Cómo armar (y amar) las tablas de multiplicación

Muchos recordaréis las tablas de multiplicar de la escuela y los trucos para aprenderlas. En algunas había tendencias que se repetían (como simplemente duplicar la tabla de multiplicar del 2) pero otras terminábamos aprendiéndolas de memoria. Y no estaba muy claro por qué había que memorizar el resultado de 7 x 9.

No temas, aquí no te encontrarás trucos para memorizar las tablas. En lugar de ello, te quiero mostrar una forma de entender los números que les da cierta estructura, y cómo la multiplicación utiliza esa estructura.

Comprendiendo la multiplicación

Multiplicar simplemente te da el área de un rectángulo, si sabes la longitud de sus lados. Escoge cualquier cuadrado de la tabla debajo (por ejemplo, escojamos el cuadrado en la columna número 7 y la fila 5) y colorea un rectángulo desde ese punta a la esquina de la izquierda (debajo en verde).

Un rectángulo de tamaño 5 x 7 en la tabla de multiplicar

Este rectángulo tiene una longitud de 7 y una altura de 5, y el área (el número de cuadrados verdes) la puedes encontrar en el círculo azul de la esquina inferior derecha. Esto se cumple independientemente del par de números que escojas en la tabla.

Cojamos ahora este rectángulo y girémoslo sobre la diagonal principal de la tabla (la línea discontinua roja debajo).

El mismo rectángulo, girado

La longitud y altura del rectángulo también se ha cambiado, pero el área sigue siendo la misma. Por tanto, podemos ver que 5 x 7 es lo mismo que 7 x 5. Esto se cumple para cualquier par de números. En matemáticas es lo que conocemos como propiedad conmutativa.

Este hecho implica que hay una simetría en la tabla de multiplicar. Los números sobre la diagonal son como una especie de espejo de los números debajo. Así que, si tu objetivo es memorizar la tabla, solo necesitas memorizar la mitad.

La base que construye los números

Para adentrarnos más allá en las multiplicaciones necesitamos primero hacer algunas divisiones. Recuerda que dividir un número simplemente significa separarlo en partes más pequeñas de igual tamaño.

12 ÷ 3 = 4

Esto significa que 12 puede ser separado en 3 partes, cada una de tamaño 4.

Dado que 3 y 4 son ambos números enteros, se les llama factores de 12, y 12 se dice que es divisible por 3 y por 4. Si un número es solo divisible por sí mismo y 1, se le llama número primo.

Pero hay más de una forma de representar 12 como un producto de dos números:

12 × 1

6 × 2

4 × 3

3 × 4

2 × 6

1 × 12

De hecho, podemos ver esto si miramos a la tabla de multiplicar debajo:

Las apariciones del 12 en la tabla de multiplicar

El número de cuadrados coloreados de azul en esta tabla te dice que hay seis formas en las que puedes hacer un rectángulo de área 12 cuyos lados tengan una longitud de números enteros. Representan también las diferentes maneras en las que puedes escribir 12 como producto de dos números.

Además, tal vez te hayas dado cuenta de que los cuadrados coloreados parece que forman una especie de curva. ¡Lo hacen!. La curva que uniría los cuadrados se llama hipérbola, definida por la ecuación a × b = 12, en la que “a” y “b” no son necesariamente números enteros.

Echemos un vistazo de nuevo a la lista de números cuyo producto es igual a 12. Todos esos números son factores de 12. ¿Y si miramos a factores de factores? Cualquier factor que no sea un factor primo (excepto el 1) puede separarse en factores adicionales, por ejemplo:

12 = 6 × 2 = (2 × 3) × 2

12 = 4 × 3 = (2 × 2) × 3

No importa cómo lo hagamos, cuando dividimos los factores hasta que nos quedamos solo con los factores primos, siempre acabaremos con dos 2 y un 3.

Esta multiplicación:

2 × 2 × 3

Se llama “descomposición factorial” de 12 y es única a ese número. Solo hay una forma de escribir un número como un producto de sus factores primos, y cada multiplicación de factores primos da un resultado diferente. En matemáticas esto es lo que se conoce como teorema fundamental de la aritmética.

La descomposición en factores primos nos cuenta cosas importantes sobre un número de una forma muy condensada.

Por ejemplo, en la descomposición factorial 12 = 2 × 2 × 3 podemos ver inmediatamente que 12 es divisible por 2 y 3, y no por ningún otro número primo (como el 5 o el 7). También podemos ver que es divisible por el producto de cualquier combinación de dos 2 y un 3 que escojas.

Más aún, cualquier múltiplo de 12 será también divisible por los mismos números. Toma 11 x 12 = 132. Este resultado es divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12, exactamente igual que 12. Al multiplicar cada uno de estos por el factor de 11, obtenemos que 132 es también divisible por 11, 22, 33, 44, 66 y 132.

Es también fácil ver si un número es el cuadrado de otro número: en ese caso debe haber un mismo número de cada factor primo. Por ejemplo, 36 = 2 × 2 × 3 × 3, es decir, es el cuadrado de 2 × 3 = 6.

La descomposición factorial puede hacer también las multiplicaciones más sencillas. Si no sabes el resultado de 11 x 12, conocer la descomposición de 12 implica que puedes calcular la multiplicación paso por paso.

11 x 12

= 11 x 2 × 2 × 3

= ((11 x 2) × 2) × 3

= (22 × 2) × 3

= 44 × 3

= 132

Si los factores primos de la descomposición son lo suficientemente pequeños (digamos 2, 3 o 5), multiplicar es sencillo, tal vez solo tengas que escribir un poco. Por tanto, multiplicar por 4 (= 2 x 2), 6 (= 2 x 3), 8 (= 2 x 2 x 2), o 9 (= 3 x 3) no tiene por qué ser tan complicado.

Por ejemplo, si no puedes recordar la tabla de multiplicar del 9, no importa siempre que puedas multiplicar dos veces por 3 (este método no vale sin embargo si tienes que multiplicar por factores primos mayores, aquí hay que utilizar otros trucos - si no has visto el de la tabla del 11, echa un ojo a este vídeo).

La habilidad de separar los números en sus factores primos puede hacer sencillas multiplicaciones muy complicadas, y es aún más útil para números mayores.

Por ejemplo, la descomposición factorial de 756 es 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 7, es decir, multiplicar por 756 simplemente significa multiplicar por cada uno de estos factores primos más pequeños (por supuesto, dar con la descomposición factorial de primos de un número muy grande es generalmente muy complejo, así que solo es útil si ya sabes antes cuál es esa descomposición).

Pero, ante todo, la descomposición factorial ofrece información fundamental sobre los números. Esta información es muy útil en matemáticas y otros campos como la criptografía y seguridad online. También lleva a algunos hallazgos sorprendentes: intenta colorear todos los múltiplos de 12 en las tablas de multiplicar anteriores y mira qué ocurre. Eso lo dejaré de tarea.

Fuente:

Gizmodo

Geometría: Un reto tricolor

No te mates, que no hay manera le decían los otros dos alumnos a su compañero. Habían venido a resolver unas dudas y, cuando ya se iban, uno preguntó cuándo aparecería otro reto en el blog. Es que tengo un amigo al que siempre se los cuento, dijo. No me pude resistir. Y ahí seguía, un buen rato después, intentando evitar triángulos tricolores.

Dibuja un triángulo con unos cuantos puntos dentro. ¿Como quiera? Como te dé la gana.

Luego une los puntos, dibujando todos los segmentos que puedas sin que éstos se crucen. ¿Pero como quiera? Como más rabia te dé. Cuando termines, comprueba que dentro solo tienes triángulos más pequeños.

Ahora pinta los vértices del triángulo exterior con tres colores distintos; por ejemplo rojo, verde y azul.¿También como yo quiera? También.

Aquí va el reto:

¿A que no consigues colorear el resto de puntos de manera que ninguno de los triángulos pequeños sea tricolor (con vértices rojo-verde-azul)?

Al final tuvimos que irnos, pero sé que se picó y esa tarde volvió a pasar un buen rato intentándolo...

Cortesía de:

Cifras y Teclas

Cortando un palo en tres trozos para hacer un triángulo

Paseando por la red nos encontramos con listas de preguntas que supuestamente hacen en la empresa Google para contratar gente. Podrían pareceros peregrinas, pero son problema más o menos conocidos en los que se busca una manera de razonar o de aproximarse a un problema, más que la repetición de conocimientos previos, o la aplicación directa de fórmulas.

Muchas de ellas son lo que se llaman Problemas de Fermi, problemas de estimación de cosas aparentemente imposibles de calcular, pero que finalmente resultan fáciles de aproximar con cálculos sencillos. Como el más popular: ¿Cuántos afinadores podrían trabajar en la ciudad de Chicago?

Para mentes enfermas es peligroso jugar con estas cosas, porque rápido te picas y te pones a hacer alguno… y te lías y te lías… A nosotros nos picó éste:

Si rompo un palo en tres trozos, ¿cuál es la probabilidad de que pueda formar un triángulo con los trozos?

Pero tranquilos, no hay que ponerse así de chulos para cortar el palito. Si quieres, basta coger un espagueti e intentar cortarlo en dos… a ver si puedes.

Vamos a dejarnos de bromas y os vamos a mostrar dos formas de atacar este problema. Dos formas diferentes con dos interpretaciones diferentes.

Antes de empezar, hay que plantearse algo: ¿hay alguna condición para que tres segmentos puedan formar un triángulo? ¿Tres segmentos cualesquiera podrían formar un triángulo? La respuesta es no.

Mira este triángulo y piensa que para que los dos lados de arriba puedan apoyarse sobre la base, tienen que ser (entre los dos) más largos que la base, quiero decir, sumando los dos lados deben tener más longitud que la base. Imagina que los dos lados miden 0.3 y que la base mide 1. Ni siquiera poniéndolos uno a continuación del otro, eres capaz de abarcar la base, no puede hacerse.
A este hecho,  se le llama Desigualdad Triangular y debe cumplir para todos los lados del triángulo. Cada uno de ellos tiene que medir menos que la suma de los otros dos.

Supongamos que nuestro palo mide 1 e imagina que uno de los trozos mide más que (o incluso igual) 1/2. Entonces la suma de los otros dos trozos será menor (o igual) que 1/2, por lo que no se verificaría la Desigualdad Triangular. Así que para que al cortar un palo (de longitud 1) en tres trozos se pueda formar un triángulo necesitamos que todos los trozos midan menos que 1/2, es decir, que la desigualdad triangular nos asegura que cada trozo no será demasiado grande.

Y ahora, vamos al lío y cortemos el palito. El problema es que el enunciado no deja claro cómo se rompe el palo y esto crea algo (en realidad, bastante) de incertidumbre.  Esencialmente hay 2 formas de cortar un palo en 3 trozos.

1. Corto en 2 trozos, elijo uno de ellos y lo corto de nuevo en 2.
2. Corto directamente el palo en 3 trozos.

La diferencia radica en que en el primer caso la acción de realizar el segundo corte no es independiente de la primera; mientras que en el segundo método estamos interpretando que ambos cortes son independientes.

Vamos a ver que, de hecho, de cada una de estas formas, sale una probabilidad diferente. 

Comencemos con el primer caso.

Método 1:

Para ello, podemos plantear el problema así.

1. Suponemos que nuestro palo es el intervalo (por simplificar).
2. Rompemos por un punto
3. Rompemos uno de los trozos restantes por otro punto

e van a ser dos números entre 0 y 1. Puede pasar que el primer corte quede a la derecha del segundo corte o viceversa.
Si suponemos que el segundo corte se hace a la derecha del primero, estamos diciendo que . Así, los tres trozos serán de longitud , y .

La condición que hemos obtenido para que se forme un triángulo (que todos los trozos tengan longitud menor que 1/2), se reduce ahora a que , , o equivalentemente, , y , o lo que es lo mismo, . En resumen, .

Ya tenemos las restricciones que nos permiten formar un triángulo, ahora veamos cuál es la probabilidad de que nuestros cortes caigan dentro de esas restricciones.

Imagina que damos un corte y esperamos dar el corte . Como hemos supuesto que , la longitud accesible para hacer el segundo corte es . Pero sólo nos sirve si como hemos dicho. ¿Cuál es la longitud de ese trozo? Restando sale precisamente .
Por lo tanto la probabilidad de habiendo dado un corte en acertar con el corte en es el cociente entre la longitud que nos sirve dividida por la longitud total: .
Ahora tendríamos que sumar para todos los valores de que nos sirven, que, como dijimos antes, no pueden irse más allá de 1/2.
Como es una variable continua esto lo podemos hacer con la integral: .
Resolviendo nos sale (un 19%).

Ya, pero nos faltaría el otro caso, cuando el corte nos queda a la izquierda del primer corte (es decir, ). Si lo miras bien,  verás que la situación es igual a la primera, pero simétrica, así que multiplicamos por dos el resultado.

Por lo tanto, si generamos los tres trozos, dando un primer corte y luego otro, la probabilidad de que los tres trozos resultantes puedan formar un triángulo es , aproximadamente un 38%.

Método 2:

Aquí suponemos que los 2 cortes se hacen a la vez. Si llamamos al primer punto de corte e al segundo, estamos en una situación muy parecida a la anterior.

¿Cuáles son las posibles configuraciones de los puntos de corte   e ? La única restricción es que , luego todas las posibles opciones son .

Si representamos gráficamente en el plano este conjunto, resulta ser el triágulo de vértices , y :

Ahora bien, ¿Cuáles de esas posibles configuraciones hacen que pueda formarse un triángulo? Esas restricciones las calculamos un poco más arriba, acudiendo a las desigualdades triangulares, y eran: . Si representas de nuevo este conjunto en el plano, te sale otra vez un triángulo, pero ahora el de vértices , y :

En resumen, tenemos un montón de casos posibles (los del primer triángulo) de los cuales sólo los que están en el segundo triángulo son favorables. Aplicamos la Regla de Laplace, hallamos el área de cada triángulo y su cociente es… 1/4, es decir, tenemos un 25% de probabilidad.

Conclusiones:

¿Cómo es posible que un mismo problema se resuelva de dos formas diferentes y den resultados diferentes? ¿Acaso algún método está equivocado?

En primer lugar, eso es más habitual de lo que parece. Te recomendamos que veas la charla Intuiciones improbables de nuestro compañero Iñaki Úcar.

En segundo lugar, lo que ocurre aquí es una guerra de interpretaciones. Quizás una guerra entre paradigmas. Entre el clásico paradigma frecuentista, en el que todo es ideal, todo está perfectamente definido y está basado en unos axiomas concretos (como en el Método 2); y el nuevo paradigma bayesiano para el que las cosas no son ideales, sino que hay que someterlas a la cruda realidad y todo depende de las circunstancias concretas (como en el Método 1). Quizás estar de acuerdo con un método sí y el otro no, indique en qué bando estás. Pero en cualquier caso, si has resuelto por ti mismo este problema, siempre te quedará la satisfacción de haberlo hecho.

El artículo original en:

NAUKAS