Miércoles, 30 de junio de 2010
Conjetura de Poincaré
Hace unos días escuché el podcast del programa de BBC4 In our time dedicado a la conjetura de Poincaré, uno de esos problemas que han dejado insomnes a los matemáticos durante el último siglo. Para mi sorpresa creo que logré entender alguna cosa, lo que me ha impulsado a escribir una entrada al estilo Curioso pero inútil. La mayor parte de las cosas que explico vienen del programa de radio, donde 3 profesores universitarios de matemáticas estuvieron hablando sobre Poincaré y su conjetura durante 40 minutos. Si hay errores son todos por mi culpa, no soy matemático.
Un buen día os planteáis una pregunta interesante, ¿es este universo abierto o cerrado? La pregunta no es nada sencilla de responder y es un debate que mantienen los físicos. Supongamos que es cerrado, ¿que forma tendría? La respuesta que a uno le sale al leer esta pregunta es casi inmediata, ¡una esfera! Esa parece la más evidente, pero ¿es así?
Todas estas respuestas son muy difíciles de responder. Como ya os habéis imaginado están relacionadas con la famosa conjetura de Poincaré y, como ya he dicho, a los matemáticos les ha costado unos 100 años responderla. Cuando algo es más duro de lo que uno puede masticar, lo mejor es ablandarlo. Vamos a ablandar el problema recurriendo a algo familiar, los videojuegos. Sorprendéntemente hay más matemáticas en el Galaxian y el Asteroides de los que uno podría pensar a primera vista.
Además de usar juegos para hacer más llevadero el asunto vamos a hacer algo más importante, en lugar de tratar el problema en 3 dimensiones, nuestro mundo, lo reduciremos a un mundo bidimensional, 2D.
El mundo de Asteroides es plano. Lo mejor es que antes de seguir leyendo dediquéis a jugar un rato a Asteroides:
(Haced click sobre la imagen para jugar)
Si habéis jugado un rato habréis comprobado que el mundo de Asteroides es plano, solo tiene dos dimensiones. Pero hay algo sorprendente, si dirigís la nave hacia la derecha, cuando llega al borde en lugar de pararse, la nave sale por el otro lado. Lo mismo ocurre si nos dirigimos hacia arriba, solo que salimos por abajo. Se trata de un universo cerrado, no podemos escapar de él y tiene límites. De hecho el universo de Asteroides es la ¡superficie de una esfera! Imaginaros que estáis jugando sobre la superficie de una pelota, las trayectorias de la nave y de los asteroides son iguales que las del juego.
La cosa tiene su interés porque para comprobar que el espacio es cerrado lo que hemos hecho es “alejarnos” para comprobar que el universo de Asteroides es la superficie de una esfera. ¿Cómo nos hemos “alejado”? Metiendo ese mundo bidimensional en un espacio tridimensional. ¡Vaya! Parece que para saber si un universo es cerrado o no necesitamos irnos a un espacio con una dimensión mayor. En realidad no, jugando al Asteroides ya habíamos comprobado que el universo era cerrado. Al irnos a las 3 dimensiones lo que hemos comprobado es que tiene la forma de una esfera o algo parecido.
¿Qué pasa con el mundo de Galaxian? La primera impresión es que es la superficie de una esfera, como con Asteroides. Al fin de al cabo, no es más que un arcade 2D como Asteroides en el que manejamos una nave espacial y mientras nos defendemos. Antes de seguir leyendo, lo mejor es que de dediques unos minutos a jugar a Galaxian:
(Haced clic sobre la imagen para jugar)
Nuevamente nos encontramos con un mundo bidimensional pero diferente del de Asteroides. Nuestra nave va de derecha a izquierda y las naves atacantes van de arriba a abajo. Pero con una diferencia, el universo de Galaxian es ¡una rosquilla! O, como les gusta llamarlo a los matemáticos un toro.
Nuevamente sabemos que es un toro porque nosotros estamos en un universo tridimensional. Realmente resultaría muy complicado para la nave de Galaxian saber que está sobre la superficie de un toro en lugar de sobre la superficie de una esfera.
Aquí es donde interviene Poincaré. Propuso un método muy sencillo para ver si es una esfera o un toro. Solo que que coger un hilo y hacer un lazo sobre nuestro universo. Eso es sencillo, solo tienes que pedirle a un amigo que coja un extremo del hilo y que se quede quieto. A continuación echamos a andar en una dirección con la bobina de hilo hasta que volvemos a encontrarle. ¡Recordemos que estamos en universos cerrados! Ya solo nos queda hacer el lazo y estirar del extremo libre.
Si logramos recoger todo el hilo es que estamos sobre una esfera.
Si no lo logramos, si queda anudado sobre el universo, es que estamos sobre un toro.
He representado los lazos por encima de las superficies para que se vean más claros. Las flechas azules representan hacia donde estiraríamos.
Como habéis visto hemos logrado, con ayuda de un par de videojuegos y una bobina de hilo mental, determinar la forma de un par de universos bidimensionales.
La siguiente pregunta es, ¿podemos extender este razonamiento a las tres dimensiones? Y más concretamente, ¿nos serviría este método para determinar si nuestro universo es una hiperesfera, un hipertoro o algo más complejo? Nuestro universo al ser tridimensional sería una cuerpo en 4 dimensiones, es decir una hiperesfera o un hipertoro. Lo malo es que para poder apreciarlo tendríamos que ir a un universo tetradimensional. Al igual que necesitamos un universo tridimensional para poder apreciar los universos bidimensionales de los videojuegos.
Este problema es la conjetura de Poincaré:
El teorema sostiene que la esfera tridimensional, también llamada 3-esfera o hiperesfera, es la única variedad compacta tridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado se puede deformar (transformar) en un punto.
“Conjetura de Poincaré”, según la Wikiedia
Confío en que después de todo ésto entiendas, aunque sea de manera intuitiva, la conjetura. Aunque en realidad ya no es una conjetura, es un teorema ya que fue demostrada en 2002 por el matemático ruso Grigori Perelman, 98 años después de que fuese expresada.
Como nota final comentar que curiosamente el caso tridimensional ha sido el que más a costado a los matemáticos. Parecería que un numero mayor de dimensiones haría el problema más complejo, pero no es así.
Fuente:
Un pequeño paso para Neil