¿Te sabes la tabla de multiplicar…del triángulo equilátero?

Todos, desde pequeños, estamos familiarizados con la tabla de multiplicar de los número enteros hasta el número 10.

Imagen extraída de tablasdemultiplicar.net

Sabemos que multiplicar es sumar un número tantas veces como indica otro número, es decir, realizar la misma operación un número determinado de veces.

Empecemos por el final. Ésta es la tabla de multiplicar del triángulo equilátero:

Algunos ya habrán reconocido qué significa esta tabla. Se trata del grupo de simetría S₃ donde están representadas todas las operaciones de simetría del triángulo equilátero.

El que no sepa de que va puede seguir leyendo para comprobar que el tema no es difícil.

Todos sabemos lo que es la simetría, sabemos distinguir cuando una figura es simétrica o no, aunque en nuestra vida cotidiana no profundizamos demasiado y no solemos indicar respecto a qué una figura es simétrica o si tiene varios tipos de simetría.

Pongamos como ejemplo y objeto geométrico muy simple: el triángulo equilátero. Sea como sea de grande o pequeño un triángulo equilátero todos tendrán en común su simetría única. Para saber qué tipos de simetrías tiene dicho triángulo te propongo un sencillo juego. Supongamos que tenemos este triángulo equilátero donde se representan su ejes de simetría, es decir, los ejes respecto a los cuales divide la figura en dos partes iguales. Ahora recorta un triángulo del mismo tamaño y ponle nombre a cada vértice (ABC), tal y como indica la siguiente figura:

El juego consiste en, una vez puesto en su posición inicial, hallar todas las posibles maneras distintas en las que podemos mover el triángulo experimental y hacerlo coincidir de nuevo con el de referencia.

En primer lugar, hacemos girar el triángulo hasta que los vértices se lean CAB en el sentido de las agujas de reloj. Lo que hemos hecho ha sido rotar el triángulo 120º.

Para no repetir esto cada vez que queramos hacer esta operación le vamos a poner nombre. Como se trata de una rotación la llamaremos R y como hemos rotado 120º nombraremos a esta operación R₁₂₀. Si repetimos la misma operación habremos rotado 240º y obtendremos el triángulo BCA.

Sería una nueva operación de simetría, que denominaremos R₂₄₀. Podemos, además, girar el triángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj por lo que obtendríamos la operación de simetría R _-120 (BCA) y R _-240. Si queremos devolver a los vértices en su orden inicial tendremos que hacer esta operación tres veces. Vemos que R₂₄₀ y R _-120 son equivalentes ya que dan como resultante el mismo triángulo y no nos interesa cómo hemos llegado a esa posición sino la posición final.

¿Y si ahora giro el triángulo 360º? Volvemos a la misma posición inicial (ABC). Esta operación equivale a no hacer nada y a esta operación de denomina operación identidad y se identifica con el número 1. Es la única operación de simetría que posee toda figura geométrica, cristal, molécula o ser vivo.

¿Hay más maneras de que encaje tu triángulo con el modelo? Podemos voltearlo en torno al eje I y llegaremos a la posición ACB.

El triángulo resultante es la imagen reflejada en un espejo que hubiéramos puesto  a la derecha del triángulo, por lo que llamaremos a esta operación “reflexión respecto al eje I” y la representamos como R_I. De igual modo, podemos considerar las otras dos reflexiones a) respecto al eje II, denominada R_II y que produce la posición CBA, y b) respecto al eje III y que da origen a la posición CBA, denominada R_III .

Recopilando, tenemos las siguiente lista de operaciones de simetría: 1, R₁₂₀, R₂₄₀, R_I, R_II, y R_III.

¡Y esto sólo de un triángulo equilátero! Parece difícil estar seguros de que hemos hallado todas las operaciones de simetría de un objeto. Para ello, lo que podemos hacer es operar con las operaciones de simetría descubiertas a ver resulta alguna nueva. Así, si hacemos la operación R₁₂₀ y posteriormente R_II, obtenemos R_I. Se expresa así:

R₁₂₀×R_II = R_I

Cuando ocurre esto para para todas las operaciones decimos que nuestro conjunto de operaciones de simetría es cerrado respecto a la operación producto. Los matemáticos llaman a este conjunto de seis operaciones de simetría grupo de simetría del triángulo equilátero. Un grupo que se representa como S₃.

Así, podemos formar la tabla de multiplicar que he indicado al principio, de tal manera que multiplicar dos operaciones de simetría equivale a hacer primero una operación y a continuación la siguiente.

Acabas de entrar en amplio mundo de la simetría y si te interesa el tema, y su aplicación en el campo de la química, puedes visitar los siguientes enlaces:

Teoría de grupos aplicada a la simetría (pdf).
Grupos puntuales de simetría (pdf).
Simetría. teoría de grupos.
Simetría.

Teoría de grupos aplicada a químicos. (Libro. Vista previa en Google Book).

Fuente:

Ciencia OnLine