Un sistema binario inventado en Polinesia siglos antes de Leibniz

Los nativos de Mangareva desarrollaron este método para contar pescados, frutas, cocos, pulpos y otros bienes de diferente valor.

El genial matemático Gottfried Leibniz (1646-1716) no fue el primero en inventar el sistema binario que ahora utilizan nuestros ordenadores y teléfonos. Los nativos de Mangareva, una pequeña isla polinésica, se le adelantaron en varios siglos. Los mangareveños no tenían la menor intención de inventar la computación digital, pero se dieron cuenta de que el sistema decimal —como el nuestro— que habían heredado de sus ancestros resultaba demasiado engorroso para hacer los cálculos en el mercado, y le superpusieron un sistema binario que facilita mucho las operaciones aritméticas más comunes. También Leibniz arguyó que su sistema binario servía para simplificar las cuentas, aunque nadie le hizo mucho caso.

No se trata del primer sistema binario conocido de la era preLeibniz –los mismos hexagramas del I-Ching que inspiraron al gran matemático alemán constituyen un sistema binario y tienen casi 3.000 años—, pero Andrea Bender y Sieghard Beller, del departamento de ciencia psicosocial de la Universidad de Bergen, en Noruega, muestran ahora cómo los habitantes de Mangareva no solo inventaron el sistema para contar pescados, frutas, cocos, pulpos y otros bienes de diferente valor en sus transacciones comerciales, sino también cómo esto les condujo a una aritmética binaria que habría merecido la aprobación de Leibniz por su sencillez y naturalidad. Los autores creen que su trabajo revela que el cerebro humano está innatamente capacitado para las matemáticas avanzadas. Publican los resultados en PNAS.

Entender el hallazgo requiere un somero repaso del álgebra elemental. El sistema decimal al que estamos habituados, y que es el más común en todo tipo de culturas humanas por basarse en los diez dedos de las manos, lleva implícitas las potencias de diez en la posición de las cifras: en el número 3.725, se entiende que el 5 va multiplicado por 1 (10 elevado a 0); el 2 va multiplicado por 10 (10 elevado a 1); el 7 va multiplicado por 100 (10 elevado a 2); y el 3 va multiplicado por 1.000 (10 elevado a 3).

En un sistema binario solo hay dos símbolos (convencionalmente 0 y 1, pero también pueden ser dos estados de magnetización, como en los ordenadores), y las potencias implícitas por la posición no son las de 10, sino las de 2. Por ejemplo, en el número binario 111, se entiende que el último 1 va multiplicado por 1 (2 elevado a 0), el segundo por 2 (2 elevado a 1) y el primero por 4 (2 elevado a 2); equivale al siete del sistema decimal.

Bender y Beller no han descubierto nada parecido a un pergamino polinesio densamente cubierto de ceros y unos, ni mucho menos una cinta perforada. Lo que han hecho es analizar el lenguaje de Mangareva —uno de los cientos de idiomas de la familia austronesia habladas en las islas del Pacífico— en el contexto de su modo tradicional de vida y las características de sus bienes más preciados de consumo y sus transacciones comerciales, ofrendas, fiestas y demás. Esta forma de vida está en acelerado proceso de extinción, y con ella el sistema aritmético y la propia lengua de los mangareveños, de la que solo quedan ahora unos 600 hablantes en la isla.

Una evidencia del uso de las potencias de 2 —es decir, del sistema binario— en el comercio tradicional de Mangareva son los valores (o taugas) asociados a los bienes más valorados en la isla: tortugas (1 tauga), pescado (2), cocos (4) y pulpo (8). Otro producto valioso es el fruto del árbol del pan (Artocarpus altilis), llamado en inglés breadfruit (fruto del pan). Los frutos del pan de segunda fila valían lo que un coco (4), pero los mejores igualaban al pulpo (8). Recuerden que 1, 2, 4, 8, … son las potencias de 2.

Otro ángulo por el que asoman esas mismas potencias, aunque más indirecto —y combinado con el sistema decimal al que los mangareveños nunca renunciaron del todo— son las palabras (numerales) de uso más común en el rango de las decenas: takau (10), paua (20), tataua (40) y varu (80). Vuelven a aparecer las potencias de dos (1, 2, 4, 8), aunque esta vez multiplicadas por 10, para cubrir otro abanico de tamaños. Las demás decenas no son palabras nuevas, sino combinaciones gramaticales de las anteriores.

La ventaja de este sistema es que facilita mucho las opèraciones aritméticas fundamentales. Mientras que en el sistema decimal sumar de cabeza (sin contar) requiere memorizar más de 50 cancioncillas (como 4+7=11), en el sistema de Mangareva basta con saber que varu es el doble de tataua, que a su vez es el doble de paua, que a su vez es el doble de takau. Lo demás emerge de un modo muy natural y fácil de utilizar.

Con otras palabras, se trata esencialmente del mismo argumento que utilizó el gran Leibniz. Los demás seguimos contando con los dedos.

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El País Sociedad

Algebra de Boole: Matemáticas del siglo XIX sin las que no funcionaría internet

Estamos inmersos en plena era digital, donde los aparatos electrónicos que funcionan, básicamente, a base de recoger ceros y unos, y tratarlos de forma lógica, haciendo cosas que hasta ahora solo eran posibles en los libros de ciencia ficción. Pero como para casi todo en ciencia, hay una base matemática: El álgebra de Boole.

Historia

George Boole, (2 de noviembre de 1815 - 8 de diciembre de 1864), fué  primer profesor de matemáticas del entonces Queen's College, Cork en Irlanda (en la actualidad la Universidad de Cork , en la biblioteca, lectura de metro complejo teatral y el Centro de Boole para la Investigación en Informática se nombran en su honor) en 1849. Pero fué antes, en 1847 cuando escribió un pequeño folleto llamado "The Mathematical Analysis of Logic" , que completo con otro libro " The Laws of Thought" publicado en 1854.

Pero esto quedó en poco más que una curiosidad matemática, hasta 1948, cuando Claude Shannon la utilizó para diseñar circuitos de conmutación eléctrica biestables, aunque ya el propio Alan Touring había utilizado este mismo álgebra de forma teórica, en su diseño de la máquina de Turing (1936). Y con ello, comenzó la era de la computación digital.

Bases

Basada en la teoría de conjuntos (Teoría de Conjuntos - Matemática Aplicada a la Ingeniería), el álgebra de Boole sirve para manejar operaciones lógicas en sistemas de numeración binarios, es decir, basados en ceros y unos. De esta manera se nos permite realizar operaciones matemáticas, como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones u operaciones lógicas, como "no algo" ó "esto y lo otro", o "si y solamente si...", tal y como esperaríamos en cualquier sistema de lógica aristotélica. Esto nos permite utilizar tablas de decisión y diagrámas de flujo de datos en los circuitos lógicos.

Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

• Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
• Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.
• Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
• Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
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• Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.
• Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores:

• - Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero.
• - El símbolo ·  representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·,  por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.
• - El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B.
• - El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.
• - Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.
• Utilizaremos además los siguientes postulados:
• P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT
• P2 El elemento de identidad con respecto a ·  es uno y con respecto a +  es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT
• P3 Los operadores ·   y + son conmutativos.
• P4 ·   y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C).
• P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A.
• P6 ·   y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).

(Fuente - http://www.monografias.com/trabajos14/algebra-booleana/algebra-booleana.shtml)

Porqué el álgebra de Boole

Obviamente, la respuesta es bastante sencilla. Todas las máquinas digitales funcionan con electricidad, a partir de diferencias de voltaje. Así que a cierto rango de voltaje le asignamos un cero y a otro le asignamos un uno (ceros y unos). De esta manera, gracias al álgebra de boole, podemos operar con estas diferencias de voltaje.
 

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Enamorado de la Ciencia

La invención del bit: la partícula fundamental de la información

Quién diría que una idea tan simple supondría una revolución de implicaciones aún en constante desarrollo. Quién diría que un planteamiento tan maniqueo como sí o no, blanco o negro, verdad o mentira acabaría siendo el fundamento de la comunicación del futuro. Así es el átomo de la información. El bit.

En 1948, Bell Laboratories anunció la creación del bit, una unidad para medir la información. Su inventor tenía 32 años y se llamaba Claude Shannon, un tipo de biografía fascinante que algún día espero explicaros en profundidad. La idea de Shannon era contrauitiva y revolucionaria: según él, los mensajes no siempre tienen sentido, y que lo tengan o no son “aspectos semánticos de la comunicación… irrelevantes para el problema de ingeniería”.

Gracias a Shannon, pues, el bit (acrónimo que significa “dígito binario“) es la unidad más pequeña posible de información en la informática digital. En informática la menor unidad indivisible posible es un simple pulso eléctrico, que puede representar un 1 o un 0. Mientras que en el sistema de numeración decimal se usan diez dígitos, en el binario se usan sólo dos dígitos. Todos los datos que se almacenan en un ordenador está compuesta de números binarios. El origen del término “dígito binario” se atribuye a John Tukey, un científico que trabajaba en los Laboratorios Bell, y los usó por primera vez en 1947.


El bit es una partícula fundamental de una especie diversa: no sólo es diminuto, sino también abstracto: un dígito binario. Tendiendo puentes entre la física del siglo XX y la del siglo XXI, John Archibald Wheeler, el último colaborador que quedaba de Einstein y Bohr (falleció en 2008), dijo “It from Bit”, es decir, que de los bits, de la información, “sale cada “eso”, cada partícula, cada campo de fuerza” que pueda existir en el mundo.

A fin de cuentas, la información (y en consecuencia el conocimiento) sólo consiste en una selección entre varias alternativas posibles. Tal y como explicaba George Miller:

Un bit de información es la cantidad de información que necesitamos para tomar una decisión entre dos alternativas con el mismo grado de probabilidad. Si tenemos que decidir si un hombre mide menos de un ochenta o más de uno ochenta y si sabemos que las probabilidades son 50-50, necesitamos un bit de información (…) Dos bits de información nos permiten decidir entre cuatro alternativas con el mismo grado de probabilidad. Tres bits de información nos permiten decidir entre ocho alternativas con el mismo grado de probabilidad. (…) si hay 32 alternativas con el mismo grado de probabilidad, debemos tomar 5 decisiones binarias sucesivas, cada una de ellas de un bit, antes de saber qué alternativa es la correcta.

En otras palabras: cada vez que el número de alternativas se incrementa en un factor dos, se añade un bit de información. El número 255 en binario, por ejemplo, es 11111111.

En la película Tron, un bit está representado por una forma poliédrica de color blanco que es un compuesto de dodecaedro e icosaedro. Solo puede decir “sí” (Encendido) y “no” (apagado).

No debemos confundir bits con bytes. Si los bits son la menor unidad “física” de información, los bytes son la menor unidad “lógica” de información, equivalente a un carácter (letra o símbolo). Un bit no tiene un significado práctico mientras que un byte, sí, ya que se trata de un carácter, letra o símbolo. Un byte está formado por 8 bits o pulsos eléctricos. Por lo tanto, en informática se toma como unidad de medida de capacidad de almacenamiento de dispositivos como el disco duro o memoria, la cantidad de caracteres de texto que se pueden almacenar en los mismos. Así un disco duro con capacidad de almacenamiento de 500 gigabytes puede almacenar hasta 500.000.000.000 (500.000 millones) de caracteres o bytes.

Pero por qué un bit son ocho bytes. La decisión fue arbitraria, pero hay una serie de motivos que empujaron a la misma, tal y como exponen Yobioit:

* La razón principal es que a partir de la década de los años 1970s los 8-bits se convirtieron en el menor común denominador de la informática; donde los microprocesadores eran de 8-bits; esto significa que podían procesar 8 bits simultáneamente en un instante particular. Con el tiempo comenzaron a aparecer microprocesadores que podían procesar 16 bits simultáneamente, luego 32 bits, 64 bits y eventualmente 128; todos múltiplos de 8. También existieron microprocesadores de 18 y 36 bits, pero dejaron de fabricarse, popularizándose los múltiplos de 8.

* Los primeros microprocesadores comerciales de los años 1970s eran de 4-bits, o sea que podían procesar 4 bits simultáneamente, en un instante particular; pero hacia la segunda mitad de dicha década comenzaron a popularizarse los de 8-bits cuando empresas como IBM y Apple comenzaron a comercializar computadoras personales.

• En los años 1970s las placas de circuitos y periféricos eran aún caros; por lo tanto se siguió utilzando tecnología de 8-bits; en la que se podían transportar de un dispositivo a otro (por ejemplo del microprocesador a la memoria o de la memoria a la placa de video) 8 bits simultáneamente. Incluso cuando se desarrollaron los primeros microprocesadores comerciales de 16 bits (que podían procesar 16 bits simultáneamente), cuando dichos bits o pulsos eléctricos viajaban por las líneas de datos hacia la memoria lo hacían de a 8 simultáneamente; para reducir costos de material de circuitería.

* En los años 1960s el juego de caracteres ASCII de 7-bits (128 caracteres) era un nuevo estándar; pero para cuando fue internacionalmente aceptado ya habían muchas variantes. En los años 1960s IBM introdujo el juego de caracteres de 8-bits EBCDIC. Hacia finales de los años 1970s, se pensaba que UNIX iba a convertirse en el sistema operativo dominante; el lenguaje de programación de UNIX, para desarrollar las distintas aplicaciones para dicho sistema operativo, era C, el cual requería un juego de caracteres de 8-bits. Sin embargo el sistema operativo que terminó siendo más popular fue el PCDOS o MS-DOS, el cual también utilizaba un juego de caracteres de 8-bits, una versión extendida de 256 caracteres del estándar ASCII. Luego con la llegada de Windows, que utilizaba la misma estructura de DOS, se siguió utilizando el juego de caracteres y por ende el byte de 8 bits.

* En telecomunicaciones, con el desarrollo de la telefonía digital a principios de la década de los años 1960s, se estandarizó el sistema de 8-bits, en el que los datos que se transmitían eran de 8-bits o pulsos eléctricos. Este sistema fue, décadas después, adoptado y desarrollado por las modernas redes de comunicación incluyendo Internet.

Más información | Yobioit


Tomado de:

Xakata Ciencia

Un huracán cósmico en un agujero negro

Recreación artística del sistema 'IGR J17091-3624'. | NASA/CXC/M.Weiss

El observatorio Chandra de rayos X de la NASA ha captado fuertes vientos en la región de un agujero negro con masa estelar. La recreación artística realizada por la agencia espacial estadounidense muestra un sistema binario que contiene un agujero negro con masa estelar denominado 'IGR J17091-3624', o 'IGR J17091'. La fuerte gravedad del agujero negro, a la izquierda, está apartando gas de la estrella, a la derecha.

Este gas forma un disco de gas caliente alrededor del agujero negro. La velocidad de este viento, es según la NASA, la más alta que se ha observado en un disco de gas de estas características y es diez veces superior a lo que se había registrado con anterioridad. La velocidad es de 20 millones de millas por hora (unos 32 millones de kilómetros por hora) o un 3% la velocidad de la luz

Estos agujeros negros con masa estelar se originan cuando estrellas extremadamente masivas colapsan y normalmente tienen entre cinco y diez veces la masa del Sol.

Los científicos de la NASA creen que este viento que procede de un disco de gas que rodea el agujero negro, podría llevar mucho más material que el que el agujero negro está capturando.

Sistema binario

"Esto es como el equivalente cósmico de vientos de un huracán de categoría cinco", señala Ashley King de la Universidad de Michigan, en un comunicado difundido por la NASA. "No esperábamos ver unos vientos tan fuertes en un agujero negro como este", explica.

La velocidad del viento en el agujero conocido como IGR J17091 es equivalente a la de algunos de los vientos más rápidos generados por agujeros negros supermasivos, que son millones o incluso miles de millones de veces más masivos.

IGR J17091 es un sistema binario en cuya estrella central, equivalente a nuestro sol, orbita el agujero negro. Se encuentra en el saliente de la Vía Láctea a unos 28.000 años luz de la Tierra.

"Contrariamente a la percepción popular de que los agujeros absorben toda la materia a la que se acerca, creemos que hasta el 95% del material que hay en el disco alrededor de IGR J17091 es expulsado por el viento", afirma King.

Como curiosidad, los expertos explican que a diferencia de los vientos de los huracanes en la Tierra, el viento de IGR J17091 sopla en muchas direcciones diferentes.

Fuente:

El Mundo Ciencia