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17 de febrero de 2020

Matemáticas para conseguir a la novia (o el novio) de tus sueños


Primero, algo de historia. En 1961, el astrónomo estadounidense Frank Drake presentó su ecuación al mundo con la que podemos estimar con cuántas civilizaciones extraterrestres nos podemos comunicar mediante ondas de radio, aunque ya imagino que estás pensando: ¿para qué me sirve saber esto último?, ¿esto me va a ayudar a tener mi pareja soñada? Pues, la verdad es que no, pero no te desesperes, hay una razón para esta mención.

Ecuación de Drake:

N = R*fp*ne*fl*fi*fc* L

Luego, el economista Peter Backus cambió la ecuación de Drake para saber cuántas mujeres, con las características que él requería, podían ser potencialmente su novia y que, además, ellas lo encontraran atractivo, lo cual reducía aún más sus posibilidades. Aunque tenemos que resaltar que él es realista y no se quedó con los brazos cruzados. Puedes consultar su informe aquí.

Así, Backus estimó que existían 26 mujeres en todo Londres que cumplían con las características que él propuso. Finalmente, después de varios intentos logró estar con alguien y además casarse; ¡sí, casarse! Así que levanta la cara, no te rindas, amigo(a), que aún tienes oportunidades para dejar de estar solo(a), si es eso lo que quieres.

Ecuación de Drake adaptada por Peter Backus:

N = R*fw*fl*fa*fu*fb

Tranquilo, joven, no huya o se desespere. Lo pondré más fácil apto para dummies y con datos actuales según censo de Perú en 2017. Puedes consultar los resultados aquí.

Un ejemplo

Vayamos a lo práctico: La chica ideal de Christian debería de vivir en Lima, Perú. Además, debe de tener entre 25 a 29 años y contar con estudios universitarios. Entonces, comencemos con la magia y reemplacemos por datos reales:

R = población en Perú en 2017 = 29’381,884

fw = porcentaje de mujeres que viven en Perú = 50.8% = 0.508 (consultar pag 37)

fl = porcentaje de mujeres en Perú que viven en Lima = 51.2% = 0.512 (consultar pag 41)

fa = porcentaje de mujeres en Lima que tienen entre 25 y 29 años = 4.17% = 0.417 (dividir los valores de las pag 38/pag 21)

fu = porcentaje de mujeres entre 25 y 29 años en Lima con educación universitaria = 25.2%*0.4836 = 12.2% = 0.122 (revisar pag 111, valor de 0.4836 para mujeres y 0.5164 para hombres)

fb = porcentaje de mujeres que encuentro atractivas entre 25 y 29 años en Lima con educación universitaria= 3.33% = 0.033 (esto ya depende de cada uno, a medida de ejercicio digamos que es 1 de cada 30. Es decir, tenemos que dividir 1/30 y obtenemos 3.33%)

N = 29’381,884*0.508*0.512*0.417*0.122*0.033 = 1,296

Esto quiere decir que existen alrededor de 1,296 mujeres que serían parejas potenciales para Christian. Sin embargo, este resultado no toma en cuenta que tan atractivo eres para las otras personas, ni si ellas están solteras o si le puedes caer bien para iniciar o continuar alguna conversación.

Entonces, para ser más realistas, ajustaremos aún más el resultado. Tomando en cuenta los datos anteriores:

fs = porcentaje de mujeres solteras en Perú = 47.6% = 0.476 (revisar la pag.57)

fb’ = porcentaje de mujeres que me consideran atractivo = 2.85% = 0.029 (con este dato tienes que ser realista también, él piensa que es atractivo para una de cada 35 mujeres)

fe = porcentaje de mujeres a las que puedo caerles bien = 60% = 0.6 (6 de cada 10)
Finalmente tenemos: N’ = 1,296*0.476*0.029*0.6 = 11


Con este resultado podemos estimar que existen alrededor de 11 potenciales parejas para Christian y que además ellas gustan de una conversación con él. Por supuesto si queremos obtener un resultado aún más realista debemos de poner más condiciones y luego jugar con los datos que nos ofrece el informe del censo.



El artículo completo en: El Comercio (Perú)

 

19 de diciembre de 2018

Así es como la Navidad incrementa tus posibilidades de sufrir un infarto

¿También te pones ansioso en esta época? No eres el único; la Navidad incrementa las posibilidades de sufrir un infarto.


No es sólo un presentimiento, es real: el estrés de la Navidad incrementa las posibilidades 
de sufrir un infarto.De acuerdo con una investigación publicada en el British Medical Journal, el riesgo de sufrir un ataque al corazón se incrementa en un 37% en esta época de paz, pinos decorados con lucecitas, compras desquiciadas y deglución de alimentos desenfrenada.

El equipo de investigadores analizó los datos de 283 mil 014 infartos acontecidos a lo largo de 16 años en Suecia y rastreó la coincidencia durante períodos clave, entre ellos la Navidad, el Año Nuevo, la Pascua, e incluso los Juegos Olímpicos y por supuesto, el Mundial de Fútbol.

¿La incidencia?

Un 12% de infartos se dio durante las vacaciones de verano, el 37% el día de Navidad y además, durante las primeras horas del día, caiga en el día que sea (lunes, sábado, jueves, da igual…) Así que este lunes, cuando sea hora de prepararte para ir a la cena de Navidad en lugar de ir al trabajo, ni esa felicidad te podría salvar.

¿Una hora en particular?

Por si fuera poco, el estudio es preciso en cuanto al momento en que se suscitan estos eventos desafortunados. La hora en que más infartos suceden es a las 10 de la noche durante la noche del 24 de diciembre (que en realidad es Noche Buena). 

Fuente: Cultura Colectiva

4 de junio de 2018

Combinatorio, dados y probabilidades

¿Cómo se puede hacer un calendario perpetuo con dos dados de seis caras?

Los datos del acertijo final de la semana pasada parecen muy insuficientes para sacar cualquier conclusión; sin embargo, hay pocos desarrollos del torneo de ajedrez imaginario que den lugar a un descenso del 5% en el porcentaje de victorias de Kaspárov. Reproduzco la acertada respuesta de nuestro “usuario destacado” Manuel Amorós:

Teniendo en cuenta que el 5% es 1/20, tendríamos que hallar dos fracciones propias que restadas dieran como resultado 1/20. Seguramente, el primer par de fracciones que cumplen son 1/4 y 1/5, ya que 1/4 – 1/5 = 1/20. Pero estas proporciones no se ajustan al hecho de que Kaspárov tenía ventaja inicial sobre su rival. El siguiente par de fracciones serían 4/5 y 6/8: 4/5 – 6/8 = 1/20
Es decir, que una posible respuesta es que Kaspárov empezó ganando 4 de 5 partidas (descontadas las tablas) y después ganó dos partidas y perdió una, reduciéndose de ese modo su porcentaje de triunfos en un 5% exacto.

El problema de las tres tarjetas (una con dos caras rojas, una con dos caras blancas y una con una cara roja y otra blanca) sigue propiciando un animado debate (ver comentarios de la semana pasada). Como señalé en el artículo anterior, es fácil pensar que si nos muestran una cara roja, la probabilidad de que la otra cara también sea roja es 1/2; pero en realidad hay tres posibilidades equiprobables: que nos muestren una cara de la tarjeta RR, que nos muestren la otra cara de RR o que nos muestren la cara roja de la tarjeta RB; en dos de estos tres casos la otra cara es roja, por tanto la probabilidad pedida es 2/3.

La combinatoria de los dados

La probabilidad de un suceso expresa la relación entre los casos favorables y los casos posibles. Decimos que la probabilidad de sacar un 5 al lanzar un dado es 1/6 porque el dado tiene seis caras (casos posibles) y solo en una de esas caras hay un 5 (casos favorables). Este es un ejemplo trivial, pero a menudo el cálculo de probabilidades implica la resolución previa de problemas combinatorios no siempre sencillos para determinar el número de casos posibles y de casos favorables.

La probabilística de un solo dado es trivial, pero con dos dados la cosa empieza a complicarse y es fácil incurrir en errores de apreciación. Al lanzar dos dados y sumar sus puntos podemos obtener las puntuaciones comprendidas entre 2 y 12: once posibilidades, por lo que podría parecer que la probabilidad de sacar una puntuación concreta, por ejemplo 7, es 1/11; pero este razonamiento es erróneo, pues las once posibilidades no son equiprobables; hay una sola forma de obtener 12 puntos (6-6) y seis formas de obtener 7 (6-1, 5-2, 4-3, 3-4, 2-5, 1-6). Cada una de las seis caras de un dado puede emparejarse con cada una de las seis caras del otro, por lo que hay 6 x 6 = 36 parejas posibles, de la que solo una da 12 puntos y seis dan 7 puntos; por tanto, la probabilidad de obtener 12 puntos es 1/36 y la de sacar 7 puntos es 6/36 = 1/6.

Si en vez de puntos en las caras de los dos dados figuraran los dígitos del 1 al 6, adosándolos podríamos formar los números 11 a 16, 21 a 26, 31 a 36…, 61 a 66. ¿Podemos numerar las caras de dos dados de manera que adosándolos convenientemente se puedan formar todos los días del mes? Hay que usar siempre los dos dados, expresando los números de una sola cifra de la forma 01, 02, etc.
Naturalmente, la cosa se complica a medida que aumenta el número de dados. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un póquer a la primera con los dados de póquer (valga la redundancia)? ¿Y la de sacar un repóquer?

Fuente:

22 de diciembre de 2015

¿Se puede traducir el deporte a números?


deporte-numeros

Stephen Curry, estrella de los vigentes campeones de la NBA, los Golden State Warriors, ha tenido en la pretemporada unas medias de 23,8 puntos, 4,3 rebotes y 7,7 asistencias. Hasta no hace mucho, ésta era la manera en la que un aficionado o un periodista deportivo describía numéricamente el rendimiento de un jugador en concreto.

Pero si vamos a la página de estadísticas que la NBA dedica a Curry, veremos que hay muchos más apartados utilizados para describir su importancia en la cancha. Por ejemplo, el PIE, o lo que es lo mismo, el impacto estimado de un jugador, y que sirve para medir la contribución estadística total de este. Aquí acabamos de entrar en el mundo de las estadísticas avanzadas, el intento más completo por intentar traducir el deporte números.

El auge del ‘Moneyball’

En 2011, el público masivo tuvo la oportunidad de descubrir algo que, para los obsesos de las estadísticas y las matemáticas, ya era algo bastante conocido: el moneyball. Gracias a la película sobre Billy Beane, general manager de los Oakland Athletics de béisbol desde 1998, se popularizó el trabajo de Bill James, un gurú de las estadísticas del deporte que, probablemente, está más obsesionado con ellas: el béisbol

El artículo completo en:

Blog Lenovo

13 de diciembre de 2015

¿Cuál es la probabilidad de que exista vida en otros planetas?

Un nuevo estudio reveló que en el total del universo existe suficiente materia oscura como para crear 1,000,000,000,000,000,000,000 planetas parecidos al nuestro.


La ciencia ha estado intentando responder a todas estas cuestiones desde el primer momento, y en mayor o menor medida ya ha tenido un gran porcentaje de éxito.  Se han descubierto evidencias de la existencia de microorganismos, agua o planetas similares, casi semanalmente tenemos una nueva prueba. El problema es que las respuestas no han convencido demasiado al público; que en pocas palabras quiere saber, y a ser posible ver, a un grupo amistoso de seres verdes con antenas.

Pero, ¿y si es que la vida fuera de la Tierra aún no se ha producido y está por venir? Un reciente investigación del Space Telescope Science Institute en Baltimore sugiere que el ecosistema existente en nuestro planeta, incluida la vida, es el primero de de una explosión masiva de nuevos planetas potencialmente habitables que en un futuro formarán parte del universo.
Los datos de este estudio revelan que en el total del universo existe suficiente materia oscura como para crear 1,000,000,000,000,000,000,000 planetas parecidos al nuestro, y esto sin tener en cuenta a los que ya han quedado atrás en el tiempo. Eso se traduce en que tendremos diez veces los mil millones de mundos del tamaño de la Tierra que ya se piensan que existen, y más de diez veces las 100 galaxias que ya tenemos indexadas.

Dicho de otro modo, y para entender estas macrocifras. De ser esto así, la posibilidad de que no seamos la única raza inteligente es de casi un 92%; este porcentaje no responde a la pregunta de si conoceremos a otros seres , pero al menos lanza una certeza sobre si estamos solos. Además, con este nuevo cálculo se desmienten anteriores investigaciones en las que se estimaba que la formación de la Tierra se había producido después de que el 80% de planetas parecidos ya hubiesen visto la luz. Por lo que habríamos pasado de ser una de las últimas civilizaciones del universo, a ser una de las más antiguas. Al menos para todos los que vienen.

Para hacer estos cálculos, teóricos desde todo punto, el grupo de científicos se basó en el del universo observable ¿Y por qué no hacerlo con el “total” del universo? Muy sencillo, el resultado sería también infinito, incalculable, y por la simple cuestión de que no hay manera de saber qué ocurre en un sistema infinito. Además, las evidencias de la investigación concluyen que pese a estos cálculos aunque sí predicen la futura de formación de vida, no quiere decir que sea igual que la que conocemos o con los mismos procesos evolutivos.

Tomado de:

Tecno (América Economía)

20 de noviembre de 2015

Como ganar, casi siempre, el yan quen po (piedra, tijera y papel)

Todos hemos jugado alguna vez a piedra papel o tijera. Y todos hemos perdido, y todos hemos ganado alguna que otra vez. Sin embargo, aunque parezca un juego muy simple, tiene una realidad, que no podemos negar. Y se puede transpolar a la vida real. De hecho, son muchos los estudiosos, que analizar este juego en su profundidad.

saas

En una universidad china, hay un grupo de científicos, que lo han analizado con todas las variables posibles. Y han determinado que el juego de la piedra, papel o tijera, puede servir también como una práctica para el comportamiento en los negocios. Pero no es por esto por lo que has entrado a leer esto, sino que quieres saber de verdad como ganar a piedra papel o tijera.

Bien, la técnica es muy simple: al parecer, las estadísticas dicen, que cuando ganamos, se tiende a repetir la jugada, mientras que cuando perdemos, tendemos a cambiar de estrategia, y por tanto cambiar de jugada. Por eso mismo, lo que hay que hacer, es intentar ser mucho más aleatorios, y no hacer esto. Es decir, si ya llevamos tres juegos ganados, y lo que no podemos hacer, es seguir con la misma jugada, porque el otro jugador, tenderá precisamente a cambiar la jugada porque ha perdido.

piedra_papel_tijera
 
Si conseguimos controlar estos cambios, es probable que podamos ir ganando todas las partidas que se nos vayan proponiendo. También esto tiene un poco de psicología, por lo que si el otro jugador enseguida se da cuenta de tu estrategia, porque esto podría jugar en tu contra. Sin embargo, es una manera divertida, de pasar el tiempo, así que tampoco tenían tenemos que estropearlo del todo. Si es que solo es un juego de niños.

Tomado de:

9 de abril de 2015

¿Internet es indestructible?


El Internet es inquebrantable. Al menos, pensamos que lo es. Pero, ¿se podría realmente, literalmente, romper esta red?

Edificios con antenas repartidos por todo el mundo son los proveedores de internet a todos los usuarios. Si se destruyeran de alguna manera natural o artificial “se podría ver realmente perturbaciones regionales en Internet", dice Matthew Prince, CEO de CloudFlare.

Sin embargo, este tipo de escenario del juicio final no es muy probable o posible. Este tipo de instalaciones importantes de Internet están muy bien protegidos. Hay incontables millas de cables envueltos en todo el mundo, y muchos de los más grandes están bajo el agua.

Pero los efectos de estas fallas en la infraestructura física de la red no son de tan largo alcance como se podría pensar, ya que se enfrentan a la resistencia diseñada original del sistema. Es por eso que cortar cables o tirar centros de datos sin conexión no daña la red en general. Incluso desconectar regiones enteras, como Siria, no restringirá necesariamente las comunicaciones internas dentro de las redes de Siria.

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Foto: BBC


Otra preocupación importante es el secuestro de la señal BGP, sinónimo de "border gateway protocol". Se trata de un sistema de claves que dirige el tráfico de Internet. Durante mucho tiempo se asmió que solo los routers BGP colocados en varios puntos a través de la red envían los paquetes en la dirección correcta. En los últimos años, sin embargo, se supo que el tráfico podría ser re-dirigido a escondidas si la información de destino conectado a los routers se conseguía manipular, tal vez por los piratas informáticos. Tal secuestro significaría que enormes extensiones de datos de internet pueden ser robados por terceros, como las agencias de inteligencia.

Sin embargo, aunque la mayoría de estos problemas han sido conocidos por causar "interrupción" (y algunos de ellos podrían, en teoría, destruir el Internet) nunca ha habido un caso que haya desactivado todo el Internet. Eso no quiere decir que no debemos pensar en esa posibilidad, dice Vicente Chan, profesor en el Instituto de Tecnología de Massachusetts.

"Un ataque masivo para derribar todo el Internet es realmente posible". Chan señala que existen métodos de interrupción de internet que serían muy difíciles de detectar.
El artículo completo en:

8 de octubre de 2013

Un estudio determinó si el póquer es un juego de azar o de destreza

Un estudio sobre el juego de cartas aseguró que aunque falta investigar más, se debe catalogar como un juego de azar bajo ciertas condiciones.

Una persona buena para jugar al póquer quizá afirme que es un juego de destreza, mientras que una persona mala para jugar al póquer usualmente culpará al azar por sus pérdidas. ¿Quién tiene la razón? O quizá la pregunta más importante: ¿Se puede mejorar jugando al póquer o es un asunto netamente al azar? Un reciente estudio reveló que, en el fondo, la mano de cartas determina a los ganadores y no sus habilidades individuales.

Para determinarlo se recurrió a un estudio cuasi-experimental, debido a que los grupos de voluntarios no fueron seleccionados al azar sino que fueron catalogados previamente entre 'buenos' y 'malos' jugadores de póquer. Luego se les hizo jugar partidas con manos previamente escogidas, que predecían el resultado del juego.

El estudio consistió en desplegar mesas de seis personas donde tres eran jugadores comunes de póquer y tres eran expertos, los que se enfrentaban por dinero a lo largo de 60 partidas bajo la modalidad 'Texas Hold’em'. En cada partida uno de los jugadores expertos y uno de los jugadores comunes recibían cartas promedio, mejores que el promedio o peores que el promedio.

En total, unos 150 individuos participaron en la variante con límite de apuestas, y otros 150 en la variante sin límites. El resultado reveló que respecto al balance final de ganancias, los jugadores expertos no superaron a los jugadores promedio.

Eso sí, si bien las cartas predecían a los ganadores de las partidas, la destreza también era importante, pero solo para reducir las pérdidas cuando un jugador tenía una mala mano de cartas.

Tomado de:

FayerWayer




26 de septiembre de 2013

Matemáticas: Accidentes, probabilidad y protocolos

¿Cuál es la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda? Cincuenta por ciento, efectivamente, o 1/2, si lo decimos en tanto por uno. La manera de calcularla es bastante sencilla, casos favorables entre casos posibles.

De esta forma podemos calcular otras probabilidades:

Obtener un cinco al lanzar un dado

- Un caso favorable / seis casos posibles = 1/6 (17%)

Obtener un rey al sacar una carta de la baraja

- Cuatro casos favorables / cuarenta casos posibles = 4/40 (10%)

Sí, dadme un momentito, ahora llego a lo de los accidentes…

¿Qué pasa si pensamos en dos sucesos?

¿Cuál es la probabilidad de lanzar una moneda sacar cara y luego lanzarla otra vez y sacar otra cara?

En este caso no es un 50%. Si lo pensamos como antes, los casos posibles son cuatro (cara-cara, cara-cruz, cruz-cara y cruz-cruz) y solamente tenemos un caso favorable. De esta manera, la probabilidad de obtener cara-cara después de dos lanzamientos es 1/4 (25%). Si te fijas, ese resultado, 1/4 coincide con multiplicar 1/2 por 1/2, y no es casualidad. La probabilidad de que ocurran dos sucesos independientes conjuntamente, es el producto de sus probabilidades. La probabilidad de tirar una moneda y que salga cara y luego tirar un dado y que salga cinco es: 1/2 ·1/6 = 1/12 (8%)

Y por fin llegamos a los accidentes.

Si un sistema de seguridad tiene una probabilidad de fallo del 1% y le añado otro sistema que también tiene una probabilidad de fallo del 1%, la probabilidad de fallo conjunta no será 0,5% u otra cosa parecida… es mucho menor: 1/100 · 1/100 = 1/10000 (0,01 %) Pequeñísima, como veréis.

Estas son las matemáticas que hay detrás de los protocolos que tanto nos incomodan, que son tan cansinos, nos retrasan y nos cuestan dinero… Efectivamente es un gasto y un estorbo tener un extintor, para probablemente no llegar a usarlo nunca. ¿Lo quitamos? Aunque la probabilidad de incendio sea pequeña, como te toque, te va tocar “al cien por cien”…

¿Qué ocurrirá si la seguridad de algo depende de un solo factor, de una persona, de un dispositivo?
Pues seguramente la pregunta adecuada no es SI el sistema va a fallar, sino CUANDO va a fallar… es sólo una cuestión de tiempo.

La seguridad de los sistemas, sobre todo con la tecnología accesible, no debe, no puede depender solamente de un operario, de que tenga sueño, se despiste, sea incompetente o malintencionado.

Ya habéis visto qué rápidamente baja la probabilidad de fallo conjunta, ¿por qué no se hace entonces? Bueno, la respuesta es, como tantas veces, el dinero.

Tener un protocolo de actuación o de funcionamiento encarece el coste y hace más lenta la operación, a corto plazo. Queremos que haya más de un operario, o que le apoye un sistema automático, que los conductores descansen, que se limite la velocidad de tránsito… cuando todo eso podría funcionar “con un poco de cuidado” con menos recursos. A largo plazo, las paradas por fallos, las averías y, sobre todo, los accidentes personales o las víctimas mortales, hace que el coste más alto o, directamente, incalculable.

Hay también una cierta responsabilidad individual, como votantes y consumidores, ya que sobre nosotros se repercutirá el gasto de esos protocolos, y en muchos casos, estamos dispuestos a pagar “mercancía” más barata, aunque sepamos que no se están haciendo las cosas como se debiera. Así, de una manera macabra y oscura, entre ellos y nosotros, pactamos el valor de la seguridad de las personas y de la vida humana, hasta extremos de detalle que os asustaría conocer.

Por último, para nuestra vida cotidiana también es útil tener en cuenta estas cosas. Por ejemplo, si eres despistadete, está bien que dejes de serlo, pero mientras tanto, puedes establecer protocolos que te protejan de tus despistes.

Te pondré unos ejemplos y animamos a que en los comentarios nos contéis más.

- Esconde algunos euros en el coche, por si se te olvida la cartera

- Deja tus llaves y otras cosas siempre en el mismo sitio en casa

- Ten siempre repuestos de bombillas, papel higiénico… Así cuando se gaste, puedes cambiarlo rápidamente y reponer “el backup” sin prisa ya

- O gestiona así tu disco duro y copias de seguridad.

Y, como regla general, si trabajas al 120% y tienes cinco pelotas en el aire, igual que les pasa a las máquinas, pronto ocurrirá un fallo o bien se reducirá tu vida útil…

Tomado de:

NAUKAS

21 de febrero de 2013

Principio de Pareto: Solo el 2 % de los usuarios de Twitter es responsable del 70 % de los mensajes

En Twitter, el 2 % de los usuarios es el artífice del envío del 70 % de los mensajes de toda la red social. Es una pauta que podemos observar en muchos otros sistemas. Por ejemplo, el 1 % de las personas más ricas del mundo controla el 35 % de la riqueza. El índice de frecuencia de etiquetado de fotografías en las páginas de flickr obedece también a esta distribución. Y la popularidad de los libros, el tamaño de los asteroides, los temblores de tierra, etc.

O como señala Clay Shirky: “en el sistema nacional de salud de los Estados Unidos, el tratamiento de la quinta parte de los pacientes sujetos a las terapias más costosas genera las cuatro quintas partes del gasto global.”

El principio de Pareto, también conocido como la regla del 80-20, fue enunciado, hace un siglo, el economista italiano Vilfredo Pareto, que observó que la gente en su sociedad se dividía naturalmente entre los «pocos de mucho» y los «muchos de poco».

Son muchos los nombres que se han adjudicado a los efectos de esta distribución de Pareto, que se emplea en numerosos ámbitos: ley de Zipf, distribución de la ley de potencias, norma de que el ganador se lo lleva todo…, pero el principio subyacente es siempre el mismo, tal y como señala el propio Shirky: “los participantes más ricos, los más atareados o los más conectados de un determinado sistema son también los que generan una parte de riqueza, actividad y conectividad muy, pero que muy superior a la media de los intervinientes.”

Por ejemplo, si echamos un vistazo a las palabras más usadas en inglés. La partícula “the” no sólo es la palabra más corriente en lengua inglesa: es también un vocablo que aparece el doble de veces que la segunda voz más común, que es “of”. Tal y como se explica en el libro editado por John Brockman Este libro le hará más inteligente:

Este tipo de pauta es recursiva. En el seno del veinte por ciento de personas que ocupan la franja más alta de una distribución de Pareto, el veinte por ciento superior de esa fracción también será el que se responsabilice de una cantidad desproporcionadamente mayor del factor que se esté valorando, sea cual sea, y así sucesivamente. El elemento situado en la cúspide de un sistema de este tipo tendrá un peso sobre el conjunto de la distribución muy superior al que pueda ejercer siquiera el elemento colocado en la segunda posición de esa misma clasficación.

Fuente:

Xakata Ciencia

10 de enero de 2013

¿Qué es el azar?

 

Cuando tratamos el tema del azar en un sentido cotidiano, por lo general, suele ser inquietante el significado que le damos a esta palabra, que no tenemos nada claro. En una primera aproximación a este término, el azar es simplemente el intento de poner orden en lo desconocido. Es decir, es intentar eliminar, tanto como se pueda, la ignorancia sobre determinados sucesos, y revestir lo que queda de un barniz matemático.

Todo el mundo está familiarizado, o cree estarlo, con la palabra azar, y pretendemos tener, al menos, alguna idea de su significado. Pero eso no es tan obvio, y bastaría hacer una sencilla encuesta entre las personas cercanas para comprobar que no todos serán capaces de dar esbozos del concepto. No obstante, podrán obtenerse respuestas del tipo “El azar ocurre cuando suceden cosas inesperadas”. Lo que viene a ser el reconocimiento claro de que se trata de una medida del desconocimiento.

Una definición más formal podría ser la siguiente:
El azar es el agente que actúa definiendo un evento a posteriori de un experimento a partir de un conjunto de sucesos posibles a priori.
Es decir, podemos considerar que un experimento sucede por azar si su resultado final no se puede determinar a priori de entre un conjunto de resultados posibles.

Dentro de los sucesos que podríamos caracterizar como gobernados por el azar, a su vez, podemos distinguir dos fenómenos diferenciados:
  • El azar ontológico, en el cual la aleatoriedad forma parte del ser. Se considera esta situación cuando existen procesos que son irreductiblemente aleatorios, independientemente del conocimiento que tengamos del propio sistema, de forma que no se podrá reducir a causas deterministas.
  • El azar epistemológico es aquel que se produce por el desconocimiento, bien sea por ignorancia o por incapacidad, para tratar sistemas complejos, que en principio responden a causas de naturaleza determinista.
Tradicionalmente, en la ciencia surgida de la Ilustración y hasta principios del siglo XX, se consideró que todo el azar era de tipo epistemológico, y que no existía el azar de tipo ontológico. Esto era así tanto para los partidarios del naturalismo, sosteniendo que todo era reducible a causas naturales, aunque fuesen desconocidas, y que veían dicha naturaleza como compuesta únicamente de causas físicas, y por tanto materia, sujeta a las propias leyes físicas. Pero también para los dualistas, que además de la materia sostenían la existencia de elementos de naturaleza metafísica, y en particular divina. Obviamente, un azar de tipo ontológico es incompatible con la aceptación de un ente entre cuyos atributos se encuentra el de omnisciente, que todo lo sabe.

 

Esta posición completamente determinista queda reflejada en los trabajos de Pierre Simon de Laplace, quien definió el primer corpus de conocimiento sobre este tema en su obra “Théorie analytique des probabilites“, publicada en 1820 y donde ya se establece esta disciplina de manera rigurosa, que se inició poco antes con los trabajos pioneros de Pascal y Fermat.

En este tratado ya enuncia su famosa regla de Laplace, que todo el que haya pasado por una enseñanza secundaria conoce: Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados posibles, y no existe ninguna razón que privilegie unos resultados en contra de otros, se calcula la probabilidad de un suceso aleatorio A, como el cociente entre el número de casos favorables a A, y el de todos los posibles resultados del experimento. El cociente entre los casos favorables dividido por los casos posibles.

En esa obra, la regla indicada aparece como el principio número uno de una serie de 10, que rigen todo el cálculo de probabilidades en las diferentes situaciones posibles. También, dentro del principio número 6 se ocupa de un argumento original de Pascal, que desde entonces es conocido como la “apuesta de Pascal” presentado como una nueva prueba de la existencia divina.

Dentro del estudio hace notar que el cociente entre el número de nacimientos de niños y de niñas difiere muy poco de la unidad. Y también hace notar que los fenómenos que dependen del azar, al multiplicarse, manifiestan una tendencia a aproximarse incesantemente a relaciones fijas que coinciden con las leyes de la probabilidad que expone, con el enunciado de la ley general de la probabilidad de los resultados indicados por un gran número de observaciones: “La integral tomada entre unos límites dados, y dividida por la misma integral extendida al infinito tanto positivo como negativo, expresaría la probabilidad de que la discrepancia de la verdad esté comprendida entre dichos límites”, la antesala de las leyes de los grandes números, que da lugar a la aplicación de rigurosos principios matemáticos para poner orden en este ámbito de lo desconocido. Además, también le da pie a investigar la aplicación del cálculo de probabilidades a la búsqueda de las causas de los fenómenos, mediante el esbozo de lo que serían más adelante las correlaciones.

 

En definitiva, del estudio del cálculo de probabilidades, Laplace se reafirma en su determinismo férreo, negando la existencia de un azar de características ontológicas. Así, cuando decimos que al lanzar una moneda tiene una probabilidad de 1/2 de salir cara, lo que queremos decir es que si repetimos el experimento un número de veces muy elevado, el cociente entre el número de caras y el total de los experimentos  se aproxima a ese valor. No obstante, el propio Laplace afirma que, desde el instante en que la moneda se lanza, debido a la fuerza del impulso, a su dirección, a los rozamientos, y a la acción de la ley de la gravedad, está completamente predeterminado el resultado del experimento, si bien nos es completamente imposible realizar los cálculos pertinentes.

En ese sentido, para ilustrar sus ideas propuso que si pudiera existir un ser con capacidades sobrehumanas pero no sobrenaturales, es decir, capacidades superiores a la de cualquier persona pero que no violan ninguna ley fundamental de la Naturaleza, un ser que desde entonces es conocido como el “demonio de Laplace“, sería capaz de predecir con toda exactitud el comportamiento del sistema en cualquier tiempo futuro.  En otras palabras, si el mundo obedeciera las leyes de Newton sería completamente determinista, y así, el citado demonio, sería capaz de conocer la posición y velocidad de todas las partículas del Universo en cualquier  momento dado. Un demonio con estas capacidades, sobrehumanas pero no sobrenaturales, conocería el devenir de todo lo que existe, y conocería el más leve movimiento de cualquier cosa o persona que viviera en los próximos cien mil millones de años.

Por tanto, el azar en el sentido laplaciano del término, corresponde con el que hemos denominado como epistemológico. Así,  hasta el siglo XX todo estaba claro, el mundo es determinista y la estadística es un simple truco que usamos para paliar nuestro desconocimiento o nuestra incapacidad de calcular cosas excesivamente complejas. Sin embargo a comienzos del siglo XX todo cambió, con el advenimiento de la mecánica cuántica, en donde se defiende que el resultado de algunos experimentos no se puede predecir con exactitud, sino sólo las probabilidades, no ya por desconocimiento, sino por características inherentes a la propia naturaleza.

Según la que se denominó como interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica, en un experimento controlado en hasta sus más mínimos detalles, siempre hay un grado de aleatoriedad en el resultado con esas características. Muchos procesos físicos de carácter cuántico podrían ser irreductiblemente aleatorios, como las leyes de la desintegración atómica, que pueden predecir el número de núcleos de un cuerpo radiactivo que se desintegrarán en un período dado de tiempo, pero no cuándo lo hará cada uno de los núcleos concretos.

Es evidente que nos podemos plantear que eso también sea a causa de nuestro desconocimiento, y de hecho, esa fue siempre la primera opción. Tanto Einstein como Schrödinger, entre otros pioneros, defendían que había que completar la teoría para poder determinar así los resultados de manera exacta. Pero se equivocaban. Dicha interpretación del azar cuántico como desconocimiento se denominó de las “variables ocultas“, en el sentido de que debían existir unas variables cuyo valor no podíamos conocer, pero que estaban predeterminadas, en la misma forma que opera el mundo físico clásico. El mayor exponente de esta interpretación fue el artículo que publicó Einstein, junto a sus dos ayudantes, Podolsky y Rosen, donde proponían lo que se denominó experimento EPR, y que en su publicación inicial el año 1936 resultó demoledor para la interpretación de Copenhage.

En esencia, el experimento planteado consiste en dos partículas que interactúan alcanzando un estado denominado “entrelazado” (entangled). Tras los cual, dos observadores reciben cada una de ellas, llamadas A y B. Si uno de ellos mide, por ejemplo, el spin de la partícula A y es “arriba”, entonces sabe cuál es el spin de la B, que será “abajo”. Pero la cuestión es determinar si dichos valores existían con anterioridad a la observación, o no. Dicho de otra forma:
  • Interpretación de Copenhague. El spin de las dos partículas A y B no estaba predeterminado, estando ambas en una superposición de “arriba” y “abajo”. Al observar una de ellas, el sistema colapsa, y de manera aleatoria, cada una de ellas alcanza uno de los dos posibles valores.
  • Interpretación de Einstein. El spin de cada partícula A y B estaba predeterminado, en forma de una variable oculta cuyo valor desconocemos. Así, una está en “arriba” y la otra en “abajo”. Al observar una de ellas, simplemente revelamos su valor preexistente, y conocemos el valor de la otra.
 

Es evidente que la interpretación de Einstein es la que coincide con nuestro sentido común. Pero aún hay más, pues a lo anterior, todavía se añade el que las partículas pueden separarse tanto como se desee, por ejemplo, situar cada una en un extremo de la galaxia, y de tal forma que al observar una de ellas, entonces y de manera instantánea, la otra alcanza también su valor correspondiente. ¿Cómo logra hacerlo? ¿Viaja dicha información a mayor velocidad que la luz? Estas paradojas de esas “acciones a distancia” eran, para Einstein, “cosas de duendes” en un sentido nada amable, pues algo que no precisa el transcurso del tiempo es algo que no puede estar en la esfera de la física, y por tanto es pura metafísica, a la que combatió con todas sus fuerzas.

El experimento EPR, durante un tiempo, fue un argumento bastante convincente en contra de los postulados de Niels Bohr como avalista principal de la interpretación de Copenhage, el cual sólo tenía el argumento de que las matemáticas funcionaban para oponerse al mismo. Como durante mucho tiempo no hubo manera de llevar a la práctica el experimento para determinar quién llevaba razón, sólo cabía echar mano del sentido común, que parecía estar de parte de Einstein.

Sin embargo era Einstein el equivocado. Una nueva formulación matemática fue llevada a cabo por John S. Bell, un físico del CERN en Suiza, que ideó un experimento que podía ser llevado a cabo, y que permitiría poder comprobar con certeza quién tenía la razón en esta duradera controversia. La idea genial de Bell era no considerar un simple par de partículas, sino tratar de manera estadística un conjunto suficientemente grande, y establecer unas correlaciones que diferían en sus resultados, con diferentes predicciones para las hipótesis de Einstein y de Bohr, y que pasaron a denominarse desigualdades de Bell. Con esta nueva formulación, el experimento fue llevado a cabo, por primera vez, por Alain Aspect y otros en París en 1982, y supuso, después de cuarenta y siete años, la materialización práctica de aquel experimento mental expuesto en 1936, que terminó por quitar la razón a Einstein. Asimismo, ha sido reiterado en innumerables ocasiones dando siempre el mismo resultado, mostrando que dios no sólo juega a los dados, sino que es un jugador honrado que desconoce los resultados que saldrán.

 

Esta nueva concepción del azar, diferente del considerado en la manera clásica, tiene su aplicación únicamente a escalas subatómicas, donde operan las leyes de la mecánica cuántica, y en particular a las escalas donde tiene lugar el Principio de Indeterminación de Heisenberg. Este tipo de azar no es trasladable, de manera directa, a fenómenos macroscópicos, lo que daría lugar a paradojas que desafían por completo, no ya al sentido común sino a la propia realidad. Así, es asumible que un determinado electrón, funcionando en su naturaleza de onda, pueda atravesar en el mismo instante dos rendijas diferentes, y sin perder su cualidad de partícula indivisible, lo que evidentemente contraría toda lógica de ocurrir con objetos macroscópicos. De la misma forma, volviendo al caso de los núcleos que se desintegran, es imposible saber si en un determinado tiempo un núcleo se desintegrará o no, pues eso ocurrirá, sin ningún tipo de causa, y con una determinada probabilidad de acuerdo a un azar intrínseco a su naturaleza; no obstante, cuando se tiene un conjunto muy elevado de ellos, que conforman un cuerpo físico manipulable, podemos predecir con rigurosa exactitud cual es la cantidad total de materia que se habrá desintegrado transcurrido un cierto tiempo, de tal forma, que el azar inicial ha sido transformado en una ley física de carácter necesario, y se ha recuperado, en cierta forma, el determinismo clásico del mundo físico.

Por todo ello, podemos concluir que existen dos tipos de significado que podemos darle al azar, cuando nos referimos a él desde un punto de vista científico. En primer lugar, un azar de características epistemológicas, que ocurre a escalas macroscópicas, procedente de nuestra incapacidad para comprender todas las variables que aparecen en procesos cuya naturaleza es determinista, y que por tanto representa una medida del desconocimiento del sistema, sin que ello impida que los sucesos en el mismo sucedan de una manera necesaria, atendiendo a las leyes naturales implicadas. Y por otro lado, existe otro tipo de azar, de características ontológicas, inherente a la propia naturaleza, y que tiene su efecto sólo a escala microscópica, donde operan las leyes de la mecánica cuántica. Este azar no es trasladable de manera directa a fenómenos macroscópicos, si bien es origen de diversos fenómenos que ocurren en ese ámbito.

Fuente:

Hablando de Ciencia

7 de enero de 2013

Este juego tiene ganancia esperada infinita. ¿Cuánto pagarías por jugar?

Estamos en época navideña y, por tanto, en una época en la que la lotería es protagonista, más protagonista que el resto del año. Principalmente la Lotería de Navidad, rodeada por un montón de mitos infundados, aunque también la Lotería del Niño tiene su lugar en estas fechas. Lotería de Navidad y Lotería del Niño, ambas, al igual que cualquier juego tipo lotería que se precie, con esperanza negativa. Es decir, ambas son juegos en los que el jugador tiene una ganancia esperada negativa, algo así como que el jugador espera perder dinero. Por ejemplo, la de la Lotería de Navidad es -0,3, lo que significa que por cada euro jugado esperamos perder 30 céntimos. Y con todo y con eso jugamos, y en ocasiones demasiado.
Para todos los que jugáis, y también para los que no jugáis, va la siguiente cuestión:
Si os ofrezco un juego con una ganancia esperada muy grande, ¿cuánto estaríais dispuestos a pagar por jugar?
Posiblemente muchos diréis que como máximo un poco menos de esa ganancia esperada. Bueno, es razonable. Ahora, ¿y si la ganancia esperada fuera infinita?
Un momento, ¿ganancia esperada infinita? Sí, infinita. Esto es, esperamos ganar una cantidad infinita de dinero si jugamos a este juego…Creo que ya va siendo hora de que os cuente de qué va el jueguecito:

El juego consiste en lo siguiente:
Tiro una moneda al aire. Si sale cara continúo tirando, hasta que sale la primera cruz (excluimos la posibilidad de que caiga de canto), momento en el que el juego termina. Si esa cruz ha salido en la tirada n yo te pago 2^n euros.
La pregunta es: ¿cuánto dinero estarías dispuesto a pagar inicialmente por jugar?
Antes de responder analicemos el juego con algo más de detenimiento. Si la primera cruz sale en la primera tirada el jugador gana 2^1=2 euros; si sale en la segunda tirada gana 2^2=4 euros; si es en la tercera 2^3=8 euros…Y así sucesivamente. Conforme aumenta el número de tiradas realizadas hasta la aparición de la primera cruz la cantidad a pagar sube considerablemente (recordad, no subestiméis el crecimiento exponencial). Por ejemplo, si la primera cara sale en la tirada 10 ya iríamos por 2^{10}=1024 euros a pagar. Después de estos datos repito la pregunta: ¿cuánto dinero estarías dispuesto a pagar inicialmente por jugar?

La esperanza del juego (es decir, la cantidad que esperamos ganar al jugar) puede ser una buena medida para decidir cuánto estaríamos dispuestos a pagar por jugar, ¿no? Pues vamos a calcularla. Recordemos que la esperanza de una variable aleatoria discreta (como la que tenemos entre manos) se calcula sumando los productos que se obtienen al multiplicar cada valor de la variable por la probabilidad de que se dé dicho valor. En nuestro caso, los valores de la variable son las ganancias obtenidas según la posición en la que salga la primera cruz (2 euros si es en tirada 1, 4 euros si es en la tirada 2, 8 euros si es en la 3,…), y la probabilidad de cada uno de ellos es la probabilidad de que la primera cruz salga en cada posición. Dicha probabilidad es:
  • 1/2 para la primera tirada, ya que tenemos dos casos posibles (cara y cruz);
  • 1/4 para la segunda tirada, ya que también tenemos dos casos posibles (cara y cruz), por lo que la probabilidad sería 1/2, pero para llegar a esta opción debió salir cara en la primera, hecho que tiene también probabilidad 1/2 de suceder. Como las tiradas son independientes (el resultado de una tirada no influye en el resultado de la siguiente), la probabilidad de que la primera cruz salga en la segunda tirada es 1/2 \cdot 1/2=1/4;
  • 1/8 para la tercera, por el mismo razonamiento anterior;
  • y así sucesivamente. En general, esta probabilidad, p_n, vale 1/2^n, siendo n la tirada en la que sale la primera cruz.
Ya podemos calcular la ganancia esperada al jugar a este juego:

E=2 \cdot \cfrac{1}{2} + 4 \cdot \cfrac{1}{4} + 8 \cdot \cfrac{1}{8} + \ldots=1+1+1+ \ldots \; (infinitas \; veces)= \infty

¡¡Ganancia esperada infinita!! ¡¡Esperamos ganar infinitos euros si jugamos!! Estaréis de acuerdo conmigo en que con estas condiciones deberíamos estar dispuestos a pagar cualquier cantidad de dinero, por grande que sea. Qué digo yo, ¿100000 euros por ejemplo? ¿No? ¿Os parece mucho? 

Veamos…¿10000? Sigue siendo demasiado…¿1000 euros quizás?

Estoy convencido de que la mayoría de vosotros seguirá pensando que todavía es demasiado dinero, aun teniendo una ganancia esperada de infinitos euros. Esta aparente paradoja es la razón por la que este juego es conocido como paradoja de San Petersburgo. Bueno, esto y la relación que en sus inicios tuvo con esta ciudad rusa. Parece ser que este problema fue planteado por primera vez por Nicolaus Bernoulli en 1713. Nicolaus pasó un tiempo reflexionando sobre él, pero en 1715, al ver que no obtenía resultados concluyentes, se lo pasó a su primo Daniel Bernoulli, que para Nicolaus tenía mayor capacidad matemática que él mismo. Éste, después de unos años de estudio y reflexión, publicó su análisis y su propuesta de solución en las Actas de la Academia de Ciencias de San Petersburgo en 1738. De aquí que esta paradoja lleve ese nombre.

Volvamos a nuestro juego-paradoja. ¿Cómo solucionamos el tema? Por un lado tenemos ganancia esperada infinita, pero por otro parece una locura pagar una cantidad muy grande (de hecho hasta lo parece con una cantidad relativamente grande) por jugar, ya que es bastante probable que la primera cruz salga bien pronto. Pues parece que no hay lo que podríamos llamar una solución de esta paradoja, aunque es cierto que sí se han realizado muchos estudios sobre ella y hay propuestas interesantes.

Daniel BernoulliPosiblemente la idea más interesante sea la que tuvo el propio Daniel Bernoulli, que fue considerar que una cantidad concreta de dinero no tiene el mismo valor para todo el mundo. Me explico: 1000 euros es algo extremadamente valioso para alguien que no tiene ningún tipo de recurso, pero no lo es tanto para alguien que sea millonario. Esto es, la utilidad del dinero es subjetiva, depende de la persona, por lo que el jugador decidirá qué cantidad máxima estaría dispuesto a jugar en función de la utilidad que para él tenga dicha cantidad de dinero. Este argumento puede parecer muy obvio y sin mucho interés, pero en la práctica ha derivado en lo que actualmente se conoce como teoría de la utilidad, introducida por Von Neumann y Morgenstern a mediados del siglo XX. De todas formas es cierto que argumentos como éste se adentran en muchas ocasiones en cuestiones de índole psicológica y abandonan en parte las matemáticas.

Hay otras ideas de estudio y propuestas de solución del juego, principalmente relacionadas con la imposibilidad de que puedan darse los infinitos resultados posibles del mismo o de que pueda existir una banca que pueda cubrir un posible premio descomunal. En los enlaces que podéis encontrar al final del texto podréis encontrar información sobre todo esto.

Y ahora os toca a vosotros: ¿qué os parece este juego? ¿Jugaríais? ¿Cuánto? Todas vuestras opiniones serán bienvenidas.


Fuentes y enlaces relacionados:


Fuente:

Gaussianos

5 de enero de 2013

Por qué las cajas rápidas suelen ser en realidad una pérdida de tiempo


Todos odiamos hacer colas en las cajas a la hora de ir a pagar, especialmente en esta época del año en la que andamos con prisas, y muchas veces optamos por las cajas rápidas intentando abreviar nuestro sufrimiento.

Pero según unos cálculos del profesor de matemáticas Dan Meyer en realidad estas cajas rápidas son a menudo una trampa.


Sus cifras apuntan a que cada uno de los ítems que se pasa por cualquier caja supone unos 2,8 segundos adicionales, mientras que cada persona presente en una cola son otros 48 segundos, así que en realidad nos compensa más que alguien lleve 17 productos más que una persona más en la cola.

Y no hay que olvidar además que esto sería en condiciones ideales, que al final siempre van apareciendo problemillas que van acumulando retrasos en las colas.

Se trata de la tarjeta de crédito o de débito que da un error, del producto al que le falta la etiqueta del precio o que la tiene tan estropeada que el lector de código de barras no la lee, del cliente que descubre que uno de los productos que se lleva está estropeado, etc…

Y también está el asunto de que al procesar más clientes es más probable que se acabe el papel en la impresora de la caja rápida o que haya que llamar a un supervisor para solucionar algún problema.

Así que en realidad sólo si todas las cajas tienen más o menos el mismo número de personas en la cola o si la caja rápida tiene claramente menos personas sí es probable que ganes tiempo escogiéndola.

Pero si ves una cola con pocas personas que lleven muchas cosas, esa es probablemente la cola a escoger, aunque en un principio pueda parecer contraintuitivo.

Foto | Checkout por Nate Grigg


Fuente:

Sin vuelta de hoja
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