Cómo armar (y amar) las tablas de multiplicación

Muchos recordaréis las tablas de multiplicar de la escuela y los trucos para aprenderlas. En algunas había tendencias que se repetían (como simplemente duplicar la tabla de multiplicar del 2) pero otras terminábamos aprendiéndolas de memoria. Y no estaba muy claro por qué había que memorizar el resultado de 7 x 9.

No temas, aquí no te encontrarás trucos para memorizar las tablas. En lugar de ello, te quiero mostrar una forma de entender los números que les da cierta estructura, y cómo la multiplicación utiliza esa estructura.

Comprendiendo la multiplicación

Multiplicar simplemente te da el área de un rectángulo, si sabes la longitud de sus lados. Escoge cualquier cuadrado de la tabla debajo (por ejemplo, escojamos el cuadrado en la columna número 7 y la fila 5) y colorea un rectángulo desde ese punta a la esquina de la izquierda (debajo en verde).

Un rectángulo de tamaño 5 x 7 en la tabla de multiplicar

Este rectángulo tiene una longitud de 7 y una altura de 5, y el área (el número de cuadrados verdes) la puedes encontrar en el círculo azul de la esquina inferior derecha. Esto se cumple independientemente del par de números que escojas en la tabla.

Cojamos ahora este rectángulo y girémoslo sobre la diagonal principal de la tabla (la línea discontinua roja debajo).

El mismo rectángulo, girado

La longitud y altura del rectángulo también se ha cambiado, pero el área sigue siendo la misma. Por tanto, podemos ver que 5 x 7 es lo mismo que 7 x 5. Esto se cumple para cualquier par de números. En matemáticas es lo que conocemos como propiedad conmutativa.

Este hecho implica que hay una simetría en la tabla de multiplicar. Los números sobre la diagonal son como una especie de espejo de los números debajo. Así que, si tu objetivo es memorizar la tabla, solo necesitas memorizar la mitad.

La base que construye los números

Para adentrarnos más allá en las multiplicaciones necesitamos primero hacer algunas divisiones. Recuerda que dividir un número simplemente significa separarlo en partes más pequeñas de igual tamaño.

12 ÷ 3 = 4

Esto significa que 12 puede ser separado en 3 partes, cada una de tamaño 4.

Dado que 3 y 4 son ambos números enteros, se les llama factores de 12, y 12 se dice que es divisible por 3 y por 4. Si un número es solo divisible por sí mismo y 1, se le llama número primo.

Pero hay más de una forma de representar 12 como un producto de dos números:

12 × 1

6 × 2

4 × 3

3 × 4

2 × 6

1 × 12

De hecho, podemos ver esto si miramos a la tabla de multiplicar debajo:

Las apariciones del 12 en la tabla de multiplicar

El número de cuadrados coloreados de azul en esta tabla te dice que hay seis formas en las que puedes hacer un rectángulo de área 12 cuyos lados tengan una longitud de números enteros. Representan también las diferentes maneras en las que puedes escribir 12 como producto de dos números.

Además, tal vez te hayas dado cuenta de que los cuadrados coloreados parece que forman una especie de curva. ¡Lo hacen!. La curva que uniría los cuadrados se llama hipérbola, definida por la ecuación a × b = 12, en la que “a” y “b” no son necesariamente números enteros.

Echemos un vistazo de nuevo a la lista de números cuyo producto es igual a 12. Todos esos números son factores de 12. ¿Y si miramos a factores de factores? Cualquier factor que no sea un factor primo (excepto el 1) puede separarse en factores adicionales, por ejemplo:

12 = 6 × 2 = (2 × 3) × 2

12 = 4 × 3 = (2 × 2) × 3

No importa cómo lo hagamos, cuando dividimos los factores hasta que nos quedamos solo con los factores primos, siempre acabaremos con dos 2 y un 3.

Esta multiplicación:

2 × 2 × 3

Se llama “descomposición factorial” de 12 y es única a ese número. Solo hay una forma de escribir un número como un producto de sus factores primos, y cada multiplicación de factores primos da un resultado diferente. En matemáticas esto es lo que se conoce como teorema fundamental de la aritmética.

La descomposición en factores primos nos cuenta cosas importantes sobre un número de una forma muy condensada.

Por ejemplo, en la descomposición factorial 12 = 2 × 2 × 3 podemos ver inmediatamente que 12 es divisible por 2 y 3, y no por ningún otro número primo (como el 5 o el 7). También podemos ver que es divisible por el producto de cualquier combinación de dos 2 y un 3 que escojas.

Más aún, cualquier múltiplo de 12 será también divisible por los mismos números. Toma 11 x 12 = 132. Este resultado es divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12, exactamente igual que 12. Al multiplicar cada uno de estos por el factor de 11, obtenemos que 132 es también divisible por 11, 22, 33, 44, 66 y 132.

Es también fácil ver si un número es el cuadrado de otro número: en ese caso debe haber un mismo número de cada factor primo. Por ejemplo, 36 = 2 × 2 × 3 × 3, es decir, es el cuadrado de 2 × 3 = 6.

La descomposición factorial puede hacer también las multiplicaciones más sencillas. Si no sabes el resultado de 11 x 12, conocer la descomposición de 12 implica que puedes calcular la multiplicación paso por paso.

11 x 12

= 11 x 2 × 2 × 3

= ((11 x 2) × 2) × 3

= (22 × 2) × 3

= 44 × 3

= 132

Si los factores primos de la descomposición son lo suficientemente pequeños (digamos 2, 3 o 5), multiplicar es sencillo, tal vez solo tengas que escribir un poco. Por tanto, multiplicar por 4 (= 2 x 2), 6 (= 2 x 3), 8 (= 2 x 2 x 2), o 9 (= 3 x 3) no tiene por qué ser tan complicado.

Por ejemplo, si no puedes recordar la tabla de multiplicar del 9, no importa siempre que puedas multiplicar dos veces por 3 (este método no vale sin embargo si tienes que multiplicar por factores primos mayores, aquí hay que utilizar otros trucos - si no has visto el de la tabla del 11, echa un ojo a este vídeo).

La habilidad de separar los números en sus factores primos puede hacer sencillas multiplicaciones muy complicadas, y es aún más útil para números mayores.

Por ejemplo, la descomposición factorial de 756 es 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 7, es decir, multiplicar por 756 simplemente significa multiplicar por cada uno de estos factores primos más pequeños (por supuesto, dar con la descomposición factorial de primos de un número muy grande es generalmente muy complejo, así que solo es útil si ya sabes antes cuál es esa descomposición).

Pero, ante todo, la descomposición factorial ofrece información fundamental sobre los números. Esta información es muy útil en matemáticas y otros campos como la criptografía y seguridad online. También lleva a algunos hallazgos sorprendentes: intenta colorear todos los múltiplos de 12 en las tablas de multiplicar anteriores y mira qué ocurre. Eso lo dejaré de tarea.

Fuente:

Gizmodo

Matemática: Por qué es tan difícil contestar cuánto es 7x8

¿Cuál es la operación más difícil de la tabla de multiplicar? Un estudio sugiere que es seis por ocho.

Hay preguntas del pueblo que muchas veces ponen en aprietos a los gobernantes: ¿Cuánto vale un pasaje de bus? ¿Cuánto cuesta un litro de leche o trozo de pan?

Pero para algunos, son otro tipo de preguntas las que los pueden poner en evidencia. Por ejemplo, en Reino Unido, el ministro de Economía George Osborne fue incapaz de responder una simple pregunta de un grupo de escolares este jueves: "¿Cuánto es siete por ocho?".

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El ministro, con la diplomacia de su dignidad, respondió: "Tengo como regla en la vida no contestar".

Pero tal vez Osborne ya sabía lo que se venía. En 1998, al entonces ministro laborista Stephen Byers le hicieron la misma pregunta y su respuesta se halla entre los fallidos políticos del siglo: "54".

La respuesta correcta a esa pregunta es 56.

La tabla de multiplicar

La tabla de multiplicar es tal vez una de las asignaturas constantes en el aprendizaje. De una manera u otra, los maestros se las ingenian para que sus alumnos se la aprendan de memoria de la forma más precisa y correcta.

Pero algunas veces, quedan unas lagunas en el proceso.

Según la firma de investigación en la educación Flurrish, para los estudiantes la fórmula más difícil de la tabla es seis por ocho (igual a 48).

El 62,5% de los estudiantes a los que se les realizó esta prueba sobre la tabla de multiplicar contestó mal en esa parte de la evaluación. Mientras que el siete por ocho que evitó el político británico fue clasificado como el séptimo más difícil.

"Son esos números del medio los que los niños encuentran más difíciles: el seis, el siete, ocho y nueve", dijo el director de Flurrish, Mike Smith.

Y añadió que: "Se complica cuando se tienen que multiplicar entre ellos. Cuando son con los números bajos (de la table), el asunto es más fácil".

Por su parte, para Mike Ellicock, el director de National Numeracy -una organización dedicada al fomento de la educación-, no basta que el aprendizaje de la tabla de multiplicar sea obligatorio en las aulas.
"Cuando pones a una persona en público y lo bombardeas con preguntas como éstas, estás creando una respuesta sicológica", explicó Ellicock.

"La gente no tiene la misma concentración. La gente está esperando que te equivoques, así que no considero que sea la mejor manera de aproximarse a la enseñanza de las matemáticas".

Fuente:

BBC Ciencia

Un rompecabezas de 2.300 años de antigüedad esconde una tabla de multiplicar

Foto: Imagen de las dos caras del Hueso de Ishango

Hace algo más de 50 años, en 1960, el geólogo de origen belga Jean de Heinzelin de Braucourt encontró un extraño objeto mientras se encontraba trabajando en una excavación, cerca del nacimiento de una de las fuentes del río Nilo. El lugar era un pequeño poblado llamado Ishango, dentro de las fronteras de lo que actualmente conocemos como República Democrática del Congo.

Fuente: Javier Peláez | Yahoo.es, 16 de enero de 2014

El hallazgo era un pequeño hueso, concretamente el peroné de un babuino, que presentaba unas curiosas marcas, organizadas en tres columnas y realizadas mediante algún objeto punzante de cuarzo. En un principio se pensó que se trataba alguna clase de objeto decorativo pero cuando se analizó detenidamente el número y la disposición de estas marcas, los arqueólogos llegaron a una sorprendente pero definitiva conclusión: Quienquiera que fuese el autor de aquellas muescas, hace ya 20.000 años, claramente estaba contando.

Foto: Marcas en el hueso de Ishango

En una de las partes talladas se pueden observar sesenta marcas, algo que podría parecer aleatorio si no fuese porque en la parte posterior, aparece otra columna con exactamente el mismo número de muescas, sesenta…

No quiere decir que los humanos que vivieron con anterioridad a este hueso (20.000 años) no supieran contar, sin ir más lejos existen otros objetos de similares características y más antiguos, como los encontrados en Lebombo o Checoslovaquia sobre los que aún todavía un interesante debate. Sin embargo, lo que sí podemos afirmar con rotundidad es que este hueso de Ishango está considerado como el primer “artefacto matemático” confirmado de la Humanidad…

Esta semana, a la fascinante cadena de acontecimientos e hitos arqueológicos que han ido marcando la Historia de las Matemáticas, podemos sumar ahora un interesantísimo descubrimiento realizado por investigadores de la Universidad de Tsinghua en Pekín y que ha salido publicado en la última edición de la Revista Nature.

La historia comienza hace cinco años cuando en 2009 un coleccionista encontró en un mercado callejero de Hong Kong una extensa serie de más de 2.500 tiras de bambú con antigua caligrafía china. Las tiras se encontraban cubiertas de barro y seguramente habían sido extraídas de la excavación ilegal de alguna tumba.

Por suerte aquel comprador se dio cuenta de la importancia de su adquisición y en un generoso gesto, terminó donándolas a un equipo de historiadores que, tras analizarlas mediante la técnica de Carbono 14, concluyeron que tenían más de 2.300 años. En concreto pertenecen a una etapa histórica conocida como “el periodo de Los Reinos Combatientes” y su datación exacta las sitúa en el año 305 a.C.
Sin embargo, esto solo era el principio… ante ellos tenían un enorme rompecabezas con miles de pequeñas tiras de bambú con apenas unos milímetros de ancho y hasta medio metro de largo.

Foto: Las 21 tiras de bambú que componen la tabla de multiplicar

Imaginad que tenéis que intentar reconstruir un documento después de rallarlo con una de esas típicas máquinas destruye-papeles, algo así era el reto al que se enfrentaban los historiadores. Finalmente, y después de varios años componiendo este gigantesco puzle compuesto por los más diversos textos de la época, dispersos entre los miles de tiras de bambú, los investigadores localizaron 21 de ellas que contenían una serie de números, y es aquí donde llegó la sorpresa.

Ordenadas correctamente estas tiras componen una tabla de resultados entre los mismos números en los dos ejes de la tabla, del 0.5 al 19, dispuestos como podéis ver en la representación de la imagen inferior realizada con números occidentales:

Foto: Correspondencia de los números encontrados en la tabla china.

He de aclarar que aunque se conocen otras tablas de multiplicar pertenecientes a las civilizaciones sumerias o babilonias, algunas de ellas más antiguas, aún así ésta que se ha descubierto en China es la más antigua que utiliza nuestro actual sistema decimal (de base 10), ya que las anteriores se basaban en un sistema sexagesimal, (base 60)

Los autores del descubrimiento resaltan, además de la gran dificultad que ha requerido recomponer y ordenar este gigantesco puzle de 2.500 pequeñas piezas, que nos encontramos ante una “verdadera calculadora antigua” puesto que con ella se podían realizar multitud de operaciones matemáticas, entre los que se encuentran desde el cálculo de superficies y cultivos, distribución de cosechas o el porcentaje de impuesto que correspondía pagar al estado.

Fuente:

Terrae Atiqvuae

Papá, ¿para qué sirven las matemáticas?

El problema de las matemáticas no es que sean aburridas, sino que se suelen enseñar mal. Aquí algunas ideas que cambiarán la percepción de tus hijos.

Educar a un hijo es, sobre todo, una regresión a los traumas de tu propia infancia. Una lucha constante por enmendar los socavones de tu propio conocimiento. Todo padre se prepara para el momento de resolver los bombardeos constantes de preguntas de ciencia, sexo, comportamiento humano... hasta que llega el día fatídico:
—Papá... ¿para qué valen las matemáticas?
—Las matemáticas lo son todo, hija. Desde el primer paso que das por la mañana mirando la fecha en tu calendario, hasta que te acuestas y pones el despertador. Están en el dinero que manejas para comprar regaliz, en las recetas que hacemos en la cocina, en la música que escuchas, en las búsquedas que haces con Google, en el aleteo de tu pez Beta, en la formas de los copos de nieve y del brócoli que tanto odias... ¡En todo!
Dice John Allen Paulos, un matemático divulgador, que a la hora de pagar la cuenta en un restaurante siempre se invita al ‘amigo de ciencias’ que haga las cuentas. Sin embargo, es ridículo que el amigo de ciencias haya invitado antes a ‘leer’ la misma carta a los ‘amigos de letras’. Como si las matemáticas fueran una especialidad disociada de la cultura general. Este es un ejemplo perfecto del anumerismo o analfabetismo matemático de la sociedad actual.
Peter Hilton -otro anglosajón al que le gustaban tanto las matemáticas que dedicó su vida a los números- decía que en la mayoría de las escuelas se enseña a ser calculadoras, no a proyectar la capacidad lógica y de congruencia que ofrece el cálculo matemático en la experiencia real de vida. Por eso la mayoría de los niños no lo veis útil. Una utopía que ha desarrollado un odio universal por la rama científica más abstracta desde los 5 años.
El anumerismo se cuece al ritmo del papagayo recitando la tablas del 9, una forma antinatural de aprender matemáticas. Las matemáticas tienen y deben enseñar a razonar, nunca a memorizar...
—Papá... es que aprenderse de memoria la tabla del 9 no es nada divertido. Prefiero asignaturas como Conocimiento del Medio.
—No es nada divertido porque no te lo hacen divertido. Tú tienes una memoria prodigiosa y no te cuesta casi nada. Pero la memoria es el atajo didáctico del profesor mediocre. Habrá niños que tarden tres veces lo que tú, y lo peor: ese tiempo que tú pierdes esperando, lo dedicas a odiar las matemáticas. No es lo mismo memorizar la tabla del 9 que aprenderse la tabla del único número que si le das la vuelta vale menos… ¿Entiendes?
— Sí
Otro ejemplo. ¿Sabes que la tabla del nueve la llevas en tus manos? Abre las palmas hacia abajo. El meñique de tu mano izquierda es el 1 y el meñique de la mano derecha equivaldría al 10.
—¿Entendido?...
— Sí
—Ahora vamos a multiplicar. 9 x 1: Bajas el primer meñique ¿Cuántos dedos te quedan la derecha de este?
— 9
—¡Correcto!  Ahora 9 por 2. Baja el dedo anular ¿Cuántos dedos te quedan a la izquierda?
— 1
— ¿Y a la derecha?
— 8
— Ya lo tienes. 18… lo mismo con el resto
— ¡Guauuu!
— Nunca olvidarás la tabla del 9 con este truco… aunque hay otros ¿Son divertidas las matemáticas o no?
— Ya, pero las matemáticas son más que la tabla del 9.
— ¡Claro! Están por todas partes. ¿Sabías que la música es 100% matemáticas?
— ¿Por eso cantamos la tabla del 7?
— Jaja, sí y no. La música es ritmo y el ritmo es matemáticas. Ese ritmo te ayuda a memorizar la tabla porque es mucho más fácil recordar una canción que una serie numérica. Pero, en realidad, es lo mismo. Al final nuestro cerebro procesa la serie numérica.
Como decía Leibniz -otro viejo matemático- la música es "un ejercicio inconsciente en la Aritmética". Pero fue hace mucho, mucho más tiempo... cuando el primer matemático (puro) de la historia descubrió que las notas musicales tienen una relación numérica. Se llamaba Pitágoras y sus discípulos -los pitagóricos- pensaban que la matemática podía explicar todo el universo.
Pitágoras hizo el siguiente experimento: Cogió una cuerda y la tensó atándola a dos puntos. Al tocar la cuerda producía un sonido y una vibración, pero si acortaba la cuerda producía un sonido distinto, más agudo. Él fue capaz de descubrir la relación entre la longitud de la cuerda y las notas musicales. La octava tenía una proporción de cuerda de 2 a 1. Justo la mitad. Te lo puede explicar mejor tu antiguo amigo el Pato Donald.
— ¿Me cuentas más trucos de matemáticas para enseñarlos en el cole?
— No hay trucos, sí reglas o diferentes estilos de aprendizaje ¿Sabes cómo enseñan a multiplicar a los niños japoneses?
— ¡Cuenta!
— Te he contado que la música es matemática pura... pero también la geometría. Mira el siguiente dibujo. Para multiplicar 13 x 12 tú piensas en números, los separas y aislas para facilitar la operación con las cálculos menores que ya te has aprendido de memoria antes. Pero ¿y si te dijera que las tablas no hacen falta?
— ¿En serio?
—  Multiplicar no es más que contar muy rápido. Y hay atajos gráficos para ello. Contemos las intersecciones que provocan la representación gráfica de un número.

— ¡Qué fácil!
— Aquí te enseñan el método completo.
Hay un error pedagógico de base en la mayoría de los colegios. Tan importante es enseñar matemáticas como aplicar los conceptos en la vida cotidiana y así no perder la atención de vosotros, los alumnos. La motivación será siempre mayor si le encuentran funcionalidad en su contexto inmediato.
— ¿Qué imagen se te viene a la cabeza cuando piensas en fracciones?
— Números encima de otros
— Cuando solo pienses en pizza, habrás asimilado bien las fracciones. Incluso las matemáticas sirven para ligar ¿Lo sabías?
—¿Cómo?
—Sí, mira. Hace poco un joven matemático llamado Chris McKinlay que no conseguía pareja (debía estar todo el día en casa con el ordenador) decidió utilizar fórmulas matemáticas para encontrar a su media naranja.
—¿Pero cómo?
— Bueno, hizo un poco de trampa pero usó sus conocimientos. Se metió dentro de una web para buscar pareja y creó muchas cuentas que respondían automáticamente a todas las preguntas que hacían los perfiles femeninos. Estas web solo te dejan ver los perfiles que responden las mismas preguntas que el tuyo. Como él respondió todas, tuvo más de seis millones de perfiles distintos que analizó más tarde y así supo cuáles eran las inquietudes más parecidas a las suyas. Encontró a una chica de 28 años que hoy sigue siendo su novia.
— Papá… tengo ganas de ir mañana al colegio.

 

Tomado de:

 

Ciencia Explora

China. Descubren la tabla de multiplicar más antigua del mundo

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Bajo la capa de lodo que cubría unas antiguas tiras de bambú, historiadores chinos afirman que lograron encontrar y reconstruir la tabla de multiplicar de base decimal más antigua del mundo.

Investigadores de la Universidad de Tsinghua en Pekín utilizaron la técnica de datación por carbono y llegaron a la conclusión de que las tiras son del año 305 a.C., aproximadamente, tal como reporta Jane Qiu en un artículo publicado en la revista especializada Nature.

Esa fecha corresponde al periodo de los Reinos Combatientes, que comenzó en el siglo V a.C. y finalizó con la unificación de China por la dinastía Qin en el 221 a.C.

Los científicos identificaron los números escritos en 21 de estas tiras pertenecientes a una colección de viejos fragmentos de bambú con inscripciones en antigua caligrafía china.

Fotos cortesía del Centro de Investigación y Conservación de Textos Excavados de la Universidad de Tsinghua en Pekín.

"Fue como armar un enorme rompecabezas", contó Li Junming, paleógrafo e historiador.

Feng Lisheng, experto en historia de las matemáticas, explicó a Nature que cuando las tiras se ordenan de forma apropiada forman la estructura de la tabla. El renglón más alto y la última columna a la derecha contienen, ordenados de derecha a izquierda y de arriba abajo respectivamente, los mismos 19 números: 0,5; los números enteros del 1 al 9; y múltiplos de 10 hasta 90. 

"Es, efectivamente, una calculadora antigua", dijo Li, con la que se pueden realizar complejos cálculos.

Los responsables de la investigación creen que la tabla era utilizada para calcular superficie de terrenos, campos de cultivos y la cantidad de impuestos que los pobladores debían pagar.

Del mercado al laboratorio

Según el informe de Jane Qiu, las tiras de bambú llegaron a manos de los científicos hace unos cinco años, gracias a un donante que las había comprado en un mercado de Hong Kong.

Traducción de la antigua tabal de multiplicar con base decimal.

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Se supone que la colección de cerca de 2.500 cintas de bambú proviene originalmente de la excavación ilegal de alguna antigua tumba.

Cada una de las tiras, de alrededor de 10mm de ancho y hasta medio metro de largo, estaba escrita en línea vertical con antigua caligrafía china en tinta negra.

Tras una laboriosa tarea de reconstrucción, los investigadores identificaron decenas de textos antiguos y entre ellos destacaron las tiras que sólo contenían números.

"Una tabla de multiplicar tan elaborada es absolutamente única en la historia de China", asegura Feng.

La compleja tabla es todo un hallazgo, y no sólo en China. Sumerios y babilonios tenían tablas de multiplicar hace más de 4 mil años, pero aquellas eran de base sexagesimal.

Fuente:

BBC Ciencia

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Que los más jóvenes hablen de cuestiones que los adultos no comprenden, no es nuevo. Pero cuando lo más básico cambia, no queda más remedio que volver a la escuela. 

Dividir y multiplicar ya no es lo mismo. Los métodos que tradicionalmente se enseñaban en los colegios están siendo reemplazados.

Al parecer, los modernos hacen que las matemáticas sean más fáciles para los niños, pero dejan a los adultos completamente confundidos.

Rob Eastway, coautor del libro "Matemáticas para mamás y papás", le trata de explicar a los lectores de la BBC qué está pasando.

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Yo solía pensar que tenía una buena comprensión de las matemáticas... hasta que mi hija empezó a ir a la escuela primaria. Fue entonces cuando descubrí una revolución tuvo lugar en la manera en que se enseña aritmética, y que había técnicas y terminología que no significaban nada para mí.

Déjeme darle una idea. En las escuelas primarias, los niños trabajan con líneas de números, rellenan diagramas de Carroll y calculan utilizando el método de "rejilla" y algo que lleva el peculiar nombre de "fragmentación".

Decidí investigar de qué estaba pasando.

Sin ábaco ni calculadora... el nuevo método promete que se puede llegar al resultado con la mente.

Lo primero que entendí fue que en la escuela yo fui uno de los afortunados. Era bueno con los números, así que el aprendizaje de las técnicas tradicionales de la multiplicación y la división no representaban ningún problema.

Pero para una enorme proporción de los niños, estas técnicas eran una tarea sin sentido. Si uno le pide a la mayoría de los adultos de hoy para llevar a cabo una multiplicación o una división larga, se quedan en blanco.

Quizás en algún momento sabían cómo hacerlo, pero ya no se acuerdan. Y de todos modos, para eso están las calculadoras, ¿no?

El tema de las calculadoras es importante. Muchas de las técnicas que nos enseñaron datan del siglo XIX, cuando se necesitaba un gran número de empleados para realizar los cálculos cotidianos a mano. Hoy en día, las calculadoras puede hacer estas tareas mucho más rápido.

Pero eso no quiere decir que no necesitamos saber manejar los números.

Para entender la vida

La esperanza es que con el nuevo método, menos gente le tenga miedo a las matemáticas.

Estamos inundados por los números todo el tiempo, ya sea porque alguien nos está tratando de vender un plan de teléfono móvil o un político nos está tratando de convencer de que su programa económico es el mejor. Como sociedad tenemos que darle sentido a estos números, si queremos gestionar con éxito nuestras vidas.

No todos tenemos que ser capaces de multiplicar 27 x 43 sin lápiz y papel? Pero sí necesitamos saber que el 27 x 43 es de aproximadamente 30 x 40, y que esto es más o menos 1.200. Así, llegar a comprender bien los números es la base de los nuevos métodos modernos.

Una de las técnicas adoptadas es el método de la rejilla para la multiplicación, que está vinculado a un método visual que muchos niños encuentran más fácil de entender.

En la siguiente guía podrá recordar cómo se multiplicaba de la manera tradicional y luego verá una introducción al método de la rejilla.

Lea el artículo completo en:

BBC Ciencia

Matemáticas: La magia de llegar a la tabla del 12

Ir más allá de la tabla del 10 también tiene algo de juego.

No se trata de aprender a memorizar, sino de disfrutar de la profusión de patrones que se revelan cuando aprendemos a multiplicar, asegura el escritor y matemático Rob Eastaway.

Hubo una época, hace varias décadas, en la que muchos niños del mundo tenían una razón obvia para aprenderse la tabla del 12. Todos los países que usaban las medidas imperiales británicas calculaban en pies y pulgadas y pagaban en chelines y peniques.

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Multiplicar por 12 era una experiencia cotidiana.

Pero eso es historia antigua, aunque los huevos aún se venden en docenas, y mucha gente -incluidos los estadounidenses- todavía midan en pulgadas.

Nada de eso justifica pasar horas repitiendo esas tablas extra.

Y sin embargo, sigue habiendo una razón para aprenderse "la del doce". Algo que tiene más que ver con el descubrimiento de patrones y con tener confianza al manejar números.

Apenas los niños se empiezan a sentir cómodos multiplicando números más grandes que 10, comienzan a entender las multiplicaciones largas.

Saberse las tablas del 11 y del 12 puede introducir patrones intrigantes de los que podrían perderse si paran en la del 10.

Lo divertido del 11

Mucho de la tabla de multiplicar por 11 es fácil de aprender: 2 x 11 es 22, 8 veces 11 es 88. Y cuando uno pasa de 12, hay patrones simpáticos para descubrir.

Con saber las tablas hasta el 10 o con una calculadora puede ser suficiente pero ¿nos perdemos de algo?

¿Quiere multiplicar 11 x 23? Simplemente tome los dos dígitos -2 y 3-, súmelos (da 5) y ponga ese número en la mitad: 253. ¡Tadaaaa!

¿Qué tal 36 x 11? De nuevo, separe el 3 del 6 y ponga su suma en la mitad: 396. Maravilloso.

¡Pero cuidado! Si los dos dígitos suman más de 9, este genial truco no funciona tan bien.

58 x 11... pues 5 + 8 = 13, pero la respuesta no es 5138. Ese "1" del 13 realmente representa a un 10, por lo que tiene que ser añadido al 5 para que dé la respuesta correcta: 638.

Hay otro patrón que empieza con 11 x 11.

Multiplique esos dos número y le da 121.

¿Y 111 x 111? La respuesta es 12321.

¿Puede adivinar cuánto es 1111 x 1111? 1234321.

El 12

Multiplicar por 12, por su lado, es más simple cuando uno se da cuenta de que es lo mismo que multiplicar un número por 10 y añadir el doble del primer número.

"Multiplicar por 12 es más simple cuando uno se da cuenta de que es lo mismo que multiplicar un número por 10 y añadir el doble del primer número"

Entonces, 12 x 12 es 10 x 12 (=120), y luego se le añade 2 x 12 (=24), lo que da 120 + 24 = 144.
Esa regla no se limita a la tabla de multiplicar, que se suspendería en 12 x 12.

12 x 61 es lo mismo que 10 x 61 (=610) más 2 x 61 (=122) y si puede sumar 610 + 122 en su mente, tendrá la respuesta correcta: 732.

¿Es necesario memorizar la respuesta de 12 x 12? Realmente no. Mientras se acuerde de la estrategia para hacer los cálculos, llegará a la respuesta con casi la misma rapidez.

Pero claro, al hacerlo a menudo, se queda en la memoria, lo que agiliza el proceso en esos momentos en los que necesita un resultado pronto.

¿Seguir hasta 20?

¿Por qué parar en la tabla del 12? Se podría seguir con la del 13, 14... hasta la del 20, como se hace en algunos países.

Lo que pasa es que si uno entiende las tablas de multiplicar básicas hasta el 10, tiene las herramientas necesarias para llegar al resultado de, digamos, 19 x 14.

Y si uno pasa demasiado tiempo memorizando las respuestas a esas preguntas, no va a tener tiempo para entender cómo funcionan los números.

De lo que realmente se tratan las matemáticas es de entender patrones y resolver problemas.

Rob Eastaway es coautor del libro "Mateméticas para mamás y papás".

Fuente:

BBC Ciencia

¿Te sabes la tabla de multiplicar…del triángulo equilátero?

Todos, desde pequeños, estamos familiarizados con la tabla de multiplicar de los número enteros hasta el número 10.

Imagen extraída de tablasdemultiplicar.net

Sabemos que multiplicar es sumar un número tantas veces como indica otro número, es decir, realizar la misma operación un número determinado de veces.

Empecemos por el final. Ésta es la tabla de multiplicar del triángulo equilátero:

Algunos ya habrán reconocido qué significa esta tabla. Se trata del grupo de simetría S₃ donde están representadas todas las operaciones de simetría del triángulo equilátero.

El que no sepa de que va puede seguir leyendo para comprobar que el tema no es difícil.

Todos sabemos lo que es la simetría, sabemos distinguir cuando una figura es simétrica o no, aunque en nuestra vida cotidiana no profundizamos demasiado y no solemos indicar respecto a qué una figura es simétrica o si tiene varios tipos de simetría.

Pongamos como ejemplo y objeto geométrico muy simple: el triángulo equilátero. Sea como sea de grande o pequeño un triángulo equilátero todos tendrán en común su simetría única. Para saber qué tipos de simetrías tiene dicho triángulo te propongo un sencillo juego. Supongamos que tenemos este triángulo equilátero donde se representan su ejes de simetría, es decir, los ejes respecto a los cuales divide la figura en dos partes iguales. Ahora recorta un triángulo del mismo tamaño y ponle nombre a cada vértice (ABC), tal y como indica la siguiente figura:

El juego consiste en, una vez puesto en su posición inicial, hallar todas las posibles maneras distintas en las que podemos mover el triángulo experimental y hacerlo coincidir de nuevo con el de referencia.

En primer lugar, hacemos girar el triángulo hasta que los vértices se lean CAB en el sentido de las agujas de reloj. Lo que hemos hecho ha sido rotar el triángulo 120º.

Para no repetir esto cada vez que queramos hacer esta operación le vamos a poner nombre. Como se trata de una rotación la llamaremos R y como hemos rotado 120º nombraremos a esta operación R₁₂₀. Si repetimos la misma operación habremos rotado 240º y obtendremos el triángulo BCA.

Sería una nueva operación de simetría, que denominaremos R₂₄₀. Podemos, además, girar el triángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj por lo que obtendríamos la operación de simetría R _-120 (BCA) y R _-240. Si queremos devolver a los vértices en su orden inicial tendremos que hacer esta operación tres veces. Vemos que R₂₄₀ y R _-120 son equivalentes ya que dan como resultante el mismo triángulo y no nos interesa cómo hemos llegado a esa posición sino la posición final.

¿Y si ahora giro el triángulo 360º? Volvemos a la misma posición inicial (ABC). Esta operación equivale a no hacer nada y a esta operación de denomina operación identidad y se identifica con el número 1. Es la única operación de simetría que posee toda figura geométrica, cristal, molécula o ser vivo.

¿Hay más maneras de que encaje tu triángulo con el modelo? Podemos voltearlo en torno al eje I y llegaremos a la posición ACB.

El triángulo resultante es la imagen reflejada en un espejo que hubiéramos puesto  a la derecha del triángulo, por lo que llamaremos a esta operación “reflexión respecto al eje I” y la representamos como R_I. De igual modo, podemos considerar las otras dos reflexiones a) respecto al eje II, denominada R_II y que produce la posición CBA, y b) respecto al eje III y que da origen a la posición CBA, denominada R_III .

Recopilando, tenemos las siguiente lista de operaciones de simetría: 1, R₁₂₀, R₂₄₀, R_I, R_II, y R_III.

¡Y esto sólo de un triángulo equilátero! Parece difícil estar seguros de que hemos hallado todas las operaciones de simetría de un objeto. Para ello, lo que podemos hacer es operar con las operaciones de simetría descubiertas a ver resulta alguna nueva. Así, si hacemos la operación R₁₂₀ y posteriormente R_II, obtenemos R_I. Se expresa así:

R₁₂₀×R_II = R_I

Cuando ocurre esto para para todas las operaciones decimos que nuestro conjunto de operaciones de simetría es cerrado respecto a la operación producto. Los matemáticos llaman a este conjunto de seis operaciones de simetría grupo de simetría del triángulo equilátero. Un grupo que se representa como S₃.

Así, podemos formar la tabla de multiplicar que he indicado al principio, de tal manera que multiplicar dos operaciones de simetría equivale a hacer primero una operación y a continuación la siguiente.

Acabas de entrar en amplio mundo de la simetría y si te interesa el tema, y su aplicación en el campo de la química, puedes visitar los siguientes enlaces:

Teoría de grupos aplicada a la simetría (pdf).
Grupos puntuales de simetría (pdf).
Simetría. teoría de grupos.
Simetría.

Teoría de grupos aplicada a químicos. (Libro. Vista previa en Google Book).

Fuente:

Ciencia OnLine