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28 de junio de 2015

La fórmula matemática que se dibuja a sí misma


La fórmula de arriba no es una cualquiera, es una de las más curiosas en matemáticas. Su representación en un gráfico es, básicamente, la propia fórmula. Se la conoce como la fórmula autorreferente de Tupper y su explicación es un genial ejercicio numérico que te hará amar (un poco más) las matemáticas.




Primero partamos de la fórmula en sí mismo. Es esta:
Cómo esta fórmula matemática se dibuja a sí misma (y a cualquier cosa)
Si representáramos esta ecuación en un eje de X e Y, de forma que las coordenadas de X estuvieran entre 0 y 106, y las de Y estuvieran entre K y K+17, siendo K igual a este número enorme:
960939379918958884971672962127852754715004339660129306651505519271702802395266424689642842174350718121267153782770623355993237280874144307891325963941337723487857735749823926629715517173716995165232890538221612403238855866184013235585136048828693337902491454229288667081096184496091705183454067827731551705405381627380967602565625016981482083418783163849115590225610003652351370343874461848378737238198224849863465033159410054974700593138339226497249461751545728366702369745461014655997933798537483143786841806593422227898388722980000748404719
El resultado del dibujo en el gráfico sería la propia fórmula pixelada, es decir, esto:
Cómo esta fórmula matemática se dibuja a sí misma (y a cualquier cosa)
¿Cómo es posible? Básicamente, las reglas de las coordenadas mencionadas, 0106×17, en el que cada celda podría ser un bit de información, o lo que es lo mismo, 106 x 17 = 1802 bits.

A su vez, el número K contiene 543 cifras que permiten codificar 1810 bits de información binaria. Es decir, el número K es justo el que codifica y dibuja en el gráfico la fórmula, con un 0 asignado a la celda libre y un 1 asignado a la celda coloreada. Esto, automatizado por un programa informático como el que creó Tupper, dibujaría al instante la propia fórmula con el número K mencionado. Por eso se le llama "auto-referente".

Como explica Matt Parker en el vídeo debajo, se podría comprobar de forma manual. Si partes del dibujo de la fórmula y anotas su número binario, asignando un 1 cuando la casilla está coloreada y un 0 cuando no, divides ese número binario final entre 10 y lo multiplicas por 17, obtendrías el número K inicial.

Cómo esta fórmula matemática se dibuja a sí misma (y a cualquier cosa)
Lo curioso de todo esto es que, solo variando el número K, puedes obtener un dibujo diferente cada vez. Lo que quieras. Por ejemplo, como explican aquí, si K (o N, da igual cómo lo llames) fuera este número:
6064344935827571835614778444061589919313891311
Obtendrías este dibujo final:
Cómo esta fórmula matemática se dibuja a sí misma (y a cualquier cosa)
Si K fuera este otro número:
11446143048577322873420746886032253602081036176820637725351572728824205319356548595443573778191478330600315648025516347418384227839098139252614970555108049338384907856705947495396329029490965408180552069582726103040
Obtendríamos esta representación:
Cómo esta fórmula matemática se dibuja a sí misma (y a cualquier cosa)
Puedes echar un vistazo al vídeo completo de Matt Parker debajo. Está en inglés, pero paso a paso muy clarito explicado:


Fuente:

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