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3 de mayo de 2014

Trigonometría y telecomunicaciones: la información vista desde el dominio de la frecuencia

En la entrada de “La comunicación a través de ondas” habíamos explicado que el fenómeno físico de las ondas se puede aprovechar como vehículo para transportar información. Decíamos también que la información viaja en la forma de las ondas, poniendo como ejemplo las variaciones de la presión del aire que se producen al tocar una nota Re con un piano y una flauta. Volvemos a poner el dibujo:

Una décima de segundo de un Re con piano (arriba) y con flauta (abajo).

Una décima de segundo de un Re con piano (arriba) y con flauta (abajo).

Salta a la vista que son forma de onda claramente distintas, y es precisamente ahí donde está la información que nos permite diferenciar el sonido de los dos instrumentos. Nuestros sentidos de la vista y el oído, a fin de permitirnos reconocer cosas, llevan a cabo un procesamiento muy complejo de formas de onda, de oscilaciones eléctricas que se propagan a través de nervios que llegan al cerebro. Se trata de un procesamiento gestado a lo largo de millones de años de evolución, y que desde que nacemos tarda un tiempo considerable (meses o incluso años) en estar medianamente entrenado y funcional. De igual manera, los sistemas de telecomunicaciones se basan en manipular formas de onda para representar información y conseguir que viaje con éxito a través del medio que sea (un cable, el aire, el mar, etc). Para hacerlo con las prestaciones que tienen los sistemas modernos hemos tenido que desarrollar un aparato matemático fabuloso, cuyo máximo exponente es la herramienta que presentaremos hoy: la transformada de Fourier.

Si buscas por ahí encontrarás muchas explicaciones de la transformada de Fourier que parten de una de las fórmulas que ponemos a continuación, con integrales, exponenciales y otras cosas que a mucha gente le quitan las ganas de seguir leyendo. Nosotros intentaremos hacer ver que en esas fórmulas se esconden apenas un par de conceptos fáciles de entender. Empecemos, como casi siempre, por ver de dónde vienen las cosas.



Las fórmulas de la transformada de Fourier. ¡Tranquilos, que no cunda el pánico! (Crédito del dibujo de los niños: Prawny en FreeDigitalPhotos.net)

Lo que fueron aprendiendo los matemáticos de la Antigüedad.

Las matemáticas de las telecomunicaciones tienen su origen en la trigonometría, una disciplina cuyo nombre significa, literalmente, “medir triángulos“. En ello se ocuparon sabios de todas las civilizaciones antiguas que tuvieron algún interés por la agricultura, la navegación e incluso la medida del tiempo, dada la importancia de determinar con un mínimo de precisión magnitudes tales como superficies de tierras cultivables, ángulos y distancias en el rumbo de los barcos, posiciones de los astros en el cielo, etc. Sumerios, babilonios y nubios pusieron el punto de partida hace más de 4000 años. Luego, empezando hace cosa de 22 siglos, griegos como Tales de MiletoEuclides, Arquímedes, PitágorasHiparco de Nicea o Apolonio de Pérgamo (nuestro favorito, un crack) dieron forma a los primeros teoremas y procedimientos de cálculo. Más adelante, los hindúes se hicieron eco de todo aquello e introdujeron, entre otras cosas, las nociones de seno y coseno en una especie de enciclopedia universal llamada Surya Siddhanta. Tampoco vayas a pensar que fueran dos definiciones espectaculares. Imagínate en la situación del siguiente dibujo, tumbado en el suelo y mirando hacia un objeto a cierta distancia de ti. Tu mirada define una línea hacia el objeto, y esa línea forma un ángulo ⍺ con la línea del suelo. Pues bien, el seno de ⍺ se define como el resultado de dividir la altura a la que se encuentra el objeto sobre la horizontal a la altura de tus ojos (A) entre la distancia a la que el objeto se encuentra de ti (D), mientras que el coseno de ⍺ se define como la división de lo que tendrías que caminar hasta llegar a estar justo debajo del objeto (B) entre, nuevamente, la distancia D.

Definiciones de seno y coseno sobre un triángulo rectángulo.

Definiciones de seno y coseno sobre un triángulo rectángulo.

Ya en tiempos del gran matemático hindú Aryabhata, hacia el siglo V, los humanos teníamos perfectamente estudiadas las relaciones que se dan entre los 3 lados y los 3 ángulos de un triángulo. De este modo, conocidos 3 de esos datos, podíamos calcular con bastante precisión los otros 3 y alguna cosa más: la superficie del triángulo, las posiciones de sus 4 centros, etc. Posteriormente, los matemáticos del mundo árabe recopilaron, tradujeron y ampliaron esos conocimientos durante la Edad Media, destacando las aportaciones de al-Battānī y al-Tusi (otro crack del que hoy no se acuerda ni su p…ersa madre). Como siempre, los chinos llegaron al mismo conocimiento por su propia cuenta, de manos de fueras de serie como Shen Kuo (a quien ya nombramos en “Ciencia, tecnología y putadas tras la invención del telégrafo”) y Guo Shoujing. Y, por supuesto, también hay evidencias sobradas de conocimientos de trigonometría en la América previa a la invasión europea, aunque en medio del expolio nadie se paró a hablar de matemáticas con los nativos.

"Sí, sí… espera que voy a por el ábaco"

“Sí, sí… sigue contando, Atahualpa, que ya me traen ahora la regla y el compás”

El artículo completo en:

Telecomunicaciones de andar por casa

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