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7 de enero de 2014

Nuevas maneras de multiplicar y de dividir

Cubos con números

Que los más jóvenes hablen de cuestiones que los adultos no comprenden, no es nuevo. Pero cuando lo más básico cambia, no queda más remedio que volver a la escuela. 

Dividir y multiplicar ya no es lo mismo. Los métodos que tradicionalmente se enseñaban en los colegios están siendo reemplazados.


Al parecer, los modernos hacen que las matemáticas sean más fáciles para los niños, pero dejan a los adultos completamente confundidos.

Rob Eastway, coautor del libro "Matemáticas para mamás y papás", le trata de explicar a los lectores de la BBC qué está pasando.

Yo solía pensar que tenía una buena comprensión de las matemáticas... hasta que mi hija empezó a ir a la escuela primaria. Fue entonces cuando descubrí una revolución tuvo lugar en la manera en que se enseña aritmética, y que había técnicas y terminología que no significaban nada para mí.

Déjeme darle una idea. En las escuelas primarias, los niños trabajan con líneas de números, rellenan diagramas de Carroll y calculan utilizando el método de "rejilla" y algo que lleva el peculiar nombre de "fragmentación".

Decidí investigar de qué estaba pasando.

Abaco y calculadora

Sin ábaco ni calculadora... el nuevo método promete que se puede llegar al resultado con la mente.

Lo primero que entendí fue que en la escuela yo fui uno de los afortunados. Era bueno con los números, así que el aprendizaje de las técnicas tradicionales de la multiplicación y la división no representaban ningún problema.

Pero para una enorme proporción de los niños, estas técnicas eran una tarea sin sentido. Si uno le pide a la mayoría de los adultos de hoy para llevar a cabo una multiplicación o una división larga, se quedan en blanco.

Quizás en algún momento sabían cómo hacerlo, pero ya no se acuerdan. Y de todos modos, para eso están las calculadoras, ¿no?

El tema de las calculadoras es importante. Muchas de las técnicas que nos enseñaron datan del siglo XIX, cuando se necesitaba un gran número de empleados para realizar los cálculos cotidianos a mano. Hoy en día, las calculadoras puede hacer estas tareas mucho más rápido.

Pero eso no quiere decir que no necesitamos saber manejar los números.

Para entender la vida

Dibujo de niño de profesor de matemáticas

La esperanza es que con el nuevo método, menos gente le tenga miedo a las matemáticas.

Estamos inundados por los números todo el tiempo, ya sea porque alguien nos está tratando de vender un plan de teléfono móvil o un político nos está tratando de convencer de que su programa económico es el mejor. Como sociedad tenemos que darle sentido a estos números, si queremos gestionar con éxito nuestras vidas.

No todos tenemos que ser capaces de multiplicar 27 x 43 sin lápiz y papel? Pero sí necesitamos saber que el 27 x 43 es de aproximadamente 30 x 40, y que esto es más o menos 1.200. Así, llegar a comprender bien los números es la base de los nuevos métodos modernos.

Una de las técnicas adoptadas es el método de la rejilla para la multiplicación, que está vinculado a un método visual que muchos niños encuentran más fácil de entender.

En la siguiente guía podrá recordar cómo se multiplicaba de la manera tradicional y luego verá una introducción al método de la rejilla.

Lea el artículo completo en:

BBC Ciencia

5 de enero de 2013

Matemáticas: El problema de los camellos

–¡Hala! Sí que debe ser incómodo venir desde tan lejos encima de un camello, ¿no?

–Bueno, Ven… En realidad no vienen de tan lejos, no creas…

–¡Anda que no, Sal! ¡Vienen de Oriente!

–Esto… –el gafotas dudó un rato –No sé cómo decirte esto, Ven, pero…

–¿Os cuento un acertijo sobre camellos? –interrumpió rápidamente Mati.

–Siempre que no nos jorobes mucho… –contestó Ven con cara de pícaro.

–Vale, Mati, ya veo –dijo Sal guiñando el ojo a su amiga.

–Veréis –empezó a contarles ella –Hace mucho, muchísimo años, en un país muy lejano, un noble anciano estaba a punto de morir…

–Pobre… –interrumpió el pequeño.

–Era un anciano muy, muy mayor –continuó ella –Justo antes de morir le dijo a sus 3 hijos:
Hijos míos, lo único que os dejo de herencia son mis 17 camellos a los que he cuidado con el máximo cariño y que tanto me han ayudado en esta vida. Sólo os pediré algo, que el mayor de vosotros, que tiene muchos hijos se quede con la mitad; el mediano que está esperando un hijo se quede con la tercera parte, y tú, el más joven, con la novena parte de la herencia.
El hijo pequeño, que era el más hábil con los cálculos protestó:
Pero, padre…
Déjalo descansar –le pidió el hermano mediano –Haremos lo que nos pide, ha sido un buen padre.
--¿No os dais cuenta de que es imposible dividir la herencia como nos pide? –insistió el pequeño, pero el padre ya había muerto.
–¡Toma! ¡Es verdad! –exclamó Ven –17 no se puede dividir por 2, porque no es par, ni por 3 porque sus cifras suman 8 que no es múltiplo de 3, ni por 9 porque la suma de sus cifras tampoco es múltiplo de 9… ¡vaya tela!

–Muy bien, Ven –dijo Mati –.Veo que recuerdas lo que os conté sobre divisibilidad.

–Espero que la solución no sea partir uno de los camellitos a trocitos, ¿verdad, Mati? –preguntó Sal un poco angustiado.

–No, no fue esa la solución, sigo:
Pasados unos días tras la muerte del padre, se hallaban los 3 hermanos tomando un té a la sombra de un árbol cuando vieron acercarse en un camello a una sabia del lugar, a la que todos reconocían enseguida por su larga melena de color rojo…
–¡¡Eras tú, Mati!! –gritó el pequeño.

–No, yo aún no había nacido –dijo ella guiñando un ojo y continuó:
Después de que le hubieron contado la historia, aquella sabia, de nombre Matim, les dijo lo siguiente:
–Os regalo mi camello, yo puedo apañarme sin él. Así tendréis 18 camellos, que es un número divisible por 2, por 3 y por 9.
Los 3 hermanos aceptaron el regalo de Matim y con este nuevo animal decidieron darle la mitad, 9 camellos,  al mayor, un tercio, 6 camellos, al mediano y la novena parte, 2 camellos, al hermano pequeño.
–Para, para, Mati –pidió el gafotas –. 9 + 6 + 2 son 17 camellos, ¡sobra uno!  ¿Qué hicieron con él?

–Se lo devolvieron a Matim y le dieron las gracias por la ayuda –respondió la pelirroja.

–¿Cómo es posible, Mati? –preguntó Sal –¿Cómo pudo sobrar un camello?

–Muy simple, Sal –dijo esta –Con ese reparto, el de un medio, más un tercio más un noveno, siempre sobrará.

–¿Por qué? –preguntó rápidamente el pequeño.

–Pues porque esas fracciones –siguió ella –no suman 1

–¿Cuánto suman esas fracciones, Mati? –preguntó el gafotas.

–Vamos a multiplicar la primera de ellas por 9, numerador y denominador para que no cambie; la segunda por 6 y la tercera por 2 y las sumamos:

–¿Veis? -les dijo –Nos queda 17 partido por 18 y eso no es 1. El noble anciano no sabía demasiadas matemáticas…

–Ya, ya veo –dijo Sal.

–A mí me da pena el hijo pequeño –añadió Ven –. Solo se quedó con 2 camellos…

–Creo que no –dijo Mati –, me contaron que quedó fascinado por la inteligencia de Matim y que tuvieron 3 camellos…

–¡Toma, toma, toma! ¡Como los reyes! –interrumpió Ven.

–Sí, pero Matim y su esposo –continuó la gafotas –los usaron para regalar matemáticas a los niños de las aldeas de la zona, pasando pueblo por pueblo con sus camellos.

–Qué bonito es el amor… –exclamó Ven con un suspiro.

–Y las matemáticas –añadió Sal con un guiño

Fuente:

Mati, una profesora muy particular

26 de noviembre de 2012

La olvidada prueba del nueve




En el podcast de SciFri, “Steven Strogatz: The Joy Of X,” 23 Nov 2012, le preguntan a Strogatz por qué funciona la prueba del nueve (“casting out nines” en inglés) y no sabe contestar. Como buen matemático y como buen profesor no tiene miedo en confesar que nunca se ha preocupado por buscar la razón detrás de esta prueba, por ello no puede contestar a la pregunta. Todo ello me ha traído a la memoria la prueba del nueve, que no siempre funciona, como muestra este dibujo de Luis Vives, “Aritmética. Segundo Grado,” Zaragoza, 1949. ¡Qué no te acuerdas de la prueba del 9! Solo hay dos opciones, o eres muy joven, o eres un poco desmemoriado. Veamos como nos la explica Vives en su libro.



La prueba del nueve sirve para comprobar sumas, restas, productos y divisiones. En esta figura tienes la explicación para el caso del producto. Sobran más palabras. ¿Cuál es el secreto de la prueba del nueve que Strogatz no ha sido capaz de recordar? Obviamente, utilizar aritmética módulo 9. Nada más simple. En el caso del producto si a = b (mód 9), y c = d (mód 9), entonces ac = bd (mód 9). Lo mismo ocurre con sumas y restas, y con operaciones que involucren un número finito de sumas, restas y productos (como la división).

¿Funciona siempre la prueba? Obviamente, no. ¿Cuál es la probabilidad de fallo? Como nueve posibles resultados, la prueba del nueve fallará 1/9 de las veces (un 11% de las veces). ¿Se puede utilizar una prueba del siete o de cualquier otro número? Por supuesto y combinar dos pruebas asegura la corrección del resultado con mayor probabilidad (1/54 corresponde a un 1,6% de fallos). “Acerca de la prueba del nueve,” y Antonio, “La ¿prueba? del 9,” Tito Eliatron Dixit, 20 mayo 2009, explican cómo aplicarla a la división. Más información en María Luz Callejo de la Vega, “Una nueva mirada a “la prueba del 9″,” SUMA 30: 53-58, feb. 1999, y en Michel Ballieu, “La prueba del nueve,” Investigación y Ciencia 334, Julio 2004. Por cierto, este último artículo reproduce un fragmento de un texto de Al-Khwarizmi del siglo IX donde se explica cómo realizarla, aunque lo que destaca es su contundente inicio…
“En la clase el ambiente es tenso. El maestro, severo pero justo, permanece en un extremo de la tarima. El niño, ante el gran pizarrón negro, gacha la cabeza, trata de esquivar la mirada de reproche que le lanza su instructor. “Vamos a ver… ¿estás seguro de que 171 x 231 son 39.401?”, le pregunta, impaciente la voz. La respuesta es tímida. “Esto… ¿sí, señor?”. El maestro estalla. “¡Pequeño cabestro! ¿No te das cuenta de que te has equivocado? ¿Te has olvidado de la prueba del nueve?” El niño, aterrorizado, guarda un silencio culpable y siente revolotear sobre sí la amenaza del castigo. La sentencia no tarda en llegar. “Abre la mano”, ordena el profesor, que golpea con su larga regla de hierro la palma infantil…”
En inglés recomiendo consultar Peter Hilton, Jean Pedersen, “Casting Out Nines Revisited,” Mathematics Magazine 54: 195-201, Sep. 1981, y Murray Lauber, “Casting Out Nines: An Explanation and Extensions,” The Mathematics Teacher 83: 661-665, Nov. 1990. El uso de la prueba del nueve en Educación Básica ha sido criticado por algunos y defendido por otros. Ver por ejemplo, Maxim Bruckheimer, Ron Ofir, Abraham Arcavi, “The Case for and against “Casting out Nines”,” For the Learning of Mathematics 15: 23-28, Jun. 1995.

Atención, pregunta, ¿merece la pena que los profesores de Educación Básica recuperen la prueba del nueve en lugar del uso de la calculadora para chequear resultados? Utiliza los comentarios para ofrecer tu opinión, si te apetece.

Esta entrada participa en la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión se organiza en PiMedios. La aventura de las matemáticas.

PS: En los comentarios Emm Alva escribe que “Creo que los niños de Educación Básica no deberían utilizar calculadora o algún dispositivo electrónico, porque siento que gracias a esas herramientas su aprendizaje no es tan sólido y cada vez les cuesta más trabajo hacer cosas que se dicen básicas.” Yo soy de la misma opinión. Creo que usar calculadora en Educación Primaria es como usar reglas de letras de molde (ver figura abajo) para aprender a escribir. Nadie puede aprender a escribir de esa manera. Lo que no quita que en Educación Secundaria sea muy recomendable que los alumnos aprendan a usar correctamente la calculadora y el ordenador.


Fuente:

Francis Science News

13 de noviembre de 2012

Una razón recreativa para conocer sobre la división sintética (o método de Ruffini)

La división sintética, aquél proceso simplificado para dividir polinomios por un factor lineal para poder factorizarlas y graficarlas con efectividad. Hasta hace dos semana pensaba que ese era el único uso que tenía, hasta que en el pulguero me compré con uno de los volúmenes de Matemáticas Modernas de Dolciani de finales de la década de 1960.

Entre las páginas del texto de séptimo grado se encuentran varios temas que ahora servirían dentro del salón como método de avalúo: husos horarios, latitudes y longitudes, máquinas de funciones, números romanos, números egipcios, y los sistemas numéricos no-decimales. Con éstos útimos podemos descubrir que un caso específico del algoritmo de división sintética es usado para convertir numerales de base
n a numeros de base decimal.

Primero,
¿como convertimos un numeral de base decimal a uno no-decimal? 
  • Usted toma el numeral decimal y lo divide por la base n deseada, al estilo de escuela primaria (cociente entero y residuo). Si el residuo es mayor o igual que 10 sustituya con una letra del abecedario en mayúscula (10 = A; 11 = B; etc.)
  • El cociente entero resultante se convierte en el nuevo numeral decimal a dividir y repite el primer paso hasta que el cociente entero sea cero.
  • Fíjese en todos los residuos. Ordénelos desde el último encontrado hasta el primero. ésta secuencia será la conversión a base n del número decimal.
En términos matemáticos, utilizamos el algoritmo de división para convertir números base 10 a base n.
Ejemplo: Convierta el numeral decimal 255 a uno de base 6.

Ahora bien,
¿qué tiene que ver la división sintética en éste asunto? En el caso específico donde el término constante del factor lineal es negativo (del cual se usa su opuesto en la sustitución sintética) y los coeficientes de un polinomio son positivos, se puede utilizar como convertor de numerales base n a base decimal. A diferencia de la división sintética donde utiliza todos los totales resultantes,para esta aplicación solamente necesitaremos el último total, ya que éste es el numeral base n convertido a base 10.

Para demostrarlo vamos a revertir el numeral base seis del caso anterior a un numeral decimal:



Para aquellos que no han conocido la división sintética, les proveo una explicación del algoritmo de división sintética del caso expuesto arriba:

  • Colocamos en el recuadro la base del numeral y al lado cada uno de los dígitos que componen dicho numeral.
  • Inmediatamente bajamos el primer dígito
  • Colocamos el producto del primer dígito y la base n debajo del segundo dígito.
  • Sume el segundo dígito y el producto.
  • El total generado se vuelve a multiplicar por la base y el producto se coloca debajo del próximo dígito y los suma.
  • Repita el paso anterior hasta que llegue al último dígito. El último total será la conversión a base 10.
 ¿Por qué ocurre ésto? Sencillamente éste caso específico de la división sintética es un casi un proceso inverso al algoritmo de división, inclusive en las operaciones que usa:
  • En el algoritmo de división, se divide, se resta y se separan los residuos, del último dígito numeral base n al primero
  • En el caso aplicativo de la división sintética, del primer dígito numeral base n al último, se juntan los residuos en la suma y se multiplica.
¿Y ésto, tiene alguna utilidad? En parte si. Recuerdo que hace unos meses atrás estaba dándole tutorías a un grupo de estudiantes de secundaria que tomaban clases de electrónica y una de las destrezas era poder convertir números decimales a numerales binarios, octales y hexadecimales. Como ya estaban al nivel de Álgebra II, mostrale éstos métodos hubiese sido bastante beneficioso, de haberlo conocido a tiempo.

Fuente:


El método de Ruffni tambén se puede aplicar a las matrices... vea el blog Series Divergentes: "De la división sintética al álgebra lineal"
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