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8 de agosto de 2014

¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

Las matemáticas se descubren. La labor del matemático es parecida a la del explorador de una nueva tierra. Su misión es descubrir nuevos entes para su estudio detallado mediante nuevas herramientas. Así contesté a la #Pregunta102 de los amigos del podcast la @buhardilla. Hay quien piensa que los entes matemáticos se descubren y que las herramientas matemáticas se inventan. En mi opinión no hay distinción profunda entre entes y herramientas.

El famoso matemático Michael Atiyah, contestó la #Pregunta102 en 2006 en la Universidad de Santiago de Compostela. El vídeo de su charla ”Mathematics: Discovery or invention?” merece la pena. ¿Se inventaron o se descubrieron los números naturales? ¿Y los reales? ¿Y el número pi? La posibilidad de patentar (herramientas) matemáticas es la gran diferencia entre que sean inventadas o descubiertas.

Mi postura al respecto es propia de un practicante de las matemáticas aplicadas que no considera patentables sus propios descubrimientos. Pero supongo que muchos lectores opinarán que los suyos sí lo son. Para ilustrar mi postura usaré la función zeta de Riemann. Me he basado en Guilherme França, André LeClair, “A theory for the zeros of Riemann ζ and other L-functions,” arXiv:1407.4358 [math.NT], 16 Jul 2014.

Dibujo20140725 riemann - critical line zeta function - euler

No hay que saber muchas matemáticas para que uno se pregunte cuestiones sobre series infinitas como el problema de Basilea, que Pietro Mengoli propuso en 1644, ¿cuánto vale la siguiente serie infinita?

\displaystyle\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots,



¿Se inventó Mengoli esta serie? ¿La descubrió? Euler logró calcular la solución en 1735 (con 28 años de edad), aunque lo demostró en 1741. Su resultado le hizo famoso,


\displaystyle\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.

¿Por qué aparece el número pi en esta serie? La herramienta “inventada” por Euler permitía calcular

\displaystyle\zeta(4)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90},

y en general el valor de todas las series \zeta(2n) (en función de los llamados números de Bernoulli). ¿Este resultado fue inventado o descubierto por Euler? ¿Tiene sentido que Euler patente la “invención” del método que le llevó a este resultado?

La pregunta obvia es ¿cuánto vale la serie para potencias impares, es decir, \zeta(2n+1)? El método de Euler no funciona. ¿Tiene sentido patentar un método para calcular estos valores de la función zeta? ¿Se inventa o se descubre un método para calcularlos? Mi experiencia personal es más próxima a que se descubre un método explorando las propiedades de estos objetos matemáticos. Sin embargo, reconozco que el esfuerzo a veces es tan grande que a uno le gustaría patentar la herramienta “inventada” en el proceso.

En 1737 Euler descubrió otra propiedad realmente sorprendente e inesperada, el llamado producto de Euler,

\displaystyle\zeta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^z}=\prod_{i=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p_i^z}\right)^{-1},
donde p_i es el número primo i-ésimo (p_1=2, p_2=3, p_3=5, etc.). Se puede demostrar fácilmente que si la variable z es un número complejo z=\mbox{Re}(z)+\mbox{i}\,\mbox{Im}(z), con \mbox{i}^2=-1, estas series convergen para \mbox{Re}(z)>1 (de hecho, es muy fácil demostrar que estas series divergen para z=1).

Tenemos una serie infinita que describe una función \zeta(z) de variable compleja para \mbox{Re}(z)>1. Una pregunta obvia es ¿se puede extender de forma única la función \zeta(z) a valores con \mbox{Re}(z)<1? ¿Piensas que se descubre esta extensión o que se inventa un método para calcularla? Ya te digo, yo prefiero decir que se descubre la extensión y que se descubre la herramienta para calcularla.

La función \eta(z) de Dirichlet corresponde a la versión alternada de la serie, es decir,

\displaystyle\eta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^z},



no siendo difícil demostrar que converge para \mbox{Re}(z)>0 y que permite escribir


\displaystyle\zeta(z)=\frac{1}{1-2^{1-z}}\,\eta(z),



expresión que define la función \zeta(z) para \mbox{Re}(z)>0.


De nuevo, la pregunta obvia es ¿se puede extender esta función a todo el plano complejo? El genial Riemann demostró que existe la continuación analítica única de la función \zeta(z) a todo el plano complejo, excepto en el polo z=1. Riemann descubrió (yo no diría que inventó) que está dada por


\displaystyle\zeta(z)=\Gamma(1-z)\,{\cal J}(z),



donde


\displaystyle\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}u^{z-1}e^{-u}\,du,y
\displaystyle{\cal{J}}(z)=\frac{1}{2\pi\mbox{i}}\int_{\cal{C}}\frac{u^{z}}{e^{-u} - 1}\frac{du}{u},



ambas bien definidas en todo el plano complejo (para un contorno {\cal C} adecuado).

Explorar las propiedades de la función \zeta(z) es un viaje por terra incognita emprendido por Riemann y que todavía muchos matemáticos siguen disfrutando (y sufriendo). Riemann demostró la llamada ecuación funcional

\displaystyle\chi(z)=\chi(1-z),\qquad\chi(z)\equiv\pi^{-z/2}\,\Gamma(z/2)\zeta(z),



válida en todo el plano complejo, excepto en el polo simple z=1. Esta ecuación funcional es compañera de viaje de todo explorador del universo de la función zeta de Riemann.


\zeta(-2n) = 0

Por ejemplo, se puede demostrar que son los ceros triviales (basta sustituir z\to 1+2n para n=1,2,\dotsc en la ecuación funcional). Además, la función \zeta(z) no tiene ceros para \mbox{Re}(z) > 1, luego los ceros triviales son los únicos para \mbox{Re}(z)<0.

Parece obvio explorar ¿cuántos ceros (no triviales) hay en la banda crítica 0\le\mbox{Re}(z)\le 1? Todos estos ceros son simétricos respecto a la línea crítica \mbox{Re}(z) = 1/2. Más aún, si \rho es un cero complejo, también lo son \rho^*, 1-\rho y 1-\rho^*. La excepción son los ceros en la línea crítica \mbox{Re}(z) = 1/2, para los que \rho y 1-\rho^* coinciden. ¿Cuántos ceros hay en la línea crítica? Hardy demostró que hay infinitos. ¿Cuántos ceros hay en la banda crítica que no estén en la línea critíca? La hipótesis de Riemann afirma que ninguno. Nadie lo ha demostrado. Un millón de dólares espera a quien lo logre…

¿Se inventan las propiedades de la función zeta de Riemann o se descubren? ¿Se inventarán las herramientas para demostrar la hipótesis de Riemann o se descubrirán? Mi opinión es que la sensación que tiene el matemático es que se descubren, pero que le gustaría que se inventaran para poder patentarlas.

Fuente:

La Mula Francis

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