La resolución de ecuaciones polinomicas es un tema
al que quien más quien menos se ha acercado en su etapa de estudiante.
Todos sabemos cómo resolver una ecuación de primer grado (despejando la
incógnita) y la gran mayoría recordamos la famosa fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado. También muchos, aunque posiblemente menos, sabrán que hay fórmulas del mismo tipo para las ecuaciones de grados tres y cuatro. Y algunos menos que no se puede resolver de manera general la ecuación de quinto grado. Pero, ¿sabemos por qué?
Lo que sacamos como conclusión del párrafo anterior es que existen fórmulas generales para la resolución de ecuaciones de grados uno, dos, tres y cuatro, pero no existe tal fórmula para las de grado cinco (ni para grados superiores). ¿Esto significa que ninguna ecuación de grado cinco puede resolverse? No. Esto significa que dada una ecuación cualquiera de grado cinco, no podemos calcular de manera general sus soluciones con el simple conocimiento de sus coeficientes, mientras que con ecuaciones hasta grado cuatro sí que tenemos fórmulas que nos las calculan.
Lo que sacamos como conclusión del párrafo anterior es que existen fórmulas generales para la resolución de ecuaciones de grados uno, dos, tres y cuatro, pero no existe tal fórmula para las de grado cinco (ni para grados superiores). ¿Esto significa que ninguna ecuación de grado cinco puede resolverse? No. Esto significa que dada una ecuación cualquiera de grado cinco, no podemos calcular de manera general sus soluciones con el simple conocimiento de sus coeficientes, mientras que con ecuaciones hasta grado cuatro sí que tenemos fórmulas que nos las calculan.
Entendido esto, surge de manera natural preguntarse por qué ocurre
esto. ¿Por qué dejamos de tener solución general cuando llegamos al
grado cinco? Lo que vamos a hacer en esta entrada es explicar matemáticamente por qué esta fórmula general no existe para ecuaciones de quinto grado. Y, sin lugar a dudas, los matemáticos protagonistas de esta historia son Évariste Galois y Niels Henrik Abel.
Las matemáticas encargadas de ayudarnos a demostrar que tal fórmula
general no existe no son sencillas, y ni mucho menos evidentes. La
teoría encargada de echarnos una mano para recorrer este camino será la teoría de grupos, teoría perteneciente a lo que podríamos llamar matemáticas avanzadas, y más concretamente la teoría de Galois.
Pero que esto no os asuste, intentaremos hacer el camino lo más
llevadero posible para que nadie esté obligado a abandonar a mitad de
travesía.
La
idea brillante, y la verdadera clave de todo este asunto, fue el
descubrimiento de que a cada ecuación polinómica se le podía asignar un
cierto grupo (grupo: estructura algebraica que cumple ciertas propiedades), denominado grupo de Galois
de la ecuación. No nos interesa saber qué es exactamente un grupo, ni
cómo contruir este grupo de Galois en cada caso, simplemente que cada
ecuación polinómica está asociada a su grupo de Galois.
Una de las muchas propiedades interesantes que puede tener (o no) un grupo es la solubilidad. Es decir, hay grupos solubles (también llamados resolubles)
y grupos que no lo son. La definición de grupo resoluble es algo
avanzada (para los interesados está al final del post), pero para
continuar leyendo no es necesario conocerla. Lo que sí es interesante
saber, y de hecho es uno de los pasos importantes en todo esto, es que Galois demostró que se pueden expresar convenientemente las soluciones de una ecuación polinómica si y sólo si el grupo de Galois de dicha ecuación es resoluble. Esto, si os fijáis, es bastante fuerte, ya que el hecho de expresar convenientemente las soluciones de una ecuación se reducía simplemente al estudio del grupo de Galois de dicha ecuación, y sobre grupos ya se conocían muchas cosas.
Bien,
vamos con el segundo y último paso. El grupo de Galois de una ecuación
cualquiera de grado uno, dos, tres o cuatro es siempre resoluble, por lo
que siempre podemos expresar las soluciones de dichas ecuaciones en
radicales (esto de en radicales es la forma de llamar a la expresión de dichas soluciones, lo que hemos llamado antes expresar convenientemente, no nos asustemos). ¿Y el de una ecuación de grado mayor o igual que 5? Pues…en general no. Es decir, el grupo de Galois de una ecuación cualquiera de grado cinco (o mayor) no es resoluble. Eso es lo que dice el teorema de Abel-Ruffini,
también conocido como teorema de imposibilidad de Abel (también al
final de este post tenéis algún detalle más matemático de este asunto).
Por tanto, no podemos aspirar a tener una fórmula general que
nos dé todas las soluciones de una ecuación cualquiera de grado cinco o
superior. Podremos expresar en radicales las soluciones de
algunas (las que tengan grupo de Galois asociado resoluble), pero
siempre habrá ecuaciones de grado cinco o mayor cuyo grupo de Galois no
sea resoluble.
Fin de la historia, y esta vez con final feliz…¿o no? Bueno, depende.
Por un lado quizás el hecho de que no existan esas fórmulas para el
caso general con grado mayor o igual que cinco puede dejarnos una
sensación de vacío difícil de llenar, pero por otra parte dejamos el
problema totalmente resuelto: hasta grado cuatro tenemos fórmulas y de
grado cinco en adelante no tenemos que preocuparnos de buscarlas porque
no las hay. ¿En qué bando estáis, en final feliz o final vacío?
Vamos con el contenido más difícil en: