Cómo enseñar a derivar sin utilizar límites

Martes, 16 de junio de 2009
Newton y Leibniz derivaban funciones sin utilizar el concepto de límite. Concepto que hasta Cauchy no se popularizó. Sin embargo, hoy en día pretendemos que los adolescentes aprendan a derivar tras saber calcular límites. Les pedimos que ricen el rizo y aprendan un concepto “difícil” de principios del s. XIX para dominar un concepto “fácil” de finales del s. XVII. Les complicamos la vida.
Más tarde el alumno se da cuenta que derivar es muy fácil. Aprenderse una pocas reglas sencillas y aplicarlas directamente. Y el alumno se pregunta ¿para qué me habrán enseñado el concepto de límite? Parece fácil la respuesta, para complicarle la vida al alumno. Ni más ni menos. ¿Se puede enseñar a calcular derivadas directamente? Por supuesto que sí, como ya se hizo durante más de un siglo. Nos lo recuerda, porque a veces es necesario que nos recuerden lo obvio, Michael Livshits, “You could simplify calculus,” ArXiv preprint, Submitted on 22 May 2009

Un profesor (P) le pide a un alumno (A) que calcule la derivada de $x^4$ en el punto $x = a$ . El estudiante, inteligente donde los haya, escribe el siguiente cociente de diferencias $\frac{x^4 - a^4}{x - a}$ , tras ello, factoriza el numerador y lo reescribe como $\frac{(x - a) (x + a) (x^2 + a^2)}{x - a}$ , cancela los $x - a$ , y obtiene como resultado $(x + a) (x^2 + a^2)$ , donde substituye $x = a$ para obtener finalmente $4 a^3$ , que es la respuseta correcta, por supuesto. Al profesor no le gusta esta solución y discute con su alumno como sigue:

P: Tu respuesta es correcta, pero ¿por qué no has utilizado la definición de la derivada como un límite? Estas estudiando un curso de cálculo, debes hacerlo como hay que hacerlo.

A: ¿Realmente hay que utilizar límites? Me parece una pérdida de tiempo, es mucho más fácil simplificar y substituir $x = a$ . Me parece más elegante. it looks like it works fine.

P: ¿Pero entiendes por qué funciona?

A: Hmmm, veamos. Creo que funciona porque el límite de $(x + a) (x^2 + a^2)$ para $x \rightarrow a$ es $4 a^3$ , por tanto, en lugar de calcular el límite podemos introducir directamente $x = a$ en $(x + a) (x^2 + a^2)$ .

P: ¿Cómo se llaman las funciones a las que les puede subsituir $x = a$ directamente en lugar de calculando su límite en $a$ ?

A: ¿Función continua en $a$ ? Sí, ya me acuerdo.

P: ¡Correcto! Debes saber que los matemáticos diferenciaban polionomios, raíces cuadradas, y funciones trigonométricas en el s. XVII, mucho antes de que se inventaran los conceptos de función continua y los límites en el s. XIX. ¿Por qué no tratas de derivar a tu manera las siguientes funciones: $\sqrt[3]{x}$ , y $\frac{x^2}{3 + x^3}$ ?

A: Vale, lo haré. Creo que seré capaz de lograrlo.

Estimado lector, si eres aficionado a las matemáticas, ¿te atreves a lograrlo?

Te ayudaré un poco. ¿Cómo podemos calcular la derivada de $\sqrt{x}$ . Podemos escribir el cociente de diferencias $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{a}}{x - a}$ y tratar de hacer que esta expresión tenga sentido bajo la sustitución $x = a$ . ¿Cómo lograrlo? Podemos reescribir el denominador como $(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{a})^2$ y factorizarlo como $(\sqrt{x} - \sqrt{a}) ( \sqrt{x} + \sqrt{a})$ , de manera que $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{a}}{x-a}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}$ , expresión que tiene sentido al hacer $x=a$ , resultando en la respuesta correcta $(\sqrt{x})' = 1 / (2 \sqrt{x})$ .