La olvidada prueba del nueve

En el podcast de SciFri, “Steven Strogatz: The Joy Of X,” 23 Nov 2012, le preguntan a Strogatz por qué funciona la prueba del nueve (“casting out nines” en inglés) y no sabe contestar. Como buen matemático y como buen profesor no tiene miedo en confesar que nunca se ha preocupado por buscar la razón detrás de esta prueba, por ello no puede contestar a la pregunta. Todo ello me ha traído a la memoria la prueba del nueve, que no siempre funciona, como muestra este dibujo de Luis Vives, “Aritmética. Segundo Grado,” Zaragoza, 1949. ¡Qué no te acuerdas de la prueba del 9! Solo hay dos opciones, o eres muy joven, o eres un poco desmemoriado. Veamos como nos la explica Vives en su libro.

La prueba del nueve sirve para comprobar sumas, restas, productos y divisiones. En esta figura tienes la explicación para el caso del producto. Sobran más palabras. ¿Cuál es el secreto de la prueba del nueve que Strogatz no ha sido capaz de recordar? Obviamente, utilizar aritmética módulo 9. Nada más simple. En el caso del producto si a = b (mód 9), y c = d (mód 9), entonces ac = bd (mód 9). Lo mismo ocurre con sumas y restas, y con operaciones que involucren un número finito de sumas, restas y productos (como la división).

¿Funciona siempre la prueba? Obviamente, no. ¿Cuál es la probabilidad de fallo? Como nueve posibles resultados, la prueba del nueve fallará 1/9 de las veces (un 11% de las veces). ¿Se puede utilizar una prueba del siete o de cualquier otro número? Por supuesto y combinar dos pruebas asegura la corrección del resultado con mayor probabilidad (1/54 corresponde a un 1,6% de fallos). “Acerca de la prueba del nueve,” y Antonio, “La ¿prueba? del 9,” Tito Eliatron Dixit, 20 mayo 2009, explican cómo aplicarla a la división. Más información en María Luz Callejo de la Vega, “Una nueva mirada a “la prueba del 9″,” SUMA 30: 53-58, feb. 1999, y en Michel Ballieu, “La prueba del nueve,” Investigación y Ciencia 334, Julio 2004. Por cierto, este último artículo reproduce un fragmento de un texto de Al-Khwarizmi del siglo IX donde se explica cómo realizarla, aunque lo que destaca es su contundente inicio…

“En la clase el ambiente es tenso. El maestro, severo pero justo, permanece en un extremo de la tarima. El niño, ante el gran pizarrón negro, gacha la cabeza, trata de esquivar la mirada de reproche que le lanza su instructor. “Vamos a ver… ¿estás seguro de que 171 x 231 son 39.401?”, le pregunta, impaciente la voz. La respuesta es tímida. “Esto… ¿sí, señor?”. El maestro estalla. “¡Pequeño cabestro! ¿No te das cuenta de que te has equivocado? ¿Te has olvidado de la prueba del nueve?” El niño, aterrorizado, guarda un silencio culpable y siente revolotear sobre sí la amenaza del castigo. La sentencia no tarda en llegar. “Abre la mano”, ordena el profesor, que golpea con su larga regla de hierro la palma infantil…”

En inglés recomiendo consultar Peter Hilton, Jean Pedersen, “Casting Out Nines Revisited,” Mathematics Magazine 54: 195-201, Sep. 1981, y Murray Lauber, “Casting Out Nines: An Explanation and Extensions,” The Mathematics Teacher 83: 661-665, Nov. 1990. El uso de la prueba del nueve en Educación Básica ha sido criticado por algunos y defendido por otros. Ver por ejemplo, Maxim Bruckheimer, Ron Ofir, Abraham Arcavi, “The Case for and against “Casting out Nines”,” For the Learning of Mathematics 15: 23-28, Jun. 1995.

Atención, pregunta, ¿merece la pena que los profesores de Educación Básica recuperen la prueba del nueve en lugar del uso de la calculadora para chequear resultados? Utiliza los comentarios para ofrecer tu opinión, si te apetece.

Esta entrada participa en la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión se organiza en PiMedios. La aventura de las matemáticas.

PS: En los comentarios Emm Alva escribe que “Creo que los niños de Educación Básica no deberían utilizar calculadora o algún dispositivo electrónico, porque siento que gracias a esas herramientas su aprendizaje no es tan sólido y cada vez les cuesta más trabajo hacer cosas que se dicen básicas.” Yo soy de la misma opinión. Creo que usar calculadora en Educación Primaria es como usar reglas de letras de molde (ver figura abajo) para aprender a escribir. Nadie puede aprender a escribir de esa manera. Lo que no quita que en Educación Secundaria sea muy recomendable que los alumnos aprendan a usar correctamente la calculadora y el ordenador.

Fuente:

Francis Science News

Una razón recreativa para conocer sobre la división sintética (o método de Ruffini)

La división sintética, aquél proceso simplificado para dividir polinomios por un factor lineal para poder factorizarlas y graficarlas con efectividad. Hasta hace dos semana pensaba que ese era el único uso que tenía, hasta que en el pulguero me compré con uno de los volúmenes de Matemáticas Modernas de Dolciani de finales de la década de 1960.

Entre las páginas del texto de séptimo grado se encuentran varios temas que ahora servirían dentro del salón como método de avalúo: husos horarios, latitudes y longitudes, máquinas de funciones, números romanos, números egipcios, y los sistemas numéricos no-decimales. Con éstos útimos podemos descubrir que un caso específico del algoritmo de división sintética es usado para convertir numerales de base n a numeros de base decimal.

Primero, ¿como convertimos un numeral de base decimal a uno no-decimal? 

• Usted toma el numeral decimal y lo divide por la base n deseada, al estilo de escuela primaria (cociente entero y residuo). Si el residuo es mayor o igual que 10 sustituya con una letra del abecedario en mayúscula (10 = A; 11 = B; etc.)

• El cociente entero resultante se convierte en el nuevo numeral decimal a dividir y repite el primer paso hasta que el cociente entero sea cero.

• Fíjese en todos los residuos. Ordénelos desde el último encontrado hasta el primero. ésta secuencia será la conversión a base n del número decimal.

En términos matemáticos, utilizamos el algoritmo de división para convertir números base 10 a base n.

Ejemplo: Convierta el numeral decimal 255 a uno de base 6.

Ahora bien, ¿qué tiene que ver la división sintética en éste asunto? En el caso específico donde el término constante del factor lineal es negativo (del cual se usa su opuesto en la sustitución sintética) y los coeficientes de un polinomio son positivos, se puede utilizar como convertor de numerales base n a base decimal. A diferencia de la división sintética donde utiliza todos los totales resultantes,para esta aplicación solamente necesitaremos el último total, ya que éste es el numeral base n convertido a base 10.

Para demostrarlo vamos a revertir el numeral base seis del caso anterior a un numeral decimal:

Para aquellos que no han conocido la división sintética, les proveo una explicación del algoritmo de división sintética del caso expuesto arriba:

• Colocamos en el recuadro la base del numeral y al lado cada uno de los dígitos que componen dicho numeral.

• Inmediatamente bajamos el primer dígito

• Colocamos el producto del primer dígito y la base n debajo del segundo dígito.

• Sume el segundo dígito y el producto.

• El total generado se vuelve a multiplicar por la base y el producto se coloca debajo del próximo dígito y los suma.

• Repita el paso anterior hasta que llegue al último dígito. El último total será la conversión a base 10.

 ¿Por qué ocurre ésto? Sencillamente éste caso específico de la división sintética es un casi un proceso inverso al algoritmo de división, inclusive en las operaciones que usa:

• En el algoritmo de división, se divide, se resta y se separan los residuos, del último dígito numeral base n al primero

• En el caso aplicativo de la división sintética, del primer dígito numeral base n al último, se juntan los residuos en la suma y se multiplica.

¿Y ésto, tiene alguna utilidad? En parte si. Recuerdo que hace unos meses atrás estaba dándole tutorías a un grupo de estudiantes de secundaria que tomaban clases de electrónica y una de las destrezas era poder convertir números decimales a numerales binarios, octales y hexadecimales. Como ya estaban al nivel de Álgebra II, mostrale éstos métodos hubiese sido bastante beneficioso, de haberlo conocido a tiempo.

Fuente:

La Covacha Matemática

El método de Ruffni tambén se puede aplicar a las matrices... vea el blog Series Divergentes: "De la división sintética al álgebra lineal"

Trucos y otras formas para multiplicar (videos)

Multiplicar geométricamente, dibujando líneas paralelas. Rumores “internautas” dicen que así multiplicaban los mayas, pero no os lo puedo confirmar, no estoy seguro. 

El siguiente es lo mismo, pero con una explicación de una persona (quizás se vea un poco mal):

En el siguiente vídeo se puede ver un método de lo más original para poder realizar cálculos rápidos y mentales de productos de dos cifras cuyo multiplicando y multiplicador empiecen por 1:

Y este es el que más me gusta, un poquillo más difícil que el primero, pero es muy divertido:

Y el más complicado (vía Felix Maocho), pero a la vez el más guay:

¿Qué os ha parecido? Divertido ¿verdad? 

Al final siempre acudiremos a la calculadora… ¿o no?

Fuente:

 Roskiencia

El mínimo común múltiplo (mcm)... ¡y como calcularlo!

En este post vamos a ver qué es el mínimo común múltiplo o mcm y cómo calcularlo. Y también les dejamos unos enlaces para que puedan resolver ejercicios.

¿Qué es el mínimo común múltiplo (mcm)? El mínimo común múltiplo (mcm) es el número más pequeño, que no sea 0, que es múltiplo de 2 o más números.

Para entender mejor esta definición vamos a ver todos los términos:

• Múltiplo: Los múltiplos de un número son los que obtienes cuando lo multiplicas por otros números.

Vamos a ver un ejemplo de los multiplos de 2 y de 3. Para calcular sus múltiplos hay que ir multiplicando el 2 o el 3 por 1, por 2, por 3, etc.

2 x 1 = 2          2 x 2 = 4          2 x 3 = 6          2 x 4 = 8          y así sucesivamente hasta infinitos números.

3 x 1 = 3          3 x 2 = 6          3 x 3 = 9          3 x 4 = 12        y así sucesivamente hasta infinitos números.

•  Múltiplo Común: Un múltiplo común es un número que es múltiplo a la vez de dos o más números, es decir, es un múltiplo común a esos números.

Siguiendo con el ejemplo anterior, vamos a ver los múltiplos comunes de 2 y de 3.

Habrá que ver qué múltiplos tienen en común el dos y el tres, que en la imagen figuran en verde, es decir, el 6, el 12 y el 18.  Hay que tener en cuenta que los múltiplos son infinitos y que nosotros solo hemos mostrados los primeros de cada número.

•  Mínimo común múltiplo: El mínimo común múltiplo es el número más pequeño de los múltiplos comunes.

Siguiendo con el ejemplo anterior, si los múltiplos comunes de 2 y de 3 eran 6, 12 y 18, el mínimo común múltiplo o mcm es 6, ya que es el menor de los múltiplos comunes.

A continuación vamos a ver cómo calcular el mínimo común múltiplo. Se pueden utilizar dos métodos.

El primer método para calcular el mcm es el que hemos utilizado antes, es decir, escribimos los primeros múltiplos de cada número, señalamos los múltiplos que sean comunes y elegimos el múltiplo común más pequeño.

Ahora vamos a explicar el segundo método para calcular el mcm. Lo primero que hay que hacer es descomponer en factores primos cada número. Después tendremos que elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y por último, tendremos que multiplicar los factores elegidos.

Vamos a ver un ejemplo de ésto, calculando el mcm de 12 y de 8.

Vamos a descomponer 12 y 8 en factores primos:

12 = 2² x 3          8 = 2³

Ahora elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente, por lo tanto elegimos 2³ y el 3.

Y por último los multiplicamos, por lo tanto 2³ x 3 = 8 x 3 = 24

Así que el mcm ( 12 , 8 ) = 24

Pulsa en el enlace si quieres ver el tutorial completo con más ejemplos del mínimo común múltiplo.

Además puedes practicar algunos ejercicios sobre el mínimo común múltiplo online en los enlaces que te mostramos a continuación:

Ejercicios para calcular el mcm de 2 números I

Ejercicios para calcular el mcm de 2 números II

Fuente:

Matemáticas a un click

Las matemáticas y Listverse

Ah, las matemáticas. Nada más detestable en la vida, cuando nos encontramos cursando el colegio, verdad? Un verdadero dolor de cabeza para muchos, pero con estos pocos trucos que Listverse publica, pueden darnos no sólo una pequeña ventaja en nuestras operaciones diarias, sino que, de hecho, hicieron que la mate pareciese algo divertido, por un momento.

Aquí los ejemplos más llamativos, traducidos de Listverse:

El truco de multiplicar por 11 (funciona para numeros de 2 digitos que multipliquemos por 11)

Todos conocemos el truco de multiplicar por 10 -añadir un 0 al final del número - ,pero sabían que hay un truco igual de fácil para multiplicar un número de dos digitos por 11?

Coger un número e imaginar un espacio entre ambos digitos (en este ejemplo, usaremos 52):

• 5_2
• Ahora, añadir los dos numeros al medio como suma:
• 5_(5+2)_2
• La respuesta? 572.

Si los números del medio terminan sumando a un numero de 2 digitos, insertar el segundo número al medio, y sumar un 1 al primero. Ejemplo:

• 99 (multiplicado por 11)
• 9_9
• 9_(9+9)_9
• (9+1)_8_9
• 10_8_9
• 1089 - siempre funciona

Multiplicaciones por 5

Esto es para cuando queremos multiplicar grandes números, por 5 (obviamente no un 5×3, o algo asi)

• Coger un número cualquiera, y sacar la mitad (dividirlo entre 2).
• Si tenemos un número entero, le añadimos un 0 al final.
• Si no es un número entero (termina en decimales), ignorar los decimales, y añadir un cinco al final.

Ejemplo 1:
2682×5= ?
2682 / 2 = 1341 (y le añadimos un cero al final)
asi que 2672×5= 13410
Ejemplo 2
5887 x 5 = ?
5887 / 2 = 2943.5 (ignorar el decimal, y añadirle un 5 al final)
5887 x 5 = 29435

Multiplicaciones Dificiles

Si tienen frente a ustedes una complicada multiplicación, pueden dividir el primer número, y multiplicar el otro, para conseguir una multiplicación más simple.

Ejemplo:
48×200 es lo mismo que
24 x 400 es lo mismo que
12 x 800 es lo mismo que
6 x 1600 es lo mismo que
3 x 3200 es lo mismo que
1 x 9600 = 9,600
O:
32 x 125 es lo mismo que
16 x 250 es lo mismo que
8 x 500 es lo mismo que
4 x 1000 = 4,000

Desean ver más trucos matemáticos? Dense una vuelta por Listverse

Enlace

Multiplicación: La tabla del nueve (2)

¿Se imaginó usted que se podría facilitar el parendizaje d ela tabla del nueve empleando un reloj? Pues bien en el siguiente video veremos como, de manera sencilla, tenemos la tabla del nueve con la esfera de un reloj.


Stuck On Your 9 Times Tables? - A funny movie is a click away

Fuente:

www.metacafe.com

Multiplicación: La tabla del 9
Este método es un clásico entre los maestros de las escuelas primarias. Se trata de facilitar el aprendizaje de la tabla del nueve utilizando solamente los dedos de la mano. Observen este video (contiene anotaciones en español)


Multiplication - The most amazing home videos are here

Fuente:

www.metacafe.com

Multiplicaciónes gráficas... ¡ni te lo imaginabas!



The Hole - video powered by Metacafe

Más videos en Metacafe

Matemáticas: más realistas y conectadas con el entorno

Se requiere buena capacitación de docentes para brindar una educación eficaz
Si usted es de los que siguen sin darle importancia a las matemáticas, quizás deba saber lo siguiente: una buena formación matemática permite la creación de ciudadanos competentes, capaces de juzgar y criticar las decisiones de sus autoridades. Incluso las matemáticas pueden servir como método de inclusión en la sociedad.

Eso es lo que piensa Vincenc Font, docente español de la Universidad de Barcelona, quien pasó por Lima para participar en un simposio internacional de enseñanza de las matemáticas organizado por la Universidad Católica.

FUERA DE CONTEXTO
"Las matemáticas que se enseñan en el mundo son descontextualizadas y formalistas. Deben reemplazarse por unas más realistas y conectadas con el entorno. Esto implica que los profesores tengan la competencia necesaria para hacer este tipo de matemáticas y luego desarrollarla en los planes de formación", indica Font.

Sostiene que por las particularidades que posee cada país, es posible que un método eficaz en un territorio no sea válido en otro.

"Se necesita la evolución de las matemáticas y en general de la educación. Que pase de una visión expositiva en que el alumno es solo un receptor a una en que el profesor explique las matemáticas de manera activa y constructiva, permitiendo a los chicos construir su propio conocimiento y aprendizaje", sentencia.

VEHÍCULO DE INCLUSIÓN
Para Font, si se procura que las matemáticas sean representativas, interesantes, motivadoras y estén conectadas con la realidad, habrá mas posibilidades de conseguir que las personas se impliquen emotivamente en la actividad y pongan interés.

"Es importante procurar que los contextos sean motivadores y adaptarse al ritmo de cada alumno porque no todos aprenden de la misma manera y al mismo tiempo. En un país que está en proceso de desarrollo, como el Perú, es fundamental que las matemáticas no sirvan para excluir a un sector de población, sino para incluir a los alumnos al sistema", agrega.

EXPERIENCIA PERUANA
En nuestro país también hay intentos por mejorar el dictado de las matemáticas, en particular reconociendo los diferentes ritmos de aprendizaje para los alumnos. Sin embargo, ello obliga a la permanente capacitación de los docentes.

"Si un educador es creativo, en el contexto actual, genera motivación que captura al alumno y hace más ameno el curso de las matemáticas", opina Eva Gómez Salcedo, docente de física y matemáticas de la institución educativa Santa Isabel de Hungría.

Gómez sostiene que la aplicación de una adecuada metodología proporciona medios novedosos, creativos y versátiles. En su caso, esta situación la ha llevado a crear infografías (con la ayuda de Word) para ser usadas como nuevas herramientas de aprendizaje.

CLAVES
Cómo tener más llegada en los alumnos
1. Procurar que las matemáticas que se enseñen sean importantes, útiles y esenciales. Descartar las intrascendentes y secundarias.

2. Vigilar y tener en cuenta el ritmo de aprendizaje de los alumnos. Es recomendable adaptarse a sus conocimientos previos.

3. Seleccionar contextos y ejemplos que sean interesantes y motivadores. Que los alumnos se involucren en ellos.

4. Crear un clima de respeto y no de miedo.

5. Preocuparse de que los materiales informáticos sean los adecuados.

Fuentes:

Vida & Futuro (El Comercio

Blog de los Gaussianos

Bonus: En exclusiva para CONOCER CIENCIA la conferencia de Uldarico Malaspina Jurado sobre "Resolución de Problemas y Matemática para la Vida" (PDF)