanzas. Se pueden construir con regla y compás números irracionales. Si dibujas, por ejemplo, un triángulo rectángulo con los catetos de longitud 1, la hipotenusa medirá √2, que es irracional. Esto es posible porque √2 es solución de la ecuación x²-2=0. Todos los que se pueden expresar como solución de una ecuación algebraica pertenecen a una clase de números llamados algebraicos y se pueden dibujar mediante regla y compás. 

Si un número no es algebraico, entonces se dice que es trascendente, como el número e, y en tal caso nunca podrá ser dibujado con regla y compás. De esta forma, el milenario problema de la cuadratura del círculo se reduce a la simple cuestión de si el número π es algebraico o trascendente. Eso fue lo que demostró Lindemann en 1882: π era trascendente y, por tanto, no se puede dibujar con regla y compás, lo que acabó con las esperanzas de todos los matemáticos de conseguir resolver este problema.

¿He dicho todos? Bueno, no. Hubo un matemático llamado Edwin J. Goodwin que pasó por alto los avances de todos sus predecesores, culminado por Lindemann. En realidad, Goodwin no era más que un médico rural que vivía en el pueblo de Solitude, Indiana, y que en su tiempo libre -debía tener mucho- se aficionó a las matemáticas. Al parecer, Goodwin ya había logrado resolver otros famosos problemas matemáticos imposibles, como la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. En todos estos casos, Goodwin había publicado la solución en la revista matemática The American Mathematical Monthly. Y en todos ellos, el artículo estaba encabezado por una nota diciendo que se publicaba a petición del autor. Dicho de otro modo, la revista no se hacía responsable del contenido del artículo. Sospechoso, ¿verdad?

Edwin J. Goodwin

En su demostración de la cuadratura del círculo no se menciona explícitamente a pi. Pero hacia el final de la segunda sección se dice que "la relación entre el diámetro y la longitud de una circunferencia es de cinco cuartos a cuatro". Como esa es exactamente la definición de pi, la afirmación de Goodwin significaba que ¡pi valía 3,2! De nada había servido que, más de dos mil años atrás, Arquímedes ya hubiese demostrado que el valor de pi estaba comprendido entre 3+(10/70) y 3+(10/71), una aproximación mucho más buena que el valor -erróneo- dado por Goodwin. El genio de Siracusa debió retorcerse en su tumba.

Esquema que utilizó Goodwin para su "demostración"

Pero eso no es todo. A pesar de este y otros disparates que contenía su demostración, Goodwin estaba tan satisfecho con su descubrimiento que lo registró, con la idea de que cualquiera que lo utilizara tuviera que pagarle derechos de autor. Al mismo tiempo decidió que su estado natal de Indiana sí podría usarlo para beneficio de sus escolares. De hecho, Goodwin embaucó al representante por Indiana, Taylor I. Record, y le propuso presentar en la Asamblea legislativa un proyecto de ley que recogiese lo anterior. El título lo dice todo: Proyecto de ley que presenta una nueva verdad matemática y que es ofrecido como una contribución a la educación que sólo podrá ser utilizado por el Estado de Indiana de forma gratuita sin necesidad de pagar ningún tipo de derechos de autor, siempre y cuando sea aceptado y adaptado en forma oficial por la legislatura en 1897. Ahí queda eso.

La cadena de despropósitos no había hecho más que empezar. Después de recibir el visto bueno de la Comisión de Educación, el proyecto de ley número 246 de las sesiones del año 1897 llegó al Congreso. El resultado de la votación no dejó lugar a dudas: 67 votos a favor, ninguno en contra. Ya solo faltaba la aprobación del Senado y el valor de pi quedaría establecido en Indiana como 3,2.

El mismo día que se debatía el proyecto de ley en el Senado, se encontraba en el edificio C. A. Waldo, un profesor de matemáticas de la Universidad de Purdue, que había acudido a la ciudad para gestionar el presupuesto anual de la Academia de Ciencia de Indiana. Waldo se quedó muy sorprendido al enterarse que en el Senado estaban debatiendo una ley sobre matemáticas. Pero su sorpresa se transformó en espanto cuando comprendió el disparate que estaba a punto de cometerse. Una vez terminada la sesión, le ofrecieron conocer en persona al mismísimo Goodwin, lo que Waldo rechazó enérgicamente (“ya me han presentado a tantos locos como estoy dispuesto a conocer”). Por suerte, el Senado de Indiana no había completado la aprobación final del proyecto de ley y el profesor Waldo tuvo tiempo de convencer a un número suficiente de senadores para que postergaran el proyecto de forma indefinida.

C.A.Waldo, el salvador de Indiana

Y así fue cómo el estado de Indiana se salvó de hacer el mayor de los ridículos y consiguió que lo que todavía hoy se conoce como Indiana Pi Bill, el proyecto de ley de Indiana sobre pi, se quedase en eso, un simple proyecto.

NOTA: Esta entrada participa en la Edición 4,12310 del Carnaval de Matemáticas que organiza en esta ocasión el blog de Rafael Miranda, Geometría Dinámica.

BIBLIOGRAFÍA:

1. Texto completo del Proyecto de Ley (en inglés).
2. La demostración de la cuadratura del círculo, tal y como se publicó (en inglés).
3. Errores, lapsus y gazapos de la historia, Gregorio Doval. Editorial Nowtilus, 2011.

Tomado de:

La aventura de la ciencia

Historia: "Viajar a demasiada velocidad no es bueno"

Resulta asombroso comprobar que hasta hace muy poco el ser humano no era capaz de desplazarse con relativa rapidez por el mundo. Antes de que eso fuera factible, de hecho, los mensajes sí que lo hacían, que era como transportar una parte de uno mismo sin tener que despeinarse: mucho antes del telégrafo o las palomas mensajeras, por ejemplo, se llegaron a usar telégrafos ópticos consistentes en atalayas con fuegos, al estilo El señor de los anillos: Podéis leer más sobre ello en Recorriendo el fuego griego al estilo de ‘El señor de los anillos’ en plena guerra de Troya.

Además, viajar rápido no solo era imposible sino que se creía que resultaba perjudicial para la salud: en tiempos pretéritos, moverse rápido era el equivalente a viajar a la Luna. 

Por ejemplo, en agosto de 1784, John Palmer creó un servicio de carruajes rápidos para el correo urgente entre Bath y Londres (una distancia de alrededor de 160 km), que reducía el tiempo de recorrido de 38 a 16 horas (unos tiempos en los que hoy en día, cualquiera de nosotros, podemos dar la vuelta al mundo). Sin embargo, en aquella época, un médico publicaría en Bath Argus: “El viaje regular a una velocidad tan prodigiosa provocará a buen seguro la muerte por apoplejía”.

Un siglo más tarde, los mismos temores se aducían a las velocidades mayores, con el advenimiento del ferrocarril. Por ejemplo, Dionysus Lardner, profesor de filosofía natural y astronomía del Colegio Universitario de Londres, publicó en 1830: “Viajar en ferrocarril a velocidad elevada no es posible porque los pasajeros, incapaces de respirar, morirían de asfixia.”

Un siglo después, de nuevo se repetían los mismos temores con velocidades mayores. John P. Lockhart-Mummery, miembro del Real Colegio de Cirujanos, en su libro de 1936 After US, advertía: “La aceleración que habrá de resultar del uso de cohetes dañará inevitablemente el cerebro sin posibilidad de curación.”

Tu radio vital

 

Durante la Edad Media, por ejemplo, la mayoría de la gente vivía, trabajaba, se casaba y moría sin alejarse nunca más de 30 kilómetros de su lugar de nacimiento, tal y como explica Matt Ridley en su libro El optimista racional.

Pero la mejor manera de ilustrar los cambios en la movilidad humana quizá es un estudio realizado por el epidemiólogo David Bradley (que también aparece en la obra de Ridley), que documentó los patrones de viaje de su bisabuelo, su abuelo, su padre y el suyo propio durante los 100 años anteriores a la década de 1990. El resultado fue el siguiente:

Bisabuelo: no salió nunca de un cuadrado de 40 por 40 km.

Abuelo: un cuadrado de 400 km.

Padre: viajó por toda Europa, cubriendo un cuadrado de 4.000 km.

El propio Bradley: se convirtió en trotamundos, cubriendo los 40.000 km de circunferencia de la Tierra.

A saber lo que nos esperan en el siglo XXI.
 

Fuente:

 

Xakata Ciencia

¿Quién dijo que la cuadratura del círculo era imposible?

Estamos ya hartos de leer/escuchar que la cuadratura del círculo es algo imposible, que no se puede “cuadrar” un círculo, que es una construcción que no se puede realizar. Lo tenemos tan oído que hasta como frase ha pasado a formar parte de nuestro lenguaje habitual (la propia RAE recoge dentro de “cuadratura” que la cuadratura del círculo se usa para indicar la imposibilidad de algo).

Y así es. Como ya sabemos, Lindemann demostró que es un número trascendente, hecho que implica que la cuadratura del círculo es una construcción imposible…¿Seguro? Sí, siempre que añadamos la coletilla con regla y compás, que en realidad significa utilizando solamente una regla y un compás con las normas para construcciones marcadas en la antigua Grecia (aquí tenéis esas condiciones y también algunas construcciones sencillas con regla y compás). Es decir, la cuadratura del círculo es imposible si como únicas herramientas tenemos una regla y un compás y solamente podemos utilizar las normas que se establecieron en la antigua Grecia. Bien, ¿y qué ocurre si no imponemos esa restricción? ¿Qué pasa con esta construcción si abrimos un poco el campo, si no somos tan restrictivos? Pues…
…que la cuadratura del círculo sí es posible. Y no me refiero a aproximaciones más o menos buenas, sino a la construcción exacta. Es decir:

Si eliminamos la restricción de utilizar solamente regla y compás y las normas establecidas en la antigua Grecia, se puede realizar la cuadratura del círculo. Esto es, partiendo de un círculo de área A se puede construir un cuadrado de área A.

Vamos a ver cómo hacerlo.

Partimos de una círculo de radio (cuya área sera, entonces, )que podamos girar, por ejemplo un rodillo para pintar. Marcamos un punto en él y hacemos girar sobre un papel el rodillo hasta realizar un giro completo. El punto habrá marcado un segmento de longitud .

Tomamos un segmento de la mitad de longitud que éste, , lo unimos a otro segmento de longitud igual al radio del círculo inicial, , y trazamos una semicircunferencia que tenga a ese segmento de longitud como diámetro. Quedaría algo así:

Trazamos ahora desde el punto de unión de los dos segmentos un segmento perpendicular a este diámetro que corte a la semicircunferencia. Se tiene entonces que el triángulo formado por los dos extremos del diámetro y ese punto de corte con la semicircunferencia es un triángulo rectángulo (precisamente en el ángulo que forma en la semicircunferencia en dicho punto de corte):

¿Cuál es la longitud de este segmento? Es sencillo calcularla. 

Lea el artículo compleo en:

Gaussianos

La circunferencia perfecta…a mano alzada

¿Quién no ha intentado alguna vez dibujar una circunferencia en un papel? Si no la hacemos muy grande nos podemos “acercar”, podemos hacer un dibujo más o menos cercano a la realidad. Pero si la circunferencia es algo grande la cosa se complica.

¿Y en una pizarra con una tiza? Casi más complicado hacer una circunferencia más o menos en condiciones en una pizarra. Pero seguro que alguno de vosotros tenéis buena mano para eso y pensáis que hacéis circunferencias casi perfectas. A ver si después de ver este vídeo pensáis lo mismo (los “impacientes” pueden saltar al segundo 60):

Impresionante, ¿verdad? El autor de semejante maravilla en forma de circunferencia es Alexander Overwijk, profesor del Glebe Collegiate institute. Alexander saltó a la fama con este vídeo hace algo más de 5 años, después de ganar el Campeonato del Mundo (oficioso, supongo) de Dibujo de Circunferencias a Mano Alzada de 2007 (2007 World Freehand Circle Drawing Championship).

Fuente:

Gauusianos

Cómo transformar un triángulo en un cuadrado de igual área.

How to transform a triangle in a square of the same area.

Cómo transformar un triángulo en un cuadrado de igual área.

Tomado de:

Curiosidades No Geométricas

Conocer Ciencia: ciencia sencilla, ciencia diuvertida, ciencia fascinante...

"No molestes a mis círculos"

Lunes, 30 de noviembre de 2009

"No molestes a mis círculos"

Una historia fascinante de la ciencia

Aún faltaban 211 años para el nacimiento de Cristo. Siracusa, en el este de la isla de Sicilia, era entonces un polis griega que había resistido heroicamente durante dos años al asedio de las tropas romanas. En cualquier otro lugar del mundo, la resistencia de los lugareños habría durado un mes a todo lo sumo, pero en aquella pequeña ciudad vivía el hombre más sabio de su tiempo, y sus invenciones lograron detener el empuje bélico de las galeras de la poderosa República del norte.



Las catapultas y la famosa “garra” – un artilugio que lograba volcar las naves romanas mediante un ingenioso juego de poleas (véase ilustración superior) – ideadas por aquel sabio, habían dificultado sobremanera el trabajo del cónsul Marco Claudio Marcelo, un militar de prestigio al que llamaban entonces “la espada de Roma” y que encabezaba la expedición. A pesar de esto, cuando los romanos lograron vencer la resistencia de los de Siracusa, Marcelo dio órdenes para que se respetase la vida del sabio que tan dura había vendido la derrota de su ciudad. Simplemente, su ingenio le había impresionado ganándose su respeto.

Superadas las defensas que aquel viejo preparó en la costa, las tropas de la república recorrían ya las calles de la metrópolis griega, ejerciendo como es costumbre el pillaje. En pleno caos, un soldado romano entró en una casa ricamente ornamentada. Su habitante, un anciano de 75 años emparentado con Herón II, rey de Siracusa, estaba absorto contemplando unos dibujos circulares en el polvo, e ignoró por completo al romano.

El soldado que desconocía quién era aquel anciano, se colocó sobre los dibujos y le preguntó al viejo donde guardaba las riquezas.

- “No molestes a mis círculos” le respondió enojado el de Siracusa.

El salvaje no tuvo compasión, le zarandeó y terminó por degollarle. Más tarde, cuando se enteró de que con ello había contradicho las órdenes de su mando el cónsul Marcelo, al soldado debieron temblarle las piernas. Acababa de entrar con todo deshonor en la lista de la infamia que la historia reserva a los mayores bárbaros.

Biografías de la Ciencia (1) - Arquimedes

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Aquel anciano absorto en su ciencia era Arquímedes, el más grande matemático de la antigüedad. Y aquí les presentó una breve biografía, basada en el libro de Isaac Asimov: Momentos Estelares de la Ciencia.

La historia nos llegó gracias a los escritos de Livio, Valerio Máximo, Plutarco, Cicerón y Plinio el Viejo.

Fuente:

Mailkenais Blog