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| Página del Liber abacci de Leonardo Pisano "Fibonacci" |
Todos, en mayor o menor medida, estamos
familiarizados con el simbolismo matemático. En un país mínimamente
desarrollado es difícil encontrar a alguien que no sepa qué
significan estos cinco símbolos en este orden: 2+1 = 3. De hecho, la
presencia del simbolismo matemático es tan común, efectiva y
eficiente que ni nos paramos a pensar que durante buena parte de la
existencia de la humanidad no existió. Ni siquiera durante la mayor
parte de la historia de la escritura. Y es que el simbolismo
matemático es un invento progresivo, con avances y retrocesos, y que
no toma carta de naturaleza plena hasta el siglo XVII. Europa será
el crisol donde se obtenga.
El uso de símbolos para representar
ideas matemáticas es lo que caracteriza a una rama de éstas que
conocemos como álgebra. En una expresión algebraica como
x3-ax2+10x-1
= 5
podemos distinguir tres tipos de
símbolos: por una parte los que representan cantidades conocidas
(10, 1, 5) o dadas (a), por otra los que representan
cantidades desconocidas o incógnitas (en este caso x) y,
finalmente los que expresan operaciones o relaciones (3,
2, +, -, =). En puridad, existe un cuarto simbolismo que
es posicional, es decir, cómo cambia el significado de un símbolo
por la posición con respecto a los demás, pero en lo que sigue no
nos referiremos a él explícitamente y nos concentraremos en el
origen de los otros tres tipos.
Muchas civilizaciones anteriores a la
griega, particularmente la babilonia y la egipcia, tienen textos
matemáticos. Suelen ser tablas contables, de control de producción
agrícola o de medida de terrenos, aunque alguno hay de lo que parece
entrenamiento en cálculo. Todos estos textos tienen en común que
describen los problemas literariamente y que el sistema de numeración
se basa en la repetición de símbolos. Estos textos emplean el mismo
sistema de escritura durante, literalmente, miles de años sin
cambios sustanciales. Ello nos hace ver que cumplían con las
necesidades de escribas, almaceneros, agrimensores y cobradores de
impuestos. O, visto de otra manera, no existía una necesidad de
abstracción matemática que favoreciese la aparición de una forma
más eficiente de representar las relaciones entre cantidades.
Hay que esperar a la era imperial
romana para encontrar un avance realmente significativo, aunque sea
de manos de un griego. Los griegos representaban las cantidades
numéricas empleando letras, pero Diofanto, probablemente en el siglo
III de la era común, da un paso más en el simbolismo en su
Aritmética, la misma que Fermat estudiaba cuando se le
ocurrió su famoso último teorema. Introduce abreviaturas para las
expresiones más habituales así como una notación especial para la
incógnita y las distintas potencias de la incógnita. El gran paso
hacia la abstracción matemática de Diofanto fue crear una
abreviatura para “igual a”, lo que constituye un paso fundamental
desde un álgebra verbal, descriptiva, hacia un álgebra simbólica y
abstracta.
A pesar de sus carencias (sólo existe
una incógnita, no existe notación para un número general conocido,
etc.) Diofanto consigue separarse de la geometría como único modo
de expresar los conceptos y operaciones matemáticos.
Tras Diofanto se entra en los años
oscuros donde prácticamente no existen avances. Habitualmente, los
libros de historia, y algún conferenciante TED, citan los trabajos
de los árabes como transmisores de la cultura grecolatina y, por
tanto, de las matemáticas. Hay muchos que piensan en la labor
realizada por los traductores en Castilla como fundamental. Y,
efectivamente, esto es así, pero no para el avance del simbolismo
algebraico, que retrocede a épocas anteriores a Diofanto, con un
retorno a la literalidad y la geometría. En el 1800 a.e.c. los
babilonios resolvían ecuaciones cuadráticas expresadas en forma de
texto; tres mil años después, a comienzos del siglo XII e.c., Omar
Jayam sigue haciéndolo igual.
La conexión con el conocimiento
musulmán existe pero es diferente a la que habitualmente se cree.
Fueron los intereses comerciales de Leonardo Pisano, más conocido
como Fibonacci, y sus viajes por el Mediterráneo, particularmente a
Egipto, donde habría entrado en contacto con las ideas matemáticas
persas e hindúes además de las musulmanas, los que trajeron una
revolución a Europa en forma de libro.
El Liber abacci (1202) de
Fibonacci probablemente tenga uno de los comienzos más
revolucionarios de la historia de la ciencia. Comienza tal que así:
“Hay nueve figuras de los indios: 9,8,7,6,5,4,3,2,1. Con estas nueve figuras, y con el signo 0 que en árabe se llama zephirum, se puede escribir cualquier número, como se demostrará.”
Los siguientes 7 capítulos del libro
(de un total de 15) se dedican a explicar cómo usar y realizar
operaciones con estos nuevos numerales.
Fibonacci aporta un avance fundamental,
como vemos, que facilita la aritmética enormemente. Pero sigue
habiendo limitaciones importantes. Fibonacci usa un sistema
sexagesimal para expresar sus resultados. La fundamental, sin
embargo, es que para incógnitas y operaciones Fibonacci también
sigue a los musulmanes aunque traduciéndolos al latín italianizado.
Así aparecen radix (raíz), res/causa/cosa (para la
incógnita), census (propiedad, para el cuadrado), o cubus
(cubo). Los problemas se siguen expresando literariamente.
Los desarrollos son muy lentos y, si
bien los nuevos numerales indo-arábigos se popularizan rápidamente,
hay que esperar hasta 1494, a la Summa de Luca Pacioli, para
registrar un nuevo avance, que parece un retroceso. Pacioli vuelve a
un sistema parecido al que Diofanto usó más de mil doscientos años
antes, usando los numerales de Fibonacci y expresando la incógnita
como co, su cuadrado como ce y el cubo como cu,
simples abreviaturas de los nombres italianos.
Se
producen algunos avances menores más, pero el sistema de Pacioli es
tan eficaz para el uso habitual que será necesaria una crisis
matemática para provocar el siguiente paso adelante en la notación
simbólica. Y esa crisis será la resolución de la ecuación cúbica.
Diofanto
y Cardano ya asumían la existencia “operativa” de los números
negativos. Cardano atribuía la misma operatividad de facto
a los complejos, pero para Rafael Bombelli que atacaba la resolución
de ecuaciones cúbicas irreducibles y llegó a dar reglas de signos
para la operación con números complejos, la notación disponible
era una tortura. Bombelli se ve forzado a la introducción del
corchete en su obra l'Algebra
(1572):
Multiplichisi, R.c.[2 più di meno
R.q.3] per R.c. [2 meno di meno R.q.3]
donde
R.q. y R.c.
son, respectivamente, la raíz cuadrada y la raíz cúbica.
El
simbolismo moderno estaba a punto de surgir de pura necesidad. Los
avances en trigonometría y sobre todo en álgebra requerían una
forma más racional de expresar ideas matemáticas. Y este avance se
dio en dos pasos gigantescos. Pero esos pasos se darían en Francia,
que se convertiría en los siguientes siglos en el centro de las
matemáticas.
El
primero lo supuso la publicación de De artem analyticem
isagoge en 1591 por parte de
François Viète. En honor a la verdad, este libro fue un gran paso
adelante y uno pequeño hacia atrás. Adelante porque en él se
emplean de forma sistemática letras para representar números. Si
bien esta idea se puede remontar a Diofanto, Viète va más allá y
distingue rangos de letras y sus aplicaciones. Las cantidades podían
ser de dos clases: “cosas buscadas” (quaesita)
y “cosas conocidas” (data).
Las incógnitas se escribían usando vocales mayúsculas A,E,I,O,U,Y
y las constantes con consonantes también mayúsculas B,C,D,F,... Por
ejemplo, en simbolismo de Viète la ecuación
bx2+dx = z
pasa a
ser
B in A quadrum, plus D plano in A,
aequari Z solido
Este
ejemplo también ilustra el paso atrás que mencionábamos antes, que
es un retorno a la geometría que se expresa a través de la “ley
de homogeneidad”, según la que todos los términos de la ecuación
deben tener las mismas dimensiones. Como bx2
tiene tres dimensiones, dx también debe tenerlas
(de ahí lo de D plano) al igual que z. Esto hace la
notación tediosa y aparentemente poco operativa, si bien Viète
manejaba polinomios de grado 45 con soltura.
Y entonces llegó La géométrie
de René Descartes en 1637. Este libro es el primero que se lee como
un texto moderno de matemáticas. Descartes toma todos los
conocimientos existentes sobre simbolismo matemático, los
simplifica, los racionaliza y los emplea en un libro que marca el
comienzo de la geometría algebraica. Sólo dos cosas importantes
están ausentes: el signo = para la igualdad y, paradójicamente, los
ejes cartesianos, y es que Descartes no veía la necesidad de que los
ejes estuviesen a 90 grados.
En La géométrie las letras
minúsculas del comienzo del alfabeto representan datos conocidos, y
las letras del final del alfabeto las incógnitas buscadas. La x
se convirtió en la representación de la incógnita por antonomasia
porque Descartes le dio libertad a su impresor de usar la letra del
final del alfabeto que más le conviniera, eligiendo éste la x
porque es la que menos uso tiene en francés.
A partir de este momento se produce una
triple revolución en las matemáticas: la generalización de la
impresión de libros, el uso de un simbolismo potentísimo y la
posibilidad de reducir la geometría a álgebra supondrán un
florecimiento tal, que en sólo cincuenta años después de La
géométrie se publicaba, por ejemplo, los Principia mathematica de
Newton.
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