La paradoja matemática de "forever alone": ¿por qué tengo menos amigos que los demás?

¿Me creerías si te digo que, muy probablemente, tienes menos amigos que los que te rodean? ¿O que te tocará esperar más que al resto en la cola del bar, el super o la gasolinera? No es que seas gafe, no: es lo que debe ocurrirnos a todos, aunque parezca paradójico. Y hoy traigo la sencilla demostración matemática.

El meme forever alone hoy se sentirá un poquito mejor gracias a la estadística.

Piensa en un grupo de N personas: una clase de instituto o de la universidad, un equipo de fútbol, da igual.

Asumamos que el número de amigos que cada miembro del grupo tiene dentro de ese mismo grupo es un número al azar, por ejemplo, cualquier número entre 1 y 10 de forma que hay un 10% de probabilidades de que alguien tenga 1 amigo, otro 10% de que tenga 2, etc.

Con esa distribución tan "justa" e "igualitaria" del número de amigos, parecería lógico pensar que si cada uno comparáse el número de amigos con los de su entorno (con los de sus amigos), habrá aproximadamente un 50% de probabilidades de que tener más amigos que los demás y un 50% de tener menos.

Pues si tienes la paciencia de hacer el experimento, por ejemplo con tus contactos de Facebook o Tuenti, te llevarás una desagradable sorpresa: con muy alta probabilidad, ¡tendrás menos amigos que los demás!

Llamaré a esto (¿por qué no?) " la Paradoja de Forever Alone".

Pero naturalmente el tema no es nada nuevo. Ya fue publicado, por ejemplo, en un artículo de 1991 titulado " Why your friends have more friends than you" (pdf), y es una versión más de la paradoja del "tamaño de la clase", bautizada así en 1977.

Empecemos numerando a cada miembro del grupo con la letra i, de forma que i puede valer i=1, i=2  etc... hasta i=N. Y al número de amigos que tiene el personaje i lo llamaremos ai. Para verlo con un ejemplo, podemos dibujar un grupo de amigos en forma de grafo matemático, donde las líneas entre individuos (los arcos) indiquen que existe una relación de amistad:

Aquí tenemos N=9 individuos, y el número de amigos ai de cada uno será:

i123456789ai131521122

Para empezar, podemos preguntarnos cuál es el número medio de amigos en el conjunto del grupo. Este estadístico se llama media o esperanza matemática, y se escribe aˉ, o como el operador E[ai] . La forma de calcularla seguro que todos la sabéis: se suman todos los valores y se divide por el número de valores. En nuestro ejemplo:

aˉˆ=E[ai]=1N∑i=19ai=1+3+1+5+2+1+1+2+29=189=2

Otro estadístico que nos hará falta después es la varianza σ2a, que nos dice cómo de dispersos están los valores de nuestra distribución: a menor valor, más cerca estarán todos los números de la media; a mayor valor, más diferencias habrá entre unos y otros.

Matemáticamente se define (para variables unidimensionales) como la esperanza de la diferencia al cuadrado de cada muestra con la media.

σ2a=E[(ai−aˉ)2]

Lo único que tenemos que tener en cuenta cuando estimamos la varianza a partir de datos numéricos es que realmente no conocemos la media aˉ, sino una estimación de ésta aˉˆ. Se puede demostrar que eso siempre hará que la varianza nos salga más pequeña de lo que realmente es, por lo que hay que corregir este sesgo  dividiendo, no por el número de muestras N, sino por N−1:

σ2aˆ=E[(ai− aˉˆ)2]=19−1∑i=19(ai−aˉ)=18[ (1−2)2+(3−2)2+(1−2)2+(5−2)2+(2−2)2+(1−2)2+(1−2)2+(2−2)2+(2−2)2] =1.75

Bien, volvamos ya a la cuestión central: ¿cuántos amigos tienen, de media, mis amigos?. Ese es el dato que queremos obtener para poder compararnos con ellos. Mirando el "grafo de amistades", cada individuo tendrá que sumar los arcos que salen de cada uno de sus amigos, sumarlos y dividirlos entre el número de amigos. 

Llamaremos yi al número medio de amigos de los amigos del personaje i. Para nuestro ejemplo, nos quedaría: 

i123456789ai13 1 5 2 1 1 2 2 yi(a2)/a1=3/1 (a1+a3+a4)/a2=7/3 (a2)/a3= 3/1  (a2+a5+a7+a8+a9)/a4= 10/5  (a4+a6)/a5= 6/2  (a5)/a6=2/1  (a4)/a7=5/1  (a4+a9)/a8=7/2  (a4+a8)/a9=7/2 =========3 2.33 3 2  3 2 5 3.5 3.5 ai<yi?SI NO SINOSISISISISI

La última columna ya compara el numero de amigos de cada individuo con la media de sus amigos, y nos dice que ¡un 78% tiene menos amigos que su entorno!. 

Veamos la demostración matemática de que esto no es casualidad ni fruto de usar un grafo de amigos trucado: siempre va a ocurrir que ese porcentaje será igual o mayor del 50%.

Un "individuo medio" tendrá que comparar la esperanza matemática de su número de amigos con la esperanza matemática del número de amigos de sus amigos. Es decir, el quid está en comparar las medias de ai y de yi. 

Una forma sencilla de calcular la media de yi es dividiendo el "total de amigos de amigos" entre el "total de amigos". La primera cantidad se puede demostrar que es ∑Ni=1a2i ya que cada ai aparecerá sumando una vez por cada uno de sus enlaces (ésta es la clave de todo), es decir: ai veces. Y dado que el "total de amigos" es simplemente ∑Ni=1ai, podemos calcula la media buscada:

yˉ=E[yi]=∑Ni=1a2i ∑Ni=1ai =E[a2i]aˉ

Para interpretar mejor este resultado, usaremos la siguiente expresión alternativa de la varianza: 

 σ2a     ===== E[(ai−aˉ)2] E[a2i +aˉ2−2 ai aˉ ] E[a2i ]+E[aˉ2]−E[2 ai aˉ ] E[a2i ]+aˉ2−2 aˉ E[ ai]  E[a2i ]−aˉ2 

Sustituyendo arriba, llegamos a:

yˉ=aˉ2+σ2aaˉ= aˉ+σ2aˉ

Vamos, que la media de los "amigos de mis amigos" es la media de amigos que tiene cualquier individuo... más otro término que depende de la varianza. Usando los números que sacamos arriba para el ejemplo, el número medio de amigos era de 2, mientras que el número medio de "amigos de amigos" sería de 2+1.75/2=2.875, claramente superior.

En otras palabras: si el individuo medio compara sus amigos aˉ con los de sus amigos, tendrá que comparar ese valor con yˉ y ¡siempre verá que su cifra es inferior! (la única excepción sería que todos tuvieran estrictamente idéntico número de amigos, con lo que la varianza se haría cero).


La demostración está muy bien, pero... ¿qué es lo que está pasando realmente?

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Ciencia Explicada