Monstruos numéricos

Jueves, 28 de enero de 2010

Monstruos numéricos

La familia de los números naturales es muy grande, inmensa. En ella conviven infinitos (y numerables, es decir, contables) miembros que, aunque pueda parecer curioso tratándose de una familia, nunca nacieron y nunca morirán. Siempre han estado ahí y ahí continuarán.

El benjamin

Claude Shannon

El primero de los miembros de la familia es el número de Shannon. Este número es una cota inferior (algo así como una estimación a la baja) del número total de partidas de ajedrez posibles (esto es, de lo que se conoce como complejidad del árbol de juego del ajedrez). En concreto es el siguiente número:

$N \acute{u} mero \; de \; Shannon=10^{120}$

Es decir, un 1 seguido de 120 ceros. El hecho de que el número de Shannon sea mayor que la estimación que se baraja para el número total de átomos del Universo, entre $4 \cdot 10^{79}$ y $10^{81}$ , deja entrever la magnitud de este número. Es decir, aunque le hayamos llamado benjamin en realidad no tiene nada de pequeño.

Esta estimación del número de partidas de ajedrez fue realizada por Claude Shannon, padre de la teoría de la información.

El hermano mayor

Stanley Skewes

El segundo protagonista de hoy, al que he bautizado como hermano mayor del trío de números que estamos presentando, es el número de Skewes.

Bueno, en realidad son los números de Skewes. Vamos a ver quiénes son estos chicos.

El teorema de los números primos establece lo siguiente:

$\pi(x) \sim li(x)$

siendo $\pi (x)$ la función que nos da la cantidad de números primos menores o iguales que y li (x) la siguiente integral:

$\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{1}{Ln(t)} dt}$

Hasta principios del siglo XX todas las evidencias disponibles indicaban que $\pi (x)$ era siempre menor que li (x) . Pero en 1914 John Littlewood demostró que existía al menos un número real para el cual $\pi (x)$ es mayor que li (x) . De hecho fue más allá, demostrando que la diferencia $\pi (x)-li (x)$ cambia de signo infinitamente a menudo. Esto es, que hay infinitos números reales para los cuales $\pi (x)$ es mayor que li (x) .

Pero no dio ningún valor de ese . Ni siquiera una cota.

Y aquí es donde aparece Stanley Skewes. En 1933 Skewes, alumno del propio Littlewood, encontró tal cota. Más concretamente, asumiendo cierta la hipótesis de Riemann, demostró que el número natural más pequeño que cumple que $\pi (x)$ es mayor que li (x) es menor que el siguiente valor:

$e^{e^{e^{79}}} \approx 10^{10^{10^{34}}}$

Es decir, demostró que este tremendo número es una cota superior del menor número natural con dicha característica.

Pero eso no estodo, existe un número aún más mosntruoso al que llamaremos El Padre de Familia. Lea el artículo completo en:

Gaussianos

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