14 de marzo de 2010

Geometría fractal


Domingo, 14 de marzo de 2010

Geometría fractal


FractalLa geometría fractal es una parcela de las matemáticas cuyos límites reales no están todavía del todo claros. Históricamente sus orígenes se remontan a principios del siglo XX y durante el desarrollo de la Teoría de la Medida con el estudio de conjuntos geométricos con propiedades aparentemente paradójicas.

En dichos conjuntos (curvas de Peano y Koch, conjunto de Cantor, triángulo de Sierpinski, etc.) parecía existir una discordancia entre su tamaño real y su configuración espacial como conjunto de puntos (curvas con área o con longitud infinita entre dos de sus puntos, etc.).

El término fractal fue acuñado por B. B. Mandelbrot en 1977 (en su obra The Fractal Geometry of Nature) para designar ciertos objetos geométricos de estructura irregular. Aunque Mandelbrot no dio una definición precisa, caracterizó a los fractales mediante las tres propiedades siguientes:

  • Figuras que se repiten en sí mismas infinitas veces a distintas escalas (conjuntos autosemejantes).
  • Figuras con dimensión no entera (dimensión fractal).
  • Conjuntos que aparecen tras procesos iterativos infinitos.

En su libro, Mandelbrot defendió la idea que se convertiría con el tiempo en la razón del crecimiento exponencial de las aplicaciones de los fractales y de la actual popularización del término: las formas de la naturaleza son fractales y múltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales. Pensemos por ejemplo en una frontera entre estados. Con el paso del tiempo, esta frontera se ve sometida a cambios debido a enfrentamientos, acuerdos locales, pequeñas conexiones, etc., que hacen que el trazado de ésta vaya variando. El perfil de una costa sufre un proceso análogo al de la frontera: los elementos en contacto, agua y tierra, están sometidos durante largos períodos a interacciones (erosiones eólicas y marinas, basculación continental, etc.) que modifican permanentemente la forma de la costa. Se estudia el carácter fractal de diversas ramas y árboles, las redes de drenaje de una cuenca fluvial, la ramificación de los bronquios en los alveolos pulmonares… También se están utilizando los fractales para transmitir imágenes digitales, o en el mercado de valores, donde la dimensión fractal proporciona el grado de predictibilidad del fenómeno.

Obviamente, los fractales no existen en la realidad, así como tampoco existen rectas ni esferas, pero sirven para modelizar objetos reales difícilmente abarcables con los objetos de la geometría euclídea.

La principal diferencia entre la geometría fractal y la geometría clásica es que esta última presenta contornos diferenciables, mientras que en la geometría fractal aparecen contornos quebrados (no diferenciables), difíciles de medir. Por ejemplo, si se trata de medir el contorno de un país, el resultado dependerá de la resolución del mapa, de manera que un mayor resolución implica mayor longitud. Es por ello por lo que se tratará de medir los fractales usando otro tipo de dimensiones (dimensión fractal), de forma que se pueda comparar la longitud del litoral de un país con el de otro.

A comienzos del siglo XX aparecieron conjuntos con paradójicas y sorprendentes propiedades. Se trata de los primeros ejemplos de lo que hoy llamamos fractales.

El conjunto de Cantor

George Cantor construyó un conjunto contenido en [0,1] con longitud (medida de Lebesgue) cero pero con el mismo cardinal que [0,1] (es decir, con la potencia del continuo).

El conjunto de Cantor se construye como sigue:

Se parte del intervalo E0=[0,1], que se divide en tres partes iguales, eliminando la parte central y obteniendo:

E11=[0,1/3] , E12=[2/3,1]

Cada uno de estos intervalos se divide a su vez en tres intervalos iguales, de los cuales prescindimos del intervalo central, obteniéndose:

E21=[0,1/9] , E22=[2/9,1/3] , E23=[2/3,7/9] , E24=[8/9,1]

Si continuamos este proceso indefinidamente, en la etapa k-ésima habremos obtenido 2k intervalos cerrados Ekj (j=1.2,…, 2k) de longitud 3-k cada uno de ellos.

Se define Ek como la unión de Ekj j=1,2,3,…

Es obvio que Ek+1 está contenido en Ek , k=0,1,2,… Se define el conjunto de Cantor como la intersección de Ek k=1,2,3… .

Proceso de construcción del conjunto de Cantor

La curva de Koch

En 1904 Helge von Koch construyó la curva que hoy lleva su nombre y que tiene la propiedad de tener longitud infinita y además no es derivable en ninguno de sus puntos.

En su construcción, se parte del segmento unidad [0,1] y se divide en tres partes, sustituyendo la parte central por los dos segmentos que junto con dicha parte, formarían un triángulo equilátero. Se obtiene así una poligonal P1 de longitud 4/3.

Con cada uno de los cuatro segmentos se repite la operación anteriormente descrita, obteniendo una poligonal P2 de longitud 16/9. Se procede indefinidamente de esta forma obteniendo en la etapa n una poligonal Pn de longitud (4/3)n. La curva de Koch se define como la curva límite a que converge la sucesión Pn cuando n tiende a infinito.

Obsérvese que la longitud de la curva es infinito, pues (4/3)n tiende a infinito con n. Más aún, la longitud de la parte de la curva comprendida entre dos puntos cualesquiera de la misma es infinita.

Proceso de generación de la curva de Koch

El triángulo y el tetraedro de Sierpinski

Alrededor de 1915, Waclaw Sierpinski construyó un conjunto cuyo perímetro es infinito y su área cero. Su construcción es la siguiente. Partiendo de un triángulo cualquiera, se dibuja un nuevo triángulo uniendo los centros de sus lados y se elimina de la figura inicial. El resultado será tres triángulos semejantes al inicial de área (cada uno) cuatro veces menor que el área inicial. Se repite la operación con los tres triángulos y, en general, con los triángulos que se vayan formando. El resultado será el triángulo de Sierpinski.

Proceso de generación del triángulo de Sierpinski

Si el triángulo inicial tiene área 1, en el primer paso la figura tendrá área 3/4, en el segundo tendrá 9/16, y, en general, la figura n-ésima tendrá área (3/4)n. El triángulo de Sierpinski tiene área nula, pues (3/4)n tiende a cero cuando n tiende a infinito. Sin embargo, si el perímetro del triángulo inicial es p, el del primer paso será 3p/2, el del segundo 9p/4, y, en general, la figura n-ésima tendrá perímetro (3/2)np, por lo que el perímetro del triángulo de Sierpinski es infinito, ya que (3/2)np tiende a infinito con n.

El tetraedro de Sierpinski se construye de manera análoga. En un tetraedro regular se marcan los puntos medios de las aristas y al unirlos se forman tetraedros de lado mitad. Se quita la figura central. En cada uno de los cuatro tetraedros restantes volvemos a repetir el proceso sucesivamente.

Proceso de generación del tetraedro de Sierpinski

Las curvas de Peano y Hilbert

En 1890, Peano construyó una curva continua que pasa por todos los puntos del cuadrado unidad [0,1] x [0,1]. Era el primer ejemplo de una curva que “llena” un espacio. Años más tarde, Hilbert construyó otra del mismo tipo con una construcción geométrica más simple de describir.

La curva de Hilbert se construye como sigue. Se divide el cuadrado unidad en cuatro cuadrados iguales y unimos los centros de dichos cuadrados por segmentos. Cada uno de dichos cuadrados se divide de nuevo en cuatro cuadrados y se conectan sus centros comenzando siempre por el cuadrado inferior izquierdo y terminando en el cuadrado inferior derecho. Se continúa de esta forma indefinidamente uniendo los centros de los cuadrados que resultan en cada etapa.

La curva límite de tales poligonales “llena” el cuadrado unidad y recibe el nombre de curva de Hilbert.

Proceso de construcción de la curva de Hilbert

Tomado de:

Caffix

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