Números algebraicos y números trascendentes

Los números reales pueden subdividirse en conjuntos según muchos criterios de clasificación. En la entrada de hoy vamos a hablar de la subdivisión en números algebraicos y números trascendentes.

- Los número algebraicos son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales. A la vista de esta definición es fácil comprender que todos los números racionales son algebraicos, ya que si $r= \textstyle{\frac{p}{q}}$ es un número racional (por tanto $p,q\in\mathbb{Z}$ ), entonces es solución de la ecuación polinómica $q \; x -p=0$ .

Pero no sólo son algebraicos los números racionales. También lo son muchos irracionales. Por ejemplo, el número irracional $\sqrt{2}$ es algebraico. Basta ver que es solución de la ecuación polinómica x^2-2=0 para darse cuenta de ello. Lo mismo ocurre con, por ejemplo, $\sqrt[3]{3}$ , que es solución de x^3-3=0 . Y con muchos más números irracionales.

- Los números trascendentes son los números reales que no son solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales. Por lo que hemos visto antes todos los números trascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes. Como ejemplos más representativos de este conjunto numérico tenemos al número $\pi$ y al número .

Viendo que en primera instancia es mucho más sencillo encontrar números algebraicos que números trascendentes uno podría pensar que hay muchos más del primer tipo que del segundo. Nada más lejos de la realidad. El conjunto de los números algebraicos es infinito numerable, es decir, tiene infinitos elementos pero podemos contarlos, mientras que el conjunto de los números trascendentes es infinito no numerable, esto es, también tiene infinitos elementos pero no los podemos contar. Conclusión: hay muchos más números reales trascendentes que algebraicos.

A la vista de este hecho no se entiende demasiado bien que sea tan complicado encontrar números trascendentes, pero la realidad es esa. Demostrar que un cierto número real es trascendente suele ser bastante complicado. El primero que lo consiguió fue Liouville demostrando que el número

$\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}$

es trascendente. Más adelante Hermite demostró que el número es trascendente y posteriormente Lindemann hizo lo propio con el número $\pi$ .

Dada la dificultad que tiene encontrar números trascendentes os dejo una lista con los 15 números trascendentes más famosos. Para algunos no existe demostración, pero se cree con gran firmeza que lo son:

$\pi$
Constante de Euler-Mascheroni: $\gamma = 0,577215 \dots$ (no demostrado)
Constante de Catalan: $G= \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \textstyle{\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}}}$ (no demostrado)
Constante de Liouville: $\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}$
Constante de Chaitin: $\omega$ (que además es no computable)
Número de Chapernowne: $0,12345678910111213 \ldots$
Ciertos valores de la función $\zeta$ de Riemann, como $\zeta (3)$
El número de Hilbert: $2^{\sqrt{2}}$
$e^{\pi}$
$\pi^e$ (no demostrado)
El número de Morse-Thue: $0,01101001 \ldots$
$i^i= 0,207879576 \ldots$
Los números de Feigenbaum (no demostrado):
$\begin{matrix} \delta = 4.66920160910299067185320382 \ldots \\ \alpha = 2.502907875095892822283902873218 \ldots \end{matrix}$

En relación con los números trascendentes tenemos un resultado muy interesante probado de forma independiente por Alexandr Gelfond y Theodor Schneider:

Teorema: (de Gelfond-Schneider)

Si $\alpha$ y $\beta$ son números complejos algebraicos, $\alpha \ne 0,1$ , y $\beta$ no es racional, entonces $\alpha^{\beta}$ es trascendente.

Este teorema nos ayuda a demostrar que, por ejemplo, $e^{\pi}$ es trascendente (¿cómo?).

¿Conocéis otros números trascendentes interesantes que no aparezcan en esta lista? Por otra parte, no sé cuánto hace que Clifford Pickover realizó la misma, por lo que puede que se haya avanzado en la demostración de la trascendencia de alguno de los que hemos comentado que no la tenían. Si sabéis algo del tema os agradecería que dejarais un comentario.

Fuentes:

The 15 most famous trascendental numbers.
Sucesión de Thue-Morse en la Wikipedia (es español).
Números de Feigenbaum en la Wikipedia (en español).

P.D.: Qué raro que en la lista no aparezca el número de Cöpeland-Ërdos: $0,235711131719 \ldots$ teniendo en cuenta lo curiosa que es su construcción.

Fuente:

Gaussianos

Conocer Ciencia

Latest Posts:

4 de marzo de 2009

Números algebraicos y números trascendentes