Fibonacci, las abejas y las tarjetas de crédito

Gran parte de vosotros habréis oído que la sucesión de Fibonacci y el número áureo aparecen en muchos ámbitos de nuestra vida. Y seguro que muchos conocéis algunos casos en los que esto ocurre. Para vosotros, y sobre todo para quienes no sabían nada de esto, vamos a ver en este artículo un par de ejemplos.

El número áureo y las tarjetas de crédito

Todas las tarjetas que tenéis en la cartera, ya sea el DNI, la tarjeta de crédito o el carné de cualquier club o asociación, están asociadas al número áureo, que recuerdo que es:

$\phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Hasta los folios que usáis cada día lo están. ¿Cuál es esa relación? Vamos a hacer un sencillo experimento con el que vamos a conseguir que este enigmático número $\phi$ salga a la luz.

Todas las tarjetas que usamos habitualmente, los folios y muchas más cosas de nuestra vida cotidiana están construidas como un rectángulo áureo, que es un rectángulo en el que se cumple que la proporción entre su lado mayor y su lado menor (el cociente de sus longitudes) es el número áureo. Para comprobar si un cierto rectángulo es un rectángulo áureo vemos si se cumple lo siguiente:

Un rectángulo cualquiera es un rectángulo áureo si al quitarle el mayor cuadrado posible se obtiene un rectángulo con la misma proporción entre su lado mayor y su lado menor que el inicial.

Vamos a verlo gráficamente para que se entienda mejor. Tomemos un rectángulo como el de la figura siguiente. Para simplificar tomamos un lado con longitud 1, mientras que el otro tiene longitud $x$ :

Rectángulo áureo

Este rectángulo será un rectángulo áureo si la proporción entre su lado mayor y su lado menor es igual a la proporción del rectángulo que queda al quitar el mayor cuadrado posible (en este caso un cuadrado de lado 1). A partir de los datos de la figura, la proporción entre los lados del rectángulo mayor es $\textstyle{\frac{x}{1}}$ (es decir, $x$ ) y la del rectángulo menor es $\textstyle{\frac{1}{x-1}}$ . Veamos qué ocurre si imponemos que el rectángulo inicial sea un rectángulo áureo (es decir, que las proporciones sean iguales):

$\cfrac{x}{1}=\cfrac{1}{x-1} \rightarrow x^2-x=1 \rightarrow x^2-x-1=0$

Resolviendo esta ecuación obtenemos dos soluciones. Desechando la negativa, nos queda que

$x=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Es decir, la proporción entre el lado mayor y el lado menor del rectángulo inicial es el número áureo.

Bien, podríamos plantearnos ahora la siguiente pregunta: ¿cómo construir un rectángulo áureo? Muy sencillo. Partimos de un cuadrado $ABCD$ cualquiera. Tomamos un lado, $AB$ por ejemplo, y calculamos su punto medio, $E$ . Unimos ahora este punto $E$ con uno de los vértices del lado opuesto, por ejemplo con $C$ . Y ahora trazamos el arco de circunferencia con centro en $E$ y radio $EC$ y calculamos el punto donde este arco corta a la recta a la que pertenece el segmento $AB$ . Llamemos $G$ a este punto. Dibujamos ahora la recta a la que pertenece el lado $CD$ y después la recta perpendicular a ésta que pasa por $G$ . Estas dos rectas se cortan en un punto, que llamamos $H$ . Hecho todo esto, el rectángulo $AGHD$ es un rectángulo áureo. En la siguiente imagen podéis ver mejor esta construcción:

Construcción de un rectángulo áureo

La sucesión de Fibonacci y las abejas

Vamos a hablar de abejas y matemática, como ya hicimos en esta otra ocasión. En este caso vamos a comentar este post de John D. Cook.

Las abejas macho nacen de un huevo no fecundado y las abejas hembra nacen de uno que sí está fecundado. Es decir, las abejas macho tienen únicamente una madre y las abejas hembra tienen una madre y un padre.

Dicho esto tomemos una abeja macho Sea entonces $B(n)$ el número de antepasados suyos en el nivel $n$ de su árbol genealógico, contándola a ella.

El primer nivel lo forma esta abeja macho solamente, por lo que $B(1)=1$ . Al ser una abeja macho, en el siguiente nivel (el segundo) sólo hay una hembra (su madre), por lo que $B(2)=1$ . Ahora, por ser ésta una hembra, en el nivel justamente anterior hay un macho y una hembra (su padre y su madre), razón por la que $B(3)=2$ . ¿Se va viendo el tema?

Vamos a un nivel $n$ cualquiera y tomemos ahí una de las abejas que lo forman. Pueden darse dos situaciones:

Que la abeja escogida sea macho. Entonces de ella tenemos un antecesor (su madre) en el nivel $n+1$ y después tendremos dos más (el padre y la madre de esta última abeja) en el nivel $n+2$ .
Que la abeja tomada sea hembra. Respecto a esta abeja tendremos dos antepasados suyos en el nivel $n+1$ (su padre y su madre), y en el nivel $n+2$ tendremos tres más (la madre de ese padre y el padre y la madre de esa madre).