Lunes, 14 de junio de 2010
Música y Matemáticas
Los números, que según los antiguos son la esencia de todas las cosas, marcan los ritmos, las pautas, los tonos, las armonías. Así es como las Matemáticas habitan en la música; ocultas, silenciosas.
Un instrumento musical es un dispositivo físico capaz de producir lo que se llama una onda de presión, un “empujón de aire” que es capaz de mover la pequeña membrana del oído que llamamos tímpano. La frecuencia de vibración define lo que llamamos el tono, de graves a agudos, que se mide en el número de vibraciones por segundo o Hertzios (Hz). Un diapasón, ese objeto metálico en forma de U que se utiliza para afinar instrumentos, vibra cuando se le da un golpe, a 440 Hz, lo que corresponde a la nota musical “La”.
En este fragmento del teclado de un piano con las frecuencias correspondientes a cada nota, lo que establece una relación directa entre números y notas. El haber llegado hasta esta distribución de frecuencias por la que se rige la mayor parte de la música actual, es una larga historia en la que la Teoría de la Música y las Matemáticas se han cedido el protagonismo la una a la otra.
La música pitagórica
Cuando dos o más notas suenan simultáneamente se dice que se ha producido un acorde. Su sonido puede ser agradable o desagradable (o menos agradable). Aunque ésta sea una apreciación subjetiva, la mayoría de las personas, independientemente de su educación musical, coinciden en separar claramente los dos tipos de sonidos.
Una de las muchas formas que hay de producir un sonido es hacer vibrar una cuerda. La nota que emite la cuerda depende de la longitud de ésta y, como las longitudes pueden ser asociadas a números, Pitágoras decidió estudiar la relación que había entre las longitudes de las cuerdas y los sonidos armoniosos. Para ello ideó el monocordio: una cuerda musical tensada sobre una tabla en la que, mediante un puente móvil, podía cambiar la longitud de la cuerda
(un proceso análogo al que se hace al pulsar una cuerda de guitarra). Dividió la cuerda en doce partes y buscó, moviendo el puente, los intervalos consonantes, es decir, aquéllos que producían un sonido agradable.
Se encontró con que las longitudes en las que se producían las armonías eran proporcionales a 9, 8 y 6
Llamó “tono” a la nota producida por la longitud total de la cuerda, poniendo a las otras tres los nombres de “diatesarón”, “diapente” y “diapasón”, que son los intervalos que actualmente denominamos octava, quinta y cuarta, y sobre los que Pitágoras construyó la primera escala musical de la historia
Las relaciones
1·12 = 12
3/4·12 = 9
2/3·12 = 8
1/2·12 = 6
nos proporcionan las correspondientes razones de la longitud de la cuerda:
1 = tono
3/4 = cuarta
2/3 = quinta
1/2 = octava
Se puede comprobar que las combinaciones armónicas de una cuerda pulsada guardan una relación de números enteros con las longitudes respectivas de la cuerda, como muestra la siguiente tabla que resume el sistema musical de Pitágoras:
| do | re | mi | fa | sol | la | si | do |
| 1 |  |  |  |  |  |  |
Fundamentos musicales
El fundamento de la música lo estableció Pitágoras con los cuatro números 1, 2, 3 y 4, que representaban la perfección del número diez 1+2+3+4=10 cuyas partes dan lugar al punto, la línea, el plano y el espacio. Fue así como Pitágoras estableció el lazo de unión que había entre la belleza de la música y la de los números. Luego, extrapoló sus conocimientos geométricos y musicales hasta concebir una original concepción del Universo: La Música de las Esferas, en la que cada planeta debía emitir un sonido característico, en perfecta armonía con los demás. Kepler dedicó muchos años a estudiar esta teoría. Pensaba que conociendo la velocidad y la masa de una esfera, podía determinar el sonido que producía. Un sonido que nadie podía oír porque era continuo y carecía de silencios. Sus investigaciones acabarían desembocando en las tres famosas leyes que rigen el movimiento de los planetas.
En la Música de las Esferas, la nota más grave era Hipate, que procedía del centro de la Tierra y que se correspondería con la nota fundamental o tónica de nuestra escala. Hacia el 370 d. de C., Teón, que fue director del Museo de Alejandría, bautizó con ese nombre a su hija, Hipatia, la que fue la primera matemática de la historia y, desgraciadamente, la primera víctima de la intransigencia religiosa frente a la Ciencia.
Pentafonía
La “quinta justa” es el segundo intervalo en importancia en cuanto a la percepción sonora. El primero y más simple es la octava, la que se podría llamar una duplicación natural. Cuando dos personas cantan juntas, lo más sencillo que pueden hacer, y también lo más aburrido, es cantar a unísono. Inmediatamente después viene el cantar con un intervalo de una octava. El siguiente intento (históricamente fue así) es el de hacerlo por intervalos de quinta. Según hemos visto, esto quiere decir que nos movemos en un intervalo musical entre dos notas cuya relación de frecuencias es 2:3. Si adoptamos como nota base el La (440 Hz) y buscamos dos quintas por encima de esta nota y dos por debajo, tendremos la siguiente serie de frecuencias:
Las dos quintas por encima serán
440 ·
Las dos quintas por debajo serán
440 ·
De esta forma, la serie de cinco frecuencias será
195,5556 293,3333 440 660 990
Las notas que más se aproximan a estas frecuencias son
Sol3 - Re4 - La4 - Si4 – Re5.
Si queremos ahora situar todas estas notas dentro de la misma octava, en este caso la cuarta, deberemos multiplicar o dividir por 2 cada frecuencia, quedando finalmente la siguiente serie:
| 293.33 | 330.00 | 391.11 | 440.00 | 495.00 | 586.67 |
| Re | Mi | Sol | La | Si | Do |
Ésta es la llamada “escala pentafónica”. Este tipo de escalas están muy difundidas por todo el mundo, especialmente en la música popular tradicional. Son las utilizadas, por ejemplo, en la típica música andina. Cualquiera que pulse las teclas de un instrumento según esta escala obtendrá melodías agradables sin apenas esfuerzo. Son, por ejemplo, las que se forman tocando las teclas negras del piano, empezando por fa sostenido.
Tonos y semitonos
Como hemos visto, los pitagóricos, para crear sus escalas, adoptaron el criterio armónico de empezar por una nota determinada y ascender por quintas, lo que quiere decir que las cuerdas pulsadas guardan relaciones entre sus longitudes que se corresponden con la serie de números siguiente:
Varias de estas notas tienen razones superiores a 2/1, lo que quiere decir que no pertenecen a la misma octava. Hemos visto que esto se puede solucionar dividiendo estas notas por 2 y reordenándolas de nuevo, quedando la serie de esta forma:
Se corresponden aproximadamente con las notas Do, Re, Mi, Sol, La, Si. Añadiendo la quinta 2/3 y multiplicándola por dos (para que entre en la octava) 2·2/3 = (4/3) se obtiene la nota que falta, que corresponde a un Fa, con lo que la escala completa queda tal y como la planteamos en el apartado anterior:
| do | re | mi | fa | sol | la | si | do |
| 1 | | | | | | | 2 |
y que se corresponde aproximadamente con las teclas blancas del piano. Los intervalos que hay entre notas sucesivas son de 
A la razón 9/8 se le llama tono y a la 256/243 semitono. Según esto, entre un Do y un Re hay un tono. En cambio, entre un Re y un Mi hay un semitono. Para completar las escala con las alteraciones correspondientes de sostenidos y bemoles, o lo que es lo mismo, para introducir las teclas negras del piano y obtener la llamada “escala cromática”, parecería lógico que bastara con ir sumando semitonos. Pero se da la circunstancia de que un intervalo de dos semitonos están separados por una razón de longitudes que viene dada por:
cantidad que podemos perfectamente aproximar por 1,11. Sin embargo, un tono se corresponde a:
con lo que resulta que dos semitonos no son iguales a un tono y aquí empiezan los problemas, especialmente para los fabricantes de instrumentos.
La escala temperada
Cuando un fabricante de instrumentos empieza por colocar el Do y va colocando todas las cuerdas afinadas por quintas justas, se encuentra que el Si sostenido (Si#) se acerca mucho al Do, pero no son exactamente iguales, ya que el primero es ligeramente más alto que el segundo, en un intervalo que se llama “coma pitagórica”.
Se verá, por tanto, obligado a utilizar cuerdas distintas para cada una de estas notas. Este problema lo conducirá a situaciones cada vez más difíciles de resolver, como son un excesivo número de cuerdas y distancias imposibles de abarcar con los dedos de las manos. Además, en el momento en que la escala se empieza en una nota cualquiera, es decir, si se cambia la tonalidad, la secuencia de intervalos también cambia.
Cuando los compositores dejaron de componer por modos (quintas justas, acordes perfectos, etc.) y empezaron a modular por tonos, se hizo necesario encontrar la forma de resolver el problema. Se decidió encontrar un valor entre las distancias de los semitonos que igualara, al menos acústicamente, los enarmónicos, como acabó llamándose a este tipo de notas y nació la escala por temperamento igual, equitemperada o bien temperada. Bach fue un gran impulsor de esta innovación, escribiendo el Clavecín bien temperado, que constaba de 24 preludios y fugas en todas las tonalidades (¡sin necesidad de cambiar de instrumento!).
En 1876, en un auténtico afán de purismo musical, se llegó a construir un instrumento “el armonio de teclado generalizado” de Blanchet, que tenía la friolera de 53 teclas por octava. Obviamente no se trataba de una escala temperada.
La escala perfecta
La escala pitagórica no era perfecta, ni en el sentido musical, ni en el matemático. Una escala perfecta sería aquella en la que las razones fueran:
1 r r2 r3 r4…… r12 = 2
pero todas las razones que se encuentran en la escala pitagórica involucran a los números 2 y 3, es decir ,que son todas del tipo 2x·3y. Por ejemplo:
Si una de estas razones es:
r = 2x·3y
como:
r12 = 2
resultaría que:
212x·312y = 2
con lo que:
212x-1 = 3-12y
lo que no es posible porque una potencia de dos no puede ser nunca igual a una potencia de tres, ya que no se cumpliría la unicidad de la factorización de números primos. Esto no quiere decir que no se pueda encontrar otro tipo de intervalo que pueda hacer la escala, si no perfecta, casi perfecta, pues basta con tomar
que es, aproximadamente, lo que se tomó para construir la escala bien temperada, algo que los griegos no podían hacer porque desconocían la existencia de números irracionales como
Música fractal
Cuando en los sistemas caóticos aparece un atractor, es posible diseñar un programa de ordenador que asocie la coordenada x a una nota musical, y la y a la duración de la misma. Éste es el principio de la música fractal. Con ello no se pretende generar música directamente, sino proporcionar al músico una cierta pauta creativa. Uno de los programas más famosos es el The Well Tempered Fractal (TWTF), que permite proyectar 10 atractores extraños sobre 21 escalas diferentes. El resultado es realmente sorprendente.
Dados musicales
Mozart compuso, a los 21 años, un vals de 16 compases (número de catálogo K. 294). Y lo hizo siguiendo las instrucciones de un juego de dados que él mismo había diseñado: Juego de dados musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición. El juego consistía en dos dados y dos tablas de números diferentes. La primera debía usarse para la primera parte del vals y la otra para la segunda.
Para componer la primera parte del vals, que constaba de ocho compases cada una, se lanzaban los dos dados y se sumaban los números que habían salido. Sólo hay 11 posibles resultados, que figuraban en la primera columna de la tabla. Si, por ejemplo, había salido un nueve en la primera tirada, se elegía el compás de la columna primera y fila nueve, y así sucesivamente hasta componer los ocho compases de la primera parte. Luego se hacía lo mismo con la segunda tabla para la segunda parte. No hacía falta ser músico porque Mozart ya había compuesto los 176 compases que estaban en las dos tablas. Es de esperar que no haya ningún loco que se proponga grabar todos los valses posibles, ya que hay unos 750 trillones de variaciones.
Por otra parte, la conocida sucesión de Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, … fue utilizada por Béla Bartok para crear una escala musical a la que denominó “Escala Fibonacci”:
Fuente: