Un
lado del planeta está en permanente oscuridad, en este espacio las
lluvias de óxido de titanio (protector solar) no llegan al lado diurno y
caluroso que se enfrenta con la estrella madre.
El telescopio
espacial Hubble de la Administración de la Aeronáutica y del Espacio
(NASA) encontró un caluroso planeta fuera de nuestro sistema solar donde
nieva protector solar.
El único problema
para un posible visitante es que la precipitación con protector solar
(óxido de titanio) solo ocurre en el lado nocturno permanente del
planeta llamado Kepler- 13Ab.
El protector solar
necesitaría ser embotellado porque no se encontraría esta sustancia en
el otro lado ardiente y diurno que siempre enfrenta a su estrella
anfitriona.
Los astrónomos del
Hubble explicaron que poderosos vientos trasladan el óxido de titanio
hacia el lado nocturno más frío, donde se condensa en escamas
cristalinas, forma nubes y precipita en forma de nieve. La fuerte
gravedad superficial de Kepler- 13Ab, seis veces mayor que la de
Júpiter, saca la nieve de óxido de titanio de la atmósfera superior y la
atrapa en la atmósfera inferior.
Kepler- 13Ab están
tan cerca de su estrella madre que está bloqueado marealmente. Un lado
del planeta siempre se enfrenta a la estrella, el otro lado está en
permanente oscuridad, del mismo modo que nuestra Luna está bloqueada a
la Tierra y solo un hemisferio es permanentemente visible desde nuestro
planeta.
El sistema Kepler- 13 está a 1.730 años luz de la Tierra.
La celebración del Día de la bicicleta cada 19 de abril no es lo que parece.
Aunque
el nombre de esta festividad hace referencia a ese omnipresente y
ecológico modo de transporte, la fecha conmemora en realidad el
aniversario de un particular "viaje" histórico en dos ruedas: el primero
que realizó el químico suizo Albert Hofmann bajo los efectos del LSD,
en 1943.
Tres días antes, mientras experimentaba en la búsqueda de nuevos medicamentos, Hoffman descubrió accidentalmente la dietilamida de ácido lisérgico, más conocida como LSD.
74
años después esta droga psicodélica semisintética se conoce más
popularmente como ácido, es ilegal y se utiliza principalmente con fines
recreativos.
Pero todo empezó con un incierto viaje en bicicleta por Basilea, en Suiza.
"Imágenes fantásticas, formas extraordinarias "
Mientras trabajaba para la compañía farmacéutica Sandoz, Hofmann estaba tratando de estabilizar el ácido lisérgico,
un derivado de la ergotamina, un componente químico que se obtiene a
partir de un hongo que crece en el centeno y que se utilizaba en una
medicina para tratar la migraña.
Desde 1938 el químico empezó a
mezclar el ácido lisérgico con otras moléculas orgánicas y ese mismo año
acabó sintetizando por primera vez el componente dietilamida de ácido lisérgico -25 (LSD).
Pero no fue hasta cinco años después, cuando accidentalmente Hofmann se expuso a él en el laboratorio.
Se
sintió mareado y tuvo alucinaciones. En sus propias palabras, sintió
"una remarcable inquietud combinada con un ligero mareo", según un video
explicativo producido por la American Chemical Society.
Vio "imágenes fantásticas, formas extraordinarias con intensos juegos de color caleidoscópico", describió el químico.
Así que tres días después, el 19 de abril de 1943, decidió probar intencionadamente los efectos de la sustancia.
Según las notas del químico, a las 16:20 tomó una dosis de LSD y 40 minutos después registró que empezaba a experimentar "un mareo incipiente, ansiedad, distorsiones visuales, síntomas de parálisis y deseo de reír".
Esa fue su última entrada del día.
Como
se empezó a sentir raro Hofmann decidió volver antes a casa, pero
debido a las restricciones de la segunda guerra mundial para la
movilidad en coche Hofmann tuvo que hacerlo en bicicleta, no sin antes
pedirle a su asistente de laboratorio que lo acompañara, probablemente
ante la incertidumbre de lo que podría pasar.
Ese memorable viaje de regreso, literal y figurado, es el que se recuerda cada 19 de abril con el Día de la bicicleta.
De venados a pingüinos, de gusanos a tiburones... muchos animales son oscuros por arriba y claros por debajo. ¿Lo has notado? Esa coloración tienen un nombre. O más bien varios: Contracoloración, contrasombreado, contrasombra o ley de Thayer. El último nombre nos remite al artista estadounidense Abbott Handerson Thayer, la primera persona que estudió y luego describió e ilustró este patrón de coloración en su libro "Concealing coloration in the Animal Kingdom" (Coloración de camuflaje en el Reino Animal), publicado en 1909. No fue el primero en notar esa característica claroscura, ya el zoólogo inglés Edward Bagnall Poulton lo había hecho, pero Thayer formuló una hipótesis que se ha mantenido desde entonces. La contracoloración -plantea- es resultado de la evolución y le sirve al animal para camuflar su forma, para esconderse de los depredadores o, si son los depredadores, de sus presas.
Thayer usó un dibujo sencillo para ilustrar el efecto.
Además de ser un icono de la comida rápida, estas conocidas hamburguesas son un peculiar referente para la economía.
Cualquiera que haya viajado por unos cuantos países y haya degustado alguna que otra hamburguesa en
los numerosos McDonald’s que hay por el mundo, se habrá dado cuenta de
que, por ejemplo, un Big Mac, aunque es omnipresente en todos los
establecimientos de la marca, no cuesta lo mismo en cada uno. Por eso,
por ser un producto universal que cambia de precio según el lugar, la
revista británica The Economist decidió crear en 1986 el conocido como índice Big Mac, todo un referente para la economía.
El objetivo de este baremo no es evaluar la calidad de esas populares hamburguesas,
que vinieron al mundo en 1968 con la receta: Dos de carne, salsa
especial, lechuga, pepinillo, cebolla, queso y pan. No. Se trata de comparar el coste de la vida entre los países a la par que medir la capacidad de gasto de sus habitantes. El punto de partida es la llamada teoría de la paridad del poder adquisitivo (PPA)
que, grosso modo, viene a decir que el tipo de cambio debe igualar el
precio de una canasta de bienes o servicios en diferentes naciones. En
este caso, la canasta es la famosa hamburguesa, bocado suculento para
unos, el summum de la comida basura para otros.
De acuerdo con la última medición, de enero de 2016, un Big Mac en Estados Unidos cuesta 4,93 dólares. Si al convertir la moneda de
un determinado país a dólares, el resultado está por debajo de esa
cantidad, según el índice citado, esa divisa estaría subvaluada o
depreciada. Es el caso de Venezuela (0,66 dólares), Rusia (1,53) y
Ucrania (1,54). Si está por encima, como ocurre por ejemplo en Suiza,
Suecia y Noruega, entonces su moneda está sobrevalorada o apreciada. De
esta curiosa manera se ofrece un supuesto espejo de la situación de los
tipos de cambio a nivel mundial.
¿Qué se pone a hacer uno después de que describe la naturaleza del Universo por primera vez en la historia?
En
los años 20, Albert Einstein ya había puesto en marcha la teoría
cuántica y había resuelto lo de la relatividad. Se embarcó entonces en
su última gran expedición a los misterios más profundos de la física,
una que pasaría a ser su sueño incumplido: la búsqueda de una teoría
unificada que vinculara todas las fuerzas de la naturaleza en una sola
ecuación maestra.
Ese es el Einstein que más conocemos, el que trataba de resolver los más oscuros y obstinados enigmas del mundo.
Pero al mismo tiempo, estaba trabajando en otra cosa.
Estaba inventando un nuevo tipo de nevera.
¿Por
qué -uno se podría preguntar- cuando se estaba convirtiendo en una
celebridad internacional por haber remodelado el Universo y transformado
nuestra idea del tiempo, decidió ponerse a crear un electrodoméstico?
Hasta los años veinte las neveras, en los hogares de EE.UU., eran artefactos raros, voluminosos y tenían cuatro patas.
Lo que nos dice el refrigerador
Sí, Einstein también era un inventor. Nunca fue una parte principal de su trabajo pero se lo tomaban en serio.
Sin
embargo, sigue sonando un poco estrafalario que el hombre que nos dio
E=mc2 y encorvó el espacio-tiempo se estuviera preocupando por mantener
la leche fría.
No concuerda mucho con las imágenes que
generalmente tenemos del ícono científico: el joven genio incubándose en
la oficina de patentes suiza o el sabio de cabellos blancos montando
bicicleta, sacando la lengua y charlando con celebridades en Princeton.
¿Qué pasó con Einstein durante los años intermedios?, le preguntamos a
Katy Price, catedrática de la Universidad Queen Mary de Londres, quien
ha investigado su celebridad emergente en los años 20. "Realmente no pensamos mucho en cómo llegamos del Einstein joven al de más tarde, y ese es el período en el que todo está cambiando", señala.
"En
todo el mundo se reportaba sobre la sensacional nueva teoría del
Universo. El titular en New York Times, por ejemplo, fue 'Jazz en el
mundo científico'... durante su visita a Inglaterra dio conferencias en
alemán sobre la teoría de la relatividad y a pesar de ello causó
sensación".
"En la prensa describían mucho su apariencia: la ropa que usaba, su pelo, sus ojos... 'parece un hombre cálido, es bueno con los niños, toca violín'... Deseaban humanizar a la persona que nos dio esa teoría matemática intensamente abstracta".
Pero todo esto contrastaba marcadamente con lo que estaba pasando entretanto en su nativa Alemania.
Uno se imaginaría que Einstein estaba pasando por su mejor momento, disfrutando de su éxito y fama.
Pero de hecho, ese período de su vida fue difícil, tanto en la ciencia como en el hogar y en Alemania.
Como ya hemos mencionado es muy común haber escuchado personas que
desean fervientemente que las cucarachas se extingan de todo el planeta
(hasta yo me incluyo). Esta reacción normalmente viene como consecuencia
de un desagradable e inesperado encuentro con alguno de estos
indeseables insectos o al comprobar que algún alimento está siendo
consumido por ellos, hecho suficiente como para perder el deseo ante
alimento.
Lo cierto es que sería muy deseable que en nuestro hogar jamás
entraran las cucarachas que, además de su mal aspecto, son transmisoras
de enfermedades, pero realmente la duda de este tema es… ¿qué ocurriría
si las cucarachas desaparecieran de la Tierra?
Las cucarachas las encontrarás en muchos lugares
Las cucarachas están entre los insectos más numerosos que existen,
tanto en especies como en número. Aunque no se sabe a ciencia cierta la
cantidad, se estima un número entre 5000 y 10.000 cucarachas y sus
representantes se encuentran por todos lados, desde las ciudades y otros
sitios donde el hombre las atrae por la alta producción de
desperdicios, hasta los bosques tropicales, zonas desérticas, pantanos e
incluso zonas costeras.
De todas esas especies, apenas unas pocas son las que interactúan
directamente con nosotros con cierta frecuencia, en unos países
predominan más unas que otras, estando entre las más extendidas por
ejemplo, la llamada Periplaneta americana o cucaracha doméstica.
¿Qué pasaría si dejasen de existir?
Las cucarachas, como el resto de los seres vivos y en particular los
insectos, son una fuente de alimentos para criaturas como las aves, los
mamíferos insectívoros, los anfibios y otros insectos, etc., incluso, en
ciertas culturas, también son alimento para los seres humanos.
Aunque ningún animal basa su alimentación exclusivamente en ellas,
por lo que de desaparecer estas no se extinguirían, sí se verían
reducidas sus posibilidades de sobrevivir y disminuirían sus poblaciones
de manera importante, por lo que otros insectos o plagas podrían
multiplicarse al alterarse el equilibrio ecológico de los ecosistemas.
Un ejemplo concreto sería la reducción de las poblaciones de ratones y
ratas, ya que una parte importante de su dieta se compone de
cucarachas.
Si estos pequeños roedores perdieran esta fuente de alimento y se
redujeran sus poblaciones silvestres, provocaría daños enormes en
animales como las águilas y otras aves de presa, los felinos, los
coyotes, los lobos, y muchos reptiles.
Por otro lado, está su contribución inestimable en el ciclo del
nitrógeno, algo vital para el funcionamiento del planeta. ¿De qué manera
lo llegan a hacen? Pues la mayoría de las cucarachas se alimentan de
materia orgánica en descomposición.
Este material retiene en su estructura grandes cantidades de
nitrógeno, y al ser consumido constantemente por millones y millones de
cucarachas, esta materia pasa por el tracto digestivo del insecto
convirtiéndose en heces que al caer en la tierra, liberan más fácilmente
los productos nitrogenados que luego son aprovechados por las plantas,
garantizando así la salud de los bosques, las praderas y demás
ecosistemas y con ello indirectamente a todos los habitantes de los
mismos.
Probablemente luego de leer esto y por más de que te vuelvas a
encontrar en otra situación envuelta con cucarachas, de igual manera
será mejor volver a pensar si de verdad queremos que se extingan
Cruzar los dedos para tener buena suerte o como muestra de solidaridad
en apoyo a alguien, es uno de los símbolos más reconocidos en el mundo
occidental. Esto se debe a la larga historia del gesto, aunque en un
principio, no era un acto solitario.
Hay dos teorías principales sobre el origen de cruzar los dedos para la
buena suerte. Las primeras ideas nacen en el cristianismo pagano de
Europa occidental y es relacionado con la cruz. La intersección de los
dedos era considera como una marca de concentración, buen ánimo y para
pedir un deseo.
La práctica de pedir un deseo en una cruz dentro de las culturas
europeas evolucionó para que la gente expresará su apoyo hacia alguien,
cruzando los dedos frente a la otra persona. Finalmente, la gente se dio
cuenta que podía pedir algún deseo solo y difundir el beneficio de una
cruz sin la participación de otra persona, cruzando primero sus dos
dedos índices, y finalmente adoptando el cruce de los dedos de la mano
que actualmente usamos.
La explicación alternativa cita a los primeros tiempos del
cristianismo, cuando los practicantes fueron perseguidos por sus
creencias. Para reconocerse entre cristiano, la gente desarrolló una
serie de gestos con la manos, una de las cuales era el símbolo de un
pez, tocando los pulgares y cruzando los dedos índices.
Esta teoría no explica completamente cómo inicialmente se asoció con la
buena suerte, pero si con un gesto para saludar a los soldados heridos
creyentes en Dios durante la Guerra de los Cien Años.
La fórmula de arriba no es una cualquiera, es una de las más curiosas en matemáticas. Su representación en un gráfico es, básicamente, la propia fórmula. Se la conoce como la fórmula autorreferente de Tupper y su explicación es un genial ejercicio numérico que te hará amar (un poco más) las matemáticas.
Primero partamos de la fórmula en sí mismo. Es esta:
Si representáramos esta ecuación en un eje de X e Y, de forma que las coordenadas de X estuvieran entre 0 y 106, y las de Y estuvieran entre K y K+17, siendo K igual a este número enorme:
El resultado del dibujo en el gráfico sería la propia fórmula pixelada, es decir, esto:
¿Cómo es posible? Básicamente, las reglas de las coordenadas mencionadas, 0106×17, en el que cada celda podría ser un bit de información, o lo que es lo mismo, 106 x 17 = 1802 bits.
A su vez, el número K contiene 543 cifras que permiten codificar 1810 bits de información binaria. Es decir, el número K es justo el que codifica y dibuja en el gráfico la fórmula, con un 0 asignado a la celda libre y un 1 asignado a la celda coloreada. Esto, automatizado por un programa informático como el que creó Tupper, dibujaría al instante la propia fórmula con el número K mencionado. Por eso se le llama "auto-referente".
Como explica Matt Parker en el vídeo debajo, se podría comprobar de forma manual. Si partes del dibujo de la fórmula y anotas su número binario, asignando un 1 cuando la casilla está coloreada y un 0 cuando no, divides ese número binario final entre 10 y lo multiplicas por 17, obtendrías el número K inicial.
Lo curioso de todo esto es que, solo variando el número K, puedes obtener un dibujo diferente cada vez. Lo que quieras. Por ejemplo, como explican aquí, si K (o N, da igual cómo lo llames) fuera este número:
Los premios Nobel se entregan a personas que han sobresalido en ciertos campos realizando aportaciones lo suficientemente importantes a la sociedad. Se entregan anualmente el 10 de diciembre (fecha en la que murió Alfred Nobel) en Estocolmo y los campos en los que se otorgan son Física, Química, Medicina, Literatura, Paz y Economía. Por tanto, como podréis ver, no hay premio Nobel de Matemáticas….¿por qué?.
Alfred Nobel... y el susodicho
Existen un par de leyendas para explicar este tema. Una de ellas dice que cuando Nobelpensó en los premios pidió consejo a especialistas sobre quién podría merecer cada uno de ellos. En la categoría de Matemáticas le informaron que Mittag-Leffler, un matemático sueco, sería idóneo para recibirlo. Pero Nobel se llevaba mal con él, y prefirió no entregar premio en esta rama para no dárselo a él. Y la otra es aún más rosa: se dice que el talMittag-Leffler tenía amoríos con la mujer de Nobel y por ello no instauró el premio para esta ciencia.
Pero son sólo eso: leyendas. No se tiene constancia de que Nobel tuviera referencias de este matemático sueco, de hecho parece ser que apenas lo conocía, por tanto no podría llevarse mal con él. La otra historia se desmonta de forma sencilla: Nobel nunca estuvo casado.
La razón por la cual no hay premio Nobel de Matemáticas es que Nobel no consideró esta ciencia como importante para la vida en el sentido práctico y eligió para los premios ramas que sí consideró importantes para el avance de la sociedad. Como todos sabemos evidentemente se equivocó en ese razonamiento ya que las Matemáticas son esenciales en nuestra vida. Pero Nobel no la consideró así.
Con todo y con esto ha habido matemáticos que han sido merecedores del premio Nobel en alguna de las categorías en las que se entregan. Un par de ejemplos son John Forbes Nash, premio Nobel de Economía y José Echegaray, premio Nobel de Literatura.
Pero los matemáticos no estamos exentos de premios específicos para nosotros. Como ya comenté en este post existe un premio, digamos, equivalente al Nobel destinado a matemáticos: la medalla Fields, que se entrega cada cuatro años a uno o varios matemáticos sobresalientes en ese período y que cumplan la condición de que no superen los 40 años de edad. Es el mayor galardón que puede recibir un matemático y el próximo, como ya comenté, será Grigori Perelman.
Esta es la segunda parte de una mini serie de dos entradas en la sección Matemoción, del Cuaderno de Cultura Científica, dedicadas al principio del palomar, o de Dirichlet. Como ya comentamos en la entrada anterior, este principio matemático es muy sencillo de formular, no necesita demostrarse, pero al mismo tiempo es una potente herramienta dentro de las matemáticas. Dice lo siguiente: si hay más palomas que palomares, alguno de los palomares deberá contener por lo menos dos palomas. En general, podemos hablar de objetos y cajas donde guardar estos objetos.
En la primera parte vimos algunos ejemplos de su aplicación en problemas relacionados con la vida cotidiana (personas en un teatro con la mismas letras inicial y final en su nombre, número de amigos en una fiesta o sumas de las edades de las personas de una reunión), en teoría de números (algunos resultados sobre divisibilidad) o en geometría (distribución de puntos en un triángulo equilátero), e incluso vimos una generalización del mismo (lo que nos permitió mostrar un ejemplo de coincidencia de cumpleaños).
El ejemplo que se utiliza con más frecuencia en la divulgación científica para explicar la aplicación del principio del palomar a cuestiones más o menos cotidianas, o también como una práctica herramienta para resolver problemas de ingenio, tiene que ver con el número de pelos que tenemos en la cabeza. Aunque me resistía a incluirlo en estas dos entradas por ser un resultado muy conocido, veremos que desde una perspectiva histórica tiene sentido volverlo a recordar.
Ejemplo 1: En Bilbao hay al menos dos personas con el mismo número de pelos en la cabeza.
Para resolver esta cuestión lo primero que tenemos que conocer es cuántos pelos podemos tener como máximo en nuestras cabezas. ¿Lo sabéis? ¿No? No importa, tampoco es una información vital para nuestra existencia. Sin embargo, vamos a realizar una estimación por lo alto de dicha cantidad con el objetivo de utilizarla para resolver este problema.
Supongamos que tenemos cabezas completamente redondas que miden 12 cm. de radio, es decir, unos 75 cm. de perímetro, lo que está al nivel del concurso de cabezones de Kortezubi, en Bizkaia. En tal caso, la superficie de nuestras cabezas, , es de unos 1.800 cm2. Para realizar una estimación por lo alto, supongamos que tenemos pelos por toda nuestra cabeza, por toda la superficie de esa esfera de 12 cm de radio, y que la densidad del pelo es de 100 pelos por cm2, entonces el número de pelos de la cabeza de cualquier persona no va a llegar nunca a los 180.000 pelos. Esta es una estimación por lo alto.
Supongamos que no existe nadie que sea completamente calvo, sin un solo pelo (en caso contrario, además estaría resuelto el problema), por lo tanto, el número de pelos que puede tener una persona va entre 1 y 180.000 (estas cantidades van a ser los palomares para aplicar el principio matemático). Las palomas serán los habitantes de Bilbao, que son unos 350.000. Como hay más bilbaínos que posibles números de pelos, el principio del palomar nos dice que existen al menos dos bilbaínos con el mismo número de pelos en la cabeza.
Pero si tenemos en cuenta la generalización del principio del palomar que vimos en la primera entrega dedicada a esta herramienta matemática, podemos obtener un resultado más impactante aún. La generalización dice lo siguiente: si hay n palomas y k palomares (n > k), existe al menos un palomar con al menos (no solo dos, sino) n/k palomas, es decir, el valor máximo es al menos mayor que el valor medio.
Si tenemos en cuenta que el número de habitantes de la Península Ibérica es de al menos 57 millones de habitantes, entonces aplicando el principio del palomar generalizado se obtiene lo siguiente.
Ejemplo 2: En la Península Ibérica hay al menos 317 personas con el mismo número de pelos en la cabeza.
En la entrada anterior habíamos comentado que se atribuye al matemático prusianoGustav L. Dirichlet (1805-1859), el haber sido la primera persona en aplicar explícitamente este principio matemático, allá por el año 1834, para demostrar un resultado de aproximación de números irracionales mediante racionales. Dirichlet lo llamó Schubfachprinzip (principio de los cajones), y nosotros lo conocemos desde entonces como el principio de Dirichlet.
Sin embargo, en el artículo “The pigeonhole principle, two centuries before Dirichlet” (que me envió Samuel Dalva, a quien le agradezco la información), se explica que la primera referencia al principio del palomar es de dos siglos antes de Dirichlet y tiene que ver con el ejemplo de los pelos de la cabeza.
En el libro, escrito en latín en 1622, Selectae Propositiones del jesuita francés Jean Leurechon, que enseñó matemáticas en la Universidad jesuita de Lorraine en Pont-à-Mousson, se menciona de forma indirecta este principio: “Es necesario que dos hombres tengan el mismo número de pelos, oro y otros”. Además, en el libro Récréation mathematique composee de plusieurs problemes plaisants et facetieux (1624), atribuido al propio Jean Leurechon, se explica por qué “es absolutamente necesario que dos personas tengan el mismo número de pelos”, utilizando el argumento que conocemos como el principio del palomar, si hay más personas que cantidades distintas de pelos que puedan tener, entonces habrá dos con el mismo número de pelos.
Pero volvamos a los ejemplos de aplicaciones de este principio. El primero tiene que ver, de nuevo, con una fiesta, pero esta vez relacionado con el lugar en el que se sientan los comensales en una mesa.
Ejemplo 3: En una fiesta, 8 de los invitados están sentados en una mesa octogonal, con cada uno de los comensales sentado en uno de los lados de la mesa. Cada sitio ha sido asignado a un invitado concreto (marcado con su nombre), sin embargo, los invitados no se han dado cuenta de esta circunstancia y se han sentado al azar. Curiosamente, ninguno de los 8 invitados de esa mesa se ha sentado en el lugar que le correspondía. Vamos a demostrar que hay una forma de rotar la mesa de forma que haya dos personas que quedan sentadas en el sitio correcto.
En la siguiente imagen vemos una posible distribución de las ocho personas sentadas en la mesa octagonal, en la que ninguna de ellos se ha sentado en el sitio que había sido designado para ella.
Para probar la afirmación de que se puede realizar un giro de la mesa en el que al menos dos de los comensales estén sentados en su sitio, vamos a considerar la distancia (en el sentido de las agujas del reloj) de cada una de las personas al sitio que le había sido asignado. Como cada persona está sentada en un lugar incorrecto, entonces las posibles distancias de cada persona a su lugar correcto son {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Pero hay 8 personas que se sientan a la mesa, y 7 posibles distancias de ellas a su sitio correcto (en el sentido de las agujas del reloj), luego por el principio de los cajones, habrá dos personas que estén a la misma distancia (en el sentido de las agujas del reloj) del lugar que tiene escrito su nombre. Por lo tanto, rotando la mesa (en el sentido contrario a las agujas del reloj) tantas posiciones como la distancia que comparten esas dos personas, situará la mesa de tal forma que esas dos personas estén colocadas en el lugar correcto.
El siguiente es un ejemplo interesante, con un argumento sencillo, pero curioso.
Ejemplo 4: Una joven que quiere participar en la Olimpiada Matemática decide entrenarse en la resolución de problemas matemáticos. Durante un periodo de 61 días (dos meses) va a estar haciendo problemas, por lo menos un problema al día, pero no más de 92 problemas (que es la cantidad total que tiene el libro que utiliza). Independientemente de la cantidad de problemas que decida hacer cada día, va a existir una cantidad de días consecutivos durante los cuales realiza exactamente 29 problemas.
Si denotamos por la cantidad de problemas realizados hasta el día , es decir, la cantidad de problemas acumulados desde el primer día, entonces tenemos que
Los 61 números son distintos, y están ordenados en orden creciente, puesto que todos los días hace por lo menos un problema.
Con esta notación, lo que tenemos que demostrar es que existen dos días y tales que (es decir, hay un periodo de días consecutivos en los que ha realizado 29 ejercicios). Por lo tanto, vamos a sumar 29 a todas las sumas acumuladas anteriores, esto es,
Por la misma razón de antes, estos 61 números son distintos y están ordenados en orden creciente. Las dos desigualdades nos están diciendo que hay 122 números ( y ) que toman valores entre los números 1 y 121. Como tenemos más números (122) que posibles valores (121), eso quiere decir que al menos dos números tienen el mismo valor, es decir, son iguales. Pero, resulta que los 61 primeros números, , son diferentes entre sí, al igual que los otros 61, , de manera que los dos números que son iguales deberán pertenecer uno al primer grupo y el otro al segundo, es decir, existirá un , lo que significa un elemento del primer grupo de números , y un , lo que significa un elemento del segundo grupo de números , tales que , como deseábamos.
Como ya comentamos en la entrada anterior del Cuaderno de Cultura Científica dedicada a este tema, el principio de Dirichlet tiene muchas aplicaciones a la teoría de números. Empecemos con algunos resultados sencillos.
La semana pasada mi colega y amiga Marta Macho (por cierto, una excelente matemática, profesora y divulgadora) nos ofrecía con mucho humor y una pizca de ironía, en esta categoría, Matemoción, del Cuaderno de Cultura Científica, una lista de cuarenta técnicas de demostración. Era su entrada “Técnicas de demostración para casos desesperados”.
Muchas de ellas nos sonaban cercanas a todas aquellas personas que nos dedicamos a la enseñanza de las matemáticas. A mi me gustaría destacar tres de ellas, la prueba por intimidación “Es trivial!”, la prueba por finalización de tiempo “Vista la hora que es, dejo la prueba de este teorema como ejercicio” o la prueba por consenso “¿Estáis todos de acuerdo?”
En esta entrada de la sección Matemoción vamos a analizar una nueva técnica de demostración matemática, aunque algo más seria que las anteriores, ¿o no?. Es elprincipio del palomar, o de Dirichlet.
Este es un principio muy sencillo de formular y que no necesita demostrarse de lo obvio que es (y no estoy echando mano aquí de la prueba por intimidación), de hecho, cuando explicamos esta técnica matemática a las personas ajenas a esta ciencia, suelen pensar que estamos bromeando, que les estamos tomando el pelo o simplemente es otra excentricidad de estos locos matemáticos. A pesar de su sencillez, el principio del palomar es al mismo tiempo una herramienta muy potente dentro de la combinatoria, con aplicaciones en campos tan diversos como la teoría de grafos, la geometría, el análisis matemático, la teoría de números, las ciencias de la computación o la resolución de problemas, por citar algunos.
El principio del palomar dice lo siguiente: si hay más palomas que palomares, alguno de los palomares deberá contener por lo menos dos palomas. En general, podemos hablar de objetos y cajas donde guardar estos objetos. La verdad es que es un principio tan simple que no necesita demostración.
Mostremos algunos ejemplos sencillos de aplicación de este principio a cuestiones más o menos cotidianas.
Ejemplo 1: En cualquier espectáculo del Teatro Campos Elíseos de Bilbao, que esté lleno, existen dos personas del público tales que su primera y su última letra son iguales (como por ejemplo, Aitor y Amador, o Sorkunde y Salomé).
El aforo del Teatro Campos Elíseos es de 800 personas, que van a ser nuestras palomas, mientras que los pares formados por la primera y última letra de un nombre (en los ejemplos anteriores (a,r), de Aitor y Amador, y (s,e), de Sorkunde y Salomé), nuestros palomares. Puesto que hay 27 letras en el alfabeto, entonces hay 27 x 27 = 729 pares de letras posibles, desde la (a,a) hasta la (z,z). Como hay más palomas (personas) que palomares (pares de letras), entonces al menos dos personas deberán compartir la primera y la última letra de su nombre.
Ejemplo 2: En una fiesta cualquiera hay por lo menos dos personas con el mismo número de amigos.
Supongamos que a una fiesta, o reunión de cualquier tipo, han asistido n personas, bueno para que no parezca tan abstracto, pensemos que han sido 32 personas. Podríamos distinguir dos casos:
A. Si todas las personas de la reunión tienen al menos un amigo, cada una de esas 32 personas (que van a ser ahora nuestras palomas) pueden tener entre 1, ya que todas tienen al menos un amigo, y 31 amigos, ya que suponemos que “cada persona no es amiga de sí misma” (las cantidades de amigos son ahora los palomares), entonces aplicando el principio del palomar existen dos personas con el mismo número de amigos.
B. Pero si hubiese algunas personas en la fiesta que no tienen ningún amigo, razonaremos como antes, aunque sin tener en cuenta a las personas “solitarias”. Por ejemplo, si de las 32 que están en la fiesta, 7 no tienen amigos, se hace el razonamiento anterior con las 25 personas restantes, que ahora pueden tener entre 1 y 24 amigos.
Ejemplo 3: Siempre que haya 9 personas en una reunión, de edades comprendidas entre 18 y 58 años, es posible elegir dos grupos de personas tal que las sumas de las edades de las personas de cada grupo sean iguales.
Como estamos buscando grupos de personas dentro del grupo total de 9 personas, es decir, subconjuntos del conjunto de nueve elementos, es útil recordar que hay un total de 29 subconjuntos del conjunto de 9 elementos (esta es una cuestión que no vamos a explicar aquí hoy, pero que tiene que ver con los números combinatorios y el binomio de Newton), incluido el vacío, luego 511 subconjuntos no vacíos. Estos van a ser las palomas en esta ocasión.
Ahora, como las edades de las personas de la reunión están comprendidas entre los 18 y los 58 años, las sumas de las edades de cualquier subconjunto de personas están comprendidas entre 18 = 1 x 18 (una única persona, y que tenga la menor de las edades posibles) 522 = 9 x 58 (las nueve personas, y que todas tuviesen la mayor edad posible). Por lo tanto, tenemos 504 valores posibles para las sumas de las edades de las personas de cualquier subconjunto de las personas que están en esta reunión. Estos van a ser los palomares.
En consecuencia, el principio del palomar nos dice que existen dos subconjuntos distintos, del grupo de 9 personas que hay en la reunión, con la misma suma de las edades de las personas de cada uno de ellos.
Pero podría ocurrir que en esta conclusión, consecuencia del principio de Dirichlet, hubiese alguna persona que estuviese siendo considerada a la vez en esos dos subconjuntos que existen. Si esto ocurriese, no tenemos más que eliminar a esa persona de cada uno de los dos subconjuntos, y los dos nuevos subconjuntos que obtenemos siguen cumpliendo la propiedad de que la suma de las edades de sus miembros es la misma, ya que al eliminar a la misma persona de ambos, se quita el mismo número a las sumas de las edades, y se sigue manteniendo la igualdad.
Aunque estamos poniendo ejemplos más bien cotidianos para entender la fuerza del principio, lo interesante es que se puede aplicar a todo tipo de situaciones, de hecho, como decíamos al principio, es una potente herramienta en matemáticas.
El primer matemático en utilizarlo explícitamente dentro de su investigación fue el matemático prusiano Gustav L. Dirichlet (1805-1859), para demostrar un resultado de aproximación de números irracionales mediante racionales (recordemos que los números racionales son aquellos que se pueden expresar como división de dos números enteros, por ejemplo, 5/2, y que si los expresamos con decimales o tienen un número finito de decimales, o un número finito que se repite periódicamente), por este motivo se conoce también como el principio de Dirichlet.
En particular, se pueden demostrar muchos resultados de teoría de números haciendo uso del principio del palomar. A continuación, mostramos algunos sencillos ejemplos.
Ejemplo 4: Consideremos un conjunto arbitrario de 47 números, entonces existen al menos dos cuya diferencia es divisible por 46.
Antes de explicar la aplicación del principio de Dirichlet para probar esta afirmación, aclaremos una vez más, que esos 47 números son arbitrarios, el resultado va a ser válido cualesquiera que sean los 47 números que se consideren.
¿Cómo utilizar el principio para demostrar este resultado? Cuando dividimos un número cualquiera entre otro, en este caso nos interesa dividir por 46, entonces obtenemos el divisor y el resto. Así, si dividimos el número 357 entre 46 nos da 7 (el dividendo), pero nos sobran 35 (que es el resto).
Por lo tanto, 357 = 46 x 7 + 35. En matemáticas, se dice que 357 es congruente con 35, módulo 46, y se expresa .
Para aplicar el principio del palomar, vamos a distribuir nuestras palomas (que serán los 47 números arbitrarios que se han tomado) en los siguientes 46 palomares…
P1 = conjunto de números tales que al dividir por 46 queda de resto 0 (es decir, los números congruentes con 0, módulo 46),
P2 = conjunto de números tales que al dividir por 46 queda de resto 1 (es decir, los números congruentes con 1, módulo 46),
P46 = conjunto de números tales que al dividir por 46 queda de resto 45 es decir, los números congruentes con 45, módulo 46).
En consecuencia, habrá por lo menos dos palomas, es decir, dos números del conjunto de 47 que habíamos elegido arbitrariamente, compartiendo palomar, es decir, que tienen el mismo resto al dividir por 46.
Esos dos números se podrán escribir, como antes hemos hecho con el número 357, de la forma, 357 = 46 x 7 + 35, con distintos divisores, pero el mismo resto. Al restar ambos números, como los dos tienen el mismo resto, el resultado quedará múltiplo de 46, y se concluye el resultado.