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25 de noviembre de 2013

¿Por qué tienen las antenas parabólicas forma de curva cónica?

¿Por qué tienen las antenas parabólicas forma de curva cónica? Mario Viciosa/Daniel Izeddin

Desde las alturas de la ciudad las vemos poblar los tejados de las casas. Nos sirven para ver la televisión, escuchar la radio o transmitir datos. Estamos hablando de las antenas parábolicas, inconfundibles por su particular estructura cónica. Pero, ¿por qué tienen esta forma y no otra?

El catedrático de Física Aplicada de la Universidad de Alcalá Antonio Ruiz de Elvira explica hoy en su videoblog los motivos de este fenómeno en Cosmocaixa Madrid, el museo de la ciencia de la Obra Social La Caixa.

La reflexión de la luz (y la luz no es más que una de las innumerables ondas electromagnéticas) se realiza siguiendo las leyes de los choques elásticos, como el de una bola de billar contra la banda de la mesa.

Si queremos enviar rayos de ondas electromagnéticas en una dirección única, por ejemplo, desde la antena de una estación de televisión hacia un punto concreto, por ejemplo, la casa de Pepe, lo mejor que podemos hacer, siempre que la línea entre la antena y esta casa no tenga obstáculos o estos sean pequeños, es hacerlo mediante una antena parabólica: la señal se concentra en la línea de viaje y no se dispersa por el espacio.

Fuente:

El Mundo Ciencia

7 de enero de 2013

El porqué de la forma de las antenas parabólicas

¿Quién no se ha preguntado alguna vez por qué las antenas parabólicas tienen exactamente esa forma y no otra? ¿Será por razones estéticas, o tal vez habrá alguna razón científica para ello? Pues, como ya habréis adivinado, la razón es científica, matemática concretamente.
Pero antes recordemos cómo se define la cónica denominada parábola:

Una parábola es una curva formada por los puntos que están a la misma distancia de un punto concreto, denominado foco, y de una recta concreta, llamada directriz.

Por tanto, para tener determinada una parábola simplemente necesitamos saber cuál es el foco y cuál es la directriz de la misma.

En el siguiente applet de GeoGebra tenéis una párabola y podéis jugar con su forma moviendo su foco, el punto F, y su directriz, la recta d. Además podéis ver que si movemos el punto P a lo largo de la misma, la distancia de él a F y a d es siempre la misma:

También se aprecia que una parábola tiene un eje de simetría, que es la recta que pasa por su foco y por el punto más bajo (o más alto, según la posición de la directriz respecto del foco) de la misma, que es el vértice de la parábola.

Bien, ¿qué figura representa una antena parabólica? Pues un paraboloide de sección circular (a partir de ahora simplemente paraboloide), como el que podéis ver en esta imagen:

aunque posiblemente lo veáis mejor algo inclinado. Seguro que en la siguiente imagen reconocéis mejor esa antena parabólica a la que estamos haciendo referencia:

Y no solamente antenas parabólicas, sino radiotelescopios, micrófonos parabólicos o algunas cocinas solares.

Como se puede ver en las gráficas anteriores, un paraboloide es una figura tridimensional obtenida al hacer girar una parábola respecto a una cierta recta, que es el eje del paraboloide. Si hacemos un corte en esta figura con un plano que contenga a este eje obtenemos una parábola. Todos los cortes que podamos hacer así tienen el mismo vértice y el mismo foco, por lo que esos puntos son el vértice y el foco del paraboloide.
Vamos al tema. La razón por la que estos instrumentos nombrados anteriormente (antenas, radiotelescopios, etc.) tienen forma de paraboloide es una interesante propiedad de la parábola que enunciamos a continuación:

Los rayos paralelos al eje de simetría de la parábola son reflejados por la misma hacia su foco.

Es decir, que si yo envío un rayo hacia la parábola que sea paralelo a su eje, entonces ésta lo refleja hacia su foco. Vamos, que el reflejo de los rayos paralelos al eje de la parábola pasa por el foco de la misma.
¿Y para qué puede servir esto? Pues muy sencillo. Si nosotros construimos un paraboloide y colocamos un receptor de señal en el foco del mismo, podremos enviar señales paralelas al eje del paraboloide con la total seguridad de que todas ellas serán recibidas por dicho receptor. O podemos orientar un paraboloide con un receptor en su foco hacia el Sol para acumular así energía solar, que a pequeña escala puede aplicarse a la cocina y a gran escala en centrales de captación de energía solar.

Pasemos ahora a la parte más matemática del asunto. Vamos a demostrar matemáticamente este hecho, pero vamos a hacerlo en dos partes. Primero un resultado previo y después el que queremos demostrar, que los rayos paralelos al eje se reflejan hacia el foco. Vamos con el previo:

Dado un punto P de una parábola con directriz d y foco F, representamos la proyección del mismo en la directriz, punto al que llamamos D, y dibujamos los segmentos que unen a P con el foco, PF, y con su proyección sobre d, PD. Entonces la recta tangente a la parábola en el punto P divide al ángulo FPD en dos ángulos iguales.

Representemos gráficamente esta situación:

El enunciado anterior dice que el ángulo formado por los segmentos PF y PD, $\alpha$ , es bisecado (dividido en dos ángulos iguales), los dos $\beta$ que aparece en la imagen, por la tangente a la parábola en el punto P. Vamos a demostrar este resultado:

Los segmentos PF y PD son iguales, por ser P un punto de la parábola (recordemos, los puntos que están a igual distancia de un punto llamado foco y una recta llamada directriz). Entonces el triángulo PFD es isósceles.

Tomemos ahora el punto medio del segmento FD, que llamamos M. Al ser isósceles nuestro triángulo, se cumple que la recta que pasa por M y P divide al ángulo FPD en dos ángulos iguales. Ahora solamente falta demostrar que dicha recta es la tangente a la parábola en P.

Para ello vamos a suponer que nuestra parábola es la de ecuación $y=x^2$ (no perdemos nada con esta suposición, ya que todas las parábolas son esencialmente iguales). El punto P tendrá por tanto coordenadas $(a, a^2)$ , y las coordenadas $y$ de F y de D serán opuestas (iguales pero con signos contrarios), por lo que el punto M, punto medio del segmento FD, tiene coordenada $y$ igual a 0.

(En esta imagen puede verse una representación de esta situación con la parábola que hemos usado en el resto del post. La recta en color negro representa al eje X) Ahora, la coordenada $x$ de M es la mitad que la de P, $a/2$ . Por otra parte, si llamamos H al corte con el eje X de la perpendicular a él que pasa por P, la pendiente del segmento MP es la longitud de PH entre la longitud de MH, es decir, ${a^2 \over (a/2)}=2a$ .
Pero sabemos que la pendiente de la tangente a $y=x^2$ en el punto $(a, a^2)$ es la derivada de $x^2$ en el punto $a$ , esto es, $2a$ . Al ser igual a la anterior se concluye que la recta que pasa por M y P es la tangente a la parábola en el punto P.

¿Todo esto que significa? Pues que cualquier línea paralela al eje de la parábola, que tocará en un punto P de la misma, es reflejada por la tangente en P hacia adentro con el mismo ángulo que forma dicha tangente con el segmento proyectado desde P a la directriz, por lo que el reflejo de la misma va directamente hacia el foco de la parábola:

Interesante, ¿verdad?

Fuente y enlaces relacionados:

Parábola en la Wikipedia en español.
Parabola en la Wikipedia en inglés.
Parabolic reflector en la Wikipedia en inglés.

Fuente:

Gaussianos

4 de noviembre de 2012

Criptografía: Matemática para guardar secretos

No soy una persona que tenga mucho que esconder, pero hay cosas que más vale mantener en secreto. Por mi parte, lo típico: el pin del móvil y el de la tarjeta de crédito, las claves del banco, de las cuentas de correo, del ordenador, y poco más. Si alguien llegara a acceder a mi cuenta bancaria, dependiendo del día del mes, igual hasta le tocaba pagar, y en mi cuenta de correo tampoco hay ningún secreto de estado.

Sin embargo, hay secretos de los que dependen cosas mucho más importantes. A nadie se le escapa que la clave del correo de un presidente de gobierno o de un empresario importante es harina de otro costal. Con un poco de información privilegiada, ganar en la bolsa puede llegar a ser un juego de niños (está claro que no hay otra forma de acceder a esa información privilegiada que accediendo ilegalmente a sus correos, porque nadie duda de la integridad de los que manejan esa información ¿verdad?).

El caso es que aquella mañana de Lunes, durante el desayuno, alguien sacó el tema -creo que el sr. Lego- y, por supuesto, a pesar de mis intentos por desviar la conversación a ámbitos más mundanos, Sofía no podía resistir la tentación de enfrascarse en cualquier conversación que oliera a seguridad informática.

Ya, de perdidos al río -pensé- así que traté de volver a entrar en la conversación:

- ¿Os imagináis tener que mantener en secreto algo como los códigos de lanzamiento de unos misiles nucleares?

¡Vaya! Ya está Alberto con sus paranoias -pude leer en la expresión de el Sr. Lego.

Sofía, sin embargo, fue mucho más directa y menos sutil:

- ¡No digas tonterías! ¿tu te fiarías de alguien tanto como para darle las claves de lanzamiento de un misil nuclear? ¿Y si se vuelve loco y le da por desatar la tercera guerra mundial?

- Quizás se podría dividir la clave en varios fragmentos y repartirlos entre varias personas, así nadie sabe la clave completa y nadie puede lanzar los misiles por su cuenta -dije tratando de impresionar a Sofía.

- Entonces, si fuera un país enemigo sólo tendría que matar a uno de los que tienen la clave para evitar que pudiera lanzar los misiles... o bastaría esperar a que a alguno le de un infarto... ¡jaque mate!

- A ver -continuó el Sr. Lego- necesitamos una forma de repartir fragmentos de la clave entre varias personas de forma que ninguna conozca la clave completa, y además, queremos ser capaces de reconstruir la clave si falla una o más de una de las personas que tienen los fragmentos. Me parece que no es posible.

- Pues siento decir que te equivocas -sonrió Sofía.

En criptografía -continuó Sofía- para resolver este tipo de asuntos se utilizan los llamados esquemas de compartición de secretos. Para este caso concreto se utilizan los esquemas de umbral. Por ejemplo, si queremos repartir un secreto entre m personas y que el secreto pueda recuperarse con n personas, hablamos de un esquema de umbral (m,n), donde n es el umbral.

Parar a Sofía a estas alturas, estaba ya fuera del alcance de cualquier mortal, así que mi única salida fue preguntar, no sin cierta resignación:

Vale, pero ¿cómo funcionan esos esquemas?

Sofía apuró el café que le quedaba en el vaso, se detuvo unos instantes como para componer en su cabeza lo que iba a decir, y continuó:

Hay varios métodos, el más sencillo, quizás, es usar el esquema vectorial, introducido por el matemático George Blakley de la universidad A&M de Texas: Si queremos compartir un secreto con un esquema de umbral (m,n) hacemos corresponder el secreto con un punto P del espacio m-dimensional, y los fragmentos serán hiperplanos de dimensión m-1 que tienen a P como punto de intersección. De esta forma, con m hiperplanos, podemos reconstruir el secreto.

- Por la cara del Sr. Lego, hacía rato que ya no seguía a Sofía. Yo, por mi parte tampoco, pero creía que estaba controlando mejor mi expresión facial hasta que Sofía me miró y sonrió con esa sonrisa piedosa del que se sabe muy por encima de su interlocutor.

Está bien -dijo Sofía tratando de simplificar un poco el asunto- imaginemos que quiero compartir en secreto las tres siguientes cifras: 3,10,5. Y lo quiero hacer entre 4 personas, de forma que sólo con 3 pueda recuperar la clave. Como son tres cifras, podemos pensar en ellas como en un punto P(x,y,z) del espacio de 3 dimensiones. Sólo tendríamos que crear 4 ecuaciones como las siguientes.

Si damos una ecuación a cada una de las cuatro personas, ninguna de ellas podrá conocer el valor del punto P(x,y,z). Sin embargo, si cualquiera de ellas tres se reúnen y resuelven el sistema que forman sus tres ecuaciones, habrán conseguido descifrar el secreto P(3,10,5), aunque no esté una de las personas.

Bastante ingenioso -pensé- no se me hubiera ocurrido, y eso que una vez que conoces el sistema, es bastante obvio.

Otro esquema, algo más elaborado -continuó Sofía- es el esquema de Shamir, que inventó el matemático Adi Shamir. Este esquema es conceptualmente bastante simple, aunque su uso implica algo más que resolver un simple sistema de ecuaciones.

Sofía paró un momento como tratando de ordenar toda la información que tenía en la cabeza y seguidamente preguntó:

- Si dibujo dos puntos en un papel, ¿cuantas líneas rectas existen que pasen exactamente por esos dos puntos?

El Sr. Lego y yo nos miramos unos instantes antes de responder al unisono: una.

- Bien -continuó Sofía- del mismo modo que sólo necesito dos puntos para definir una recta, sólo necesito tres para definir una parábola ¿verdad?

Esto ya no era tan obvio, pero haciendo un acto de fe el Sr. Lego y yo asentimos con la cabeza.

En general, necesitamos n+1 puntos en el plano para definir una curva (polinomio) de grado n ¿os lo demuestro? -preguntó Sofía.

Me apresuré a decir que no era necesario antes de que se lanzara a hacer la demostración matemática.

En general -siguió Sofía- si quiero compartir un secreto repartiéndolos en m fragmentos y con un umbral de n fragmentos, tengo que construir un polinomio de grado n-1.

Imaginemos entonces que quiero compartir en secreto el pin de mi tarjeta de crédito que, digamos, es 3254. Y lo quiero hacer entre 4 personas con un umbral de 3. Necesito, por lo tanto, un polinomio de grado 2 (es decir n-1) que tendrá la forma siguiente:

A los términos a0, a1 y a2 los llamamos coeficientes del polinomio. A a0, que es el término independiente, le asignamos el valor del secreto: en este caso a0=3254. Al resto de coeficientes le asignamos valores aleatorios.

Por ejemplo: a1=12 y a2=25. Una vez definido nuestro polinomio, como quiero repartir el secreto entre 4 personas, necesito el valor de cuatro puntos cualesquiera de la función. Por ejemplo:

En este caso hemos escogido los puntos 1, 2, 3 y 4, pero podrían ser cualesquiera.

A cada una de las personas les damos un par con uno de los puntos y el valor que toma la función en dicho punto. Es decir tendríamos los siguientes cuatro fragmentos:

(1, 3291)
(2, 3378)
(3, 3515)
(4, 3702)

Pero según hemos dicho antes, un polinomio de grado n está definido de forma inequívoca por por n+1 puntos, así que como nuestro polinomio era de grado 2, sólo necesitamos 3 de los puntos (fragmentos) para poder reconstruirlo.

La idea está clara -respondí- pero ¿cómo se reconstruye un polinomio a partir de unos puntos?

No te preocupes, Alberto, eso lo resolvió Lagrange hace ya algunos añitos. Podemos usar el polinomio interpolador de Lagrange para obtener el polinomio original, pero ¿realmente necesitamos todo el polinomio original? -nos desafió Sofía.

No, sólo el término independiente del polinomio, que es el que contiene el secreto -respondió el Sr. Lego sorprendiendo a propios y a extraños.

Efectivamente Sr. lego. No voy a entrar en detalles matemáticos, que son un poco aburridos, pero tras jugar un poco con el polinomio de Lagrange, podemos llegar a la siguiente formulita que nos devuelve el término independiente del polinomio.

Siendo las x los puntos y las y los valores que toma la función en dichos puntos.

Como véis, la formulita de marras se puede modelar muy bien con un par de bucles así que es fácil hacer un programa para generar y develar secretos con el esquema de Shamir.

A la vuelta del desayuno, ya en la oficina, Sofía nos envió las siguientes dos funciones para generar secretos y para desvelarlos. Eso sí -nos advirtió- ningún secreto está a salvo para siempre.

from math import ceil
from random import random
def gen_secret(secret, users, threshold):
out = []
max_value=100 # valor maximo factores
n=threshold # grado del polinomio
# generar polinomio grado n
factores=[]
fragmentos=[]
factores.append(secret)
for i in range (1,n):
t=ceil(random()*max_value)
factores.append(t)
# generar n fragmentos
for i in range(users):
# escogemos punto t de la funcion aleatorio
t=int(ceil(random()*max_value))
# calcular valor de f(t)
v=factores[0]
for j in range(1,n):
v=v+factores[j]*(t**j)
fragmentos.append([t, int(v)])
out=fragmentos
return out
def recover_secret(fragments, threshold):
out = 0
if len(fragments)<threshold:
print "faltan fragmentos"
else:
for i in range(threshold):
tmp_j=1
for j in range(threshold):
if j!=i:
tmp_j=tmp_j*(fragments[j][0]/float((fragments[j][0]-fragments[i][0])))
out=out+(fragments[i][1]*tmp_j)
return int(out)
# calculamos 4 fragmentos para secreto 1234 con umbral 3
s=gen_secret(1234,4,3)
# recuperamos el secreto con 3 fragmentos
print recover_secret(s, 3)

Fuente:

Divertimentos Informáticos (para programadores inquietos)

23 de agosto de 2012

Cómo construir un Rayo de la Muerte con un trozo de plástico, unas maderasy agua

Como se explica en el vídeo, el secreto es conseguir que el agua forme una lente en la que la curva sea una parábola perfecta. Un plástico de cortina de baño puede valer. Hay que hacerlo al mediodía, con el sol en la vertical: los rayos del Sol que inciden sobre la «lente» se concentran y generan una potencia térmica de ~500 W en el punto focal, en una zona de unos 2,5 centímetros de diámetro – lo que permite calentar y quemar papel, madera, bacon o lo que a cada cual se le ocurra.