Maxwell y sus ecuaciones

En 1865, el físico escocés James Clerk Maxwell formuló la teoría clásica del electromagnetismo deduciendo así que la luz está hecha de campos eléctricos y magnéticos que se propagan por el espacio, teoría que llevó a la predicción de la existencia de las ondas de radio y a las radiocomunicaciones.

Las ecuaciones de Maxwell

Un investigador precoz

Según la famosa expresión atribuida a Newton, todos los científicos trabajan aupados 'a hombros de gigantes', es decir, construyen sus teorías sobre los conocimientos logrados por las generaciones anteriores a lo largo de siglos de estudios y experiencias. Esa elevación a gran altura les permite mirar más lejos y progresar en las ideas. Esto es particularmente cierto en el caso de Maxwell quien supo combinar todo el conocimiento existente hace 150 años sobre su tema de trabajo llegando a la forma más bella y sucinta de expresar los principios sobre la electricidad, el magnetismo, la óptica y su interrelación física.

Nacido en Edimburgo en 1831, en el seno de una familia de clase media, Maxwell manifestó una peculiar curiosidad desde su temprana infancia. A los 8 años recitaba versos de Milton y largos salmos, y a los 14 ya había escrito un paper (artículo científico) en el que describía métodos mecánicos para trazar curvas.

Estudió en las universidades de Edimburgo y de Cambridge donde asombró a alumnos y profesores por su capacidad para resolver problemas de matemáticas y de física. A los 23 años se diplomó en matemáticas por el Trinity College, y dos años más tarde obtuvo una plaza de profesor de filosofía natural en el Marischal College de Aberdeen donde permanecería 4 años. En 1860 obtuvo un puesto similar pero en el prestigioso King's College de Londres. Ahí comenzó la época más fructífera de su carrera. Ingresó en la Royal Society en el 1861, publicó la teoría electromagnética de la luz en 1865, regresó entonces con su familia a la casa de sus padres en Escocia, y fue nombrado director del Cavendish Laboratory de Cambridge en 1871. Allí, en Cambridge, murió de cáncer abdominal en 1879, a la edad de 48 años.

La esencia electromagnética

En 1865, Maxwell publicó un artículo titulado 'Una teoría dinámica del campo electromagnético' en el que aparecieron por primera vez las ecuaciones hoy mundialmente famosas y conocidas como 'ecuaciones de Maxwell'. Estas ecuaciones expresan de una manera concisa y elegante todas las leyes fenomenológicas sobre electricidad y magnetismo que se habían formulado desde el siglo XVIII, entre ellas las leyes de Ampère, de Faraday y de Lenz. La notación vectorial que se utiliza hoy fue introducida en 1884 por Heaviside y Gibbs.

La naturaleza electromagnética de la luz

El valor de las ecuaciones de Maxwell no solo reside en la síntesis de todas las ideas anteriores, que revelaba la íntima interrelación entre electricidad y magnetismo. De sus ecuaciones, Maxwell también dedujo otra ('la ecuación de ondas') que le llevó a predecir la existencia de ondas de naturaleza electromagnética capaces de propagarse a la velocidad de la luz. En efecto, Maxwell concluyó que '...luz y magnetismo son aspectos de la misma substancia, y la luz es una perturbación electromagnética...'. De esta forma, su trabajo de síntesis también consiguió unificar la óptica al electromagnetismo y reveló la esencia electromagnética de la luz.

La teoría de Maxwell predecía la generación de ondas electromagnéticas en el laboratorio. Esta posibilidad fue llevada a cabo por el físico alemán Heinrich Hertz en 1887, ocho años después del fallecimiento de Maxwell, mediante la construcción de un oscilador como emisor y de un resonador como receptor. La capacidad para producir tales ondas y de recibirlas en un lugar distante conduciría a un ingeniero italiano, Guillermo Marconi, mediante sucesivos perfeccionamientos de la técnica, a una gran revolución tecnológica: las comunicaciones por radio. Y sobre esta tecnología reposan hoy algunos de los elementos cotidianos más útiles y más utilizados, como los teléfonos móviles.

El artículo completo en:

El Mundo

Nanoantenas clásicas y cuánticas a la vez

Nueva explicación para dispositivos que hasta ahora se definían por las ecuaciones de Maxwell. 

 

Ilustración de una nanoantena alimentada por un punto cuántico. La luz es redirigida por la antena mediante una estructura nanoscópica, como si fuera un receptor de televisión ultra-diminuto. / ICFO

Un nuevo modelo para explicar el funcionamiento de las nanoantenas ópticas resuelve sus propiedades en las distancias inferiores a los nanómetros gracias a la mecánica cuántica, lo que completa las explicaciones basadas en ecuaciones de física clásica que hasta ahora se aplicaban. Un nanómetro es la milmillonésima parte de un metro y las nanoantenas se utilizan cada vez más en aplicaciones ópticas en nanotecnología, controlando la dirección en la que la luz interactúa con la materia, por ejemplo en microscopios en miniatura. El trabajo se publica en la revista Nature Communications.

Las nanopartículas metálicas actúan como antenas ópticas, ya que aumentan la recepción, el control y la emisión de radiación óptica. Este efecto se consigue a través de la excitación colectiva de los electrones del metal y, hasta ahora, sólo había sido descrito por las ecuaciones establecidas por James Maxwell (ecuaciones de Maxwell) hace más de un siglo.

El avance de la tecnología ha ido reduciendo los tamaños y las distancias de separación entre las nanoantenas metálicas, lo que ha dado lugar a nuevas propiedades que la física clásica es incapaz de describir, tales como el transporte de electrones por efecto túnel, basado en la probabilidad de dichos electrones de desaparecer de un electrodo y reaparecer en el otro.

El investigador Javier Aizpurua, del Centro de Física de Materiales (CSIC y Universidad del País Vasco), que ha dirigido el trabajo, explica que “hasta ahora estas propiedades sólo podían describirse de forma aproximada cuando las distancias de interacción alcanzan valores por debajo del nanómetro”. El modelo propuesto por el equipo de Aizpurua permite abordar de forma compacta la “enorme cantidad de electrones involucrada en la respuesta óptica de una ñaño estructura y los efectos cuánticos que aparecen a distancias subnanométricas”, añade.

El trabajo ha contado con la colaboración de investigadores del Instituto de Colisiones Atómicas y Moleculares de Orsay (Francia) y del Laboratorio de Nanofotónica de Houston (EEUU.

Fuente:

El País Ciencia

Las ecuaciones de Maxwell – Ley de Gauss para el campo magnético

Hace unas semanas, tras la introducción histórica correspondiente, nos merendamos juntos la primera ecuación de Maxwell. Como espero que recuerdes, en ella se establecía el campo eléctrico como la perturbación creada por la mera existencia de cargas eléctricas: la divergencia del campo eléctrico es proporcional a la densidad de carga alrededor de un punto determinado. Si esto te suena a chino mandarín, es mejor que leas aquel artículo antes de seguir con éste, porque doy por sentado que comprendes cualitativamente lo que es la divergencia, que aparecerá de nuevo hoy –la explicación de la divergencia en el anterior artículo es lo que permite que el de hoy sea relativamente breve–.

La segunda ecuación, a la que nos dedicaremos hoy, es matemáticamente muy similar a la primera, aunque más sencilla. Ejemplifica lo maravilloso de las ecuaciones de Maxwell: la profundidad en el significado con una concisión bellísima, en este caso, de una forma extrema. Como hicimos con la primera ecuación, aquí la tienes en todo su minúsculo esplendor:

Puedes considerarla una especie de prueba: con un mínimo de ayuda, si asimilaste de veras el artículo anterior, la ecuación de hoy no debería intimidarte lo más mínimo. Eso sí, como digo, algunas de sus consecuencias son interesantes y no tan simples como la propia ecuación, que es una especie de “negativo” de la primera en varios aspectos. Pero, como hicimos con aquella, desgranémosla poco a poco para luego interpretarla como un todo.

Al igual que en la primera ecuación, nos encontramos con el símbolo nabla una vez más (el “arpa hebrea”, ¿recuerdas?), pero esta vez está aplicado a una magnitud diferente. Al igual que E representa el campo eléctrico, del que hablamos en la primera ecuación, la letra B representa el campo magnético, parece ser que en honor al científico francés Jean-Baptiste Biot, uno de los pioneros en el estudio de la relación entre electricidad y magnetismo –y cuyo nombre aparecerá de nuevo en esta mini-serie, por supuesto–. No es ésta la serie en la que profundizar en la naturaleza del campo magnético, pero se trata de algo con lo que todos estamos familiarizados hasta cierto punto, a través al menos de los imanes.

De modo que, como puedes ver, esta ley describe el comportamiento del campo magnético a través de su divergencia, ∇·B, del mismo modo que la anterior hacía lo propio con la divergencia del campo eléctrico, ∇·E. Como recordarás, la divergencia indica dónde nacen y mueren las líneas de campo: si es nula, no pasa una cosa ni la otra, si es positiva nacen más líneas de las que mueren y si es negativa mueren más de las que nacen. Así, en el caso del campo eléctrico, todo dependía del signo de la carga eléctrica en el lugar que estuviéramos mirando.

Pero ¿qué hay del campo magnético? ¡No hay nada a la derecha del igual! El significado literal de esta ley de Gauss para el campo magnético, por lo tanto, es clarísimo: las líneas del campo magnético no nacen ni mueren en ninguna parte de manera neta. Esto no depende de nada, ni es diferente para cada punto del espacio como sucedía con el eléctrico, sino que es una propiedad ineludible del campo magnético en todo lugar: las líneas de campo magnético no tienen principio ni fin.

Las diferencias entre la primera ecuación y ésta son por tanto, a pesar de la similitud matemática, enormes. Para empezar, la importancia de cada una se debe justo a cosas opuestas: la ley referida al campo eléctrico nos da una especie de “definición positiva” del campo eléctrico a través de la propiedad fundamental que tiene, el hecho de aparecer como consecuencia de la existencia de cargas eléctricas. Como vimos en el artículo anterior, aplicándola es posible “dibujar” el campo eléctrico creado por las cargas.

Sin embargo, esta segunda ecuación es una especie de “definición negativa” del campo magnético. ¿Qué sabemos de su comportamiento tras leer esta ecuación? Justo lo que no hace. Esta ecuación no describe la causa del campo magnético, ni cómo calcularlo en ninguna parte: simplemente sabemos “cómo no es”. Desde luego, posteriormente veremos otros principios que sí determinan de forma “positiva” el comportamiento del campo magnético, pero no hoy.

Gráficamente, esta segunda ecuación nos dice algo muy conciso, pero fundamental, sobre las líneas del campo magnético, y que si comprendiste el concepto de divergencia en el artículo anterior debería sonarte razonable: dado que su divergencia es nula y que, por tanto, el número de líneas que entran en cualquier región es siempre igual al número de líneas que salen, las líneas de campo magnético son siempre cerradas. No tienen principio ni fin: si sigues el camino de una de ellas, nunca llegarás a un destino, y si vas hacia atrás para encontrar su comienzo, nunca lo encontrarás. Como digo, es información esencial, pero no es mucho con lo que estudiar este campo.

¿Quiere esto decir que la ley de Gauss para el campo magnético no es interesante? ¡Nada más lejos de la realidad! Exploremos juntos, en primer lugar, su significado más profundo. Aunque nos queden por ver dos ecuaciones, creo que es evidente que esta ley no dice que no exista el campo magnético ni fuentes que lo produzcan — dice algo más sutil, que creo que se comprende mejor contraponiéndolo, una vez más, a la información de la ecuación anterior sobre el campo eléctrico.

La ley de Gauss para el campo eléctrico nos decía que existe algo de donde nacen las líneas de campo eléctrico –las cargas positivas– y algo donde van a morir esas líneas de campo eléctrico –las cargas negativas–. Podríamos pensar, aunque suene un poco retorcido, que existen dos caras del campo eléctrico: la “positiva” (donde nacen líneas) y la “negativa” (donde mueren líneas), y es posible observar un punto determinado y ver que se produce un fenómeno o el otro.

Pero no es posible observar sólo una de las dos caras del campo magnético: sólo es posible ver ambas cosas a la vez. Las fuentes del campo magnético –sean las que sean porque, como digo, esta ecuación nos dice más bien lo que no es el campo magnético, no lo que es– son necesariamente “nacimiento y muerte” de las líneas de campo. Esta ecuación es la razón de que, cuando se dibujan las líneas de campo magnético generadas por cualquier cosa, se muestren siempre figuras como ésta:

Crédito: Geek3 / Creative Commons Attribution-Sharealike License 3.0.

Como ves, todas las líneas son bucles cerrados, unos más pequeños y otros más amplios. Aunque sea un ejemplo absurdo, es como si cualquier producción de campo magnético fuera el lanzamiento de un bumerán: puedes lanzarlo, pero siempre acabará volviendo a ti. Ya sé que esto es absurdo porque las líneas de campo no representan el movimiento de nada: quiero decir que no puede tenerse una cosa sin la otra, a diferencia del campo eléctrico.

Que las líneas que salen de cualquier región siempre vuelvan a entrar en ella no quiere decir que no sea posible ver diferente comportamiento en las regiones de un cuerpo físico: en algunos puntos, las líneas salen hacia el exterior del cuerpo y en otros entran en él de nuevo. Por eso suele hablarse normalmente de polos magnéticos, como sucede en el caso de un imán. Tradicionalmente se llama polo norte al lugar por donde las líneas salen desde el interior del cuerpo hacia fuera y polo sur a la región por la que las líneas entran desde el exterior hacia dentro del cuerpo (observa que en este dibujo se han ocultado las líneas en el interior del cuerpo, pero están ahí aunque no se dibujen y son cerradas):

Crédito: Geek3 / Creative Commons Attribution-Sharealike License 3.0.

Si te fijas en este imán, las líneas de B se parecen muchísimo a las líneas de E del artículo anterior cuando mostramos una carga positiva y una negativa cerca una de otra:

Crédito: Geek3/Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 License).

En el caso del campo eléctrico, la carga positiva se llama a veces polo positivo y la negativa polo negativo, como en el magnético (aunque sin “norte” y “sur”), y un conjunto de dos cargas como el que ves aquí se denomina dipolo eléctrico, lo mismo que el dibujo de arriba representa un dipolo magnético. El polo positivo en el eléctrico se parece al polo norte, y el negativo al sur. Todo se parece mucho… pero hay una diferencia tremenda entre ambos casos, no en lo que ves ahora, sino en lo que puede conseguirse a partir de cada uno de los dos dipolos.

En el caso del dipolo eléctrico, no tenemos más que llevarnos una de las dos cargas del dipolo y dejar la otra, y en vez de un dipolo tenemos algo como lo que veíamos en la entrada anterior, de modo que las líneas tengan nacimiento pero no fin, o al revés. Nos hemos quedado con “la mitad del dipolo eléctrico”:

Pero, en el caso del dipolo magnético, ¿cómo hacemos lo mismo? La respuesta, por supuesto, es que no podemos. Hagamos lo que hagamos, la divergencia del campo magnético siempre es cero, luego nunca jamás podremos conseguir que sus líneas sean cerradas. Si cortásemos el imán por la mitad, por ejemplo, para intentar quedarnos con el polo norte en una mano y el polo sur en la otra, veríamos que cada uno de los dos pedazos es su propio “imancito” con su polo norte y su polo sur.

Dicho de un modo pedante, estas dos ecuaciones significan lo siguiente: existen dipolos eléctricos y dipolos magnéticos. Al quedarnos con “la mitad” de un dipolo eléctrico tenemos un monopolo eléctrico, es decir, una carga eléctrica, pero no existen los monopolos magnéticos. La existencia de una carga positiva no exige la de una carga negativa, pero la existencia de un polo norte sí exige la de un polo sur. ¡La divergencia es nula, señores!

Podemos incluso expresar esto de un modo más pedante todavía: un carga eléctrica no es más que un monopolo eléctrico, pero dado que no hay monopolos magnéticos, las ecuaciones de Maxwell afirman que no existe la carga magnética. Fíjate en que, una vez más, no digo cuál es la fuente del campo magnético sino cuál no lo es, así es la naturaleza de este segundo principio.

Sin embargo, no podemos olvidar algo fundamental que mencionamos en la introducción a la mini-serie: las ecuaciones de Maxwell son la representación matemática de principios físicos, no verdades absolutas. Es perfectamente posible que sí existan los monopolos magnéticos –es decir, la carga magnética– y que simplemente no hayamos sido capaces de detectarla aún. El detector MoEDAL (Monopole and Exotics Detector At the LHC, Detector de monopolos y partículas exóticas en el LHC), en proceso de construcción –algunos detectores ya están instalados– tratará de hacer exactamente eso: detectar la presencia de monopolos magnéticos, si es que los hay.

Si los monopolos magnéticos existen, debemos introducir un nuevo término en esta ecuación de Maxwell, puesto que como hemos dicho antes, la existencia de monopolos es equivalente a la de la carga. De ser así, además de carga eléctrica existiría la carga magnética, y la divergencia de B no tendría por qué ser cero siempre. Al igual que en el caso del campo eléctrico, podríamos tener puntos en los que fuera positiva (si hay cargas magnéticas positivas), otros en los que fuera negativa (si las hay negativas) y otros en los que siguiera siendo nula. Esta segunda ecuación se parecería, por tanto, muchísimo a la primera (pongo ambas juntas para comparar):

Como ves, en el caso de la ley de Gauss para el campo magnético la constante es diferente que en la del campo eléctrico, pero es una cuestión de unidades –y hablaremos de la constante más adelante, porque no es importante ahora mismo–. He representado la densidad de carga magnética como la eléctrica, con la letra rho, pero con un subíndice m para diferenciarla de la carga eléctrica. Las ecuaciones son más simétricas que las actuales, y a algunos físicos les parece que tanta simetría y belleza es sospechosa — pero a veces los seres humanos tendemos a buscar simetrías donde no tiene por qué haberlas, con lo que esto no demuestra nada.

Puede parecer una tontería inventar una forma de la ecuación que incluye cosas que no hemos visto, pero no lo es tanto: no es posible detectar cargas directamente, sino su influencia sobre lo que las rodea, es decir, sus campos eléctrico y magnético. Puesto que el campo magnético en un lugar determinado es la suma del efecto de cargas eléctricas y, si existen, de cargas magnéticas, necesitamos predecir el efecto de las cargas magnéticas sobre el campo para poder encontrarlas si existen: si ese efecto se mide como predice la ecuación “modificada”, es que los monopolos magnéticos existen, y viceversa. Aunque también es posible, como siempre, que la modificación no sea tan leve y haya algo mucho más gordo que no estemos viendo, así es la ciencia.

Pero, olvidando por un momento la posible existencia de monopolos magnéticos –que son una simple hipótesis–, vuelve al principio del artículo y lee la ecuación de nuevo. ¿No es algo claro y meridiano? ¡Las líneas del campo magnético son siempre cerradas, por supuesto, luego su divergencia es siempre nula! Y decían que la ecuaciones de Maxwell eran complicadas…

En la cuarta entrega de la mini-serie nos dedicaremos a una ecuación más retorcida, la tercera de las cuatro: la ley de Faraday.

Fuente:

El Tamiz