Confusión entre necesario y suficiente: el caso de la diferenciabilidad

Especial: Matemáticas

La distinción entre condición necesaria y condición suficiente es un tema muy costoso de entender para mucha gente, tengan los estudios que tengan. En principio, partiendo de la denominación de cada una de estas condiciones es sencillo distinguirlas, pero en la práctica hay muchas ocasiones en las que la gente se lía bastante con ello. Ante una condición necesaria mucha gente piensa que lo que está viendo es una condición suficiente, y viceversa. Y hasta hay ocasiones en las que teniendo una condición solamente necesaria (o solamente suficiente) se cree que en realidad es de los dos tipos, necesaria y suficiente.

En general esto ocurre con las implicaciones:

Si es cierto A, entonces es cierto B

Que esto ocurra no significa ni Si es cierto B, entonces es cierto A ni Si no es cierto A, entonces no es cierto B, pero en muchos casos se piensa que sí. Voy a poner un sencillo ejemplo, que es el más frecuentemente uso con mis alumnos:

Esta claro que Si llueve, entonces mi patio se moja (Si es cierto A, entonces es cierto B), ¿verdad? ¿Es cierto entonces que Si mi patio se ha mojado, entonces es que ha llovido (Si es cierto B, entonces es cierto A)? Claramente no, ya que mi patio puede estar mojado porque lo he hecho yo con una manguera y no por haber llovido. ¿Y es cierto que Si no llueve, entonces mi patio no se moja (Si no es cierto A, entonces no es cierto B)? Pues tampoco, por lo mismo que en el caso anterior: he podido mojarlo yo sin que haya llovido.

La primera parte de la primera frase, Si llueve,…, es una condición suficiente para que mi patio se moje, pero no una condición necesaria. Es decir, es suficiente que llueva para que se moje mi patio, pero no es necesario que llueva para que ello ocurra.

Como he comentado antes, la confusión entre estos dos tipos de sentencias se produce con mucha frecuencia. Y no solamente entre gente sin estudios, sino también entre estudiantes de instituto, de universidad, y hasta entre profesores. De hecho el ejemplo que voy a poner ahora surgió a partir de una confusión de una persona que da clase en una universidad (doy fe de ello, ya que se puede decir que he asistido en primera persona a dicho error). Vamos a dar alguna idea sobre el concepto de diferenciabilidad y a partir de ahí introduciremos el resultado que puede causar confusión, que después explicaremos.

El caso de la diferenciabilidad

El concepto de diferenciabilidad de funciones de varias variables es uno de los conceptos que más errores provocan entre los estudiantes de cálculo en varias variables. En esencia es análogo al de derivabilidad en funciones de una variable, pero el paso de una variable a más de una variable hace que la cosa se complique.

Aunque el concepto es más general, vamos a hablar solamente de funciones escalares de dos variables, es decir, funciones . En este caso, la definición de diferenciabilidad en un punto es la siguiente:

Definición: (diferenciabilidad en un punto)

Dada y un punto , la función es diferenciable en el punto si el límite

vale cero.

Nota: y denotan las derivadas parciales respecto de y de respectivamente.

Por comentarlo, esto es equivalente a que la función admita plano tangente único en el punto .

Hay varias condiciones necesarias relacionadas con la diferenciabilidad de una función escalar en un punto, como por ejemplo:

• Es necesario que sea continua en para que sea diferenciable en ese punto.
• Es necesario que existan las derivadas parciales de en para que sea diferenciable en ese punto.
• Es necesario que existan las derivadas parciales de en en la dirección de cualquier vector unitario para que sea diferenciable en ese punto.

Que estas sean condiciones necesarias significa que si alguna de ellas no se cumple, entonces la función no es diferenciable en . Ahora, ninguna de ellas es condición suficiente, ya que ninguna de ellas implica que la función sea diferenciable en .

El resultado estrella de este artículo se conoce como condición suficiente de diferenciabilidad, y su enunciado es el siguiente:

Teorema: (condición suficiente de diferenciabilidad)

Si es continua en un punto y las derivadas parciales de , , existen y son continuas en , entonces es diferenciable en .

No nos vamos a detener en demostrar este teorema. Dicha demostración aparece, por ejemplo, en este post del blog The Unapologetic Mathematician o en la página 168 del libro de Análisis Matemático de Carlos Ivorra (Teorema 4.11)^|1|.

Como se aprecia en la denominación de este resultado, ésta es una condición suficiente para que la función sea diferenciable en ese punto. Es decir, basta que se cumplan estas condiciones para asegurar que la función es diferenciable en el punto. Pero, como ya podréis saber, no es una condición necesaria, es decir, no es necesario que se cumplan todas las condiciones que plantea el enunciado para que una función sea diferenciable en un punto.

Esto significa que hay funciones que son diferenciables en un punto, pero que no cumplen todas las hipótesis de ese enunciado. Concretamente no cumplen que las derivadas parciales sean funciones continuas en el punto en cuestión (ya que la continuidad de la función y la existencia de las derivadas parciales en ese punto sí son condiciones necesarias para la diferenciabilidad).

Y además no es demasiado complicado encontrar ejemplos de funciones de este estilo. Una de ellas es:

Vamos a analizar qué ocurre con esta función en el punto en relación a lo comentado anteriormente:

• es claramente continua en , ya que
  

  

  y .

• Sus dos derivadas parciales existen en . Calculemos una de ellas:
  

  

  Por tanto la derivada parcial de respecto de en el punto existe y vale cero. Si calculamos la derivada de respecto de en vemos que también existe y, en este caso, también vale cero.

• Estudiemos ahora la continuidad de las derivadas parciales. Bueno, en realidad solamente lo haremos con la de . Si calculamos esta derivada parcial para obtenemos lo siguiente:
  

  

  Si unimos esta información con el valor de dicha derivada parcial en obtenemos la función derivada parcial de respecto de como función a trozos:
  

  

  Para que esta función sea continua en debe existir
  

  

  y además debe valer cero. Calculando ese límite pasando a coordenadas polares obtenemos:
  

  

  donde podemos ver que el valor del segundo término depende de , por lo que el límite no existe. En consecuencia:
  

  no es continua en .

  De forma análoga puede verse que la otra función derivada parcial tampoco es continua en .

• Interpretando mal la condición suficiente de diferenciabilidad podríamos pensar que esto asegura que la propia función no es diferenciable en , pero en realidad sí lo es. Lo vemos con la definición que dimos unos párrafos antes:
  

  

  de donde, operando, llegamos a:
  

  

  Como el límite de la definición es cero, la función es diferenciable en el punto , aunque las derivadas parciales no son continuas en ese punto.

En consecuencia, si tenemos una función continua en un punto, cuyas derivadas parciales existen en dicho punto, pero las funciones derivada parcial no son continuas en él, no podremos afirmar con total seguridad que la función no es diferenciable en ese punto, ya que hay funciones para las que esto es cierto, las funciones polinómicas por poner un ejemplo, y funciones para las que no, como la que hemos estudiado anteriormente o esta otra que me proporcionó Tito Eliatron:

Y sí, una persona que da clase de cálculo en varias variables (entre otras cosas) cometió este error: interpretar como condición necesaria este teorema, que en realidad solamente es condición suficiente. Comentó a sus alumnos que si alguna de las funciones derivada parcial no era continua en un punto, entonces la función no era diferenciable en ese punto (hecho que hemos visto que es falso), provocando en ellos una gran confusión al chocar frontalmente esto con los conocimientos que se les había proporcionado en las clases de apoyo. Menos mal que al final conseguimos encauzar esta situación. Y hasta aquí puedo leer…

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|1|: Un comentario sobre la condición suficiente de diferenciabilidad en el libro de Ivorra y en muchos otros textos. En el enunciado que yo he propuesto se dice que debe ser continua en , pero en el libro de Ivorra (y, como digo, en muchos otros) no se pide explícitamente esta hipótesis. Pero, por otra parte, hemos comentado que la continuidad de en el punto en cuestión es necesaria (ya que si no es continua en un punto, entonces no es diferenciable en ese punto). ¿Quién nos explica todo esto?

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¿Conocéis más casos de este tipo que merezca la pena reseñar?

Fuente:

Gaussianos

16 horas 14 minutos 18 segundos en 34 años

Especial: Matemáticas
Lanzada hace casi 34 años, la sonda Voyager 1, que aún no ha salido del sistema solar, ha recorrido en todo este tiempo sólo 16 horas 14 minutos 18 segundos luz, unos 17.350 millones de kilómetros. La estrella más próxima, Próxima Centauri, está a unos 4,22 años luz de la Tierra. Realmente, las estrellas quedan muy, muy lejos [Fuente: @Voyager2]

Tomado de:

Microsiervos

La magia del Teorema de Gauss

Especial: Matemáticas

La primera parte de este articulo es una colaboración que me envió Sergio hace bastante tiempo.

Cuando estaba en el instituto, una de las cosas que más me sorprendía (y me tocaba las narices, todo hay que decirlo) era el Teorema de Gauss. Y no porque fuera difícil o porque fuera algo grandioso que destacara sobre el resto del temario, sino porque aparecía cuando menos te lo esperabas. Empezamos con el teorema de Gauss aplicado al campo gravitatorio, y cuando ya te lo sabías de memoria y habías trabajado con él hasta la saciedad (y muchos rezaban por no volver a verlo), de repente aparecía para el campo eléctrico. Además, lo mismo daba aplicarlo sobre distribuciones de carga lineales, planas o de volumen, valía para todo. La primera conclusión es que este Gauss era un genio (que lo era, no lo vamos a negar), tenía soluciones para todos los problemas tanto de gravitación como de electricidad. Uno tenía la sensación de que si le hubieran dejado, habría hecho toda la ciencia de la humanidad él solo.

Para recordar un poco aquellas clases de bachillerato, vamos a hacer un poco de memoria. El teorema de Gauss nos hablaba del flujo del campo eléctrico (o gravitatorio) a través de una superficie cerrada:

Haciendo unas cuentas vemos que podemos siempre separar el campo en dos componentes perpendiculares, la normal a la superficie y la tangente, y al tener un producto escalar, solo nos interesa la normal, .

Llegados a este punto, en cualquier ejercicio teníamos que elegir una superficie cerrada que contuviera a todo lo que generara el campo: partículas puntuales, hilos cargados, esferas… El profesor siempre decía:

Podéis elegir cualquier superficie que contenga todo esto, pero luego tendréis que hallar la integral, así que mejor elegís una sencillita.

Dicho y hecho. Para partículas puntuales elegíamos esferas, para hilos cilindros y para planos cajas, todas superficies de las que podemos calcular su volumen sin necesidad de integrar. Además, se elegía esta superficie para que el valor del campo en ella fuera constante, es decir, para que la superficie estuviera siempre a la misma distancia de las partículas. ¿Por qué? Porque si el valor del campo permanece constante a lo largo de toda la superficie, lo podemos sacar de la integral, y nos quedará

Y ahora sí, sabiendo qué superficie tenemos sólo hay que calcularla.

Para continuar, si suponemos que tenemos una superficie esférica, y que el campo lo crea una carga en el centro de la esfera, obtenemos por un lado

y por otro

de donde tenemos que

Con esto teníamos al fin dos igualdades, una que nos daba el flujo como una integral del campo a través de la superficie y otra como la carga total encerrada por la superficie partido de . Ahora sólo necesitábamos datos, sustituir y despejar lo que nos faltaba en el problema. Esto que es tan sencillo es realmente útil. Se usa hasta en cursos de electromagnetismo de la carrera de Física, y puede llegar a complicarse una barbaridad.

Y después de toda esta perorata, ¿acaso pensó Gauss en esto alguna vez? ¿Fue su intención al formular el teorema simplificar los cálculos en electromagnetismo? ¿Lo ideo acaso para el campo gravitatorio y luego lo aplicó al resto? A la primera pregunta no puedo contestar, a saber en lo que pensó Gauss y en lo que no, pero la respuesta de las otras dos es casi seguro no. Sólo hace falta pasarse por la Wikipedia para ver la formulación real del teorema de Gauss:

Teorema: (de la divergencia)

Sean y dos subconjuntos abiertos de , con y el borde de , tal que es simplemente conexo y es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.

Sea un campo vectorial de clase , es decir, cuenta con derivadas parciales de primero orden continuas. Entonces:

donde el vector , normal a la superficie, apunta hacia el exterior del volumen .

o echarle un vistazo al enunciado que aparece en el libro Cálculo II, de Alfonsa García, Antonio López, Gerardo Rodríguez, Sixto Romero y Agustín de la Villa:

Teorema: (de la divergencia)

Sea un dominio simplemente conexo y acotado de . Sea

un campo vectorial con derivadas primeras continuas en . Sea un sólido conexo cuya frontera es la superficie cerrada , estando y contenidos en . Entonces se verifica la siguiente igualdad:

Como se puede ver, Gauss formuló el teorema para cualquier campo, pero luego se aplica a campos bien conocidos. La auténtica magia de este teorema es que nos relaciona lo que pasa en una superficie cerrada con lo que hay dentro de ella. Si la superficie fuera una cortina opaca que no nos dejara ver que hay dentro, aún podríamos obtener información sobre ese sistema estudiando lo que pasa en la superficie a la que si tenemos acceso.

En relación con el ejemplo anterior, hay que ver que si el campo presenta las simetrías que se le piden, al calcular la integral de la divergencia todo se simplifica enormemente, puesto que cada componente del campo solo depende de una coordenada, y es por eso por lo que obtendremos la carga interior a la superficie.

Señores y señoras, otro ejemplo más de que las matemáticas más abstractas (la integral triple de la divergencia de un campo vectorial en un volumen dado es igual al flujo de dicho campo a través de la superficie que encierra dicho volumen), tienen su aplicación práctica en el mundo real (calcular la fuerza con la que un hilo cargado atrae a una carga, por ejemplo).

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La historia del teorema de Gauss, o teorema de la divergencia, tiene se interés en el sentido de que ni mucho menos es Gauss el único implicado en el enunciado y demostración del mismo. De hecho parece ser que en principio Gauss consideró tres casos particulares (que se preocupó de demostrar) de un teorema más general que enunció y demostró el matemático ruso Mikhail Ostrogradski en un trabajo que presentó a la Academia de Ciencias de París en 1826 (aunque, si nos ponemos estrictos, podemos considerar a Lagrange y Laplace como los verdaderos precursores, gracias a la utilización del Teorema Fundamental del Cálculo). Los matemáticos franceses Simeon Denis Poisson y Frederic Sarrus también presentaron, en 1828 y de forma independiente, demostraciones de este resultado. El matemático inglés George Green también tuvo cierta relación con este interesante y útil teorema.

Por otra parte, parece que todos los matemáticos que enunciaron y probaron versiones de este teorema estaban interesados en él por razones físicas (aunque en algunos casos demostraran resultados generales): Gauss en teoría de atracción magnética, Ostrogradski en teoría del calor, Green en electricidad y magnetismo, Poisson en cuerpos elásticos y Sarrus en cuerpos flotantes. En casi todos los casos el teorema estaba incluido como herramienta en un trabajo más extenso que tenía una finalidad física.

Fuente: The History of Stokes’ Theorem, de Victor J. Katz (gracias Francis, ya sabes el porqué).

Fuente:

Gaussianos