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12 de junio de 2015

Cómo armar (y amar) las tablas de multiplicación

Muchos recordaréis las tablas de multiplicar de la escuela y los trucos para aprenderlas. En algunas había tendencias que se repetían (como simplemente duplicar la tabla de multiplicar del 2) pero otras terminábamos aprendiéndolas de memoria. Y no estaba muy claro por qué había que memorizar el resultado de 7 x 9.
No temas, aquí no te encontrarás trucos para memorizar las tablas. En lugar de ello, te quiero mostrar una forma de entender los números que les da cierta estructura, y cómo la multiplicación utiliza esa estructura.

Comprendiendo la multiplicación

Multiplicar simplemente te da el área de un rectángulo, si sabes la longitud de sus lados. Escoge cualquier cuadrado de la tabla debajo (por ejemplo, escojamos el cuadrado en la columna número 7 y la fila 5) y colorea un rectángulo desde ese punta a la esquina de la izquierda (debajo en verde).
Estas explicaciones matemáticas te harán amar las tablas de multiplicar
Un rectángulo de tamaño 5 x 7 en la tabla de multiplicar
Este rectángulo tiene una longitud de 7 y una altura de 5, y el área (el número de cuadrados verdes) la puedes encontrar en el círculo azul de la esquina inferior derecha. Esto se cumple independientemente del par de números que escojas en la tabla.
Cojamos ahora este rectángulo y girémoslo sobre la diagonal principal de la tabla (la línea discontinua roja debajo).
Estas explicaciones matemáticas te harán amar las tablas de multiplicar
El mismo rectángulo, girado
La longitud y altura del rectángulo también se ha cambiado, pero el área sigue siendo la misma. Por tanto, podemos ver que 5 x 7 es lo mismo que 7 x 5. Esto se cumple para cualquier par de números. En matemáticas es lo que conocemos como propiedad conmutativa.
Este hecho implica que hay una simetría en la tabla de multiplicar. Los números sobre la diagonal son como una especie de espejo de los números debajo. Así que, si tu objetivo es memorizar la tabla, solo necesitas memorizar la mitad.

La base que construye los números

Para adentrarnos más allá en las multiplicaciones necesitamos primero hacer algunas divisiones. Recuerda que dividir un número simplemente significa separarlo en partes más pequeñas de igual tamaño.
12 ÷ 3 = 4
Esto significa que 12 puede ser separado en 3 partes, cada una de tamaño 4.
Dado que 3 y 4 son ambos números enteros, se les llama factores de 12, y 12 se dice que es divisible por 3 y por 4. Si un número es solo divisible por sí mismo y 1, se le llama número primo.
Pero hay más de una forma de representar 12 como un producto de dos números:
12 × 1
6 × 2
4 × 3
3 × 4
2 × 6
1 × 12
De hecho, podemos ver esto si miramos a la tabla de multiplicar debajo:
Estas explicaciones matemáticas te harán amar las tablas de multiplicar
Las apariciones del 12 en la tabla de multiplicar
El número de cuadrados coloreados de azul en esta tabla te dice que hay seis formas en las que puedes hacer un rectángulo de área 12 cuyos lados tengan una longitud de números enteros. Representan también las diferentes maneras en las que puedes escribir 12 como producto de dos números.
Además, tal vez te hayas dado cuenta de que los cuadrados coloreados parece que forman una especie de curva. ¡Lo hacen!. La curva que uniría los cuadrados se llama hipérbola, definida por la ecuación a × b = 12, en la que “a” y “b” no son necesariamente números enteros.
Echemos un vistazo de nuevo a la lista de números cuyo producto es igual a 12. Todos esos números son factores de 12. ¿Y si miramos a factores de factores? Cualquier factor que no sea un factor primo (excepto el 1) puede separarse en factores adicionales, por ejemplo:
12 = 6 × 2 = (2 × 3) × 2
12 = 4 × 3 = (2 × 2) × 3
No importa cómo lo hagamos, cuando dividimos los factores hasta que nos quedamos solo con los factores primos, siempre acabaremos con dos 2 y un 3.
Esta multiplicación:
2 × 2 × 3
Se llama “descomposición factorial” de 12 y es única a ese número. Solo hay una forma de escribir un número como un producto de sus factores primos, y cada multiplicación de factores primos da un resultado diferente. En matemáticas esto es lo que se conoce como teorema fundamental de la aritmética.
La descomposición en factores primos nos cuenta cosas importantes sobre un número de una forma muy condensada.
Por ejemplo, en la descomposición factorial 12 = 2 × 2 × 3 podemos ver inmediatamente que 12 es divisible por 2 y 3, y no por ningún otro número primo (como el 5 o el 7). También podemos ver que es divisible por el producto de cualquier combinación de dos 2 y un 3 que escojas.
Más aún, cualquier múltiplo de 12 será también divisible por los mismos números. Toma 11 x 12 = 132. Este resultado es divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12, exactamente igual que 12. Al multiplicar cada uno de estos por el factor de 11, obtenemos que 132 es también divisible por 11, 22, 33, 44, 66 y 132.
Es también fácil ver si un número es el cuadrado de otro número: en ese caso debe haber un mismo número de cada factor primo. Por ejemplo, 36 = 2 × 2 × 3 × 3, es decir, es el cuadrado de 2 × 3 = 6.
La descomposición factorial puede hacer también las multiplicaciones más sencillas. Si no sabes el resultado de 11 x 12, conocer la descomposición de 12 implica que puedes calcular la multiplicación paso por paso.
11 x 12
= 11 x 2 × 2 × 3
= ((11 x 2) × 2) × 3
= (22 × 2) × 3
= 44 × 3
= 132
Si los factores primos de la descomposición son lo suficientemente pequeños (digamos 2, 3 o 5), multiplicar es sencillo, tal vez solo tengas que escribir un poco. Por tanto, multiplicar por 4 (= 2 x 2), 6 (= 2 x 3), 8 (= 2 x 2 x 2), o 9 (= 3 x 3) no tiene por qué ser tan complicado.
Por ejemplo, si no puedes recordar la tabla de multiplicar del 9, no importa siempre que puedas multiplicar dos veces por 3 (este método no vale sin embargo si tienes que multiplicar por factores primos mayores, aquí hay que utilizar otros trucos - si no has visto el de la tabla del 11, echa un ojo a este vídeo).
La habilidad de separar los números en sus factores primos puede hacer sencillas multiplicaciones muy complicadas, y es aún más útil para números mayores.
Por ejemplo, la descomposición factorial de 756 es 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 7, es decir, multiplicar por 756 simplemente significa multiplicar por cada uno de estos factores primos más pequeños (por supuesto, dar con la descomposición factorial de primos de un número muy grande es generalmente muy complejo, así que solo es útil si ya sabes antes cuál es esa descomposición).
Pero, ante todo, la descomposición factorial ofrece información fundamental sobre los números. Esta información es muy útil en matemáticas y otros campos como la criptografía y seguridad online. También lleva a algunos hallazgos sorprendentes: intenta colorear todos los múltiplos de 12 en las tablas de multiplicar anteriores y mira qué ocurre. Eso lo dejaré de tarea.
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