Fibonacci, las abejas y las tarjetas de crédito

Gran parte de vosotros habréis oído que la sucesión de Fibonacci y el número áureo aparecen en muchos ámbitos de nuestra vida. Y seguro que muchos conocéis algunos casos en los que esto ocurre. Para vosotros, y sobre todo para quienes no sabían nada de esto, vamos a ver en este artículo un par de ejemplos.

El número áureo y las tarjetas de crédito

Todas las tarjetas que tenéis en la cartera, ya sea el DNI, la tarjeta de crédito o el carné de cualquier club o asociación, están asociadas al número áureo, que recuerdo que es:

Hasta los folios que usáis cada día lo están. ¿Cuál es esa relación? Vamos a hacer un sencillo experimento con el que vamos a conseguir que este enigmático número salga a la luz.

Todas las tarjetas que usamos habitualmente, los folios y muchas más cosas de nuestra vida cotidiana están construidas como un rectángulo áureo, que es un rectángulo en el que se cumple que la proporción entre su lado mayor y su lado menor (el cociente de sus longitudes) es el número áureo. Para comprobar si un cierto rectángulo es un rectángulo áureo vemos si se cumple lo siguiente:

Un rectángulo cualquiera es un rectángulo áureo si al quitarle el mayor cuadrado posible se obtiene un rectángulo con la misma proporción entre su lado mayor y su lado menor que el inicial.

Vamos a verlo gráficamente para que se entienda mejor. Tomemos un rectángulo como el de la figura siguiente. Para simplificar tomamos un lado con longitud 1, mientras que el otro tiene longitud :

Este rectángulo será un rectángulo áureo si la proporción entre su lado mayor y su lado menor es igual a la proporción del rectángulo que queda al quitar el mayor cuadrado posible (en este caso un cuadrado de lado 1). A partir de los datos de la figura, la proporción entre los lados del rectángulo mayor es (es decir, ) y la del rectángulo menor es . Veamos qué ocurre si imponemos que el rectángulo inicial sea un rectángulo áureo (es decir, que las proporciones sean iguales):

Resolviendo esta ecuación obtenemos dos soluciones. Desechando la negativa, nos queda que

Es decir, la proporción entre el lado mayor y el lado menor del rectángulo inicial es el número áureo.

Bien, podríamos plantearnos ahora la siguiente pregunta: ¿cómo construir un rectángulo áureo? Muy sencillo. Partimos de un cuadrado cualquiera. Tomamos un lado, por ejemplo, y calculamos su punto medio, . Unimos ahora este punto con uno de los vértices del lado opuesto, por ejemplo con . Y ahora trazamos el arco de circunferencia con centro en y radio y calculamos el punto donde este arco corta a la recta a la que pertenece el segmento . Llamemos a este punto. Dibujamos ahora la recta a la que pertenece el lado y después la recta perpendicular a ésta que pasa por . Estas dos rectas se cortan en un punto, que llamamos . Hecho todo esto, el rectángulo es un rectángulo áureo. En la siguiente imagen podéis ver mejor esta construcción:

La sucesión de Fibonacci y las abejas

Vamos a hablar de abejas y matemática, como ya hicimos en esta otra ocasión. En este caso vamos a comentar este post de John D. Cook.

Las abejas macho nacen de un huevo no fecundado y las abejas hembra nacen de uno que sí está fecundado. Es decir, las abejas macho tienen únicamente una madre y las abejas hembra tienen una madre y un padre.

Dicho esto tomemos una abeja macho Sea entonces el número de antepasados suyos en el nivel de su árbol genealógico, contándola a ella.

El primer nivel lo forma esta abeja macho solamente, por lo que . Al ser una abeja macho, en el siguiente nivel (el segundo) sólo hay una hembra (su madre), por lo que . Ahora, por ser ésta una hembra, en el nivel justamente anterior hay un macho y una hembra (su padre y su madre), razón por la que . ¿Se va viendo el tema?

Vamos a un nivel cualquiera y tomemos ahí una de las abejas que lo forman. Pueden darse dos situaciones:

• Que la abeja escogida sea macho. Entonces de ella tenemos un antecesor (su madre) en el nivel y después tendremos dos más (el padre y la madre de esta última abeja) en el nivel .
• Que la abeja tomada sea hembra. Respecto a esta abeja tendremos dos antepasados suyos en el nivel (su padre y su madre), y en el nivel tendremos tres más (la madre de ese padre y el padre y la madre de esa madre).

En los dos casos podéis comprebar que .

Recapitulando tenemos lo siguiente:

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• 
• 

que es precisamente la definición por recurrencia de la sucesión de Fibonnaci, esto es:

siendo el -ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

Tomado de:

Gaussianos

Número áureo: Belleza matemática

Jueves, 15 de abril de 2010

Número áureo: Belleza matemática

Hay números que han intrigado a la humanidad desde hace siglos. Valores como PI -la razón matemática entre la longitud de una circunferencia y su diámetro- o e -la base de los logaritmos naturales-, suelen aparecer como resultado de las más dispares ecuaciones o en las proporciones de diferentes objetos naturales. El número áureo -a menudo llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea o divina proporción- también posee muchas propiedades interesantes y aparece, escondido y enigmático, en los sitios más dispares.

Se encuentra en las espiraless del interior de los caracoles como el nautilus.

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo que "una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor." En otras palabras, dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si (a+b) / a = a / b. El valor de esta relación es un número que, como también demostró Euclides, no puede ser descrito como la razón de dos números enteros (es decir, es irracional y posee infinitos decimales) cuyo su valor aproximado es 1,6180339887498...

Casi 2000 años más tarde, en 1525, Alberto Durero publicó su “Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas”, en la que describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, la misma que hoy conocemos como “espiral de Durero”. Unas décadas después, el astrónomo Johannes Kepler desarrolló su modelo del Sistema Solar, explicado en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico). Para tener una idea de la importancia que tenía este número para Kepler, basta con citar un pasaje de esa obra: “La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”. Es posible que el primero en utilizar el adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número haya sido el matemático alemán Martin Ohm (hermano del físico Georg Simon Ohm), en 1835. En efecto, en la segunda edición de 1835 de su libro “Die Reine Elementar Matematik” (Las Matemáticas Puras Elementales), Ohm escribe en una nota al pie: “Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada." El hecho de que no se incluyera esta anotación en su primera edición es un indicio firme de que el término pudo ganar popularidad aproximadamente en el año 1830.

El número áureo también está “emparentado” con la serie de Fibonacci. Si llamamos Fn al enésimo número de Fibonacci y Fn+1 al siguiente, podemos ver que a medida que n se hace más grande, la razón entre Fn+1 y Fn oscila, siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Esto lo relaciona de una forma muy especial con la naturaleza, ya que como hemos visto antes, la serie de Fibonacci aparece continuamente en la estructura de los seres vivos. El número áureo, por ejemplo, relaciona la cantidad de abejas macho y abejas hembras que hay en una colmena, o la disposición de los pétalos de las flores. De hecho, el papel que juega el número áureo en la botánica es tan grande que se lo conoce como “Ley de Ludwig”. Quizás uno de los ejemplos más conocidos sea la relación que existe en la distancia entre las espiras del interior espiralado de los caracoles como el nautilus. En realidad, casi todas las espirales que aparecen en la naturaleza, como en el caso del girasol o las piñas de los pinos poseen esta relación áurea, ya que su número generalmente es un término de la sucesión de Fibonacci.

Las partes del Partenón se relacionan también con el número áureo.

Este número también aparece con mucha frecuencia en el arte y la arquitectura. Por algún motivo, las figuras que están “proporcionadas” según el número áureo nos resultan más agradables. Aunque recientes investigaciones revelan que no hay ninguna prueba que conecte esta proporción con la estética griega, lo cierto es que a lo largo de la historia se ha utilizado para “embellecer” muchas obras. Por ejemplo, el uso de la sección áurea puede encontrarse en las principales obras de Leonardo Da Vinci. Es bien conocido el interés de Leonardo por la las matemáticas del arte y de la naturaleza, y esta proporción no le era indiferente. De hecho, en su estudio de la figura humana, plasmado en el Hombre de Vitruvio, puede verse cómo todas las partes del cuerpo humano guardan relación con la sección áurea. Algunos expertos creen que la gran pintura inacabada de Leonardo, San Jerónimo, que muestra a este santo con un león a sus pies, fue pintada ex profeso de forma que un rectángulo con estas proporciones encajase perfectamente alrededor de la figura central. También el rostro de la Mona Lisa encierra un “rectángulo dorado” perfecto. Obviamente, Leonardo no fue el único en utilizar esta proporción en su obra. Miguel Ángel, por ejemplo, hizo uso del número áureo en la impresionante escultura El David, desde la posición del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos.

El Hombre de Vitruvio, de Leonardo Da Vinci.

La arquitectura no es ajena a este valor matemático. La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón de Atenas, por ejemplo, también se relacionan mediante el número áureo. Muchos productos de consumo masivo se diseñan siguiendo esta relación, ya que resultan más agradables o cómodos. Las tarjetas de crédito o las cajas de cigarrillos poseen dimensiones que mantienen esta proporción. El número áureo puede encontrarse por todas partes, y a menudo ni siquiera somos consientes de que está allí. Pero en general, cuando algo nos resulta atractivo, esconde entre sus partes esta relación. ¿No es asombroso?

Fuente:

Neo Teo

Las matemáticas y la Naturaleza (el video)

Lunes, 29 de marzo de 2010

Las matemáticas y la Naturaleza (el video)

A todos nos han dicho alguna vez que la naturaleza está llena de números, que las matemáticas están en todas partes y forman parte del mundo natural. Yo, como soy de letras de nacimiento, no lo había entendido bien hasta ver este vídeo.

Desde luego ya no volveré a ver un girasol de la misma manera…

Véase también ¿Cómo sería nuestro planeta con anillos?, Aprende matemáticas de la mejor forma


Tomado:

No lo puedo creer (Noticias)

Lea en los archivos de Conocer Ciencia:

Resuelven un milenario problema matemático

Puede contar nuestro ADN

Fibonacci, las matemáticas y la naturaleza

Fibonacci, las matemáticas y la naturaleza

Lunes, 22 de marzo de 2010

Fibonacci, las matemáticas y la naturaleza

Hoy me gustaría comentar la íntima relación que existe entre las diversas formas de todo lo que podemos encontrar en la naturaleza y los números. Las formas elípticas de los brazos espirales de una galaxia se pueden definir por las mismas ecuaciones que describen las formas de los huracanes, o la disposición de las semillas en una flor de girasol, o la distribución de las ramas y hojas en un árbol. Al universo le gusta la simplicidad...

Leonardo de Pisa (también conocido como Fibonacci), fue un matemático italiano del siglo XIII, y describió la siguiente sucesión de números: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... donde cada número es la suma de los dos anteriores (esta sucesión de números es conocida como la sucesión de Fibonacci). Al representar gráficamente esta sucesión, la curva resultante tiene la misma forma de los brazos espirales de un huracán, la forma de la concha de un nautilus, o una galaxia.

Representación gráfica de la sucesión de Fibonacci

Formas iguales en un huracán (Isabel, 2003) y una galaxia (M51)

La relación de tamaños de nuestras falanges también siguen la sucesión de Fibonacci

Les recomiendo que vean el siguiente vídeo, es de lo mejorcito que he encontrado en la red en mucho tiempo (gracias a Víctor R. Ruiz). El autor, Cristóbal Vila, nos explica de una manera elegante cómo la sucesión de Fibonacci y el número phi (también conocido como la proporción áurea) están presentes en la naturaleza. También podemos ver la triangulación de Delaunay y el diagrama de Voronoi. Espero que lo disfruten tanto como yo.

Nature by Numbers from Cristóbal Vila.

Fuente:

Pirulo Cósmico

¿Puede contar nuestro ADN?

Martes, 16 de marzo de 2010

¿Puede contar nuestro ADN?

Por Simone Giannerini



Un pulpo puede contar; algunas aves pueden contar; nosotros podemos contar; ¿pero es posible que nuestro ADN también pueda contar? ¿Puede estar relacionada esa capacidad con el origen de la vida en la tierra? Los estudios que he llevado a cabo recientemente con Diego L. González (Instituto de Microelectrónica y Microsistemas, Consejo Nacional Italiano de Investigaciones) y Rodolfo Rosa (Departamento de Estadística, Universidad de Bolonia) muestran que esta pregunta, aparentemente inocente, puede provocar un avance significativo en nuestro conocimiento de cómo la vida administra la información genética.

Para explicarlo brevemente, esa labor consiste fundamentalmente en tres pasos: 1) replicación: la molécula de ADN (en la que se almacena toda nuestra información genética, como el disco duro de un ordenador) se duplica justo antes de la división celular; 2) transcripción: se copia una hebra de la doble hélice de ADN para formar ARN, con una sola hebra; 3) traducción: el ARNm (ARN mensajero) se traduce a proteínas. Este último paso se lleva a cabo utilizando la tabla de traducción conocida como código genético. De esta forma, cada codón, un trozo de ARN formado por tres bases consecutivas, se traduce a uno de los 20 aminoácidos que constituyen los componentes de las proteínas. Hay cuatro bases de ese tipo en el ARN: uracilo, citosina, adenina y guanina (U, C, A, G).

Al llegar aquí, podemos dar una primera respuesta a nuestra pregunta. La replicación del ADN se ejecuta base a base. Además, en la fase de transcripción, cuando se produce un error, la maquinaria se detiene y retrocede cinco bases. Y la traducción a proteínas implica contar las bases exactamente en múltiplos de tres. Por tanto, esta compleja maquinaria genética exige una capacidad de contar intrínseca. Asimismo, como muestran los estudios, el código genético también está muy unido al hecho de contar. De hecho, contar constituye la base de los sistemas de numeración y, por consiguiente, de las matemáticas. Para representar números enteros, los sistemas de numeración habituales adoptan las potencias de una base, como 10 en nuestro sitema decimal normal o 2 en el sistema binario que utilizan principalmente los ordenadores. Pero estos sistemas de numeración son unívocos, es decir, cada número entero no tiene más que una representación. Por el contrario, el código genético es redundante (no unívoco). En concreto, un aminoácido específico puede representarse mediante más de un codón y, por tanto, los sistemas de numeración habituales tienen escasa importancia para estudiar el código genético.

Por suerte, existen sistemas de numeración que no son unívocos. Un ejemplo destacado es el sistema de numeración de Fibonacci. En el sistema de Fibonacci, las potencias de dos del sistema binario (1, 2, 4, 8, 16, ...), se sustituyen por los conocidos números de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...). El sorprendente resultado es que una modificación del sistema de Fibonacci nos permite describir con términos matemáticos el código genético, incluidas muchas de sus simetrías. Dicha descripción revela la existencia de un lenguaje oculto basado en la redundancia e insertado en las secuencias de ADN.

Estas conclusiones teóricas se confirman con los métodos estadísticos avanzados aplicados a los datos reales. En sentido metafórico, es como si la vida utilizara sistemas de numeración redundante para contar. ¿Pero cuál sería la ventaja biológica de esa capacidad aritmética? Los estudios sugieren que a partir de aquí sería posible implantar un método de detección y corrección de errores. De hecho, el principal problema a la hora de gestionar la información binaria es el de evitar la propagación de errores que inevitablemente se producen en los canales de transmisión. Por ejemplo, cuando reproducimos un CD, se activan técnicas de detección y corrección para remediar errores que en caso contrario degradarían la información grabada. Para ello, se hace redundante la información binaria contenida en el CD y se codifica de tal forma que, al descodificarla, los errores sean los mínimos.

Las investigaciones realizadas indican que la integridad de la información genética se protege mediante mecanismos análogos. La Teoría de la Información demuestra que, sin ellos, sería imposible encontrar en los organismos actuales genes antiguos que se originaron hace miles de millones de años en las primeras formas de vida.

Comprender cómo se organiza y se procesa la información genética puede contribuir enormemente al desarrollo de técnicas como las terapias genéticas para enfermedades graves y la creación de organismos transgénicos seguros y plenamente controlables. La principal dificultad para alcanzar estos objetivos está relacionada con nuestra ignorancia relativa sobre el verdadero lenguaje en el que está escrito el libro de la vida. No podemos corregir ni modificar un libro de filosofía en chino si sólo sabemos de filosofía; necesitamos conocer el significado de los ideogramas chinos. Estos estudios ayudan a comprender la estructura de la información genética desde una nueva perspectiva y suscitan interrogantes fundamentales sobre el problema candente del origen y la evolución de la vida.

Simone Giannerini es de la Universidad de Bolonia, institución miembro de la plataforma para promover el talento y difundir las ideas más innovadoras Atomium Culture

Fuente:

El País (España)