Fractales, una geometría natural (*)

Miércoles, 02 d ejunio de 2010

Fractales, una geometría natural (*)

La geometría tan intuitiva que nos enseñan en la escuela, basada en líneas, puntos y superficies supone, en realidad, un gran esfuerzo de abstracción porque estos elementos idealizados no existen en el mundo cotidiano. Una línea real o una superficie están llenas de irregularidades que pasamos por alto para abstraer su esencia y plasmarla en conceptos más sencillos como recta y plano.

Con los fractales, en cierta manera, deshacemos esa abstracción y nos acercamos un poco más al objeto real. Benoït Mandelbrot utiliza el ejemplo sencillo de un objeto real, como son las costas de los países, para aproximarnos a los fractales. Son líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto parecido cuando cambiamos de escala. Precisamente estas dos propiedades son las que definen a un fractal: discontinuidad (rotura, fractura, de ahí su nombre) y autosemejanza con el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple número que llamamos dimensión fractal.

Repasando intuitivamente el concepto de dimensión, observamos que un punto no tiene medida (dimensión cero); a una recta la medimos en metros o centímetros lineales, lo que significa asignarle dimensión uno (una sola medida: largo); a una superficie la debemos medir en metros o centímetros cuadrados (dimensión dos: largo por ancho) y a un volumen lo medimos en metros o centímetros cúbicos (dimensión tres: largo por ancho por alto). Un fractal, generalmente, tendrá una dimensión (su dimensión fractal) que estará entre cero y uno, entre uno y dos o entre dos y tres.

Supongamos el caso más sencillo, una recta fractal representada por un hilo arrugado, e imaginemos que tiene dimensión fractal 1,25. Si otro hilo tiene dimensión fractal 1,35, la simple comparación de sus dimensiones fractales supone que este segundo hilo está más arrugado que el primero, presenta más irregularidades. La parte entera de la dimensión fractal (en este caso 1) nos está informando que el objeto con el que tratamos es una recta, la parte fraccionaria nos mide su grado de irregularidad.

La dimensión fractal también da la capacidad que tiene el objeto de ocupar el espacio. El hilo con dimensión fractal 1,35 es capaz de llenar el plano mejor que el de dimensión 1,25. De hecho, si seguimos arrugándolo más aumentaremos su dimensión fractal y cuando esté cercana a 2 habremos conseguido llenar, casi por completo, una superficie con el hilo. Un fractal clásico de este tipo es la llamada curva de Peano.


Los fractales son objetos esencialmente sencillos, se generan fácilmente por ordenador. Mediante muy pocas órdenes de programación, y a partir de un número mínimo de datos, se crean verdaderas maravillas de una riqueza y complejidad extraordinarias. El fractal de Mandelbrot es un ejemplo. Conforme intentamos ampliar, con medios informáticos, cualquiera de sus partes nos encontramos con un nuevo paisaje similar al original pero con nuevos y sorprendentes detalles. Podemos seguir así cuanto deseemos y nos permita la potencia de nuestro ordenador, se nos seguirá mostrando un nuevo mundo fantástico, que nunca llega a repetirse, en cada nueva ampliación. Un mundo surgido casi de la nada, de una sencilla expresión que se encadena y realimenta con nuevos datos.

Como curiosidad, la expresión es así de sencilla: Valor posterior = (valor anterior) 2 + constante (Con una condición restrictiva).

La observación de estos fractales creados por ordenador, nos recuerda siempre a algún objeto natural desconocido pero cercano, posiblemente, porque esa economía de medios para lograr complejidad es una característica muy propia de la Naturaleza. Es la estrategia adoptada para lograr la mejor distribución de los vasos sanguíneos por todo el cuerpo, la disposición óptima del ramaje de los árboles o de los pliegues del cerebro para conseguir la mayor superficie en el mínimo espacio.

Verdaderas maravillas de arte fractal.

(*) De mi colaboración con Libro de Notas, la columna mensual cienciasyletras.

Fuente:

La Bella Teoría

Recomendamos en los Archivos de Conocer Ciencia

Geometría Fractal

Como enseñar fractales a los niños

Dos conjuntos de Julia fractales en la superficie de una esfera

Sábado, 15 de mayo de 2010

Dos conjuntos de Julia fractales en la superficie de una esfera

Arnaud Chéritat del Instituto de Matemáticas de Toulouse tiene un montón de preciosas imágenes matemáticas en su web, incluyendo estos dos fractales del tipo conjuntos de Julia dibujados sobre la superficie de una esfera, como si se estuvieran besando, con un bello colorido.

Fuente:

Microsiervos

Geometría fractal

Domingo, 14 de marzo de 2010

Geometría fractal

La geometría fractal es una parcela de las matemáticas cuyos límites reales no están todavía del todo claros. Históricamente sus orígenes se remontan a principios del siglo XX y durante el desarrollo de la Teoría de la Medida con el estudio de conjuntos geométricos con propiedades aparentemente paradójicas.

En dichos conjuntos (curvas de Peano y Koch, conjunto de Cantor, triángulo de Sierpinski, etc.) parecía existir una discordancia entre su tamaño real y su configuración espacial como conjunto de puntos (curvas con área o con longitud infinita entre dos de sus puntos, etc.).

El término fractal fue acuñado por B. B. Mandelbrot en 1977 (en su obra The Fractal Geometry of Nature) para designar ciertos objetos geométricos de estructura irregular. Aunque Mandelbrot no dio una definición precisa, caracterizó a los fractales mediante las tres propiedades siguientes:

• Figuras que se repiten en sí mismas infinitas veces a distintas escalas (conjuntos autosemejantes).
• Figuras con dimensión no entera (dimensión fractal).
• Conjuntos que aparecen tras procesos iterativos infinitos.

En su libro, Mandelbrot defendió la idea que se convertiría con el tiempo en la razón del crecimiento exponencial de las aplicaciones de los fractales y de la actual popularización del término: las formas de la naturaleza son fractales y múltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales. Pensemos por ejemplo en una frontera entre estados. Con el paso del tiempo, esta frontera se ve sometida a cambios debido a enfrentamientos, acuerdos locales, pequeñas conexiones, etc., que hacen que el trazado de ésta vaya variando. El perfil de una costa sufre un proceso análogo al de la frontera: los elementos en contacto, agua y tierra, están sometidos durante largos períodos a interacciones (erosiones eólicas y marinas, basculación continental, etc.) que modifican permanentemente la forma de la costa. Se estudia el carácter fractal de diversas ramas y árboles, las redes de drenaje de una cuenca fluvial, la ramificación de los bronquios en los alveolos pulmonares… También se están utilizando los fractales para transmitir imágenes digitales, o en el mercado de valores, donde la dimensión fractal proporciona el grado de predictibilidad del fenómeno.

Obviamente, los fractales no existen en la realidad, así como tampoco existen rectas ni esferas, pero sirven para modelizar objetos reales difícilmente abarcables con los objetos de la geometría euclídea.

La principal diferencia entre la geometría fractal y la geometría clásica es que esta última presenta contornos diferenciables, mientras que en la geometría fractal aparecen contornos quebrados (no diferenciables), difíciles de medir. Por ejemplo, si se trata de medir el contorno de un país, el resultado dependerá de la resolución del mapa, de manera que un mayor resolución implica mayor longitud. Es por ello por lo que se tratará de medir los fractales usando otro tipo de dimensiones (dimensión fractal), de forma que se pueda comparar la longitud del litoral de un país con el de otro.

A comienzos del siglo XX aparecieron conjuntos con paradójicas y sorprendentes propiedades. Se trata de los primeros ejemplos de lo que hoy llamamos fractales.

El conjunto de Cantor

George Cantor construyó un conjunto contenido en [0,1] con longitud (medida de Lebesgue) cero pero con el mismo cardinal que [0,1] (es decir, con la potencia del continuo).

El conjunto de Cantor se construye como sigue:

Se parte del intervalo E0=[0,1], que se divide en tres partes iguales, eliminando la parte central y obteniendo:

E11=[0,1/3] , E12=[2/3,1]

Cada uno de estos intervalos se divide a su vez en tres intervalos iguales, de los cuales prescindimos del intervalo central, obteniéndose:

E21=[0,1/9] , E22=[2/9,1/3] , E23=[2/3,7/9] , E24=[8/9,1]

Si continuamos este proceso indefinidamente, en la etapa k-ésima habremos obtenido 2^k intervalos cerrados E_kj (j=1.2,…, 2^k) de longitud 3^-k cada uno de ellos.

Se define E_k como la unión de E_kj j=1,2,3,…

Es obvio que E_k+1 está contenido en E_k , k=0,1,2,… Se define el conjunto de Cantor como la intersección de E_k k=1,2,3… .

La curva de Koch

En 1904 Helge von Koch construyó la curva que hoy lleva su nombre y que tiene la propiedad de tener longitud infinita y además no es derivable en ninguno de sus puntos.

En su construcción, se parte del segmento unidad [0,1] y se divide en tres partes, sustituyendo la parte central por los dos segmentos que junto con dicha parte, formarían un triángulo equilátero. Se obtiene así una poligonal P₁ de longitud 4/3.

Con cada uno de los cuatro segmentos se repite la operación anteriormente descrita, obteniendo una poligonal P₂ de longitud 16/9. Se procede indefinidamente de esta forma obteniendo en la etapa n una poligonal P_n de longitud (4/3)ⁿ. La curva de Koch se define como la curva límite a que converge la sucesión P_n cuando n tiende a infinito.

Obsérvese que la longitud de la curva es infinito, pues (4/3)ⁿ tiende a infinito con n. Más aún, la longitud de la parte de la curva comprendida entre dos puntos cualesquiera de la misma es infinita.

El triángulo y el tetraedro de Sierpinski

Alrededor de 1915, Waclaw Sierpinski construyó un conjunto cuyo perímetro es infinito y su área cero. Su construcción es la siguiente. Partiendo de un triángulo cualquiera, se dibuja un nuevo triángulo uniendo los centros de sus lados y se elimina de la figura inicial. El resultado será tres triángulos semejantes al inicial de área (cada uno) cuatro veces menor que el área inicial. Se repite la operación con los tres triángulos y, en general, con los triángulos que se vayan formando. El resultado será el triángulo de Sierpinski.

Si el triángulo inicial tiene área 1, en el primer paso la figura tendrá área 3/4, en el segundo tendrá 9/16, y, en general, la figura n-ésima tendrá área (3/4)ⁿ. El triángulo de Sierpinski tiene área nula, pues (3/4)ⁿ tiende a cero cuando n tiende a infinito. Sin embargo, si el perímetro del triángulo inicial es p, el del primer paso será 3p/2, el del segundo 9p/4, y, en general, la figura n-ésima tendrá perímetro (3/2)ⁿp, por lo que el perímetro del triángulo de Sierpinski es infinito, ya que (3/2)ⁿp tiende a infinito con n.

El tetraedro de Sierpinski se construye de manera análoga. En un tetraedro regular se marcan los puntos medios de las aristas y al unirlos se forman tetraedros de lado mitad. Se quita la figura central. En cada uno de los cuatro tetraedros restantes volvemos a repetir el proceso sucesivamente.

Las curvas de Peano y Hilbert

En 1890, Peano construyó una curva continua que pasa por todos los puntos del cuadrado unidad [0,1] x [0,1]. Era el primer ejemplo de una curva que “llena” un espacio. Años más tarde, Hilbert construyó otra del mismo tipo con una construcción geométrica más simple de describir.

La curva de Hilbert se construye como sigue. Se divide el cuadrado unidad en cuatro cuadrados iguales y unimos los centros de dichos cuadrados por segmentos. Cada uno de dichos cuadrados se divide de nuevo en cuatro cuadrados y se conectan sus centros comenzando siempre por el cuadrado inferior izquierdo y terminando en el cuadrado inferior derecho. Se continúa de esta forma indefinidamente uniendo los centros de los cuadrados que resultan en cada etapa.

La curva límite de tales poligonales “llena” el cuadrado unidad y recibe el nombre de curva de Hilbert.

Tomado de:

Caffix

¿Cómo enseñar fractales a los niños?

El reto de los maestros es el de inducir estos conceptos a los alumnos de corta edad ¿cómo podriamos iniciar a los niños de 7, 8 o 9 años en las nociones de fractales?

Esta figura es un fractal. Un fractal es una figura, cualquier figura, que se repite un número infinito de veces.

Hace un par de años asumí este reto y como resultado elaboré un blog para mis alumnos de tercer y cuarto grado. Decidí enfocar la geometría desde diversos ángulo: observando, descubriendo, recortando, asombrandose... y relacionando la geometría con aplicaciones prácticas y con el deleite estético (la geometría con el arte). En el caso concreto de los fractales considero que no hay manera más sencilla de iniciar a los alumnos que a través de la curva de Koch.



Otro modelo interesante es el de la Isla de Koch:



Finalmente les dejo la figura de Sierpinski...



Y finalmente unas ideas para realizar con sus alumnos:

¿Qué tal? ¡Interesante! ¿No es cierto?

Más información en:

Fractales (para niños)

Blog Polígonos1

Blog Polígonos2

La gran figura de Sierpinski

Nuevos indicios sugieren que el Universo podría ser fractal
Se consolida una hipótesis científica que podría completar la relatividad general

Las últimas observaciones del Universo sugieren que la materia oscura no se extiende de manera homogénea por el vacío, sino que forma estructuras fractales. Aunque esta teoría tiene ya diez años, las nuevas evidencias ponen de manifiesto su consistencia y plantean que quizá un mecanismo alternativo no descrito por la teoría de la relatividad general posibilitó el desarrollo del Universo desde sus orígenes. Un principio emergente, denominado “relatividad de escala”, sostiene que dicha fractalidad, también atribuida al espacio-tiempo, origina leyes del movimiento que son auto-organizadoras por naturaleza, capaces de producir la evolución de las estructuras de manera también fractal. Por Jean-Paul Baquiast.


Hace algún tiempo publicamos un artículo en el que informamos de los resultados de un estudio realizado por un grupo de astrónomos en el marco de la Cosmos Evolution Survey, susceptible de poner en evidencia la existencia de la misteriosa materia oscura que compone el 80% de la masa del Universo.

La imagen tridimensional obtenida parece mostrar que la materia oscura, lejos de repartirse de manera homogénea por el espacio visible, se presenta en realidad bajo la forma de grandes estructuras filamentosas que reproducen la distribución de las galaxias y conjuntos de galaxias, tal como aparece a gran escala en las observaciones astronómicas.

Este hecho podría confirmar la hipótesis según la cual la materia no se repartiría homogéneamente en el Universo, sino a través de formaciones de gran tamaño separadas por espacios de vacío.

Sin embargo, en la actualidad la mayor parte de los astrofísicos defienden la idea de que el universo es homogéneo a gran escala, y que las diferencias no aparecen más que en observaciones realizadas dentro de un radio relativamente reducido.

Pero, como se expone en un artículo de NewScientist titulado Is the universe a fractal? (publicado el 9 de marzo de 2007), un equipo europeo dirigido por el físico Luciano Pietronero, de la Universidad de Roma y del Instituto de Sistemas Complejos, señala, por el contrario, que tanto a gran como a pequeña escala, la estructura del universo (o del espacio-tiempo) es fractal y, por tanto, allí donde se encuentra repite hasta el infinito, y con tamaños distintos, los mismos motivos o patrones.

Hipótesis reciente

En lo que respecta a la materia visible, esta estructura fractal agrupa los sistemas solares, las galaxias, los conjuntos de galaxias y los superconjuntos, cuyo tamaño sobrepasara los mil millones de años luz. En el caso de la materia oscura, el mismo patrón también se repetiría.

Esta hipótesis del universo fractal existe desde hace una década, pero se ha visto reforzada por las observaciones realizadas sobre galaxias cada vez más alejadas y por la observación de la materia oscura.

La última observación de la materia visible hasta la fecha mostró una estructura filamentosa de un diámetro que se estima en más de mil millones de años luz, cuyas redes rodean espacios vacíos de entre 100 y 400 millones de años luz. Este es el Gran Muro del Sloan Digital Sky Survey o Sloan Great Wall.

La mayoría de los físicos suscriben la hipótesis del universo homogéneo (smooth). Piensan que mil millones de años luz constituyen una escala demasiado pequeña como para permitir evoluciones significativas. Más allá de estas escalas temporales, la homogeneidad recupera su validez. Estos científicos se apoyan en el mayor inventario realizado hasta la fecha, el Sloan Digital Sky Survey anteriormente citado, en el que se observa la existencia de una estructura granulosa homogénea, más allá del gran Muro.

Se debe decir que, más allá de las observaciones, siempre difíciles de interpretar y cuyas interpretaciones pueden estar deformadas por ideas preconcebidas, la hipótesis según la cual el universo sería fractal cuestiona la teoría de la relatividad general y la hipótesis según la cual el Universo habría crecido de manera uniforme a partir del Big Bang.

Para la relatividad general, pequeñas fluctuaciones de masa en el Universo naciente habrían provocado condensaciones de materia que dieron forma a la distribución de la materia tal como hoy se observa. La gravedad habría dado lugar a las galaxias y conjuntos de ellas, pero con la expansión habría perdido fuerza. Así, se habrían formado estructuras uniformemente repartidas por todo el espacio-tiempo. La hipotética materia oscura, por su parte, se habría dispersado de una manera más homogénea que la materia visible, sin llegar a formar agrupaciones.

Materia oscura no homogénea

Sin embargo, según Pietronero y sus colegas, la edad del universo, 14 mil millones de años, no es lo suficientemente extensa para que, teniendo en cuenta su expansión, haya podido producir estructuras que superen el tamaño de los 30 millones de años luz. Es más, las observaciones astronómicas a las que nos hemos referido, muestran que la materia oscura en sí misma no sería homogénea y que podría distribuirse en fractales.

Si, por lo tanto, observamos estructuras que se desarrollan como fractales, eso quiere decir que un mecanismo alternativo estuvo presente y permanece activo en la construcción del Universo. Este mecanismo no está descrito por la teoría de la relatividad general.

A la espera de nuevas observaciones que superarán el horizonte de los 650 millones de años luz, y previstas para 2008, proseguirán las observaciones y las hipótesis concernientes a la distribución de la materia visible y oscura, en relación a la naturaleza de ese mecanismo oculto.

El principio de la relatividad de escala

Dicho de otra forma, ¿existiría un modelo fractal del universo opuesto al del universo homogéneo? El astrofísico francés Laurent Nottale, del Observatorio de Paris-Meudon, aporta elementos para responder a esta pregunta en el artículo de NewScientist mencionado.

Desde hace tiempo, Notalle se ha centrado en desarrollar un principio llamado de la relatividad de escala que abarque no sólo el cosmos, sino también el nivel cuántico.

Notalle explica así el principio fundamental de la así llamada relatividad de escala: “se trata de una extensión del principio de relatividad que se puede enunciar de la siguiente forma. Las leyes de la naturaleza deben ser validas en todo sistema de coordenadas, cualquiera que sea su estado de movimiento y escala. Los resultados obtenidos muestran una vez más la extraordinaria eficacia de este principio cuando se trata de limitar o construir las leyes de la física.”

Sobre su método, señala que “el formalismo desarrollado por la relatividad de escala está situado ya en un punto que puede utilizarse tal cual para tratar un problema particular en numerosas situaciones. El camino a seguir está trazado, pero la versión más general de la teoría está en construcción.”

Según señala Nottale en declaraciones a Automates Intelligents, “a partir de la fractalidad del espacio-tiempo (es decir, de su dependencia de la escala), que se justifica como generalización de las teorías geométricas precedentes (el espacio tiempo no es sólo curvo, sino también fractal, tal como generaliza la geometría diferencial), podrían construirse unas leyes del movimiento que son auto-organizadoras por naturaleza. Se trata de la formación y la propia evolución de las estructuras a partir de la fractalidad del espacio-tiempo (sin necesidad de materia oscura excedentaria). Las soluciones obtenidas no son localmente fractales, pero, por el contrario, el carácter constante de escala de la gravitación conlleva a una jerarquía de organización que restablece la característica fractal en una amplia gama de escalas”.

Su punto de vista está más próximo del atribuido a Hogg en el artículo de New Scientist que al de Pietronero. “Pietronero pretende, explica Nottale, que la dimensión fractal es constante cualquiera que sea la escala (D=2), mientras que Hogg admite el estado fractal hasta una escala de 70 Mpc, que ya es mucho. En efecto, desde el radio de las galaxias, 10 kpc, hasta alrededor de 100 Mpc, se cuentan cuatro décadas. En el modelo emanado de la relatividad de escala, la dimensión fractal no es constante, sino que crece con la escala. Cuando alcanza D=3, se produce una transición hacia la uniformidad. Dicho esto, obtengo por mi parte una transición mayor, alrededor de 700 Mpc, en vez de 70 Mpc. Por tanto, no me sorprendería que la muestra estudiada sea todavía demasiado pequeña para determinar esta transición (se debe saber que desde hace 30 años, la escala de transición aumenta con el tamaño útil de las muestras)”.

Leyes clásicas y cuánticas

Para la relatividad de escala, las leyes fundamentales de la física se presentan bajo la misma forma cualquiera que sea la escala. En particular, esta forma única de las ecuaciones vale tanto para las leyes clásicas y como las cuánticas. Estas leyes toman formas diferentes cuando se aplican a escalas particulares.

“A escala cuántica, se pueden identificar las partículas (y sus propiedades de onda y de campo) a las geodésicas pertenecientes a un espacio-tiempo no diferenciable. No hay necesidad de considerar que existen unas partículas que seguirían unas trayectorias, porque las propiedades internas de estas partículas (masa, espín, carga) se pueden definir de manera puramente geométrica como manifestación de estos fractales geodésicos. La física actual supone que el espacio-tiempo es continuo y dos veces diferenciable, la relatividad de escala supone solamente que es continuo. Con ella se puede prescindir de manejar dos hipótesis”.

¿La física cuántica contempla el carácter fractal de la materia a las escalas de Planck? “Existen dos propuestas a este respecto, señala Laurent Nottale. Pero en la relatividad de escala, la fractalidad del espacio-tiempo domina desde el nivel cuántico ordinario (atómico, nuclear, partículas) y no solamente desde las escalas extremadamente pequeñas (la escala de Planck es 1.0 × 10 elevado a 17 veces más pequeña que la menor de las escalas alcanzadas hasta ahora en los aceleradores de partículas)”.

La relatividad de escala no nos permite sin embargo por ahora aportar soluciones a la cuestión de la gravitación cuántica.

“Nada por el momento nos permite mantener esta esperanza, añade Laurent Nottale. Construir una teoría de la gravitación cuántica resulta tan difícil en la relatividad de escala como en otras perspectivas. Se trataría, en el marco de la relatividad de escala, de describir un espacio-tiempo curvo (expresión de la gravitación) y fractal (expresión del mundo cuántico y de los campos de cabida) en la situación que se produce en la escala de Planck, donde la curvatura y la fractalidad convergen en un solo orden, lo que resultaría extremadamente difícil. Tampoco hay concurrencia con la teoría de cuerda: nada nos impide considerar las cuerdas en un espacio-tiempo fractal. Pero las dos teorías no se encuentran en el mismo plano: una interviene en el nivel de los objetos, la otra en el nivel del marco. De cualquier forma, las motivaciones también son fundamentalmente distintas: la teoría de cuerda admite como leyes fundamentales las leyes cuánticas e intentan cuantificar el campo gravitacional, mientras que la motivación de la relatividad de escala es fundar las leyes cuánticas sobre el principio de relatividad”.

Conclusión

Se pueden adivinar las implicaciones teóricas y prácticas, incluso filosóficas, que se derivarían de la posibilidad de verificar, a partir de nuevas observaciones, las hipótesis de la relatividad de escala. ¿Se debería sólo constatar el carácter fractal del espacio-tiempo o se podría comprender el por qué de dicho carácter? ¿El vacío cuántico está estructurado fractalmente? A gran escala, ¿avanza el carácter fractal indefinidamente en el seno de un espacio-tiempo ilimitado?

Y una cuestión que sin duda se harán los físicos de la materia macroscópica y los biólogos: ¿podría atribuirse a este carácter fractal del espacio-tiempo subyacente el hecho de que la morfogénesis de la mayor parte de los entes del mundo físico y de la materia viva parece construirse siguiendo el modelo fractal?

Jean-Paul Baquiast es miembro directivo de PanEurope France y editor de la revista Automates Intelligents. Artículo publicado originalmente en la mencionada revista. Se publica con autorización. Traducción del francés: Yaiza Martínez.


Tema relacionado:

Entrevista con Laurent Nottale en Automates Intelligents

Fuentes:

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