La alarma suena, miras el reloj, son las 6:30 am, ni siquiera te has levantado de la cama, y ya hay por lo menos seis ecuaciones matemáticas que están influenciando tu vida. El chip de memoria que almacena la hora de tu reloj no podría haber sido elaborado sin una ecuación clave de la mecánica cuántica. Su tiempo ha sido establecido por una señal de radio que nunca habrías soñado inventar si no fuera por las cuatro ecuaciones del electromagnetismo de James Clerk Maxwell. Y la misma señal viaja según lo que se conoce como la ecuación de onda.
Sin ecuaciones, la mayoría de nuestra tecnología jamás hubiera sido inventada. Es obvio que, las invenciones importantes como el fuego y la rueda se produjeron sin ningún tipo de conocimiento matemático; sin embargo, sin las ecuaciones estaríamos atascados en un mundo medieval.
Las ecuaciones van mucho más allá de la tecnología. Sin ellas, no tendríamos ningún conocimiento de la física que gobierna las mareas, de las olas que rompen en la playa, del constante cambio del clima, de los movimientos de los planetas, de los hornos nucleares de las estrellas, las espirales de las galaxias ni de la inmensidad de la universo y nuestro lugar en él.
Hay miles de ecuaciones importantes. Las siete en las que aquí me concentro, la ecuación de onda, las cuatro ecuaciones de Maxwell, la transformada de Fourier y la ecuación de Schrödinger, ilustran cómo las observaciones empíricas han dado lugar a las ecuaciones que utilizamos tanto en la ciencia como en la vida cotidiana.
Los matemáticos y los científicos no podía dejar de pensar en las ondas, pero su punto de partida vino a través de las artes: ¿cómo puede una cuerda de violín crear sonidos? La cuestión se remonta al antiguo culto griego de los pitagóricos, quienes hallaron que si dos cuerdas del mismo tipo y tensión guardan una relación simple de longitud, como 2:1 ó 3:2, producen notas que, en su conjunto, suenan excepcionalmente armoniosas. Las relaciones más complejas son discordantes y desagradables al oído. Fue el matemático suizo, Johann Bernoulli, quien empezó a darle sentido de estas observaciones. En 1727, modeló una cuerda de violín con un gran número de masas puntuales estrechamente espaciadas y unidas entre sí por medio de cuerdas. Usó las leyes de Newton para escribir las ecuaciones del sistema de movimiento, y las resolvió. De estas soluciones, concluyó que la forma más simple para la vibración de una cuerda es la curva sinusoidal. Hay otros modos de vibración, también con curvas sinusoidales, en el que encaja más de una onda dentro de la longitud de la cuerda, conocido por los músicos como armónicos.
De las ondas a la tecnología inalámbrica
Casi 20 años después, Jean Le Rond d'Alembert siguió un procedimiento similar, pero se centró en la simplificación de las ecuaciones de movimiento en lugar de sus soluciones. Lo que surgió fue una elegante ecuación que describe los cambios de forma de la cuerda a través del tiempo. Es una ecuación de onda, que afirma que la aceleración de cualquier pequeño segmento de una cuerda es proporcional a la tensión que actúa sobre ella. Esto implica que las ondas cuya frecuencia no se encuentran en relaciones simples producen un ruidoso y desagradable zumbido, conocido como "latidos". Esta es la razón por la que las relaciones numéricas simples dan notas que suenan armoniosas.
La ecuación de onda puede ser modificada para hacer frente a los fenómenos más complejos y desordenados como los terremotos. Las versiones más sofisticadas de la ecuación de onda permite a los sismólogos detectar lo que sucede a cientos de kilómetros bajo nuestros pies. Se puede mapear las placas tectónicas de la Tierra, como una se desliza debajo de otra, causando terremotos y volcanes. El premio más grande en esta área sería un método confiable capaz de predecir los terremotos y las erupciones volcánicas, y muchos de los métodos que están siendo explorados se basan en la ecuación de onda.
Pero la visión más influyente de la ecuación de ondas surgió del estudio de las ecuaciones de Maxwell sobre el electromagnetismo. En 1820, la mayoría de la gente iluminaban sus casas con velas y faroles. Si querías enviar un mensaje, tenías que escribir una carta y la llevaban en un carruaje tirado por caballos, para los mensajes urgentes, se omitía el carruaje. En un plazo de 100 años, las casas y las calles tenían alumbrado eléctrico, la telegrafía enviaba mensajes que podían ser transmitidos a través de los continentes, y la gente empezaba incluso a hablar unos con otros por teléfono. La comunicación por radio se había demostrado en los laboratorios, y un empresario estableció una fábrica que vendía "wirelesses" [sin cables] al público.
Esta revolución social y tecnológica fue provocada por los descubrimientos de dos científicos. En el año 1830, Michael Faraday, estableció las bases físicas del electromagnetismo. Treinta años después, James Clerk Maxwell, se embarcó en una búsqueda para formular los fundamentos matemáticos de los experimentos y teorías de Faraday.
En esa época, la mayoría de los físicos que trabajaban en la electricidad y el magnetismo, buscaban analogías con la gravedad, a la cual veían como una fuerza que tambień actuaba entre los cuerpos a distancia. Faraday tenía una idea diferente: él se centró en la electricidad y el magnetismo para explicar las series de experimentos, ya que postulaba que ambos fenómenos son campos que invaden el espacio, cambian con el tiempo y pueden ser detectados por las fuerzas que producen. Faraday planteaba sus teorías en términos de estructuras geométricas, como las líneas de fuerza magnética.
Maxwell reformuló estas ideas, mediante analogía con las matemáticas del flujo de fluidos. Se razonó que las líneas de fuerza eran análogas a las trayectorias seguidas por las moléculas de un fluido, y que la intensidad del campo eléctrico o magnético, eran análogos a la velocidad del fluido. En 1864, Maxwell escribió cuatro ecuaciones para las interacciones básicas entre los campos eléctricos y los magnéticos. Dos de ellas, nos cuentan que la electricidad y el magnetismo no pueden escaparse. Las otras dos nos dicen que cuando una región del campo eléctrico gira en un círculo pequeño, se crea un campo magnético, y que dicho giro crea a su vez un campo eléctrico.
Pero lo sorprendente fue lo que Maxwell hizo después. Tras unas simples manipulaciones de sus ecuaciones, consiguió una derivada de la ecuación de onda con la que dedujo que la luz debe ser una onda electromagnética. Esto solo ya fue una noticia estupenda, ya que nadie había imaginado el vínculo esencial entre la luz, la electricidad y el magnetismo. Pero había más. La luz nos llega en diferentes colores, que se correspondencon con diferentes longitudes de onda. Las longitudes de onda que vemos están restringidos por la química de los pigmentos detectores de luz de los ojos. Las ecuaciones de Maxwell condujeron a una espectacular predicción, que debían existir ondas electromagnéticas de todas las longitudes de onda. Algunas, con longitudes de onda mucho más largas de lo que podemos ver, transformarían el mundo: las ondas de radio.
En 1887, Heinrich Hertz demostró experimentalmente las ondas de radio, pero no supo apreciar su aplicación más revolucionaria. Si se pudiera grabar la señal de una onda, se podría hablar con el mundo. Nikola Tesla, Guglielmo Marconi y otros, conviertieron ese sueño en realidad, y toda la panoplia de las comunicaciones modernas, desde la radio y la televisión a los radares y los enlaces de microondas para teléfonos móviles, siguieron después de forma natural. Y todo ello salió de cuatro ecuaciones y un par de cálculos cortos. Las ecuaciones de Maxwell no se limitaron a cambiar el mundo, abrieron uno nuevo.
Tan importante es lo describen las ecuaciones de Maxwell como lo que no describen. Aunque dichas ecuaciones revelaran que la luz era una onda, los físicos pronto descubrió que su comportamiento a veces no estaba muy de acuerdo con esta visión. La luz sobre un metal genera electricidad, es un fenómeno llamado efecto fotoeléctrico. Esto sólo tenía sentido si la luz se comportaba como una partícula. Así que, ¿la luz era una onda o una partícula? En realidad, un poco de ambas. La materia está hecha de ondas cuánticas, y un grupo muy unido de ondas se comporta como una partícula.
Vivo o muerto
En 1927, Erwin Schrödinger escribió una ecuación para las ondas cuánticas. Encajaba muy bien en los experimentos, mientras que pintaba un cuadro muy extraño del mundo, en el que las partículas fundamentales como los electrones no son objetos bien definidos, sino nubes de probabilidad. El espín de un electrón es como la moneda que puede ser mitad cara y mitad cruz hasta que llega a la mesa. Los teóricos, pronto empezaron a preocuparse por todo tipo de rarezas cuánticas, como los gatos que están a la vez vivos y muertos, y los universos paralelos en los que Adolf Hitler ganaba la Segunda Guerra Mundial.
Mas la mecánica cuántica no se limita a estos enigmas filosóficos. Casi todos los aparatos modernos, ordenadores, teléfonos móviles, consolas de videojuegos, automóviles, refrigeradores, hornos.., contienen chips de memoria basado en un transistor, cuyo funcionamiento, a su vez, se basa en la mecánica cuántica de los semiconductores. Los nuevos usos de la mecánica cuántica llegan casi todas las semanas. Los puntos cuánticos, pequeños nudos de un semiconductor, puede emitir luz de cualquier color y se utilizan para imágenes biológicas, donde reemplazan los tintes tradicionales, a menudo tóxicos. Los ingenieros y los físicos están tratando de inventar un ordenador cuántico, capaz de realizar muchos cálculos distintos a la vez, al igual que el gato de Schrödinger, a la vez vivo y muerto.
Los láseres son otra aplicación de la mecánica cuántica. Los usamos para leer la información de las pequeñas marcas en CDs, DVDs y discos Blu-ray. Los astrónomos usan los rayos láser para medir la distancia de la Tierra a la Luna. Incluso podría ser posible lanzar vehículos espaciales desde la Tierra con el impulso de un poderoso láser.
El último capítulo de esta historia proviene de una ecuación que nos ayuda a dar sentido a las ondas. Comenzó en 1807, cuando Joseph Fourier desarrolló una ecuación para el flujo de calor. Él presentó un documento al respecto en la Academia Francesa de Ciencias, pero fue rechazada. En 1812, la academia hizo del calor un tema de su premio anual. Fourier presentó una vez más una versión revisada del documento, y ganó.
El aspecto más intrigante de este documento no era la ecuación, sino cómo la resolvió. El problema típico era hallar, dado un perfil de temperatura inicial, cómo cambia dicha temperatura a lo largo de una delgada varilla a medida que pasaba el tiempo. Fourier podría haber resuelto esta ecuación fácilmente si la temperatura variaba como una onda sinusoidal a lo largo de toda su longitud. Pero en lugar de eso, presentó un perfil más complicado, con una combinación de curvas sinusoidales con diferentes longitudes de onda, resolvió la ecuación para cada curva sinusoidal, y se añadió estas soluciones conjuntamente. Fourier afirmaba que este método funcionaba para cualquier perfil dado, incluso uno donde la temperatura saltase repentinamente de valor. Todo lo que tenía que hacer era sumar un número infinito de contribuciones de curvas sinusoidales con más y más agitación.
Aun así, el nuevo documento de Fourier fue criticado por no ser lo suficientemente riguroso, y una vez más, la Academia Francesa se negó a publicarlo. En 1822, Fourier haciendo caso omiso de las objeciones, publicó su teoría en un libro. Dos años más tarde, logró ser nombrado secretario de la academia, y frente a sus críticos, publicó su primer artículo en la revista de la academia. Sin embargo, sus críticos tenían razón. Los matemáticos comenzaban a darse cuenta de que las series infinitas eran monstruos peligrosos, no siempre se comportan como unas sumas bonitas y finitas. La solución de estos problemas resultó ser francamente difícil, pero el veredicto final fue que la idea de Fourier se podría hacer rigurosa mediante la exclusión de los perfiles altamente irregulares. El resultado fue la transformada de Fourier, una ecuación que trata una señal variable en el tiempo como la suma de una serie de curvas sinusoidales y calcula sus amplitudes y frecuencias.
Hoy día, la transformada de Fourier afecta nuestras vidas de innumerables maneras. Por ejemplo, podemos utilizarla para analizar la señal vibracional producida por un terremoto y calcular las frecuencias en las que la energía imparte donde la sacudida de la tierra es mayor. Un sensible paso respecto a las pruebas frente a seísmos de un edificio, para asegurarse de que las frecuencias preferidas del edificio son diferentes de las de un terremoto.
Otras aplicaciones incluyen la eliminación del ruido de las antiguas grabaciones de sonido, en la búsqueda de la estructura del ADN, donde se utilizan imágenes de rayos X, en la mejora de la recepción de radio y en la prevención de las vibraciones no deseadas en los automóviles. Además, hay una que la mayoría de nosotros sin saberlo aprovechamos, cada vez que tomamos una fotografía digital.
Si trabajamos con la cantidad de información que se requiere para representar el color y el brillo de cada píxel en una imagen digital, descubrimos que una cámara digital parece meter dentro de la tarjeta de memoria unas 10 veces más cantidad de datos de lo que posiblemente pueda contener. Las cámaras hacen esto utilizando la compresión de datos JPEG, que combina cinco etapas distintas de compresión. Una de ellas es una versión digital de la transformada de Fourier, que trabaja con una señal que no cambia con el tiempo, sino a través de la imagen. La matemática es prácticamente idéntica. Las otras cuatro etapas reducen aún más los datos aproximadamente a una décima parte de la cantidad original.
Éstas son sólo siete de las muchas ecuaciones que nos encontramos todos los días, sin apercibirnos que están ahí. Pero el impacto de las ecuaciones en la historia va mucho más allá. Una ecuación verdaderamente revolucionaria, puede llegar a tener un impacto más grande sobre la existencia humana que todos los reyes y reinas cuyas maquinaciones llenan nuestros libros de historia.
Hay una posible ecuación que a los físicos y cosmólogos les encantaría meterle mano: una teoría del todo, que unificara la mecánica cuántica y la relatividad. La candidata más conocida es la teoría de las supercuerdas; pero, por lo que sabemos, nuestras ecuaciones para el mundo físico sólo puede ser modelados de manera muy simplista, que no logran captar la profunda estructura de la realidad. Incluso si la naturaleza obedece a leyes universales, tampoco sería expresable en forma de ecuaciones.
Algunos científicos piensan que ya es hora que se abandonen por completo las tradicionales ecuaciones en favor de los algoritmos, que son recetas más generales para el cálculo de cosas que implican la toma de decisiones. Pero hasta que llegue ese día, si alguna vez nuestros conocimientos penetran en las leyes de la naturaleza, seguirán adoptando la forma de ecuaciones, y deberemos aprender a entenderlas y apreciarlas. Las ecuaciones tienen su historial, son las que realmente han cambiado la faz del mundo y volverán a hacerlo de nuevo.
Fuente:
Bit Navegantes