¿Cómo meter una barra de 1 km de longitud en un cubo de 1 cm de arista?

Con esta pregunta empecé una clase de inglés para profesores que organiza mi universidad y en la que cada alumno debe exponer un tema cada día. Mis compañeros de clase, un físico, un ingeniero de telecomunicaciones y una ingeniero de minas, me dieron como primera respuesta la de que es imposible. Pero sabedores de que los matemáticos somos los “magos de la ciencia”, pensaron que habría algún truco y me bombardearon con cuestiones como las siguientes:

• ¿Qué anchura tiene la barra? Ninguna –respondí- es una barra matemática, ideal.
• ¿Se puede doblar? Tampoco. Es una barra firme, un segmento.

Se centraron en saber qué se entiende por barra. En saber qué definición manejaba yo de barra, pero no pusieron en duda el concepto de cubo. Y ahí es donde está el truco.


Un cubo en dimensión tres es el conjunto de puntos cuyas coordenadas (x,y,z) están todas entre 0 y 1. Dicho con lenguaje cartesiano, un cubo es el producto del segmento unidad en cada uno de los tres ejes. Un cubo en dimensión dos se llama cuadrado. Un cubo en dimensión uno es el segmento unidad. Un cubo en el espacio de dimensión n se define de la misma manera y es lo que a veces se denomina hipercubo, para indicar que estamos en dimensión mayor que tres. (El cubo en dimensión infinita es el cubo de Hilbert, pero eso ya es otra historia).

¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado? Si la arista mide uno la diagonal mide , como nos enseñó Pitágoras. ¿Y la del cubo? Basta tomar el triángulo rectángulo determinado por una diagonal de una de sus caras cuadradas y una de las aristas perpendicular a dicha cara, y volver a aplicar el Teorema de Pitágoras: .

Repitiendo el argumento cada vez que aumentamos la dimensión resulta que el cubo del espacio de dimensión n tiene una diagonal que mide $latex\sqrt{n}$. Así que para contestar la pregunta inicial basta que la dimensión en que estemos sea suficientemente grande: en el cubo del espacio de dimensión , la diagonal del cubo de 1 cm de arista mide cm =1km.

(Quien quiera leer algo más sobre el conflicto mental que supuso la incomnesurabilidad de lado y diagonal del cuadrado, que lea La raíz de la muerte de Hipaso.)

Este ejemplo de los cubos nos enseña que las dimensiones superiores son difíciles de imaginar. Si tenemos el cubo de arista 1 cm en el espacio , resultan los siguientes valores:

El diámetro del cubo (esto es, la mayor distancia entre dos puntos del cubo) va creciendo mientras que el volumen del cubo permanece constante. Todo lo contrario que lo que ocurría con las esferas, como se vio en la entrada ¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión n?. Para las esferas de cualquier dimensión y radio uno el diámetro es constante (vale dos) mientras que el volumen decrece cuando aumenta la dimensión.

¿Cómo podemos ver el cubo de dimensión cuatro?

Pensemos en una dimensión menos. ¿Cómo vemos el cubo ordinario en el plano? De dos maneras esencialmente: desarrollándolo y dibujándolo en perspectiva. Desarrollarlo es dibujar en el plano los seis cuadrados, que luego se unen entre sí, gracias a que existe la tercera dimensión. En el dibujo de la derecha vemos una perspectiva del cubo como se ve al mirarlo a través de una de sus caras.


Las seis caras del cubo de la derecha son el cuadrado de dentro, el de fuera, y los cuatro cuadrados (que se ven en perspectiva como trapecios), que tienen una arista en común con el cuadrado de dentro y otra con el de fuera. Una y otra imagen del cubo están relacionadas: si partimos de la vista en perspectiva y queremos hacer el desarrollo, basta considerar que el cuadrado de dentro tiene pegado un cuadrado en cada uno de sus lados, y que el de fuera lo podemos poner como pegado a uno de ellos. Así tenemos el desarrollo plano de la figura izquierda.

Del mismo modo se puede realizar con el hipercubo. En el “Christus hypercubus” de Dalí

la cruz está formada por ocho cubos, que forman el desarrollo en el espacio tridimensional del hipercubo. Pegándolos entre sí, gracias a la cuarta dimensión, se forma el hipercubo, como en la imagen inferior tomada de aquí

La vista en perspectiva similar a la que antes hemos dado del cubo:

El Monumento a la Constitución de Madrid o la “Grande Arche de la Défense” de París, que aparece en la siguiente imagen

son ejemplos de hipercubos vistos en esta perspectiva. Las ocho caras tridimensionales del hipercubo son el cubo de dentro, el de fuera y los seis cubos (que se ven en perspectiva como pirámides truncadas) que comparten con el cubo de dentro una cara bidimensional y otra con el de fuera. Es lo análogo a lo que ocurre en la representación plana de un cubo tridimensional, donde los trapecios que aparecen son triángulos truncados de vértice en el centro de la figura.

Se pasa de la imagen en perspectiva del hipercubo a su desarrollo como la cruz de Dalí del mismo modo como hicimos en el caso del cubo tridimensional: partiendo de la perspectiva del hipercubo, tomamos el cubo central, que tiene seis cubos adosados, uno en cada una de sus caras, y el cubo de fuera lo pegamos a uno de ellos.

Pero fíjate, lector, que aún hemos dado un salto más: el arco de París está construido en tres dimensiones, pero la foto que hemos puesto es una imagen plana. Así que de golpe hemos bajado dos dimensiones, del hipercubo de cuatro a su imagen plana de dos.

Moraleja: si las esferas y los cubos de son tan sorprendentes creo que los profesores deberíamos señalarlo y no dejar que los estudiantes se confíen en que lo que pasa en dimensión dos o tres se generaliza sin dificultad a cualquier dimensión. Más aún, creo que los profesores deberíamos conocer esto, cosa de la que no estoy muy seguro que ocurra. Y sería bueno que estudiantes y profesores hubieran leído la novela de Edwin Abbot “Planilandia”, escrita en 1884, que enseña a pensar en otras dimensiones. La historia se desarrolla en un mundo plano, y todo lo que tenga que ver con la “tercera dimensión” es para ellos extraño y misterioso.

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Referencia: Fernando Etayo: “La Geometría de las Esferas” Un paseo por la geometría. Pub. Dept. Matemáticas, UPV-EHU, 65-80, (2004). Accesible en internet en este enlace.

Fuente:

Gaussianos

Congo, el chimpancé que se codeaba con Dalí y Picasso

A mediados del siglo XX el biólogo Julian Huxley había notado que a ciertos gorilas les llamaba la atención el reflejo de sus sombras sobre la pared. De hecho, hizo anotaciones sobre uno en especial, que se quedó mirando fijamente su silueta y comenzó a delinear imaginariamente su silueta con los dedos.

Cuando Huxley trató de reproducir la experiencia bajo métodos controlados de laboratorio, les proyectó a propósito sombras con una lámpara, pero jamás volvió a captar la atención de los simios. Ya ninguno mostró interés particular en las sombras. A pesar de la decepción, Huxley propuso que el origen del arte gráfico humano pudo haber comenzado con este tipo de experiencias, trazando las sombras proyectadas por el sol, sombras que entraban a las cuevas de nuestros antepasados.

Julian Huxley

En el siglo pasado hubo muchos investigadores y científicos que se preguntaron si el arte pictórico era algo adquirido o innato en los seres humanos, y creyeron que la mejor forma de saberlo, era dándoles crayones y papeles en blanco a gorilas en cautiverio. Algunos de estos científicos hicieron sus estudios independientemente.

Entre los investigadores interesados en el tema, se encontraba el etólogo Desmond Morris, que con sus experimentos comprobó que los gorilas tienen un cierto sentido de la composición, ya que dibujaban círculos y trazaban distintas figuras en el papel. El problema es que sólo lo hacían cuando recibían una recompensa, y pronto dejaron de tener interés en el arte. Los dibujos empeoraron de a poco y ya no mostraban la sincronía de los anteriores.

Fue en 1956 cuando el mismo Morris decidió enseñar a dibujar a un nuevo chimpancé, pero esta vez, sin gratificaciones ni estímulos. Su nombre era "Congo" y tenía dos años de edad.

Desmond Morris y Congo

Los resultados fueron muy interesantes y los recogió en su ensayo La biología del arte, donde cuenta las experiencias con el simio.

Al inicio, para dibujar o pintar, Congo utilizaba indistintamente ambas manos. Empezó agarrando la herramienta (brocha o pincel) con cuatro dedos, pero con la práctica aprendió a sujetarla entre el dedo pulgar y el índice sin que nadie se lo enseñara. Con este cambio adquirió mayor control sobre sus herramientas y se produjo un avance en la variedad caligráfica de sus dibujos.

La capacidad de concentración de Congo variaba. El científico se dio cuenta que mientras más concentraba el chimpancé, su movimiento corporal se reducía al del brazo y se inclinaba mucho sobre el papel, produciendo ligeros sonidos guturales mientras trabajaba.

Congo con el tiempo aprendió a utilizar el pulgar y el índice para tomar el pincel

Las sesiones se llevaron a cabo con el chimpancé sentado en una silla para niños con una bandeja especial, sobre la cual se colocaba el papel, controlando así la orientación del dibujo.

Cuando utilizaban pintura, el mismo investigador le mojaba los pinceles con los distintos colores y se los pasaba uno a la vez. Morris adoptó este método, porque a Congo algunas veces le daban sus pataletas y se ponía a mezclar todos los colores hasta terminar con un sola mescolanza.

El científico también utilizó las mismas pruebas que otro investigador -Paul Schiller- había empleado con otra chimpancé diez años antes. Le acercaba a Congo hojas en blanco y otras previamente marcadas con alguna forma geométrica. Al final del estudio se llegó a las siguientes conclusiones:

1. - Congo mostraba simetría en sus composiciones y limitaba el dibujo a la superficie de la hoja y era capaz de reconocer las esquinas.
2. - En las hojas en blanco concentraba el dibujo en el centro y tenía tendencia a pintar líneas radiales, tipo abanico, un tema que repetía con mucha frecuencia.
3. - En hojas previamente marcadas con una sola figura dibujaba o marcaba adentro si era grande, encima si era mediana, y la ignoraba si era pequeña. Curiosamente marcaba en el lado opuesto si la figura no venía centrada.
4. - En hojas previamente marcadas con múltiples figuras, rayaba sobre cada una de ellas suavemente, y otras veces las juntaba mediante líneas.

Tendencia de Congo a pintar líneas radiales, tipo abanico, centradas

Los experimentos que se habían hecho con otros primates dieron resultados similares, pero también se notaba que había idiosincrasias individuales o, tal vez, de especie. Por ejemplo, la gorila adulta Sophia, del Zoo de Rótterdam, no marcaba esquinas ni dibujaba abanicos, sino que sus dibujos se formaban a base de garabatos zigzagueantes inconfundibles. Bien podríamos decir que tenía su propio estilo.

Garabatos de gorila Sophia

Desmond Morris cuenta también que una vez le quitó a Congo sus papeles y pinturas cuando estaba dibujando algo similar a un ventilador. Más tarde, cuando se lo devolvió, él retomó su trabajo en el mismo punto en que lo había dejado, mostrando así que tenía un objetivo y que no eran simples manchones

Desmond Morris y Congo

A la edad de cuatro años, Congo ya había realizado algunos cientos de obras y Morris mostró algunas de ellas en el programa de televisión Zoo Time que tenía por aquella época en la cadena británica ITV. Rápidamente los críticos de arte encasillaron su estilo como “lírico abstracto impresionista”. Las reacciones ante tales obras fueron desde el escepticismo hasta la admiración absoluta.

Tanta era la novedad por los cuadros de Congo, que el mismo Pablo Picasso tenía un cuadro del chimpancé colgado en una pared de su casa en París, que le fue obsequiado por Morris en los años sesenta. Joan Miró cambió dos de sus bocetos por uno de Congo (en una muy curiosa anécdota) y el polémico Salvador Dalí, declaró en una ocasión que Congo era el verdadero humano, mientras que el pintor abstracto Jackson Pollock era un animal.

Joan Miró el día que cambió dos bocetos suyos (con Morris) por un cuadro de Congo

En el año 2005, la casa de arte Bonham esperaba que tres cuadros pintados por Congo en 1957, alcanzaran a venderse en unas £800 (US$ 1,300), pero se sorprendieron al ver que durante el remate el precio alcanzó las £16,000 (US$ 26,000) después de una prolongada puja de ofertas en su local de Londres. En aquella subasta también se ofrecieron obras de Renoir y Warhol que no se vendieron.

El comprador de las obras de Congo fue Howard Hong, un californiano que luego del remate declaró que había estado dispuesto a pagar hasta el doble. Declaró también que en un momento se preocupó de que superaran su oferta, por lo que se había puesto en contacto con algunos amigos para recaudar hasta US$ 50,000 en caso de haber sido necesario.

"Muchas personas me han dicho que hubiese sido más barato comprar un chimpancé y ponerlo dentro de una habitación con un poco de papel y pintura. Pero a nivel artístico, cuando vi las pinturas me llamaron la atención. Su estilo es parecido a las primeras obras de Kandinsky. Lo único que lamento, es que Congo no aprendió a firmar sus obras".

Cuadro de Congo

Howard Rutkowski, experto en arte impresionista y moderno, dijo en una ocasión que Congo debería ser reconocido como el artista más célebre del reino animal. "No se trata de cualquier chimpancé. Estamos hablando de Congo", dijo. "Si tu eras dueño de Congo, podías codearte con amistades como Picasso y Miró. Desmond Morris intercambiaba pinturas de Congo con las de esos artistas. Quizá el cuadro de Congo que adquirió Miró, tenga más valor que el Miró que adquirió Desmond Morris".

Respecto a esto, Morris decía que Congo era raro porque era el único pintor no humano, que se ocupaba más de su arte. Mientras otros animales quizá pintaban por accidente, Congo siempre demostró que su obra nunca fue por accidente ni suerte. De hecho, si tratabas de interrumpirlo mientras pintaba, hacía una rabieta. Si tratabas de que continúe pintando sobre una obra después de que el chimpancé la dejaba o consideraba “terminada”, simplemente no lo hacía. "Yo le ofrecía pinceles, brochas, pero él sólo me miraba".

Cuadro de Congo

Puede ser que el arte de los simios no arroje luz sobre los orígenes del arte y que resulte ser tan solo una práctica lúdica, pero fijémonos en algo: a lo largo de la carrera artística de Congo, y de algún otro simio, se notaba la posible existencia de un motif. En el caso de Congo ocurrió una vez cuando dibujaba un abanico. En lugar de realizarlo de arriba hacia abajo, como era su costumbre, con gran concentración lo pintó de abajo a arriba. Puede que tuviera en mente el "motif" del abanico y estaba introduciendo una innovación. Es posible que a través de la repetición de una forma, pueda crearse una representación mental de la misma. Parece ser que Congo “sabía” lo que pintaba, que tenía un objetivo.

Fuentes y referencias:
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Tomado de:

Sentado frente al Mundo

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