La Teoría de los Grafos

La teoría de los grafos

Nuevamente Gaussianos vuelve a dar en el blanco. Un artículo fácil de digerir, pero no por ello carente de rigor matemático: introducción a la teoría de los grafos. El artículo parte del famoso problema d elos puentes de Konigsberg. Disfrútenlo:

del sobre y similares.

Los puentes de Königsberg

Königsberg (actualmente Kaliningrado, Rusia) era una ciudad de Prusia del siglo XVIII. El problema que nos ocupa tiene como protagonista a un río, el río Pregel, que cruzaba la ciudad, a dos islas que se encontraban en el mismo y a siete puentes que comunicaban las dos partes de la ciudad con las mismas. Concretamente la situación era como se describe en la imagen ( y son las dos partes de la ciudad y y las dos islas):

(Imagen tomada de Historias de la Ciencia)

El problema consistía en comenzar en un punto, pasar por los siete puentes sin repetir ninguno y volver al punto de partida. Antes de seguir leyendo podéis intentarlo vosotros mismos, aunque os recomiendo que no le dediquéis demasiado tiempo.

Iniciación a la teoría de grafos

Un grafo es básicamente un conjunto no vacío (al menos contiene un elemento) de puntos llamados vértices y un conjunto de líneas llamadas aristas cada una de las cuales une dos vértices. Se llama lazo a una arista que une un vértice consigo mismo. Se dice que dos vértices son adyacentes si existe una arista que los une.

Se dice que un grafo es simple si para cualesquiera dos vértices existe a lo sumo una arista que los une. En otro caso se denomina multigrafo.

Si es un vértice de un grafo, se denomina grado de al número de aristas que inciden en el mismo (por convenio de considera que un lazo cuenta dos veces al determinar el grado de su vértice).

Se dice que un grafo es conexo si no puede expresarse como la unión de dos grafos de vértices disjuntos. Os dejo un ejemplo:

Un camino de longitud n es una sucesión de vértices, , y aristas, , de la siguiente forma: . Se dice que un camino es cerrado si , es decir, el vértice inicial y el final son el mismo. Se dice que es simple si todas sus aristas son distintas. Se llama trayectoria a un camino simple en el que todos sus vértices (salvo probablemente el inicial y el final) son distintos y se denomina circuito a una trayectoria cerrada con al menos una arista.

Se llama camino euleriano a un camino simple que contiene todas las aristas del grafo y se denomina circuito euleriano a un camino euleriano cerrado. Se dice que un grafo es euleriano si contiene un circuito euleriano.

Resolución del problema

Para empezar, ¿quién resolvió el problema? Pues como ya sabéis los que conocíais el problema y como habréis intuido los que no lo conocíais fue Leonhard Euler quien dio solución a este asunto. La idea genial de Euler fue representar la ciudad de Königsberg como un grafo en el que las cuatro partes de la misma eran los vértices y los siete puentes eran las aristas:

Por tanto el problema de los puentes de Königsberg pasa a ser un problema de teoría de grafos cuya solución publicó Euler en su artículo Solución de un problema relativo a la geometría de posición.

Según las definiciones que hemos visto en el punto anterior lo que queremos saber es si este grafo en euleriano, es decir, si contiene un circuito euleriano (es decir, un camino que contiene a todas las aristas del grafo sin que ninguna se repita y que comienza y termina en el mismo vértice). Vamos a demostrar el siguiente resultado:

Teorema:

Un grafo es euleriano y sin vértices aislados es conexo y el grado de todos sus vértices es par.

Demostración:

Si es euleriano entonces contiene un circuito euleriano y como no tiene vértices aislados entonces cualquier par de vértice y están conectados por la parte del circuito que va de a . Por tanto es conexo.

Por otra parte, como es euleriano contiene un circuito euleriano, es decir, un camino simple y cerrado que contiene a todas las aristas. Por tanto por cada arista que llegue a un vértice debe haber otra que salga del mismo y en consecuencia el grado de cada vértice es un número par.

Partimos de que es conexo y todos sus vértices tienen grado par.

Si el número de aristas de es 1 ó 2 el resultado es inmediato. Procedemos por inducción: supongamos que tiene aristas y que el resultado es cierto para los grafos que cumplan las condiciones y tengan menos de aristas.

Usando que todo grafo en el que todos sus vértices tienen grado mayor o igual que dos posee un circuito (¿por qué?) tenemos que el nuestro contiene un circuito, dikgamos . Si contiene todas las aristas de , entonces es un circuito euleriano y hemos terminado. En caso contrario sea el grafo obtenido al suprimir de las aristas de y suprimir después los vértices que han quedado aislados. Puede que el grafo haya quedado dividido en subgrafos no conectados entre sí; cada uno de ellos es una componente conexa de .

Por haber eliminado las aristas de un circuito todos los vértices de tiene grado par. Por la hipótesis de inducción, cada componente conexa de contiene un circuito euleriano.

Como en cada componente conexa debe haber al menos un vértice de podemos obtener un circuito euleriano en (que es lo que queríamos conseguir) del siguiente modo:

Partimos de un vértice cualquiera de (que recordemos que no era un circuito euleriano). Recorremos hasta llegar a un vértice de una componente conexa de . Recorremos esta componente conexa a través del circuito euleriano que hemos visto que debe contener y continuamos recorriendo hasta que nos encontremos con un vértice de otra de las componentes conexas, realizando entonces la misma operación. Repetimos el procedimiento hasta llegar al vértice de partida, obteniendo así un circuito euleriano.

c.q.d.

Observemos ahora el grafo que habíamos obtenido de la ciudad de Königsberg y calculemos el grado de todos sus vértices. Hay tres vértices con grado y un vértice con grado . Es decir, no hay ninguno con grado par. Por tanto, según el teorema anterior, este grafo no contiene un circuito euleriano, esto es, no podemos comenzar en un punto de la ciudad y recorrer cada uno de los puentes sólo una vez y terminar en el punto de partida.

El problema del sobre y similares

Supongo que muchos de vosotros os habréis encontrado con el típico problema de recorrer todos los segmentos de un dibujo sólo una vez sin levantar el lápiz del papel. En esos problemas los vértices inicial y final no tiene que ser el mismo, es decir, puedo comenzar en el vértice que quiera y terminar en ese mismo o en cualquier otro, pero debo pasar por todas las líneas una y sólo una vez sin levantarme del papel. El más típico es el sobre:

El siguiente resultado es un corolario del teorema anterior y nos ayudará a analizar todos estos problemas:

Corolario:

Un grafo contiene un camino euleriano es conexo y tiene como máximo dos vértices de grado impar.

La demostración os la dejo a vosotros para que la penséis.

Un camino euleriano es precisamente lo que buscamos cuando queremos resolver estos problemas. Por tanto lo único que tenemos que hacer es calcular el grado de cada vértice. Si tenemos más de dos vértices de grado impar el recorrido no será posible; por el contrario, si tiene sólo dos vértices o ningún vértice con grado impar entonces sí se podrá recorrer de esa forma (no puede haber sólo un vértice con grado impar ya que el número de vértices de grado impar es par, ¿por qué?). En el caso de nuestro sobre tenemos cuatro vértices con grado impar y por tanto no podremos recorrer todas las aristas sólo una vez sin levantar el lápiz del papel.

Por contra, si tenemos el sobre abierto:

sí podremos recorrerlo así ya que ahora sólo hay dos vértices con grado impar, los dos de abajo. De hecho se sabe que para recorrer todas las aristas sólo una vez sin levantar el lápiz del papel debemos comenzar en uno de los vértices de grado impar y terminar en el otro.

Con estos resultados ya no habrá problema de este tipo que se os resista.

Fuente:

Gaussianos

Bases de numeración

Bases de numeración

Este artículo, tomado de Tío Pètros, me pareció alucinante, bien, al menos para mi, debo confesar que no se me había pasado por la cabeza pensar en sistemas de numeraciones con bases racionales e irracionales. Artículo muy recomendable. Lean:

Imaginemos que existe un zoo en los que podemos contemplar los sistemas posicionales de bases de numeración. Demos un paseo por él.

Nada más empezar están los especímenes más conocidos, la base decimal, la binaria y la hexadecimal:

A continuación, están los sistemas basados en una base negativa, gracias a lo cual se pueden representar los números enteros sin tener que indicar su signo. Veamos la base -2:

Observemos cómo los enteros negativos tienen un número par de dígitos, y los enteros positivos un número impar.

Seguimos, y nos encontramos con bases que no son números enteros.

Para comenzar tenemos la base racional 1/10, en la que para convertirla a decimal basta con invertir los dígitos:

Le sigue la base irracional , en la que los números son los mismos que en base 10, pero añadiéndoles ceros entre sus dígitos:

Y ahora, la base , en la que sólo empleamos los dígitos 0 y 1:

Debido a su propiedad , concluimos que en esta base 11=100. Es decir, un mismo número puede representarse de dos formas distintas. Pero recordemos que eso mismo también ocurre en nuestra base diez: 1=0,9999...

Sigamos adentrándonos en el zoo, y vemos ahora la base imaginaria 2i, que emplea los dígitos 0, 1, 2 y 3, y es capaz de representar cualquier número complejo sin ni siquiera tener que indicar su signo:

Cambiando totalmente la dirección de nuestro paseo, llevamos nuestros pasos junto a la base de numeración más antigua y simple, la base 1:

El siguiente sistema posicional más antiguo conocido es el babilónico, de base 60.

Y cerca está la numeración maya. Utilizaban base 20, excepto en astronomía, en la que a partir del tercer dígito en adelante un 20 es cambiado por un 18 (es decir, los multiplicadores son 1, 20, 18×20, 18×20², 18×20³...):

Seguimos, y podemos ver otro sistema de base múltiple, pero que empleamos diariamente: 4 semanas, 5 días, 9 horas, 26 minutos y 8 segundos, son 4₇5₂₄9₆₀26₆₀8 = 2885168 segundos.

Vemos también la base factorial:

Volvemos a cambiar la dirección de nuestros pasos. Hasta ahora, en una base cualquiera b se usan los dígitos 0, 1, 2 y siguientes hasta b-1; en caso de quedarse sin dígitos, se usan letras.

El siguiente espécimen es la base 10 sin cero, en la que para compensar esta carencia se utiliza A=10:

La ya vista base 1 es otro caso de base sin cero.

Igualmente, podemos desplazar la serie de dígitos en sentido contrario, y tener algunos de ellos siendo negativos.

Para la base 3, podemos observar los especímenes basados en (1, 2, 3), (0, 1, 2), (-1, 0, 1) y (-2, -1, 0). Fijémonos en el caso de base 3 balanceada:

Una aplicación común de este último es en balanzas de dos platillos, con pesas que sean múltiplos de 3.

En la base 4 con los dígitos , los números y corresponden ambos al 6.

Después de esto, vienen las bases que emplean más cantidad de dígitos que lo que indica la propia base, que tienen el inconveniente de que los números pueden tener múltiples representaciones. Contemplemos la base 2 con (-1, 0, 1):

Lo siguiente son bases cuyos dígitos no son exclusivamente números enteros, pudiendo tener dígitos que representen números racionales, irracionales, complejos...

Llegamos al final de nuestro paseo y, llevando la vista atrás, sólo nos queda recordar que todos estos sistemas pueden mezclarse entre sí...

Fuentes documentales

Artículos de la Wikipedia sobre Non-standard positional numeral systems.

Tomado de:

Tío Pètros

Sobre la Papa (patata)

2008: Año de la Papa



Naciones Uniudas declaró el 2008 como el año de la papa. A propósito de este tema encontré este artículo sobre el tubérculo en la revista Muy Interesante. También les doy el enlace a la página web del Año Internacional de la Papa. Veamos:

Un viaje en el tiempo
Intenta seguir en sentido inverso el viaje hacia tu mesa de los alimentos más comunes que tienes al alcance de la mano y te perderás en un laberinto de milenios de historia. La taza de café negro reluciente con su cucharada de azúcar implica la historia del comercio entre varios continentes y la del viaje infame de los esclavos africanos hacia las islas del Caribe; el té requiere para ser explicado los imperios de China y la India y la aventura insensata de las carabelas portuguesas que daban la vuelta al Cabo de Buena Esperanza antes de poner proa hacia el nordeste en el océano Índico; para que te comas un tomate fue preciso que se desplomara hace cinco siglos la teocracia sofisticada y sanguinaria de Tenochtitlán; la tostada de pan blanco sobre la que restriegas la pulpa del tomate y luego viertes un chorro luminoso de aceite de oliva requirió milenios de agricultura en el Oriente Medio y en las orillas del Mediterráneo, y contiene como una huella genética los rituales sagrados de Grecia y de Roma: con ese mismo aceite se ungían las estatuas de los dioses; el olivo era el árbol sagrado de Atenea. La roma patata que ya ni siquiera ves cuando te pones a pelarla porque has visto y pelado millones de ellas en tu vida es una de las claves en la historia del mundo.

Me detengo en la patata en esta expedición arqueológica que me lleva de la alacena al mostrador de la cocina por que este año 2008 ha sido dedicado solemnemente a ella por las Naciones Unidas, reconociéndole así una gloria que no parece corresponderse mucho con su humildad de tosca servidora doméstica. La patata es, cuantitativamente, el cuarto cultivo alimenticio del mundo, después del maíz, el trigo y el arroz, pero es el primero según los índices de su rendimiento y de su eficacia nutritiva. Cuesta muy poco cultivarla, y permanece almacenada en la seguridad de la tierra hasta el momento mismo de su madurez, lo cual en tiempos de guerras la hacía mucho menos vulnerable que los cereales al pillaje y al fuego.

La papa es americana
Alimentándose de patatas y de muy poco más uno podría sobrevivir con pleno vigor, aunque también con gran aburrimiento. La patata se cultivaba en los altos valles andinos hace diez mil años, pero llegó a Europa en las bodegas de barcos españoles sólo a mediados del siglo XVI, un contrapunto benéfico a la otra importación que también se inauguraba por entonces, la de las hojas del tabaco. Durante un siglo la gente no se fiaba de ella, un bulto feo y sospechoso que le brotaba como un tumor a la planta debajo de la tierra. Se consideró que podía ser venenosa; se le atribuyeron efectos afrodisíacos; se la vinculó con el demonio, y con el contagio de la lepra. Antecesores de la actual cocina creativa elaboraron recetas para comerse las hojas, descartando el resto de la planta. La gente se resignó a comerla en las hambrunas causadas por las guerras de religión y por el enfriamiento climático que se abatió sobre Europa durante los siglos XVII y XVIII. Sin la abundancia de patatas que liberó muchos brazos de la agricultura y alimentó mayores poblaciones urbanas no habría sido posible la Revolución Industrial en Inglaterra: para Friedrich Engels, la patata fue tan decisiva como el hierro y como la máquina de vapor.

Los incas la comían sin pelarla, porque creían que al arrancarle la piel la patata estallaba en terribles sollozos. Pablo Neruda, que escribió odas magníficas a los alimentos en apariencia más prosaicos –la alcachofa, la cebolla, el pan, el tomate–, tiene una “Oda a la papa” que deslumbra por su hermosa materialidad de poesía arcaica: “…compacta como un queso/que la tierra elabora/en sus ubres/ nutricias”. A diferencia de los metales, que nacen como ella en el interior de la tierra pero sirven para la destrucción, la papa es en los versos de Neruda pura benevolencia, asociada a las civilizaciones originarias de América: “harina de la noche/subterránea/ tesoro interminable/de los pueblos”.

En un libro de título bastante absurdo, Propitious Esculent, el historiador John Reader ha acumulado casi todo lo que se puede saber sobre el cultivo de la patata y su influencia abrumadora en el devenir de la Humanidad. Suprimir la patata de la historia de los últimos siglos tendría no menos efecto que suprimir la imprenta o los descubrimientos de Louis Pasteur. Los grandes ejércitos de Napoleón no habrían sido posibles sin colosales abastecimientos de patatas. Sin el hambre causada por la ruina de las cosechas de patata un millón de irlandeses no habrían muerto a mediados del siglo XIX y otro millón no habrían emigrado a América. Sin las patatas que comieron ruidosamente en cocinas sombrías generaciones de antepasados campesinos borradas por el tiempo yo no estaría escribiendo estas palabras ahora mismo.

Fuente:

Muy Interesante

Potato2008

Psicología XIV - Vigotsky (II)

Psicología XIV - Vigotsky (Segunda Parte)

Conocer Ciencia en la TV

Serie_Ciencias Sociales_2 (n)

Continuamos estudiando las ideas de Lev S. Vigotsky. En estra oportunidad conoceremo detalles del, quizá, más grande experimento cultural del siglo XX. Y los resultados de esta experiencia le darán evidencia empírica a las reflexiones del filósofo Marx, el cual afirmaba que son las condiciones externas las que moldean la conducta de los seres humanos. Veamos:

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Aprendizaje
Memoria
Cultura
El gesto de "señalar"
La doble formación
La investigación en Asia Central
El desarrollo de la abstracción
El desarrollo de la deducción
El legado de Vigotsky

Se despide hasta la próxima:

Leonardo Sánchez Coello
Profesor de Educación Primaria

Psicología XIII - Vigotsky (I)

Psicología XIII - Vigotsky (Primera Parte)

Conocer Ciencia en la TV

Serie_Ciencias Sociales_2 (m)

Lev S. Vigotsky es considerado, hoy en día, una de las grandes figuras de la psicología. En este especial conoceremos el contexto social, político e histórico en que se nació Vigotsky y en que se desarrollaron sus teorías; la Revolución Ruca (1917)

Vigotsky, que provenía de una familia judia de clase media, fue considerado un niño genio y sus inquietudes intelectuales lo llevaron a abrazar el marxismo. Conozcamos la biografía de este psicólogo.

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Revolución socialista
Lenin y la alfabetización
El "pequelo profesor"
Luria y Leontiev
Karl Marx
Friedich Engels
Herramientas y objetos sociales
El mouse dela PC
"Apoderarse del mundo"
Procesos psicológicos elementales
Procesos psicológicos superiores
Hegel


Lo invito, asimismo, a leer, y descargar, la segunda parte:

Leonardo Sánchez Coelllo
Profesor de Educación Primaria

Las totoras del lago Titicaca en peligro

Las totoras del lago Titicaca en peligro.

Excelente artículo publicado en el diario El Comercio, de Perú, donde se analiza el deterioro de la Reserva Nacional del Titicaca.

La neurosis del clima está alterando el proceso de crecimiento de la totora, un recurso valioso para aquellos (seres humanos y animales) que habitan la ribera del lago.

Por Carlos Fernández Baca. Colaborador


Conforme avanzan los días, a Carlos Jallo Escobar le resulta cada vez más complicado ingresar al lago Titicaca en su bote para cortar totora fresca y alimentar a su ganado. Los totorales que sobresalen en el espejo de agua no están verdes, como corresponde a esta época del año, sino resecos hasta en 40%. Lo peor es que seguirán marchitándose irremediablemente con la llegada de las heladas; él intuye, entonces, que desde julio deberá comprar pacas de forraje si quiere alimentar a sus reses para producir leche, que luego transformará en quesos que venderá en los mercados de la ciudad para sostener a su familia. De eso vive.


Pero el fenómeno no es reciente, y es esto lo que más preocupa. Él asegura que desde hace tres años viene observando esas mismas reacciones en los totorales que crecen frente a Huerta Huaraya, la comunidad donde vive. Además, el llacho, un alga muy nutritiva que también sirve de alimento a sus vacas, está desapareciendo y en su lugar aparece la puruma, otra alga que sus animales rechazan.


Carlos está preocupado: él es presidente del comité de conservación de los recursos naturales de su comunidad y, como tal, debe velar por preservar los alimentos que el lago les provee y que benefician a unas 200 familias.


Estos comités de conservación (17 en total) fueron organizados por la Reserva Nacional del Titicaca (RNT) precisamente para impedir la explotación irracional de los recursos naturales en el área (a través de la caza de aves silvestres o la pesca indiscriminada o la quema de totorales), y para preservar la belleza del paisaje y alentar entre los pobladores el uso de esos recursos en armonía con el medio ambiente. Pero todo ese esfuerzo parece inútil ante los cambios originados por factores climáticos que alteran lentamente el panorama de la reserva.




UN PROBLEMA MAYOR

El jefe de la RNT, David Araníbar Huaquisto, explica que el temprano envejecimiento de totorales se debe a las lluvias irregulares, las heladas meteorológicas anticipadas y otros factores que, además, afectan a la biodiversidad que ahí se desarrolla.


"El fenómeno comenzó hace tres años y no se sabe si continuará el año que viene. Es el típico efecto invernadero, es decir, el incremento de la temperatura en el día y su descenso en la noche, siempre entre 1,5 y 2 grados por encima o por debajo de los valores normales", explica.


Esa variación del factor climático está causando desórdenes en algunas plantas no leñosas y forrajeras que no logran adaptarse a las heladas meteorológicas de las noches, ni al exceso de calor en el día ni a las lluvias irregulares en la región. La totora (que crece entre diciembre y marzo) debería aflorar entre abril y mayo y luego pasar a la etapa de polinización, manteniéndose en un estado fenológico verde hasta en 90%.


Sin embargo, en abril de este año apenas conserva 40% de su verdor y su floración es débil y es casi seguro que no dará los frutos (semillas) esperados. Esto, además, altera el ciclo alimenticio de las especies de la reserva.


Al mismo tiempo, el temprano marchitamiento de la totora obligará a los pobladores a quemar grandes extensiones de totorales. Normalmente puede haber quema controlada de totorales entre julio y agosto con autorización de la RNT (esto ayuda a apurar el rebrote de la planta con la nueva temporada de lluvias); sin embargo, personas inescrupulosas que logran burlar la vigilancia de los guardaparques suelen iniciar quemas para la caza furtiva de aves silvestres --que luego comercializan en los mercados de la ciudad-- o para adelantar el proceso de rebrote de la totora.


Esta quema de totorales en forma descontrolada pone en riesgo el débil ecosistema de la reserva. Es decir, el problema es aun mayor.



CAMBIO DE HÁBITAT

En la RNT se concentran más de 23 mil hectáreas de totorales, que representan el 60% de todos los totorales existentes en el lago Titicaca. Se estima una biomasa de 1,9 millones de toneladas métricas de totora.


El peligro que supone el secamiento de los totorales radica en los perjuicios que sufrirán los procesos de reproducción de aves y peces (la RNT protege 35 variedades de aves silvestres, algunas en peligro de extinción, como el zambullidor del Titicaca, una especie única en el mundo). Al secarse los totorales, muchas aves migrarán hacia otras zonas por no tener lugares adecuados donde anidar. Lo mismo ocurriría con peces en peligro de extinción, como el suche y el maure, que desovan en las algas que rodean los totorales.


A ello se suma que en la ribera de la reserva viven unos 15 mil habitantes que subsisten directamente de los recursos que el lago les provee (como el forraje para el ganado que crían); otros 40 mil están relacionados indirectamente.


Nadie puede predecir cuáles serán los efectos finales del cambio climático en los totorales del Titicaca; por ahora solo queda esperar que el efecto invernadero no avance más. Pero la desaparición de los totorales sí tiene una posible solución: la RNT viene capacitando a las comunidades para que practiquen la cosecha de totora con cortes rotativos que permitan el rebrote en forma gradual y, de esta manera, evitar la quema indiscriminada.


Además, esta entidad elaboró un perfil de proyecto para transformar la totora en harina para alimento de ganado. El esfuerzo por darle este valor agregado permitiría que todas las familias que viven alrededor de la RNT obtengan nuevos ingresos económicos y puedan sostener a sus familias. Es la única manera.


Una razón de peso para proteger los totorales del lago
Es innegable que el cambio climático afecta a la Reserva Nacional del Titicaca y en general todo el área lacustre que comparten Perú y Bolivia. El director regional del Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (Senamhi-Puno), Hernán Saavedra, explica que estas anomalías se manifiestan con heladas en plena temporada de verano, y en el déficit de 40% en las precipitaciones con referencia a sus valores normales.


El nivel del lago, en el presente año, no alcanzó su valor normal de 3.810 metros sobre el nivel del mar. El déficit es de medio centímetro, que multiplicado por los 8.600 km2 del espejo de agua del lago, significa varios miles de metros cúbicos menos.


La contaminación que sufre la bahía interna de Puno no afecta a la Reserva Nacional del Titicaca. Esto se debe a la presencia de totorales, que actúan como barreras naturales ante el avance de la contaminación.


Según explica el jefe del Área de Ecología de la Facultad de Biología de la Universidad Nacional del Altiplano, Gilmar Goyzueta, los totorales absorben la materia orgánica compuesta por fósforo y nitrógeno, principales elementos de las aguas servidas.


Goyzueta sostiene que el manto de lentejas verdes que cubre parte de la bahía de Puno se concentra y puede observarse básicamente en la ribera de la ciudad y no así aguas adentro de la bahía. Esta es una razón más para preservar los totorales. Si no existieran los totorales, la contaminación sería mucho mayor.


MÁS DATOS
Una crisis que se vuelve constante

El efecto invernadero nace como consecuencia del proceso acelerado de tala y quema de bosques en la amazonía de Brasil, Bolivia y Perú. Sus efectos están apreciándose más en el Altiplano debido a su configuración geográfica.

A partir de las heladas registradas en marzo de este año en el Altiplano, se reportaron daños severos en cientos de hectáreas de cultivos de papa, quinua y otros alimentos de panllevar. Pero nunca se dijo que también habían afectado a los totorales. La alarma es evidente.

Fuente:

Diario El Comercio - Perú