La raíz cuadrada de dos: El terror de los Pitagóricos

El primer intento serio de “hacer ciencia”, o por lo menos algo que nosotros, dudosos habitantes del siglo XXI, podamos considerar como ciencia, ocurrió en Mileto, una próspera colonia griega del Asia Menor, donde vivió Tales (de Mileto, obviamente) en el siglo VI a.C., del que cuentan que, basado en viejos datos babilónicos, predijo el eclipse total del 28 de mayo de 585 a.C. Verdadero o no, a veces la fecha de ese eclipse se pone como punto de arranque de la ciencia occidental.

Tales de Mileto y su escuela introdujeron una innovación absoluta en el pensamiento griego: separar lo natural de lo sobrenatural y establecer que los fenómenos naturales deben explicarse mediante causas naturales. Es la escuela de la physis. La escuela de Mileto dejó planteado un problema difícil: ¿por qué se debe aceptar tal o cual explicación (desde ya, los milesios estaban muy lejos de la idea de experimento)? Y ¿cómo podemos basar una teoría en la observación, sabiendo lo poco fiables que son los sentidos, y la empiria en general?

Problemas que fueron enfrentados por la escuela eleática (por Parménides de Elea, 540-470 a.C.), que frente al testimonio dudoso de los sentidos, opone un Ser permanente, inmóvil, continuo, eterno y sin atributos, al que sólo se puede acceder por la vía de la razón, olvidando los fenómenos, puramente contingentes (como quiere demostrar Zenón de Elea, discípulo de Parménides con la célebre paradoja de Aquiles y la tortuga). Pero un Ser sin atributos no puede darnos demasiado; el camino de Parménides no produce ciencia sino metafísica: en realidad, la escuela eleática lleva a la incipiente ciencia griega a un callejón sin salida. ¿Cómo salir del atolladero?

Los filósofos griegos siguieron: algunos tomaron un camino radical, como los atomistas (Demócrito y Leucipo), que fracturaron el ser en pequeñas partículas indestructibles y eternas: los átomos, infinitos, “increados”, tienen distintas formas y que se mueven permanentemente en el vacío. Y hubo, si se quiere, otra solución: las matemáticas, en las que la razón no tiene que discutir ni ocuparse de fenómenos, sino de relaciones puras. Ese es el camino que suscribió una escuela muy importante que se desarrolló a partir del siglo V en el sur de Italia, la escuela pitagórica. Los pitagóricos establecieron que la fuente de la realidad son los números. A la pregunta ¿cuál es el origen de las cosas?, respondieron: los números.

Es posible que esta idea haya partido del estudio de la música: descubrieron que hay relaciones numéricas precisas entre los sonidos; y estas relaciones, para nada evidentes, pudieron impulsarlos a dar el paso audaz de generalizar y proclamar que todas las cosas consisten en números. 

Así, la escuela pitagórica opta por el pensar y resuelve el problema milesio. Y fueron tal vez un poco más lejos de lo aconsejable: identificaron a la Justicia con el número 4 por tratarse del primer número cuadrado; al matrimonio con el 5, que representaba la unión del macho (3) con la hembra (2). Además, creían que todo el cielo era una escala musical, analizaron muchas propiedades de los números, trabajaron sobre los poliedros regulares, las medias aritméticas, geométricas y armónicas, acústica y astronomía, que era algo así como geometría aplicada. Desde ellos viene esa ligazón entre aritmética, música, astronomía y geometría que constituirá el quadrivium medieval. Propusieron un sistema, integrado por un fuego central alrededor del cual giraban veinte cuerpos envueltos en niebla, y dieron numerosas demostraciones; la más famosa es, desde ya, el teorema de Pitágoras).

Pero he aquí que el teorema de Pitágoras llevó a una conclusión asombrosa, que puso en jaque todo el sistema pitagórico. Al fin y al cabo, si uno construye un cuadrado de lado 1, se puede ver fácilmente que, como el cuadrado de la diagonal es la suma de los cuadrados de los catetos, es 1 al cuadrado + 1 al cuadrado = 2. Y entonces la diagonal mide la raíz cuadrada de 2.

Resulta que los pitagóricos descubrieron también que la raíz cuadrada de 2 no es un número, que no hay ninguna fracción que la represente: la raíz de 2 es “a-logos”, es inexpresable: es irracional. Y sin embargo, la diagonal de un cuadrado de lado 1 está ahí, de manera neta y tan evidente; tiene una longitud real y extremos fijos, puede construirse una varilla de esa longitud concreta, pero esa longitud concreta no parece ser nada, no parece pertenecer a la esfera de lo posible... y sin embargo, está allí. Pero además, es imposible negar la existencia de la raíz cuadrada de 2, que no se produce en el terreno de la empiria, sino en el mundo puro de los números.

Ahora, ¡hay que imaginar el efecto que este descubrimiento tuvo que tener en algunos de los primeros pitagóricos! Ellos suponían que todo consiste en números y que el conocimiento expresa relaciones entre números (enteros o fraccionarios). Pero he aquí que una entidad, que ciertamente pertenece a la ciencia, la diagonal de un cuadrado, no puede ser expresada con números enteros, no puede existir. Es decir, tenemos algo concreto y ese segmento, que está ahí no es un número, no es nada. Y la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 tampoco es nada. ¡Pero la diagonal de ese cuadrado está ahí! ¿Cómo puede ser que a un segmento no corresponda ninguna longitud?

Un ejemplo del terror que produjo ver que algo tan simple como la raíz cuadrada de 2 era un irracional es la leyenda según la cual un pitagórico, Hipaso, divulgó el secreto y pereció ahogado como castigo divino por su acción. Y es que la escuela pitagórica se había embarcado en un callejón sin salida. Construyeron todo un edificio científico, místico, que les parecía muy sólido, y de repente aparece este asunto que amenaza con precipitar toda la escuela en el abismo. Los pitagóricos se enfrentan a este dilema y no lo pueden resolver. Han fracasado en su teoría de que todo está constituido por números, aunque la influencia que ejercieron siguió resonando a través de los siglos, y la encontramos aún en Kepler.

Y es que el problema con que se enfrentaron no es fácil de resolver, la raíz de 2, como descubrieron los pitagóricos, desde ya no es una fracción: no hay número entero ni fraccionario alguno que multiplicado por sí mismo nos reproduzca exactamente al 2. Actualmente escribimos raíz cuadrada de 2 como 1,14142135624 y agregamos una serie de puntos suspensivos que significan que la fracción decimal no tiene fin, que el número de decimales (no periódicos) es infinito. Es lo que ahora llamamos (quizás en homenaje a Pitágoras) un número irracional.

El terror de los pitagóricos ante la raíz de 2 es fácil de entender, porque nosotros, hoy, en el fondo, seguimos siendo pitagóricos. No creemos, como Pitágoras, que todo es número, pero sí que las matemáticas subyacen al mundo empírico; que de un modo misterioso organizan la empiria, que aquello que es matemáticamente posible es y que aquello que no es matemáticamente posible, no es.

Tomado de:

Página 12 

Bonus:

La biografía de Pitágoras, y detalles curiosos de los pitagóricos, en esta presentación:

Conocer Ciencia - Pitágoras y el número from Leonardo Sanchez Coello

¿Qué tienen en común las canciones de "Los Mojarras" y Pitágoras?

 Los fundamentos matemáticos de la música descubiertos por Pitágoras

Existe un ritual que todos repetimos cada mañana antes de salir de casa. Comprobamos que llevamos nuestras llaves, el celular, la billetera y algo que nunca podemos olvidar, sobre todo si vives en una gran ciudad y estás condenado a someterte a largos trayectos en metro o autobús: tu mp3 (mp4, ipod o iphone; o simplemente los auriculares para escuchar música desde tu cel). Este tipo de aparatos se han convertido en algo indispensable para nosotros y en ellos cargamos nuestras canciones preferidas, las que queremos que nos acompañen en ciertos momentos del día.

Mientras examinaba mi ipod, un amigo me comentó la semana pasada: ‘¿Te has parado a pensar que toda la música que llevas aquí se basa en fundamentos matemáticos y está interpretada por instrumentos que a su vez han sido construidos teniendo en cuenta proporciones igualmente matemáticas?’.

La reflexión os habrá resultado tan desconcertante como a mí, pero se me olvida mencionar que mi amigo es ingeniero de telecomunicaciones especialista en imagen y sonido. Acto seguido me comentó que durante la carrera había cursado una asignatura optativa llamada ‘Acústica musical’ que acabó por abandonar por resultarle demasiado complicada.

Reflexionando sobre el asunto me intrigaron dos cosas: por un lado, cómo a un ingeniero de telecomunicaciones podía resistírsele una asignatura como aquella, existiendo otras bastante más complicadas como Fundamentos de álgebra o Métodos Numéricos; por otro lado, pensé en la absurda relación entre las matemáticas y las cancion Triciclo Perú, del grupo de rock fusión "Los Mojarras",que aquella mañana había cargado en mi ipod.

Por muy surrealista que resulte, la relación existe. Para comprenderla, tenemos que remontarnos a la antigua Grecia, concretamente a Pitágoras. Este filósofo fue quien descubrió la importancia de los números en la música y la relación existente entre esta disciplina y las matemáticas. La propia palabra matemáticas proviene del griego mathema, que significa conocimiento. Pitágoras y sus seguidores, los llamados ‘pitagóricos’, dividían esta ciencia en cuatro áreas: la aritmética, la geometría, la astronomía y la música. Curiosamente, las matemáticas y la música tienen en común una propiedad excepcional: ambas constituyen lenguajes universales.

Poca gente sabe que fueron los filósofos pitagóricos los que pusieron las bases de nuestra música actual –incluida la de "Los Mojarras"-. En la asignatura ‘Acústica musical’, la mencionada por mi amigo el ingeniero, se estudiaban las leyes cuantitativas de la acústica que fueron formuladas por el propio Pitágoras. El filósofo quería descubrir qué relación había entre la armonía musical y los números.

Todos conocemos la escala musical que va del Do hasta el siguiente Do (una octava más alto). Pitágoras descubrió que la octava tenía una proporción matemática de 2/1. Os preguntaréis cómo descubrió esta relación matemática si las proporciones pertenecen al mundo de lo físico y las notas musicales al de lo auditivo. El descubrimiento fue el resultado de una serie de experimentos sencillos en los que utilizó cuerdas. Para ser más concretos Pitágoras empleó un instrumento de cuerda llamado monocordio.

Tensó varias cuerdas de distintas longitudes y las fue pellizcando para que vibraran y emitiesen sonidos. Finalmente, tras hacer muchas pruebas, tensó dos de ellas: una el doble de larga que la otra. Al hacerlas vibrar, se dio cuenta de que ambas emitían exactamente la misma nota musical, sólo que una sonaba una octava más alta que la otra (corresponde a un salto de ocho teclas en un piano). Luego tomó la cuerda más corta y la comparó con otra la mitad de larga que ella, corroborando de nuevo que el fenómeno volvía a repetirse. En definitiva, los tres sonidos correspondían a la misma nota musical, pero con dos octavas de diferencia entre ellas.

Así fue cómo Pitágoras afianzó la primera y la última nota de la escala musical. Pero, ¿y las demás de dónde salieron? Tras investigar qué notas sonaban bien, Pitágoras fue deduciendo proporciones y encontró que tenían una particular relación matemática. Resulta que el cerebro reconoce como sonidos agradables (lo que en música llamamos ‘consonancias’) aquellos cuyas frecuencias están en ciertas proporciones simples: 2/1, 3/2, 4/3, etc., así que construyó una escala con cuatro notas.

Tenía las dos primeras notas de la escala (Do grave y Do agudo) y consiguió la siguiente nota (Sol) colocando una cuerda cuyo largo era dos tercios de la inicial. Luego colocó otra con una longitud tres cuartas partes de la inicial (Fa) y se hizo con la escala de cuatro notas a la que nos referíamos antes.

Pero nos siguen faltando cuatro notas más para completar las ocho…

Pitágoras se fijó en la distancia o proporción existente entre las dos nuevas notas (Fa y Sol). Esta proporción o intervalo es lo que hoy conocemos como tono. Para completar la escala aumentó un tono desde el Do grave y obtuvo el Re, y luego desde el Re, logrando un Mi. Ahí se detuvo. Al intentar aumentar un tono desde Mi se dio cuenta de que el sonido obtenido se situaba entre el Fa y el Sol. Decidió entonces aplicar la mitad de un tono: el hemitono o semitono, logrando así el Fa. Las notas La y Si las consiguió incrementando un tono desde la anterior, mientras que del Si al Do agudo también aplicó el sistema del hemitono, consiguiendo cuadrar la escala y llegar al Do último.

Así que ya veis. Las canciones que Cachuca compone, para su grupo "Los Mojarras", tienen como fundamento estas ocho notas y algunas más de las que hablaremos más adelante.

Comprobado: las matemáticas y el rock fusión con cumbia andina sí que guardan relación, tal como pronosticaba mi amigo el ingeniero.

Con información de:

Xakata Ciencia

Si desea mayores detalles vea el documento: Fundamentos mátemáticos de la Música (PDF) de María Cecilia Tomasini

Música y aritmética

En este post voy a intentar que os sorprenda la relación que existe entre la Música y las Matemáticas, para ello he navegado por Internet localizando enlaces interesantes que nombraré.

Resulta extraño entender porque los músicos han utilizado las Matemáticas en sus obras o los matemáticos han empleado esta ciencia para crear música, hay muchos ejemplos, podemos empezar con Pitágoras quizás uno de los matemáticos más importantes de la historia, que además era Filósofo y Astrónomo. Pitágoras estudió la naturaleza de los sonidos musicales. En la escala diatónica. Pitágoras estaba influenciado por sus conocimientos sobre las medias (aritmética, geométrica y armónica) y los números naturales, especialmente los cuatro primeros. Había experimentado que cuerdas con longitudes de razones 1:2, 2:3 y 3:4 producían combinaciones de sonidos agradables y construyó una escala a partir de estas proporciones.

Juan Sebastián Bach compuso el clave bien temperado, que consiste en 24 piezas en las doce tonalidades, usando el modo mayor y menor de cada una de ellas, demostrando de esta manera las posibilidades de modulación creadas por una afinación igual. Aunque en la época en la que vivió Bach la música ya no es una disciplina estrictamente matemática, las matemáticas son inherentes a la música y continuarán influyendo en la evolución de la teoría musical. También aparece en la obra El coral del lecho de muerte BWV 668 de Bach el culmen de la obra ocurre justo en el compás relacionado con la proporción áurea.

W.A.Mozart, en varias sonatas para piano la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea.

Un primer ejemplo de músico contemporáneo que se sirve de las matemáticas es Joseph Schillinguer, desarrolló, un detallado sistema de composición musical basado en principios científicos. La base del sistema de Shillinguer es geométrica y se fundamenta en el concepto de relaciones de fase de movimientos periódicos simples. Hay quienes consideran que el sistema de Schillinguer anticipó la música por ordenador antes de que existieran los ordenadores, y que introdujo muchas técnicas algorítmicas de composición, incluso la utilización de series numéricas autosemejantes.

Arnold Schöenberg, en 1921 comentó a uno de sus discípulos que había realizado un descubrimiento que “aseguraría la supremacía de la música alemana durante los próximos 100 años”. A lo que se estaba refiriéndose era al dodecafonismo que, según él, permitía la continuación de los valores musicales tradicionales siguiendo el camino que ya había recorrido la evolución musical del siglo XX. Es imposible valorar en toda su magnitud la influencia de Schönberg en la música del siglo XX. Su obra brindó un impulso radical a las técnicas de composición y sus fundamentos teóricos, que incluyen desde la atonalidad y la música dodecafónica hasta la música serial y, por último, la música electrónica.

Iannis Xenakis, Arquitecto, matemático y compositor vivió en Grecia.  La obra de este autor está repleta de traducciones de conceptos matemáticos al plano musical. Una de sus composiciones más conocidas es Metástasis (1954), pieza basada en el desplazamiento continuo de una línea recta, modelo que se representa en la música como un glissando continuo. La contracción y expansión del registro y la densidad a través del movimiento continuo ilustran las leyes estocásticas. Según palabras extraídas del prefacio de su libro “Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition”: “Como resultado del punto muerto en la música serial, así como de otros motivos, en 1954 originé una música construida en base al principio de la indeterminación; dos años más tarde la llamé “música estocástica”. Las leyes del cálculo de probabilidades entraron en la composición por pura necesidad musical…………….”, define así la música estocástica.

ARTICULO INTERESANTE: ACHORRIPSIS: A SONIFICATION OF PROBABILITY DISTRIBUTIONS

PINCHA AQUI  Y DESCAGATE EL PDF DEL ARTICULO DE EdwardChilds


Otra curiosidad es como la serie de Fibonacci (serie de números infinitos, que empieza por el 1 y cada número subsecuente es la suma de los dos anteriores, es decir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ……), aparece en la quinta sinfonía de Beethoven. No se sabe si la utilizó de manera intuitiva  sin saber, sólo porque se oye bien.

Veamos cómo suena está sinfonía en este video de YobeTube

Y Béla Bartók desarrolló una escala que denominó la escala Fibonacci.


PARA TERMINAR
Un video que he encontrado en youtube, LA CUMBIA MATEMATICA, muy curioso con un estribillo pegadizo

Si queréis emociones, sumáte unas fracciones, si queréis moverte al ritmo, empleá los logaritmos,
si queréis ser prudente, calcula la tangente y si queréis pasarla mal, dividí con decimal…

Fuente:

Que no te aburran las Mates

No hay música sin ciencia

No se puede ver ni palpar, sin embargo, se siente. La música es una de las manifestaciones artísticas más universales y, a la vez, uno de los rasgos más singulares, junto con el habla, del ser humano. Pero el lenguaje musical tiene, también, mucho en común con otro lenguaje que la inteligencia ha inventado para describir la realidad: la ciencia. Ésta habla de espectros, frecuencias, resonancias, vibraciones y análisis armónico. No es una simple coincidencia, no hay música sin física.

El sonido es un fenómeno físico originado por la vibración de los cuerpos y que se trasmite por el aire en forma de ondas. El efecto estético de un sonido depende de la relación lógica y pautada de sus vibraciones. Es decir, que en el fenómeno musical existe una esencia matemática. Y si consideramos la música como una sensación auditiva cuyo propósito es invocar emociones, disciplinas como la fisiología, la psicología, la bioquímica y las neurociencias tienen mucho que decir.

Un Sistema Solar polifónico

La correspondencia entre la música y la ciencia se conoce desde hace mucho tiempo. Probablemente, hacia el siglo VI a.C., en Mesopotamia ya advirtieran las relaciones numéricas entre longitudes de cuerdas. Pero fue en la Grecia antigua cuando se trazaron las diferentes escaleras armónicas basadas en las proporciones numéricas. Para los pitagóricos el Universo era armonía y número. Las notas musicales se correspondían con los cuerpos celestes. Los planetas emitían tonos según las proporciones aritméticas de sus órbitas alrededor de la Tierra. Y los sonidos de cada esfera se combinaban produciendo una sincronía sonora: la "música de las esferas".

Esta armonía celestial fue descrita por muchos pensadores como Platón, que en La República, relata el mito de Er, un guerrero que en su muerte temporal ve el Universo y describe las órbitas de los planetas. "Encima de cada uno de los círculos iba una Sirena que daba también vueltas y lanzaba una voz siempre del mismo tono; y de todas las voces, que eran ocho, se formaba un acorde". También Cicerón, en El Sueño de Escipión, explica el fenómeno: "Es el sonido que se produce por el impulso y movimiento de las órbitas, compuesto de intervalos desiguales, pero armonizados (...) Porque tan grandes movimientos no podrían causarse con silencio, y hace la naturaleza que los extremos suenen, unos, graves, y otros, agudos".

La tradición que consideraba al Universo como un gran instrumento musical se prolongará durante la Edad Media y hasta el siglo XVII, cuando aparece la figura de Johannes Kepler. El astrónomo alemán intentó comprender las leyes del movimiento planetario y consideró que éstas debían cumplir las leyes pitagóricas de la armonía. En su libro Harmonices Mundi (1619) ilustra el orden del Universo según los sonidos producidos por las velocidades angulares de cada planeta. Cuanto más rápido era el movimiento, más agudo era el sonido que emitía.

Asumida esta creencia, Kepler escribió seis melodías, cada una correspondiente a un planeta diferente, e instó a los músicos de su época a asimilar su descubrimiento. Escribió: "el movimiento celeste no es otra cosa que una continua canción para varias voces, para ser percibida por el intelecto, no por el oído; una música que, a través de sus discordantes tensiones, a través de sus síncopas y cadencias, progresa hacia cierta predesignada cadencia para seis voces y, mientras tanto, deja sus marcas en el inmensurable flujo del tiempo".

Las estrellas se hacen oír

Las primeras evidencias de música originada en un cuerpo celeste, tal como habían imaginado los pitagóricos primero y Kepler más tarde, no se encontraron hasta hace varias décadas. Las estrellas no emiten melodías armoniosas, pero sí que están sometidas a perturbaciones que provocan una respuesta en forma de ondas. No podemos escuchar el sonido emitido por una estrella, ya que las ondas de sonido necesitan un medio por el que propagarse y el Universo está prácticamente vacío, aunque podemos observar cómo vibra. Y éste es el ámbito de estudio de la sismología solar, un campo de la astrofísica que, desde 1979, investiga en detalle la estructura interna invisible del Sol.

Como un complejo instrumento musical, nuestro astro oscila creando tipos de ondas (modos propios de oscilación) que se propagan por su interior y se reflejan en la superficie deformándola ligeramente, del mismo modo que las olas del mar. Observando esta alteración se pueden descubrir las frecuencias de las ondas que se propagan desde su núcleo y deducir, al igual que en una ecografía, las características físicas y los movimientos que se prolongan en el interior.

Que nuestro astro tenga ritmo no es una cualidad única, sino que cada estrella, como cada instrumento musical, posee su propio sonido. Actualmente, un astrofísico del IAC, Garik Israelian, ha convertido esta propiedad de los objetos celestes en un proyecto musical. "Detecto las ondas, las convierto en sonidos en el ordenador y, como resultado, obtengo una serie de notas precisas", describe. Con él colabora Brian May, otro astrofísico aunque más conocido como guitarrista y compositor del grupo Queen.

Y el Sol es, también, la repuesta a uno de los misterios que la ciencia llevaba años persiguiendo: el excelso sonido del violín Stradivarius. La última teoría sostiene que el secreto está en el "Mínimo de Maunder", un periodo de escasa actividad solar que entre los siglos XVII y XVIII, cuando se elaboraron los citados violines, provocó un acusado cambio climático. La temperatura en Europa descendió, en lo que se llamó la "Pequeña Edad de Hielo", causando un lento crecimiento en los árboles y dotando a la madera de unas singulares cualidades sonoras.

Con la música a otra parte

Para Leibniz, "la música es un ejercicio de aritmética secreta y el que se entrega a ella ignora que maneja números". Y Bertrand Russell consideraba que "el matemático puro, como el músico, es creador libre de su mundo de belleza ordenada". Descartes (Compendio musical), Galileo (Discurso), Mersenne (Armonía Universal), D’Alembert (la solución de la ecuación de ondas) y Euler (Nueva teoría musical), son algunos de los matemáticos que se han preocupado por la elaboración de teorías musicales. Si bien, también se conocen muchos compositores que han aplicado a sus creaciones principios de lógica y probabilidad matemática, como Debussy, Boulez, Messiaen, Varese, Stockhausen o Xenakis, precursores de la música electrónica actual.

Pero la música no solamente ha seducido a los matemáticos. Científicos de muchas disciplinas han recogido sus teorías en composiciones musicales. Como Clark Maxwell, descubridor de la existencia de las ondas electromagnéticas, que compuso una canción titulada "Rigid Body Sings" para explicar de forma cómica la ley de colisión entre los cuerpos rígidos, o el físico Georges Gamow, que en uno de sus libros sobre su simpático personaje de ficción Mr. Tompkins incluyó tres arias para ser cantadas por tres eminentes cosmólogos, Abbé George Lemaître, Fred Hoyle y él mismo, que explicaban diferentes teorías de la creación del Universo.

En contra de la creencia popular, emoción y razón se originan en el cerebro y están relacionadas. Por ello, han prosperado nuevos campos de estudio, en especial, desde las neurociencias, que analizan la conexión entre el sonido, la emoción y el pensamiento. Y aunque hace 20 años pocos creían que pudiera aportar nada, actualmente es un ámbito de gran interés académico y múltiples aplicaciones, sobre todo, terapéuticas.

Hoy sabemos, que la música y el lenguaje tienen un origen común, ya que en el ámbito neurológico han evolucionado juntas en los últimos dos millones de años. También conocemos que la música estimula la zona del cerebro que registra el placer, un mecanismo básico para la supervivencia. Y que no todos escuchamos del mismo modo: gracias a imágenes obtenidas por Resonancia Magnética Funcional, se ha observado que la actividad cerebral en un músico es diferente de la de una persona sin formación musical.

Resumiendo, la música es el arte de combinar sonidos armónicamente con el propósito de producir sensaciones. Pero la armonía no es sólo un elemento esencial de la música, sino que ha sido invocada frecuentemente por la ciencia para describir y comprender el mundo. Muchos científicos han confiado en la armonía del Universo y algunos músicos han utilizado la lógica y el cálculo en sus creaciones. La música integra con la ciencia un campo general del pensamiento que nos distingue como humanos. Preguntarnos por ella, es preguntarnos por nosotros mismos.

Fuente:

Ccaos y Ciencia

La belleza en el método matemático

Según cuentan, Descartes dijo una vez que la matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. En Matemáticas, la belleza puede apreciarse desde varios enfoques. Uno de ellos se conoce como la belleza del método, que suele comportar brevedad insual en la demostración, el uso de pocas ayudas previas en forma de hipótesis o resultados, o si aporta una nueva y original visión del problema. Hagamos un repaso por algunas de esas bellas demostraciones, muchas de las cuales hacen uso de la geometría, ya que según dicen, una imagen vale más que mil palabras.

Un clásico entre los clásicos es el Teorema de Pitágoras, el cual afirma que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es el teorema que más demostraciones distintas tiene, contabilizando hasta 367, entre otras razones porque en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos. Entre las distintas formas de probar dicho teorema, encontramos algunas que se agrupan en lo que se conoce como pruebas geométricas, que realizan comparaciones de áreas, implicando todo tipo de polígonos como triángulos, trapecios y cuadrados.

Otro teorema con un resultado sorprendente es el Teorema de Van Aubel, que reza lo siguiente: Dado un cuadrilátero cualquiera en un plano, a partir de cada lado dibujamos un cuadrado apoyado en él. Entonces los segmentos que unen los centros de cuadrados situados en lados opuestos tienen la misma longitud y además son perpendiculares. Lo sorprendente, si observáis la imagen de la derecha, es que los segmentos que unen los centros de los cuadrados en lados opuestos resultan tener la misma longitud y son de igual longitud, sin importar la forma del cuadrilátero, ya que el teorema no especifica restricción alguna respecto al mismo.

Un ejemplar sencillo y realmente bello es el Teorema de Marden. Basado en la elipse de Steiner, una elipse interior a un triángulo que en algunos casos es tangente a los puntos medios de dichos lados, sirve para expresar la relación geométrica entre los ceros de un polinomio de tercer grado con coeficientes complejos y los ceros de su derivada. Como podéis comprobar en la imagen inferior, de esta simple manera se muestra que los focos de la elipse coinciden con los ceros de la derivada del polinomio, cuyos ceros son los vértices del triángulo. Un dato curioso es que la elipse de Steiner se puede aplicar a polígonos de múltiples lados, teniendo algunos de ellos una elipse resultante que es tangente a cada lado en su punto medio.

El Teorema de Napoleon, conectado con el de Van Aubel y atribuido a Napoleón Bonaparte, es otro interesante ejemplo de un resultado sobre triángulos equiláteros, que reza lo siguiente: se construyen tres triángulos equiláteros a partir de los lados de un triángulo cualquiera, todos al interior o todos al exterior, entonces los centros de los triángulos equiláteros forman también un triángulo equilátero.

lo increíble es que la diferencia entre las áreas de los triángulos exterior e interior es igual al área del triángulo original. Este teorema tiene una interesante generalización en el caso de triángulos construidos externamente: Si se construyen externamente triángulos similares de cualquier forma en un triángulo de modo que cada uno se hace girar con relación a sus vecinos y cualquiera de los tres puntos correspondientes de estos triángulos están conectados, el resultado es un triángulo que es similar al triángulo externo.

El Teorema del punto fijo de Brouwer también tiene demostraciones bellas y curiosas. Este teorema establece que si una función f verifica ciertas propiedades, entonces existe un punto x₀ tal que f(x₀) = x₀, es decir, un punto fijo.

La prueba se realizó mediante el juego de Hex. La esbozó el famoso John Forbes Nash, reinventando el juego de Hex y mostrando que el empate es imposible. Eso a su vez demostró que es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer.

El hex es un juego entre dos personas que van colocando por turnos fichas sobre un tablero romboidal, compuesto de casilleros hexagonales. Las fichas se distinguen por su color, asociándose uno a cada jugador, y gana quien consigue formar una línea de sus fichas que conecte dos laterales opuestos del tablero previamente asignados. Lo que se demostró que si el tablero se encuentra completamente lleno de piezas, no es posible llegar a una situación de empate. Esta propiedad es la que permite demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer.

En geometría, el Teorema del Círculo de Monge-D’Alembert destaca tanto por su simplicidad como por su amplio abanico de aplicaciones en distintos problemas. Este teorema establece que los pares de centros externos de similitud, que se obtienen trazando tangentes comunes dos a dos entre los círculos, de los tres círculos están en el mismo plano y en la misma recta (colineales) Se puede resolver usando el Teorema de Desargues, y se puede aplicar en muchos otros problemas, como los círculos de Malfatti.

Por último, veamos el Teorema de la Mariposa que, con cierta inspiración en el lema de Zassenhaus de teoría de grupos, es el resultado clásico de la geometría euclidiana. Este teorema fue demostrado por primera vez por William George Horner además de otros como Coxeter, Shklyarsky y Greitzer. Su nombre, como puede apreciarse en la figura, proviene de la apariencia final que se produce al dibujar cada uno de los elementos que va exigiendo el enunciado. La demostración es bastante complicada, pero lo curioso es que el resultado es independiente de la cuerda elegida, ya que los punto X e Y son equidistantes de M.

Esta entrada participa en la edición 3.1415926 del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Series divergentes.

Fuentes 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16. 

Tomado de:

XD Ciencia

Ingenio egipcio (o cómo adelantarse a Pitágoras atando 12 nudos)

triangulo pitagorico from angel on Vimeo.

¡Imagínate la lata! Tienes todos los lindes bien marcaditos con unos palitos o unas piedras, para lo cual tuviste que dibujar ángulos rectos con los que delimitar las fértiles propiedades ribereñas del Nilo. Y en estas que va el río (con su exactitud anual) y provoca una crecida que manda al Mediterráneo todas tus sesudas medidas, con sus estacas y sus piedrecillas. Además el faraón anda azuzándote para que crees estructuras geométicas perfectas como las pirámides. Estás en el año 2.000 a.C. y por lo tanto a Pitágoras le falta casi milenio y medio por nacer y regalarnos su archiconocido teorema. Lo único que tienes para rehacer tus cálculos es una larga cuerda. ¿Qué haces?

Cuerda de 12 nudos estirada

Pues no pasa nada, tomas una medida estándar “n” y haces un nudo en la cuerda cuando llegas a ella. Luego repites la operación atando otro nudo cada vez que recorres la distancia “n” elegida. Cuando llegas al nudo número 12 atas los extremos de la cuerda y cortas lo que sobra. Tras eso la cosa es sencillísima. Fijas un nudo al suelo, haces que alguien cuente tres nudos a partir de tu posición y estire la cuerda hasta que quede tensa, y mandas a un tercero que coja la cuerda restante y tire de ella hasta que quede perfectamente tensa por ambos lados a una distancia de cuatro nudos de ti y cinco de tu primer ayudante.

El resultado, como veis en la imagen lateral, es un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa mide 5 nudos y cada uno de los catetos 3 y 4 nudos respectivamente (se cumple el famoso teorema porque 5^2 = 4^2 + 3^2).

Así que si te pones a pensar, con la cuerda en la mano y a río pasado deducir el teorema no parecía demasiado complicado, sin restarle méritos al viejo Pitágoras por supuesto. (Por cierto, los chinos tampoco eran mancos).

El vídeo lo encontré en galería de Ángel en Vimeo.

Tomado de:

Amazings

Geometría: ¡El oro estaba escondido en una estrella de 5 puntas!

Especial: Matemáticas

«—Personas refinadas y sofisticadas como nosotros no deben ensuciar sus labios con obscenidades.» —dijo Patricio a su amigo Bob, y se quedó tan pancho

Sal y Ven se deshacían en carcajadas, cosa que nada que tenía que ver con lo que había dicho la estrella de mar, sino más bien con el hecho de que éste era el personaje favorito de los dos en la serie de Bob Esponja.

—Uf, ¡qué antipático es Calamardo! —se quejó con tristeza Ven.

—Es verdad, menos mal que Bob siempre trata a Patricio con cariño —le respondió su hermano.

— Por cierto, Sal, ¿todas las estrellas de mar tienen cinco puntas, una para la cabeza, dos para los brazos y dos para las piernas, como Patricio?

— Ven, es un dibujo animado…

—Ya lo sé —respondió Ven molesto —sólo quería saber si todas las estrellas de mar tienen 5 puntas.

—No todas, la mayoría sí, pero algunas no. —era Mati quien hablaba

—¿Hay estrellas de más de 5 puntas, Mati? —preguntó el gafotas

—Sí, por ejemplo, las de la familia Solaster dawsoni

—Pues a mí me gustan más las estrellas de 5 puntas, como Patricio —sentenció el pequeño, mientras el gafotas se mostraba ilusionado.

—Bueno, a mí también, Ven —continuó la pelirroja —Las estrellas de cinco puntas, son muy importantes para los matemáticos.

—¿Por qué? —preguntaron los dos hermanos al unísono.

—Os cuento, la estrella de cinco puntas, llamada Pentagrama…

—El pentagrama son 5 líneas para escribir música, Mati —interrumpió Ven mosqueado —nos lo explicaron en clase.

—También, también se llama pentagrama, es cierto. Pero en geometría, un pentagrama es una estrella de 5 puntas como ésta:

—También se le llama Estrella Pitagórica, porque Pitágoras y sus discípulos la usaban como símbolo de su escuela. ¿Seríais capaces de dibujarla de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel?

Sal y Ven se pusieron manos a la obra. Fue el pequeño, Ven, el que antes lo consiguió y lo explicó con entusiasmo.

—Mira, así —y dibujó en su cuaderno

—¿Veis? Hay que dibujar 5 líneas, tiene 5 puntas y sin las puntas, nos queda un pentágono, que es un polígono con 5 vértices.

— Una estrella con muchos 5, la estrella de los aprobados raspones — bromeó Mati y les guiñó un ojo —pero aparte del 5, el pentagrama esconde otro número más famoso e importante: el número de oro, que se escribe con la letra griega φ (o en mayúsculas Φ) (que se lee fi)

—Otra letra griega, como π —señaló Sal con una sonrisa de oreja a oreja

—¡Ajajá! —dijo Ven con mirada de pillín —Ya lo entiendo todo. Seguro que como π servía para medir los círculos, el número de oro sirve para medir las estrellas de 5 puntas. ¡Soy un crack!

Mati se rio y Sal miró a su hermano arrugando la nariz para subirse las gafotas.

—No, no exactamente. El número de oro, φ es un número irracional como π, pero se encontró midiendo segmentos de rectas. Os lo explico con un dibujo, veréis.

—En este dibujo, se cumple que

—Pero, ¿cuánto vale? —pregunta Ven que no entendía muy bien la sección aúrea.

Mati escribió en su pizarra

— Yo lo que no sé es qué tiene que ver φ con la estrella pitagórica… —masculló el gafotas.

—Ah, sí, es verdad. Os lo cuento ¿Qué queda si quitamos las 5 puntas?

—¡Un pentágono! —gritó Ven

—Pues en ese pentágono, observad

—Pero el número de oro está escondido en más sitios del pentagrama

—Entonces —Mati escribió

—¡Cómo mola Mati! —alucinaba Ven

—Y ese número de oro, ¿está sólo en el pentagrama? —preguntó Sal

—No, está en muchas figuras. Otra de la más conocidas es el rectángulo de oro, que es un rectángulo con la propiedad de que si divides el lado largo por el lado corto, te sale el número de oro.

Por ejemplo, las tarjetas de crédito son rectángulos de oro.

Se usa mucho, desde hace mucho tiempo en arquitectura, por ejemplo, está por todas partes en el Partenón de Atenas…

…en la catedral Notre Dame de París…

…en el cuadro de la Gioconda de Leonardo DaVinci…

—Mirad, —siguió la gafotas —si queréis saber si un rectángulo es de oro, pedid una tarjeta de crédito prestada, y alejaos hasta que consigáis tapar el rectángulo con la tarjeta, alejándola con el brazo.

Pero no sólo en las matemáticas y en la arquitectura, sino que lo que más sorprende de este número de oro es que lo podemos encontrar en la Naturaleza: en el número de pétalos de las flores,en las espirales de una piña, el cociente entre vuestra altura y la altura de vuestro ombligo, o el de la distancia del hombro a los dedos y la distancia de los codos a los dedos. ¿Sabéis que es el ADN?

—No sé explicarlo muy bien —dijo Sal —pero es dónde está escrito de qué color son nuestros ojos y esas cosas, ¿no?

—Más o menos -contestó ella —Pues cada molécula de ADN es un rectángulo mágico, que mide 34 angstroms de largo por 21 angtroms de ancho.

—¿Un ans..qué? -preguntó Ven con la carita arrugada como una pasa

—Un angstrom, es una medida muy, muy pequeñita. Fíjate, Ven, en un centímetro que es esto —Mati separó las yemas de su pulgar y su índice aproximadamente un centímetro —hay 10 millones de angstroms.

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Pequeño Libro de Notas

Música y Matemáticas

Lunes, 14 de junio de 2010

Música y Matemáticas

Los números, que según los antiguos son la esencia de todas las cosas, marcan los ritmos, las pautas, los tonos, las armonías. Así es como las Matemáticas habitan en la música; ocultas, silenciosas.

Un instrumento musical es un dispositivo físico capaz de producir lo que se llama una onda de presión, un “empujón de aire” que es capaz de mover la pequeña membrana del oído que llamamos tímpano. La frecuencia de vibración define lo que llamamos el tono, de graves a agudos, que se mide en el número de vibraciones por segundo o Hertzios (Hz). Un diapasón, ese objeto metálico en forma de U que se utiliza para afinar instrumentos, vibra cuando se le da un golpe, a 440 Hz, lo que corresponde a la nota musical “La”.

En este fragmento del teclado de un piano con las frecuencias correspondientes a cada nota, lo que establece una relación directa entre números y notas. El haber llegado hasta esta distribución de frecuencias por la que se rige la mayor parte de la música actual, es una larga historia en la que la Teoría de la Música y las Matemáticas se han cedido el protagonismo la una a la otra.

La música pitagórica

Cuando dos o más notas suenan simultáneamente se dice que se ha producido un acorde. Su sonido puede ser agradable o desagradable (o menos agradable). Aunque ésta sea una apreciación subjetiva, la mayoría de las personas, independientemente de su educación musical, coinciden en separar claramente los dos tipos de sonidos.

Una de las muchas formas que hay de producir un sonido es hacer vibrar una cuerda. La nota que emite la cuerda depende de la longitud de ésta y, como las longitudes pueden ser asociadas a números, Pitágoras decidió estudiar la relación que había entre las longitudes de las cuerdas y los sonidos armoniosos. Para ello ideó el monocordio: una cuerda musical tensada sobre una tabla en la que, mediante un puente móvil, podía cambiar la longitud de la cuerda

(un proceso análogo al que se hace al pulsar una cuerda de guitarra). Dividió la cuerda en doce partes y buscó, moviendo el puente, los intervalos consonantes, es decir, aquéllos que producían un sonido agradable.

Se encontró con que las longitudes en las que se producían las armonías eran proporcionales a 9, 8 y 6

Llamó “tono” a la nota producida por la longitud total de la cuerda, poniendo a las otras tres los nombres de “diatesarón”, “diapente” y “diapasón”, que son los intervalos que actualmente denominamos octava, quinta y cuarta, y sobre los que Pitágoras construyó la primera escala musical de la historia

Las relaciones

1·12 = 12

3/4·12 = 9

2/3·12 = 8

1/2·12 = 6

nos proporcionan las correspondientes razones de la longitud de la cuerda:

1 = tono

3/4 = cuarta

2/3 = quinta

1/2 = octava

Se puede comprobar que las combinaciones armónicas de una cuerda pulsada guardan una relación de números enteros con las longitudes respectivas de la cuerda, como muestra la siguiente tabla que resume el sistema musical de Pitágoras:

do	re	mi	fa	sol	la	si	do
1

Fundamentos musicales

El fundamento de la música lo estableció Pitágoras con los cuatro números 1, 2, 3 y 4, que representaban la perfección del número diez 1+2+3+4=10 cuyas partes dan lugar al punto, la línea, el plano y el espacio. Fue así como Pitágoras estableció el lazo de unión que había entre la belleza de la música y la de los números. Luego, extrapoló sus conocimientos geométricos y musicales hasta concebir una original concepción del Universo: La Música de las Esferas, en la que cada planeta debía emitir un sonido característico, en perfecta armonía con los demás. Kepler dedicó muchos años a estudiar esta teoría. Pensaba que conociendo la velocidad y la masa de una esfera, podía determinar el sonido que producía. Un sonido que nadie podía oír porque era continuo y carecía de silencios. Sus investigaciones acabarían desembocando en las tres famosas leyes que rigen el movimiento de los planetas.

En la Música de las Esferas, la nota más grave era Hipate, que procedía del centro de la Tierra y que se correspondería con la nota fundamental o tónica de nuestra escala. Hacia el 370 d. de C., Teón, que fue director del Museo de Alejandría, bautizó con ese nombre a su hija, Hipatia, la que fue la primera matemática de la historia y, desgraciadamente, la primera víctima de la intransigencia religiosa frente a la Ciencia.

Pentafonía

La “quinta justa” es el segundo intervalo en importancia en cuanto a la percepción sonora. El primero y más simple es la octava, la que se podría llamar una duplicación natural. Cuando dos personas cantan juntas, lo más sencillo que pueden hacer, y también lo más aburrido, es cantar a unísono. Inmediatamente después viene el cantar con un intervalo de una octava. El siguiente intento (históricamente fue así) es el de hacerlo por intervalos de quinta. Según hemos visto, esto quiere decir que nos movemos en un intervalo musical entre dos notas cuya relación de frecuencias es 2:3. Si adoptamos como nota base el La (440 Hz) y buscamos dos quintas por encima de esta nota y dos por debajo, tendremos la siguiente serie de frecuencias:

Las dos quintas por encima serán

440 · = 660; 660 · = 990

Las dos quintas por debajo serán

440 · = 293,3333 ; 293,3333 · = 195,5556

De esta forma, la serie de cinco frecuencias será

195,5556 293,3333 440 660 990

Las notas que más se aproximan a estas frecuencias son

Sol₃ - Re₄ - La₄ - Si₄ – Re₅.

Si queremos ahora situar todas estas notas dentro de la misma octava, en este caso la cuarta, deberemos multiplicar o dividir por 2 cada frecuencia, quedando finalmente la siguiente serie:

293.33	330.00	391.11	440.00	495.00	586.67
Re	Mi	Sol	La	Si	Do

Ésta es la llamada “escala pentafónica”. Este tipo de escalas están muy difundidas por todo el mundo, especialmente en la música popular tradicional. Son las utilizadas, por ejemplo, en la típica música andina. Cualquiera que pulse las teclas de un instrumento según esta escala obtendrá melodías agradables sin apenas esfuerzo. Son, por ejemplo, las que se forman tocando las teclas negras del piano, empezando por fa sostenido.

Tonos y semitonos

Como hemos visto, los pitagóricos, para crear sus escalas, adoptaron el criterio armónico de empezar por una nota determinada y ascender por quintas, lo que quiere decir que las cuerdas pulsadas guardan relaciones entre sus longitudes que se corresponden con la serie de números siguiente:

Varias de estas notas tienen razones superiores a 2/1, lo que quiere decir que no pertenecen a la misma octava. Hemos visto que esto se puede solucionar dividiendo estas notas por 2 y reordenándolas de nuevo, quedando la serie de esta forma:

Se corresponden aproximadamente con las notas Do, Re, Mi, Sol, La, Si. Añadiendo la quinta 2/3 y multiplicándola por dos (para que entre en la octava) 2·2/3 = (4/3) se obtiene la nota que falta, que corresponde a un Fa, con lo que la escala completa queda tal y como la planteamos en el apartado anterior:

do	re	mi	fa	sol	la	si	do
1							2

y que se corresponde aproximadamente con las teclas blancas del piano. Los intervalos que hay entre notas sucesivas son de y . Por ejemplo:

· = y · =

A la razón 9/8 se le llama tono y a la 256/243 semitono. Según esto, entre un Do y un Re hay un tono. En cambio, entre un Re y un Mi hay un semitono. Para completar las escala con las alteraciones correspondientes de sostenidos y bemoles, o lo que es lo mismo, para introducir las teclas negras del piano y obtener la llamada “escala cromática”, parecería lógico que bastara con ir sumando semitonos. Pero se da la circunstancia de que un intervalo de dos semitonos están separados por una razón de longitudes que viene dada por:

cantidad que podemos perfectamente aproximar por 1,11. Sin embargo, un tono se corresponde a:

= 1,125

con lo que resulta que dos semitonos no son iguales a un tono y aquí empiezan los problemas, especialmente para los fabricantes de instrumentos.

La escala temperada

Cuando un fabricante de instrumentos empieza por colocar el Do y va colocando todas las cuerdas afinadas por quintas justas, se encuentra que el Si sostenido (Si#) se acerca mucho al Do, pero no son exactamente iguales, ya que el primero es ligeramente más alto que el segundo, en un intervalo que se llama “coma pitagórica”.

Se verá, por tanto, obligado a utilizar cuerdas distintas para cada una de estas notas. Este problema lo conducirá a situaciones cada vez más difíciles de resolver, como son un excesivo número de cuerdas y distancias imposibles de abarcar con los dedos de las manos. Además, en el momento en que la escala se empieza en una nota cualquiera, es decir, si se cambia la tonalidad, la secuencia de intervalos también cambia.

Cuando los compositores dejaron de componer por modos (quintas justas, acordes perfectos, etc.) y empezaron a modular por tonos, se hizo necesario encontrar la forma de resolver el problema. Se decidió encontrar un valor entre las distancias de los semitonos que igualara, al menos acústicamente, los enarmónicos, como acabó llamándose a este tipo de notas y nació la escala por temperamento igual, equitemperada o bien temperada. Bach fue un gran impulsor de esta innovación, escribiendo el Clavecín bien temperado, que constaba de 24 preludios y fugas en todas las tonalidades (¡sin necesidad de cambiar de instrumento!).

En 1876, en un auténtico afán de purismo musical, se llegó a construir un instrumento “el armonio de teclado generalizado” de Blanchet, que tenía la friolera de 53 teclas por octava. Obviamente no se trataba de una escala temperada.

La escala perfecta

La escala pitagórica no era perfecta, ni en el sentido musical, ni en el matemático. Una escala perfecta sería aquella en la que las razones fueran:

1 r r² r³ r⁴…… r¹² = 2

pero todas las razones que se encuentran en la escala pitagórica involucran a los números 2 y 3, es decir ,que son todas del tipo 2^x·3^y. Por ejemplo:

= 3²·2^-3 = 3⁵·2^-7

Si una de estas razones es:

r = 2^x·3^y

como:

r¹² = 2

resultaría que:

2^12x·3^12y = 2

con lo que:

2^12x-1 = 3^-12y

lo que no es posible porque una potencia de dos no puede ser nunca igual a una potencia de tres, ya que no se cumpliría la unicidad de la factorización de números primos. Esto no quiere decir que no se pueda encontrar otro tipo de intervalo que pueda hacer la escala, si no perfecta, casi perfecta, pues basta con tomar

que es, aproximadamente, lo que se tomó para construir la escala bien temperada, algo que los griegos no podían hacer porque desconocían la existencia de números irracionales como

Música fractal

Cuando en los sistemas caóticos aparece un atractor, es posible diseñar un programa de ordenador que asocie la coordenada x a una nota musical, y la y a la duración de la misma. Éste es el principio de la música fractal. Con ello no se pretende generar música directamente, sino proporcionar al músico una cierta pauta creativa. Uno de los programas más famosos es el The Well Tempered Fractal (TWTF), que permite proyectar 10 atractores extraños sobre 21 escalas diferentes. El resultado es realmente sorprendente.

Dados musicales

Mozart compuso, a los 21 años, un vals de 16 compases (número de catálogo K. 294). Y lo hizo siguiendo las instrucciones de un juego de dados que él mismo había diseñado: Juego de dados musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición. El juego consistía en dos dados y dos tablas de números diferentes. La primera debía usarse para la primera parte del vals y la otra para la segunda.

Para componer la primera parte del vals, que constaba de ocho compases cada una, se lanzaban los dos dados y se sumaban los números que habían salido. Sólo hay 11 posibles resultados, que figuraban en la primera columna de la tabla. Si, por ejemplo, había salido un nueve en la primera tirada, se elegía el compás de la columna primera y fila nueve, y así sucesivamente hasta componer los ocho compases de la primera parte. Luego se hacía lo mismo con la segunda tabla para la segunda parte. No hacía falta ser músico porque Mozart ya había compuesto los 176 compases que estaban en las dos tablas. Es de esperar que no haya ningún loco que se proponga grabar todos los valses posibles, ya que hay unos 750 trillones de variaciones.

Por otra parte, la conocida sucesión de Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, … fue utilizada por Béla Bartok para crear una escala musical a la que denominó “Escala Fibonacci”:

Fuente:

Blog de Gangakoo