¿Cuál es la manera más efectiva de construir un triángulo equilátero en la práctica?

¿Qué es un triángulo equiláterto?

En geometría, un triángulo equilátero, es un triángulo con tres lados iguales. 

En la geometría euclídea tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí, cada ángulo vale 60°, y la suma de los tres ángulos da como resultado 180° 

Un triángulo equilátero es un polígono regular; es un caso especial de triángulo isósceles.

Ahora veamos una manera sencilla de dibujar un triángulo equilátero.

En los últimos días hemos estado hablando sobre construcciones con regla y compás como en la Grecia clásica y sobre trisección suavizando un poco las reglas de aquella época.

Uno de los desafíos de la aplicación de la que os hablé el domingo pasado era dibujar con regla y compás un triángulo equilátero, construcción que es muy fácil de hacer:

Partimos de dos puntos distintos, A y B, cuya distancia será el lado del triángulo equilátero. Trazamos una circunferencia con centro en A que pase por B y otra con centro B que pase por A. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos, C y D. Tomando uno de ellos, por ejemplo C, tenemos que el triángulo cuyos vértices son A, B y C es un triángulo equilátero:

Imaginemos ahora que tuviéramos que construirlo de verdad. ¿Sería ésta la manera más efectiva de hacerlo?

Vamos a poner un caso real: la plantación a tresbolillo. Según la RAE, la definición de este tipo de plantación es la siguiente:

Tresbolillo: Dicho de colocar plantas: En filas paralelas, de modo que las de cada fila correspondan al medio de los huecos de la fila inmediata, de suerte que formen triángulos equiláteros.

  (Imagen tomada de la cuenta de Flickr de suma sumay.)
Bien, la cuestión está clara: ¿cómo construimos esos triángulos equiláteros para situar los árboles en sus vértices? Usando la construcción comentada anteriormente, tomamos una cuerda cuya longitud sea la distancia que queremos dejar entre cada dos árboles consecutivos (la longitud del lado de cada triángulo equilátero), que hará de compás, y fijamos un extremo en uno de los puntos donde queramos poner un árbol. Después estiramos la cuerda todo lo que nos deje y la movemos trazando una circunferencia. Marcamos un punto en dicha circunferencia y ya tenemos dos de los lugares donde habrá árboles:

Ahora, usando como centro este último punto, trazamos una nueva circunferencia, que evidentemente pasará por el punto inicial. Marcando en dicha circunferencia un punto que esté alineado con los dos primeros tenemos un nuevo punto donde situar un árbol:

Haciendo esto las veces que queramos obtenemos la situación de todos los árboles de una hilera:

Ahora, tomando las intersecciones de cada dos circunferencias consecutivas obtenemos los lugares donde debemos situar los árboles en las hileras paralelas a la primera:

Con estos puntos de intersección obtenidos trabajamos de la misma forma que con los primeros, consiguiendo así que todos los árboles estén colocados formando triángulos equiláteros:

¿Es ésta la manera más efectiva?. En el libro La creatividad de matemáticas, de Miquel Albertí (que es donde vi todo esto de la plantación a tresbolillo) comentan que, según Gil-Albert, el horticultor lo haría de otra forma. La explicamos:

Situamos un extremo de la cuerda en el primer punto donde queremos plantar un árbol y la desplegamos la distancia que queremos dejar entre árboles consecutivos (digamos, por ejemplo, 1 metro), fijando este punto como zona donde plantar árbol y haciendo una marca en la cuerda (para guardar la distancia de 1 metro). Ahora, desde el primer punto tiramos de la cuerda una distancia igual al doble de la distancia que queremos dejar entre árboles consecutivos (2 metros en este caso), situamos el final de esos 2 metros en el segundo punto fijado y tensamos la cuerda tirando de la marca de 1 metro que hicimos antes. Obtenemos así el tercer vértice de un triángulo equilátero de lado 1 metro.
Realizando este proceso las veces que sea necesario obtenemos todos los puntos donde debemos plantar en nuestra plantación a tresbolillo.

Entendido, ¿verdad? Y, además, parece una forma de construir nuestro “campo de triángulos equiláteros” más sencilla que la primera, ¿verdad? ¿Qué pensáis vosotros? ¿Se os ocurre alguna otra forma?

Fuente:

Gaussianos

¿Te sabes la tabla de multiplicar…del triángulo equilátero?

Todos, desde pequeños, estamos familiarizados con la tabla de multiplicar de los número enteros hasta el número 10.

Imagen extraída de tablasdemultiplicar.net

Sabemos que multiplicar es sumar un número tantas veces como indica otro número, es decir, realizar la misma operación un número determinado de veces.

Empecemos por el final. Ésta es la tabla de multiplicar del triángulo equilátero:

Algunos ya habrán reconocido qué significa esta tabla. Se trata del grupo de simetría S₃ donde están representadas todas las operaciones de simetría del triángulo equilátero.

El que no sepa de que va puede seguir leyendo para comprobar que el tema no es difícil.

Todos sabemos lo que es la simetría, sabemos distinguir cuando una figura es simétrica o no, aunque en nuestra vida cotidiana no profundizamos demasiado y no solemos indicar respecto a qué una figura es simétrica o si tiene varios tipos de simetría.

Pongamos como ejemplo y objeto geométrico muy simple: el triángulo equilátero. Sea como sea de grande o pequeño un triángulo equilátero todos tendrán en común su simetría única. Para saber qué tipos de simetrías tiene dicho triángulo te propongo un sencillo juego. Supongamos que tenemos este triángulo equilátero donde se representan su ejes de simetría, es decir, los ejes respecto a los cuales divide la figura en dos partes iguales. Ahora recorta un triángulo del mismo tamaño y ponle nombre a cada vértice (ABC), tal y como indica la siguiente figura:

El juego consiste en, una vez puesto en su posición inicial, hallar todas las posibles maneras distintas en las que podemos mover el triángulo experimental y hacerlo coincidir de nuevo con el de referencia.

En primer lugar, hacemos girar el triángulo hasta que los vértices se lean CAB en el sentido de las agujas de reloj. Lo que hemos hecho ha sido rotar el triángulo 120º.

Para no repetir esto cada vez que queramos hacer esta operación le vamos a poner nombre. Como se trata de una rotación la llamaremos R y como hemos rotado 120º nombraremos a esta operación R₁₂₀. Si repetimos la misma operación habremos rotado 240º y obtendremos el triángulo BCA.

Sería una nueva operación de simetría, que denominaremos R₂₄₀. Podemos, además, girar el triángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj por lo que obtendríamos la operación de simetría R _-120 (BCA) y R _-240. Si queremos devolver a los vértices en su orden inicial tendremos que hacer esta operación tres veces. Vemos que R₂₄₀ y R _-120 son equivalentes ya que dan como resultante el mismo triángulo y no nos interesa cómo hemos llegado a esa posición sino la posición final.

¿Y si ahora giro el triángulo 360º? Volvemos a la misma posición inicial (ABC). Esta operación equivale a no hacer nada y a esta operación de denomina operación identidad y se identifica con el número 1. Es la única operación de simetría que posee toda figura geométrica, cristal, molécula o ser vivo.

¿Hay más maneras de que encaje tu triángulo con el modelo? Podemos voltearlo en torno al eje I y llegaremos a la posición ACB.

El triángulo resultante es la imagen reflejada en un espejo que hubiéramos puesto  a la derecha del triángulo, por lo que llamaremos a esta operación “reflexión respecto al eje I” y la representamos como R_I. De igual modo, podemos considerar las otras dos reflexiones a) respecto al eje II, denominada R_II y que produce la posición CBA, y b) respecto al eje III y que da origen a la posición CBA, denominada R_III .

Recopilando, tenemos las siguiente lista de operaciones de simetría: 1, R₁₂₀, R₂₄₀, R_I, R_II, y R_III.

¡Y esto sólo de un triángulo equilátero! Parece difícil estar seguros de que hemos hallado todas las operaciones de simetría de un objeto. Para ello, lo que podemos hacer es operar con las operaciones de simetría descubiertas a ver resulta alguna nueva. Así, si hacemos la operación R₁₂₀ y posteriormente R_II, obtenemos R_I. Se expresa así:

R₁₂₀×R_II = R_I

Cuando ocurre esto para para todas las operaciones decimos que nuestro conjunto de operaciones de simetría es cerrado respecto a la operación producto. Los matemáticos llaman a este conjunto de seis operaciones de simetría grupo de simetría del triángulo equilátero. Un grupo que se representa como S₃.

Así, podemos formar la tabla de multiplicar que he indicado al principio, de tal manera que multiplicar dos operaciones de simetría equivale a hacer primero una operación y a continuación la siguiente.

Acabas de entrar en amplio mundo de la simetría y si te interesa el tema, y su aplicación en el campo de la química, puedes visitar los siguientes enlaces:

Teoría de grupos aplicada a la simetría (pdf).
Grupos puntuales de simetría (pdf).
Simetría. teoría de grupos.
Simetría.

Teoría de grupos aplicada a químicos. (Libro. Vista previa en Google Book).

Fuente:

Ciencia OnLine

Cómo transformar un triángulo en un cuadrado de igual área.

How to transform a triangle in a square of the same area.

Cómo transformar un triángulo en un cuadrado de igual área.

Tomado de:

Curiosidades No Geométricas

Conocer Ciencia: ciencia sencilla, ciencia diuvertida, ciencia fascinante...

La belleza en el método matemático

Según cuentan, Descartes dijo una vez que la matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. En Matemáticas, la belleza puede apreciarse desde varios enfoques. Uno de ellos se conoce como la belleza del método, que suele comportar brevedad insual en la demostración, el uso de pocas ayudas previas en forma de hipótesis o resultados, o si aporta una nueva y original visión del problema. Hagamos un repaso por algunas de esas bellas demostraciones, muchas de las cuales hacen uso de la geometría, ya que según dicen, una imagen vale más que mil palabras.

Un clásico entre los clásicos es el Teorema de Pitágoras, el cual afirma que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es el teorema que más demostraciones distintas tiene, contabilizando hasta 367, entre otras razones porque en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos. Entre las distintas formas de probar dicho teorema, encontramos algunas que se agrupan en lo que se conoce como pruebas geométricas, que realizan comparaciones de áreas, implicando todo tipo de polígonos como triángulos, trapecios y cuadrados.

Otro teorema con un resultado sorprendente es el Teorema de Van Aubel, que reza lo siguiente: Dado un cuadrilátero cualquiera en un plano, a partir de cada lado dibujamos un cuadrado apoyado en él. Entonces los segmentos que unen los centros de cuadrados situados en lados opuestos tienen la misma longitud y además son perpendiculares. Lo sorprendente, si observáis la imagen de la derecha, es que los segmentos que unen los centros de los cuadrados en lados opuestos resultan tener la misma longitud y son de igual longitud, sin importar la forma del cuadrilátero, ya que el teorema no especifica restricción alguna respecto al mismo.

Un ejemplar sencillo y realmente bello es el Teorema de Marden. Basado en la elipse de Steiner, una elipse interior a un triángulo que en algunos casos es tangente a los puntos medios de dichos lados, sirve para expresar la relación geométrica entre los ceros de un polinomio de tercer grado con coeficientes complejos y los ceros de su derivada. Como podéis comprobar en la imagen inferior, de esta simple manera se muestra que los focos de la elipse coinciden con los ceros de la derivada del polinomio, cuyos ceros son los vértices del triángulo. Un dato curioso es que la elipse de Steiner se puede aplicar a polígonos de múltiples lados, teniendo algunos de ellos una elipse resultante que es tangente a cada lado en su punto medio.

El Teorema de Napoleon, conectado con el de Van Aubel y atribuido a Napoleón Bonaparte, es otro interesante ejemplo de un resultado sobre triángulos equiláteros, que reza lo siguiente: se construyen tres triángulos equiláteros a partir de los lados de un triángulo cualquiera, todos al interior o todos al exterior, entonces los centros de los triángulos equiláteros forman también un triángulo equilátero.

lo increíble es que la diferencia entre las áreas de los triángulos exterior e interior es igual al área del triángulo original. Este teorema tiene una interesante generalización en el caso de triángulos construidos externamente: Si se construyen externamente triángulos similares de cualquier forma en un triángulo de modo que cada uno se hace girar con relación a sus vecinos y cualquiera de los tres puntos correspondientes de estos triángulos están conectados, el resultado es un triángulo que es similar al triángulo externo.

El Teorema del punto fijo de Brouwer también tiene demostraciones bellas y curiosas. Este teorema establece que si una función f verifica ciertas propiedades, entonces existe un punto x₀ tal que f(x₀) = x₀, es decir, un punto fijo.

La prueba se realizó mediante el juego de Hex. La esbozó el famoso John Forbes Nash, reinventando el juego de Hex y mostrando que el empate es imposible. Eso a su vez demostró que es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer.

El hex es un juego entre dos personas que van colocando por turnos fichas sobre un tablero romboidal, compuesto de casilleros hexagonales. Las fichas se distinguen por su color, asociándose uno a cada jugador, y gana quien consigue formar una línea de sus fichas que conecte dos laterales opuestos del tablero previamente asignados. Lo que se demostró que si el tablero se encuentra completamente lleno de piezas, no es posible llegar a una situación de empate. Esta propiedad es la que permite demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer.

En geometría, el Teorema del Círculo de Monge-D’Alembert destaca tanto por su simplicidad como por su amplio abanico de aplicaciones en distintos problemas. Este teorema establece que los pares de centros externos de similitud, que se obtienen trazando tangentes comunes dos a dos entre los círculos, de los tres círculos están en el mismo plano y en la misma recta (colineales) Se puede resolver usando el Teorema de Desargues, y se puede aplicar en muchos otros problemas, como los círculos de Malfatti.

Por último, veamos el Teorema de la Mariposa que, con cierta inspiración en el lema de Zassenhaus de teoría de grupos, es el resultado clásico de la geometría euclidiana. Este teorema fue demostrado por primera vez por William George Horner además de otros como Coxeter, Shklyarsky y Greitzer. Su nombre, como puede apreciarse en la figura, proviene de la apariencia final que se produce al dibujar cada uno de los elementos que va exigiendo el enunciado. La demostración es bastante complicada, pero lo curioso es que el resultado es independiente de la cuerda elegida, ya que los punto X e Y son equidistantes de M.

Esta entrada participa en la edición 3.1415926 del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Series divergentes.

Fuentes 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16. 

Tomado de:

XD Ciencia

Les Luthiers nos explican el Teorema de Thales

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