La evolución del simbolismo matemático

Página del Liber abacci de Leonardo Pisano "Fibonacci"

Todos, en mayor o menor medida, estamos familiarizados con el simbolismo matemático. En un país mínimamente desarrollado es difícil encontrar a alguien que no sepa qué significan estos cinco símbolos en este orden: 2+1 = 3. De hecho, la presencia del simbolismo matemático es tan común, efectiva y eficiente que ni nos paramos a pensar que durante buena parte de la existencia de la humanidad no existió. Ni siquiera durante la mayor parte de la historia de la escritura. Y es que el simbolismo matemático es un invento progresivo, con avances y retrocesos, y que no toma carta de naturaleza plena hasta el siglo XVII. Europa será el crisol donde se obtenga.

El uso de símbolos para representar ideas matemáticas es lo que caracteriza a una rama de éstas que conocemos como álgebra. En una expresión algebraica como

x³-ax²+10x-1 = 5

podemos distinguir tres tipos de símbolos: por una parte los que representan cantidades conocidas (10, 1, 5) o dadas (a), por otra los que representan cantidades desconocidas o incógnitas (en este caso x) y, finalmente los que expresan operaciones o relaciones (³, ², +, -, =). En puridad, existe un cuarto simbolismo que es posicional, es decir, cómo cambia el significado de un símbolo por la posición con respecto a los demás, pero en lo que sigue no nos referiremos a él explícitamente y nos concentraremos en el origen de los otros tres tipos.

Muchas civilizaciones anteriores a la griega, particularmente la babilonia y la egipcia, tienen textos matemáticos. Suelen ser tablas contables, de control de producción agrícola o de medida de terrenos, aunque alguno hay de lo que parece entrenamiento en cálculo. Todos estos textos tienen en común que describen los problemas literariamente y que el sistema de numeración se basa en la repetición de símbolos. Estos textos emplean el mismo sistema de escritura durante, literalmente, miles de años sin cambios sustanciales. Ello nos hace ver que cumplían con las necesidades de escribas, almaceneros, agrimensores y cobradores de impuestos. O, visto de otra manera, no existía una necesidad de abstracción matemática que favoreciese la aparición de una forma más eficiente de representar las relaciones entre cantidades.

Hay que esperar a la era imperial romana para encontrar un avance realmente significativo, aunque sea de manos de un griego. Los griegos representaban las cantidades numéricas empleando letras, pero Diofanto, probablemente en el siglo III de la era común, da un paso más en el simbolismo en su Aritmética, la misma que Fermat estudiaba cuando se le ocurrió su famoso último teorema. Introduce abreviaturas para las expresiones más habituales así como una notación especial para la incógnita y las distintas potencias de la incógnita. El gran paso hacia la abstracción matemática de Diofanto fue crear una abreviatura para “igual a”, lo que constituye un paso fundamental desde un álgebra verbal, descriptiva, hacia un álgebra simbólica y abstracta.

A pesar de sus carencias (sólo existe una incógnita, no existe notación para un número general conocido, etc.) Diofanto consigue separarse de la geometría como único modo de expresar los conceptos y operaciones matemáticos.

Tras Diofanto se entra en los años oscuros donde prácticamente no existen avances. Habitualmente, los libros de historia, y algún conferenciante TED, citan los trabajos de los árabes como transmisores de la cultura grecolatina y, por tanto, de las matemáticas. Hay muchos que piensan en la labor realizada por los traductores en Castilla como fundamental. Y, efectivamente, esto es así, pero no para el avance del simbolismo algebraico, que retrocede a épocas anteriores a Diofanto, con un retorno a la literalidad y la geometría. En el 1800 a.e.c. los babilonios resolvían ecuaciones cuadráticas expresadas en forma de texto; tres mil años después, a comienzos del siglo XII e.c., Omar Jayam sigue haciéndolo igual.

La conexión con el conocimiento musulmán existe pero es diferente a la que habitualmente se cree. Fueron los intereses comerciales de Leonardo Pisano, más conocido como Fibonacci, y sus viajes por el Mediterráneo, particularmente a Egipto, donde habría entrado en contacto con las ideas matemáticas persas e hindúes además de las musulmanas, los que trajeron una revolución a Europa en forma de libro.

El Liber abacci (1202) de Fibonacci probablemente tenga uno de los comienzos más revolucionarios de la historia de la ciencia. Comienza tal que así:

“Hay nueve figuras de los indios: 9,8,7,6,5,4,3,2,1. Con estas nueve figuras, y con el signo 0 que en árabe se llama zephirum, se puede escribir cualquier número, como se demostrará.”

Los siguientes 7 capítulos del libro (de un total de 15) se dedican a explicar cómo usar y realizar operaciones con estos nuevos numerales.

Fibonacci aporta un avance fundamental, como vemos, que facilita la aritmética enormemente. Pero sigue habiendo limitaciones importantes. Fibonacci usa un sistema sexagesimal para expresar sus resultados. La fundamental, sin embargo, es que para incógnitas y operaciones Fibonacci también sigue a los musulmanes aunque traduciéndolos al latín italianizado. Así aparecen radix (raíz), res/causa/cosa (para la incógnita), census (propiedad, para el cuadrado), o cubus (cubo). Los problemas se siguen expresando literariamente.

Los desarrollos son muy lentos y, si bien los nuevos numerales indo-arábigos se popularizan rápidamente, hay que esperar hasta 1494, a la Summa de Luca Pacioli, para registrar un nuevo avance, que parece un retroceso. Pacioli vuelve a un sistema parecido al que Diofanto usó más de mil doscientos años antes, usando los numerales de Fibonacci y expresando la incógnita como co, su cuadrado como ce y el cubo como cu, simples abreviaturas de los nombres italianos.

Se producen algunos avances menores más, pero el sistema de Pacioli es tan eficaz para el uso habitual que será necesaria una crisis matemática para provocar el siguiente paso adelante en la notación simbólica. Y esa crisis será la resolución de la ecuación cúbica.

Diofanto y Cardano ya asumían la existencia “operativa” de los números negativos. Cardano atribuía la misma operatividad de facto a los complejos, pero para Rafael Bombelli que atacaba la resolución de ecuaciones cúbicas irreducibles y llegó a dar reglas de signos para la operación con números complejos, la notación disponible era una tortura. Bombelli se ve forzado a la introducción del corchete en su obra l'Algebra (1572):

Multiplichisi, R.c.[2 più di meno R.q.3] per R.c. [2 meno di meno R.q.3]

donde R.q. y R.c. son, respectivamente, la raíz cuadrada y la raíz cúbica.

El simbolismo moderno estaba a punto de surgir de pura necesidad. Los avances en trigonometría y sobre todo en álgebra requerían una forma más racional de expresar ideas matemáticas. Y este avance se dio en dos pasos gigantescos. Pero esos pasos se darían en Francia, que se convertiría en los siguientes siglos en el centro de las matemáticas.

El primero lo supuso la publicación de De artem analyticem isagoge en 1591 por parte de François Viète. En honor a la verdad, este libro fue un gran paso adelante y uno pequeño hacia atrás. Adelante porque en él se emplean de forma sistemática letras para representar números. Si bien esta idea se puede remontar a Diofanto, Viète va más allá y distingue rangos de letras y sus aplicaciones. Las cantidades podían ser de dos clases: “cosas buscadas” (quaesita) y “cosas conocidas” (data). Las incógnitas se escribían usando vocales mayúsculas A,E,I,O,U,Y y las constantes con consonantes también mayúsculas B,C,D,F,... Por ejemplo, en simbolismo de Viète la ecuación

bx²+dx = z

pasa a ser

B in A quadrum, plus D plano in A, aequari Z solido

Este ejemplo también ilustra el paso atrás que mencionábamos antes, que es un retorno a la geometría que se expresa a través de la “ley de homogeneidad”, según la que todos los términos de la ecuación deben tener las mismas dimensiones. Como bx² tiene tres dimensiones, dx también debe tenerlas (de ahí lo de D plano) al igual que z. Esto hace la notación tediosa y aparentemente poco operativa, si bien Viète manejaba polinomios de grado 45 con soltura.

Y entonces llegó La géométrie de René Descartes en 1637. Este libro es el primero que se lee como un texto moderno de matemáticas. Descartes toma todos los conocimientos existentes sobre simbolismo matemático, los simplifica, los racionaliza y los emplea en un libro que marca el comienzo de la geometría algebraica. Sólo dos cosas importantes están ausentes: el signo = para la igualdad y, paradójicamente, los ejes cartesianos, y es que Descartes no veía la necesidad de que los ejes estuviesen a 90 grados.

En La géométrie las letras minúsculas del comienzo del alfabeto representan datos conocidos, y las letras del final del alfabeto las incógnitas buscadas. La x se convirtió en la representación de la incógnita por antonomasia porque Descartes le dio libertad a su impresor de usar la letra del final del alfabeto que más le conviniera, eligiendo éste la x porque es la que menos uso tiene en francés.

A partir de este momento se produce una triple revolución en las matemáticas: la generalización de la impresión de libros, el uso de un simbolismo potentísimo y la posibilidad de reducir la geometría a álgebra supondrán un florecimiento tal, que en sólo cincuenta años después de La géométrie se publicaba, por ejemplo, los Principia mathematica de Newton.

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Experientia Docet

Criptografía: herramientas esenciales para una informática privada y anónima

Un sistema anónimo ofrece la capacidad a los individuos para revelar su identidad sólo cuando lo deseen; esta es la esencia de la privacidad. Asimismo la privacidad en una sociedad abierta requiere la criptografía. — A Cypherpunk’s Manifesto

En una sociedad como la nuestra, transformada en red cuasi-infinita de entidades comunicantes, donde la privacidad y el anonimato son una mera ilusión escondida tras el cómputo en la nube, la criptografía es el único camino seguro. Desafortunadamente, el tema permanece oscuro para la mayoría de los usuarios de la red: ignoramos por qué es importante tener privacidad y anonimato, e ignoramos que existen herramientas —muchas de ellas libres— que nos proporcionan esos derechos.

No tenemos que ser expertos en álgebra superior para ayudarnos de la criptografía porque cada vez contamos con más y mejores herramientas que la proveen. He aquí algunas de ellas; recomiendo combinar dos o más de ellas según el contexto. Obvio, existen otras herramientas: recomienda o comenta tu experiencia con ellas.

 Tor Browser Bundle

Tor es la herramienta definitiva para el anonimato en la red. La sencilla instalación de Tor Browser Bundle te permitirá navegar por la red de forma anónima, aunque a costa del desempeño. En Android puedes usar Orbot.

 Cryptocat

Instala el complemento para tu navegador favorito y podrás llevar conversaciones privadas (porque la comunicación va cifrada) y ahora también anónimas (usa el protocolo OTR). Pidgin con OTR te servirá igual para todos los protocolos de chat (incluso Messenger).

 N-1

Donde las redes sociales tradicionales (dígase Facebook) son verdaderas máquinas de vigilancia explícita (los datos de los usuarios) e implícita (todas sus conexiones), una red social libre y descentralizada como N-1 llega a salvar el día. Entre otras características interesantes, es posible enviar mensajes cifrados.

 Ubuntu 12.10: Full Disk Encryption

La última versión de Ubuntu permite fácilmente cifrar todo un disco duro desde el instalador principal (antes lo hacía desde el instalador alternativo). Esto es protección desde la misma base. Por su parte, TrueCrypt es la opción en todos los sistemas operativos.

Thunderbird + Enigmail

Thunderbird es un cliente de correo electrónico de la familia Mozilla. Enigmail, el complemento que permite el envío cifrado de correos electrónicos, correos que sólo deben ser vistos por su destinatario. En equipos ambas herramientas proveen un alto nivel de seguridad.

 OpenVPN

Una VPN es una red cifrada encima de internet. Normalmente se utiliza para crear túneles en la red que permiten acceder a servicios denegados por la red actual al tiempo que ofrece cierto grado de privacidad. Hay muchos servicios VPN en la red, principalmente de paga; entre ellos Hamachi es muy fácil de usar. OpenVPN es gratuito y nos permite crear nuestro propio servicio VPN en casa aunque con cierta dificultad. Spotflux quiere cambiar este paradigma al estar en la nube: aunque hay que confiar en ellos.

HTTPS Everywhere

HTTPS permite transmitir datos cifrados entre tu navegador y el servidor web. HTTPS Everywhere obliga a los servidores, si la hay, a ofrecerte esa opción más segura (aunque no infalible).

Darknets

Cuando todo falla, cuando la comunicación privada y anónima es vital, solo quedan las darknets, esas redes ocultas, paralelas o incluso independientes a internet. La red TOR es una de ellas. Freenet es pionera entre las darknets anti-censura. Pero hay otras que buscan ser alternativas a Internet, independientes y verdaderamente descentralizadas como Project Meshnet, a su vez basado en decenas de proyectos de código abierto. The Serval Project para móviles anda por ese camino, y en combinación con proyectos como CSipSimple puede llegar a ser una red de telefonía móvil independiente y segura.

Una recomendación final: organiza una CryptoParty, sigue el manual y harás muchos amigos. Quizá quieras invertir algunos bitcoins —criptomonedas— en ello.

Imagen: Kenneth Freeman y alpuerto

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La “Guerra del Cálculo Matemático”…Newton contra Leibniz

Estarán de acuerdo conmigo que si se les hace una encuesta donde se les solicite una relación de los tres científicos más importantes de la historia, el gran Isaac Newton es uno de los fijos en esa lista.

Pero lo que a lo mejor no saben es que el bueno de Newton es uno de los hombres de ciencia más conflictivos de la historia. Manipulador, perverso, arrogante, hostil, son algunos de los adjetivos nada cariñosos que los historiadores han dedicado al científico inglés. Sus célebres disputas con todos aquellos que le llevaran la contraria o que, simplemente, se atreviesen a tener una pequeña discusión con él, han pasado a la historia de la ciencia.

Newton

La vida de Newton siempre estuvo rodeada de graves problemas. Su padre murió antes de que él naciera y, cuando Newton tenía tres años su madre, lo dejó al cuidado de su abuela para irse a vivir con su segundo esposo. Este hecho le marcó toda su vida y ya de pequeño cuentan los libros que Isaac Newton amenazó con quemar la casa de su madre y de su padrastro.

Problemas de sexualidad, autismo, agresividad… todo pintaba negro para el futuro de Isaac Newton…hasta que la ciencia lo rescató…pero no sin que sus rivales contemporáneos sufrieran las consecuencias de todos sus problemas.

Uno de sus grandes damnificados fue el astrónomo real, John Flamsteed, con el que mantuvo una terrible disputa por el ansiado “Catálogo de estrellas”. Para intentar elaborar una “Teoría de la luna”, como elemento central de una segunda edición de su obra magna, los “Philosophiae Naturalis Principia”, Newton necesitaba unos datos relativos a las observaciones lunares que solamente un hombre en el mundo podía proporcionárselo, John Flamsteed… pero éste no estaba por la labor…y ambos mantuvieron una lucha encarnizada por el “Catálogo de estrellas”.

Otro de los grandes rivales de Newton fue el Conservador de Experimentos de la Royal Society, Robert Hooke, con el que mantuvo grandes disputas en el ámbito de la óptica, la gravedad e incluso la mecánica orbital. Es cierto que Newton superó a Hooke en la gran mayoría de sus feroces luchas, pero también es verdad que sus agresivas formas y su evidente odio ante su contrincante le mantuvo alejado de la Royal Society… hasta que Hooke murió…“muerto el perro…se acabó la rabia”.

Pero, sin duda alguna, el peor enemigo de Newton fue el filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el motivo de sus disputas… ¡¡¡el descubrimiento del cálculo infinitesimal!!!

Leibniz fue uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como “El último genio universal”. Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia.

Nacido en Leipzig, el polifacético alemán era un auténtico genio. Denis Diderot, el filósofo deísta francés del siglo XVIII, cuyas opiniones no podrían estar en mayor oposición a las de Leibniz, no podía evitar sentirse sobrecogido ante sus logros, y escribió en la Enciclopedia: “Quizás nunca haya un hombre leído tanto, estudiado tanto, meditado más y escrito más que Leibniz… Lo que ha elaborado sobre el mundo, sobre Dios, la naturaleza y el alma es de la más sublime elocuencia. Si sus ideas hubiesen sido expresadas con el olfato de Platón, el filósofo de Leipzig no cedería en nada al filósofo de Atenas.”

Durante tiempo se rumiaba por los ambientes científicos que Leibniz tenía algo preparado que no le iba a gustar nada a Isaac Newton. Su incursión en el mundo del cálculo infinitesimal, coto privado del genio inglés, podía darle más de un disgusto al científico anglosajón. Durante todas las épocas de la historia, grandes científicos intentaron ser los padres del cálculo infinitesimal…pero hasta que llegó Newton, el cual lo utilizó en sus leyes de movimiento y gravitación, nadie lo había logrado.

Leibniz

A pesar de los rumores cada vez más intensos acerca de los avances de Leibniz, Isaac Newton estaba tranquilo. Mediante su “método de fluxiones” había logrado ser considerado el padre del cálculo infinitesimal o cálculo de infinitesimales, que constituye una parte muy importante de la matemática moderna ya que incluye el estudio de los límites, derivadas, integrales y series infinitas…el cálculo infinitesimal es el estudio del cambio, en la misma manera que la geometría es el estudio del espacio.

Y explotó la bomba. En una visita a la Royal Society, Leibniz presentó en Londres su particular desarrollo del cálculo…que era superior desde el punto de vista de la notación simbólica al del gran Isaac Newton…y esto, aunque no debiera, era un problema de gran magnitud debido a que todos temían la reacción del inglés.

Después de mostrar ante la Royal Society una máquina calculadora que había estado diseñando y construyendo desde 1670, la primera máquina de este tipo que podía ejecutar las cuatro operaciones aritméticas básicas, la Sociedad le nombró miembro externo.

Para evitar que la supremacía de Newton en el cálculo matemático pudiese ponerse en entredicho, la Royal Society le dio la oportunidad de contestar para que mantuviese su prioridad en el desarrollo del cálculo pero Newton menospreció los resultados del polifacético alemán con sus típicos comentarios burlescos… no sabía la que se le venía encima.

De acuerdo con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un acontecimiento fundamental, ese día empleó por primera vez el cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de una función y=f(x).

Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo “integral“ ∫, que representa una S alargada, derivado del latín “summa“, y la letra “d” para referirse a los “diferenciales”, del latín “differentia”. Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo es probablemente su legado matemático más perdurable.

Su principal contribución fue el proveer un conjunto de reglas claras para la manipulación de cantidades infinitesimales, permitiendo el cómputo de derivadas de segundo orden y de orden superior, y estableciendo la regla del producto y regla de la cadena en su forma diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz le puso mucha atención al formalismo y a menudo le dedicaba varios días a determinar los símbolos apropiados para los conceptos.

La regla del producto del cálculo diferencial es aún denominada “regla de Leibniz para la derivación de un producto”. Además, el teorema que dice cuándo y cómo diferenciar bajo el símbolo integral, se llama la “regla de Leibniz para la derivación de una integral”.

El científico alemán no se cortó un pelo y, sin mencionar en ningún momento a Newton, publicó un trabajo en 1684 que tituló, sin que le temblara el pulso, “Cálculus”.

En esta ocasión Newton no solamente se tomó en serio al científico alemán, sino que se enfureció de forma salvaje…pero, una vez más, a Newton le pudo la soberbia.

Debido a que “Don Isaac” pasaba todo su tiempo escribiendo sus archiconocidos “Principia” y, sobre todo, a sus ganas incontrolables de volver a menospreciar el trabajo de Leibniz, Newton no luchó personalmente contra su rival alemán sino que prefirió delegar la batalla en tres científicos cercanos a sus ideas, John Wallis, Fatio de Duillier y John Keill, conocidos como los “enfants perdus” de Newton.

El cruce de insultos y golpes entre los dos bandos fue descarnado. Los partidarios de Newton acusaban a Gottfried Wilhelm Leibniz de plagiar el trabajo inédito de Isaac Newton. Los ataques no eran muy velados y las acusaciones de plagio estaban al orden del día…todo por poder atribuirse la paternidad del cálculo moderno.

La controversia no se limitaba solamente a dos científicos de la época…dos grandes países estaban enfrentados. La polémica dividió a los matemáticos de habla inglesa de los matemáticos continentales por varios años, causando un retraso de las matemáticas inglesas.

Sin embargo, Lebniz estaba afectado. No podía admitir que le acusasen de robar el trabajo de otro. En realidad no lo había hecho. Pero los esfuerzos continuos de Leibniz por reivindicar la invención del cálculo no llegaron a buen puerto…desde su “silencio” Newton estuvo moviendo sus hilos con gran éxito.

El científico inglés logro hacerse con la presidencia de la Royal Society y desde esa privilegiada posición convocó un “tribunal imparcial” que hundió en la miseria a Leibniz. El veredicto del tribunal, unido a un informe tremendamente mordaz del propio Newton, que perseguía el descrédito público de su rival…pudo con el gran alemán.

Pero la peculiar personalidad de Isaac Newton no le dejó acabar ahí su batalla contra el científico alemán y, en una muestra de hasta dónde podía llegar su crueldad, comentó años después de la muerte de Leibniz en 1716 que su informe le “había roto el corazón a su contrincante y por eso llego a morir”…

Sin embargo, y como ya hemos mencionado en este blog, “el tiempo es el único juez insobornable que da y quita razones y, además, pone a cada uno en su sitio”….Actualmente se emplea la notación del cálculo creada por Leibniz, no la de Newton…

A pesar de ello, y de que lo considero personalmente uno de los mejores, por no decir el mejor, científico de la historia, no me hubiese gustado enfrentarme cara a cara al “respetuoso” Isaac Newton…y eso que era Sir….

Fuente:

Scientia